初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 课件(第2课时)
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人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理(第2课时)课件
第十页，共十四页。
强化训练
解：根据题意得
N
∵802+602=1002
∴小明行走的轨迹，
是直角三角形.
∴小明向东走80米后
是向南或向北走的（右图所示）.
第十一页，共十四页。
强化训练
4、一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图所示,你说这个零件符合要求吗?
⑷在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分 线上.
在角平分线上的点到角的两边距离相等。 成立
第五页，共十四页。
新课讲解
(jiǎngjiě)
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸上.“远航”
勾 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方
股 定
向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”
边长a、b、c，满足 a2b2c2 ，那么这个三角
形是 ____直__角_(_zh_íji_ǎo_) 三角形.
第二页，共十四页。
学习(xué xí)目 标
理解原命题、逆命题和逆定理的概念 1 及关系；
2
进一步掌握勾股定理及其逆定理， 并会熟练应用；
3
第三页，共十四页。
原 命
题
(mìng tí)
知
第四页，共十四页。
新课讲解
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
⑴两条直线平行，内错角相等；
内错角相等(xiāngděng)，两条直线平行。 成立
⑵如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
如果两个(liǎnɡ ɡè)实数的绝对值相等，那么它们相等。 不成立
⑶全等三角形的对应角相等；
对应角相等(xiāngděng)的三角形全等 。 不成立
强化训练
解：根据题意得
N
∵802+602=1002
∴小明行走的轨迹，
是直角三角形.
∴小明向东走80米后
是向南或向北走的（右图所示）.
第十一页，共十四页。
强化训练
4、一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图所示,你说这个零件符合要求吗?
⑷在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分 线上.
在角平分线上的点到角的两边距离相等。 成立
第五页，共十四页。
新课讲解
(jiǎngjiě)
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸上.“远航”
勾 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方
股 定
向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”
边长a、b、c，满足 a2b2c2 ，那么这个三角
形是 ____直__角_(_zh_íji_ǎo_) 三角形.
第二页，共十四页。
学习(xué xí)目 标
理解原命题、逆命题和逆定理的概念 1 及关系；
2
进一步掌握勾股定理及其逆定理， 并会熟练应用；
3
第三页，共十四页。
原 命
题
(mìng tí)
知
第四页，共十四页。
新课讲解
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
⑴两条直线平行，内错角相等；
内错角相等(xiāngděng)，两条直线平行。 成立
⑵如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
如果两个(liǎnɡ ɡè)实数的绝对值相等，那么它们相等。 不成立
⑶全等三角形的对应角相等；
对应角相等(xiāngděng)的三角形全等 。 不成立
勾股定理的逆定理初中数学原创课件
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.且边c所对的角为直角.
勾股定理
互逆命题
定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定
理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆
勾股定理的逆命题
构造法
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使
∠ C′=90°, B′C′=a, C′A′=b.
c
A
A'
b
b
∵ ∠C′=90°，
∴ A′B′2= a2+b2 .
B
a
C
∵ a2+b2=c2,
∵ 边长取正值，
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17； (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14.
解： (1) ∵152＋82＝289,
172＝289,
∴ 152＋82＝172 .
故此三角形是直角三角形.
(2) ∵132＋142＝365,
152＝225,
∴ 132＋142≠152 .
故此三角形不是直角三角形.
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定
理
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等
长的12段,然后分别以3段，4段，5
段的长度为边长，用木桩钉成一个
三角形，其中一个角便是直角.
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.且边c所对的角为直角.
勾股定理
互逆命题
定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定
理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆
勾股定理的逆命题
构造法
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使
∠ C′=90°, B′C′=a, C′A′=b.
c
A
A'
b
b
∵ ∠C′=90°，
∴ A′B′2= a2+b2 .
B
a
C
∵ a2+b2=c2,
∵ 边长取正值，
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17； (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14.
解： (1) ∵152＋82＝289,
172＝289,
∴ 152＋82＝172 .
故此三角形是直角三角形.
(2) ∵132＋142＝365,
152＝225,
∴ 132＋142≠152 .
故此三角形不是直角三角形.
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定
理
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等
长的12段,然后分别以3段，4段，5
段的长度为边长，用木桩钉成一个
三角形，其中一个角便是直角.
人教版数学八年级下册课件全套：17-2-勾股定理的逆定理(第2课时)
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
----------------------------- 谢谢 ------------------------
命题2 正确吗？
二、探究新知
动手做一做！
△ABC，其中a=3，b=4，c=5. △ABC是直角
三角形吗？我们如何证明呢？
A
A
′
54
4
B3 C
B′
C′
3
假如△ABC与画的直角三角形A′B′C′完全
重合（全等）的话，能不能说明△ABC是直角三角
形呢方？法一：剪一剪
方法二：用推理证明的方法来论证两三角形是全等的.
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时
一、情境引入
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边 长为c，那么a2+b2=c2.
B
△ABC中，∠C为直角.
ac
BC2+AC2=AB2
Cb
A
即 a2+b2=c2
一、情境引入
猜想：命题2 如果一个三角形的三边长a， b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
问题： 原命题成立，逆命题一定成立吗？你能举出一 些相关的例子吗？
原命题成立的，它的逆命题也可能不成立，如 命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相 等，那么这两个是对顶角”不成立.
应用新知
例 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直 角三角形.
a=15，b=8，c=17； a=13，b=14，c=15.
五、作业设计
1.必做题：教材习题17.2第3题. 2.选做题：教材习题17.2第7题.
----------------------------- 谢谢 ------------------------
命题2 正确吗？
二、探究新知
动手做一做！
△ABC，其中a=3，b=4，c=5. △ABC是直角
三角形吗？我们如何证明呢？
A
A
′
54
4
B3 C
B′
C′
3
假如△ABC与画的直角三角形A′B′C′完全
重合（全等）的话，能不能说明△ABC是直角三角
形呢方？法一：剪一剪
方法二：用推理证明的方法来论证两三角形是全等的.
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时
一、情境引入
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边 长为c，那么a2+b2=c2.
B
△ABC中，∠C为直角.
ac
BC2+AC2=AB2
Cb
A
即 a2+b2=c2
一、情境引入
猜想：命题2 如果一个三角形的三边长a， b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
问题： 原命题成立，逆命题一定成立吗？你能举出一 些相关的例子吗？
原命题成立的，它的逆命题也可能不成立，如 命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相 等，那么这两个是对顶角”不成立.
应用新知
例 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直 角三角形.
a=15，b=8，c=17； a=13，b=14，c=15.
五、作业设计
1.必做题：教材习题17.2第3题. 2.选做题：教材习题17.2第7题.
人教版八年级下勾股定理的逆定理课件(共10张PPT)
• 且CF＝ CD． • 求证：△1AEF是直角三角形
4
你能说出这节课的心得和体会 让大家与你分享吗？
锐角三角形
B.
例2某港口位于东西方向的海岸线上.
且CF＝ CD．
钝角三角形
D.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足
，那么这个三角形是直角三角形。
1.三角形三边长a、b、c满足条件 (ab)2c22ab
则此三角形是（ ）B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC
都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个
零件符合要求吗？
C
C
13
D AB
D
12
符合要求
45
A3 B
5、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。
5、如图，有一块地，已知，AD=4m，
如果把其中一个叫做 , 求证：△AEF是直角三角形
则此三角形是（ ）
原命题
那么另一个叫做它的逆命
题. AC2＝AD2＋CD2＝42＋32
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
互逆定理: 三角形三边长a、b、c满足条件
Q E
• 练一练
• 问题1：A、B、C三地两两距离如下图所示
，A地在B地的正东方向，C地在B地的什
么方向? AC2＝AD2＋CD2＝42＋32
锐角三角形
4
你能说出这节课的心得和体会 让大家与你分享吗？
锐角三角形
B.
例2某港口位于东西方向的海岸线上.
且CF＝ CD．
钝角三角形
D.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足
，那么这个三角形是直角三角形。
1.三角形三边长a、b、c满足条件 (ab)2c22ab
则此三角形是（ ）B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC
都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个
零件符合要求吗？
C
C
13
D AB
D
12
符合要求
45
A3 B
5、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。
5、如图，有一块地，已知，AD=4m，
如果把其中一个叫做 , 求证：△AEF是直角三角形
则此三角形是（ ）
原命题
那么另一个叫做它的逆命
题. AC2＝AD2＋CD2＝42＋32
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
互逆定理: 三角形三边长a、b、c满足条件
Q E
• 练一练
• 问题1：A、B、C三地两两距离如下图所示
，A地在B地的正东方向，C地在B地的什
么方向? AC2＝AD2＋CD2＝42＋32
锐角三角形
人教版八年级下册数学：17.2.2-勾股定理的逆定理课件
过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
∠B=90°
B
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm，
又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点，问电
子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离是多
少厘米？
y
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是
东北方向；
所跳距离是 2 2 厘
米．
O1 x
22 2 2 2
（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
北
Q
30
R S 东 12×1.5=1485° 16×1.5=24 P
港口
解:根据题意画图,如图所示:
N
PQ=16×1.5=24
Q
PR=12×1.5=18
30
S
QR=30 ∵242+182=302,
R
16×1.5=24
12×1.5=18 45°45°
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
3
3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿
新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理
8．(2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
9．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2， NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆 心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案显示
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题 叫做__互__逆___命__题___，如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个叫做它的__逆__命__题____．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它 也是一个定理，称这两个定理互为_逆__定___理__．
3．下列命题的逆命题正确的是( A ) A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.
发现 A＝B2，求整式 B. 解：∵A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n>1 时，n2－1，2n，
(30°，60°，45°)的和的形式； (2)用旋转法将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CP′A 的位置．
解：如图，将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°得△CP′A，则 P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接 PP′. 因为∠PCP′＝90°，所以 PP′2＝22＋22＝8. 又因为 P′A＝1，PA＝3， 所以 PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. 所以 PP′2＋P′A2＝PA2. 所以∠AP′P＝90°. 易知∠CP′P＝45°， 所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.
八年级数学下册(人教版)课件 17.2 第2课时 勾股定理的
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反馈演练 （ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎第三阶 ）
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◆知识导航 ◆典例导学 ◆反馈演练 （ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎练 （ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎第三阶 ）
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原命题成立的，它的逆命题也可能不成立，如 命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个 角相等，那么这两个是对顶角”不成立.
应用新知
例 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直 角三角形.
a=15，b=8，c=17； a=13，b=14，c=15.
解：∵82 +152 =289，
172 =289， ∴a2+b2=c2，
证明：画△ A′B′C′,使A′C′=4，B′C′=3， ∠C′=90°， ∴A′B′=5，
5
B
4
C 3 A′
∴在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， ∴ △ABC≌ △A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°.
即△A
3
二、探索一般性的结论
两条较短直角边的平方和
较长直角边的平方
能过成为直角三角形 三条边长的三个正整数， 称为勾股数.
∴由线段a，b，c组成 的三角形是直角三角形.
三、巩固练习
请举出两对互为逆定理的命题.
四、小结
通过这节课的学习，你有什么收获？你 还有什么困惑？
五、作业设计
1.必做题：教材习题17.2第3题. 2.选做题：教材习题17.2第7题.
勾股定理的逆定理 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形.
古埃及人得到直角的方法 画图（操作）验证 得到猜想
通过证明，得到定理
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，它也是一个定理，称这两个定理“互为逆定 理”. 问题： 原命题成立，逆命题一定成立吗？你能举出一 些相关的例子吗？
3.备选题： （1）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ） A.4,40,41 C.13,84,85 B.7,24,25 D.9,27,31
（2）已知在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25， 则 =90°. （3）如右图，在正方形ABDC中， E是CD的中点，F为BD上一点，且 BF=3FD,求证∠AEF=90°（提示： 连接AF）.
第十七章
勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时
一、情境引入
勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边 长为c，那么a2+b2=c2.
B a C b c
△ABC中，∠C为直角.
BC2+AC2=AB2
A
即 a2+b2=c2
一、情境引入
猜想：命题2 如果一个三角形的三边长a，b， c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题2 正确吗？
二、探究新知
动手做一做！ △ABC，其中a=3，b=4，c=5. △ABC是直角 三角形吗？我们如何证明呢？ A′ A 5 4 4
B′ C′ B 3 C 3 假如△ABC与画的直角三角形A′B′C′完全重合 （全等）的话，能不能说明△ABC是直角三角形呢？ 方法一：剪一剪
方法二：用推理证明的方法来论证两三角形是全等的 . △ABC，其中a=3，b=4，c=5. △ABC是直角三角 A 形吗？我们如何证明呢？
应用新知
例 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直 角三角形.
a=15，b=8，c=17； a=13，b=14，c=15.
解：∵82 +152 =289，
172 =289， ∴a2+b2=c2，
证明：画△ A′B′C′,使A′C′=4，B′C′=3， ∠C′=90°， ∴A′B′=5，
5
B
4
C 3 A′
∴在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， ∴ △ABC≌ △A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°.
即△A
3
二、探索一般性的结论
两条较短直角边的平方和
较长直角边的平方
能过成为直角三角形 三条边长的三个正整数， 称为勾股数.
∴由线段a，b，c组成 的三角形是直角三角形.
三、巩固练习
请举出两对互为逆定理的命题.
四、小结
通过这节课的学习，你有什么收获？你 还有什么困惑？
五、作业设计
1.必做题：教材习题17.2第3题. 2.选做题：教材习题17.2第7题.
勾股定理的逆定理 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形.
古埃及人得到直角的方法 画图（操作）验证 得到猜想
通过证明，得到定理
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，它也是一个定理，称这两个定理“互为逆定 理”. 问题： 原命题成立，逆命题一定成立吗？你能举出一 些相关的例子吗？
3.备选题： （1）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ） A.4,40,41 C.13,84,85 B.7,24,25 D.9,27,31
（2）已知在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25， 则 =90°. （3）如右图，在正方形ABDC中， E是CD的中点，F为BD上一点，且 BF=3FD,求证∠AEF=90°（提示： 连接AF）.
第十七章
勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时
一、情境引入
勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边 长为c，那么a2+b2=c2.
B a C b c
△ABC中，∠C为直角.
BC2+AC2=AB2
A
即 a2+b2=c2
一、情境引入
猜想：命题2 如果一个三角形的三边长a，b， c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题2 正确吗？
二、探究新知
动手做一做！ △ABC，其中a=3，b=4，c=5. △ABC是直角 三角形吗？我们如何证明呢？ A′ A 5 4 4
B′ C′ B 3 C 3 假如△ABC与画的直角三角形A′B′C′完全重合 （全等）的话，能不能说明△ABC是直角三角形呢？ 方法一：剪一剪
方法二：用推理证明的方法来论证两三角形是全等的 . △ABC，其中a=3，b=4，c=5. △ABC是直角三角 A 形吗？我们如何证明呢？