人教版初中数学八年级下册19.2.3
2020-2021学年八年级数学人教版下册 19.2.3一次函数与方程、不等式同步习题练
人教版七年级数学下册2020-2021年第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式同步习题练 一、单选题1．已知一次函数y ＝ax +a +2的图象与y 轴的正半轴相交，且y 随x 的增大而减小，则a 的值可以是（ ） A ．14B ．﹣1C ．﹣2D ．122．已知一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠），x y 、的部分对应值如下表：x … 2-1-0 1 … y…2-4- 6-…当0y >时，x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．4x >-C ．2x >-D ．2x <-3．如图，函数y =ax +4和y =bx 的图象相交于点A ，则不等式bx ≥ax +4的解集为（ ）A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ＜2D ．x ＞24．如图，已知一次函数y ＝x +1和一次函数y ＝ax +3图象交于点P ，点P 的横坐标为1，那么方程y ＝x +1和方程y ＝ax +3的公共解为（ ）A ．13x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．23x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩5．如图，直线1:12AB y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，点B ，直线:CD y x b =+分别与x 轴，y 轴交于点C ，点D ．直线AB 与CD 相交于点P ，已知4ABD S ∆=，则点P 的坐标是（ ）A ．5(3,)2B ．(8,5)C ．(4,3)D ．1(2，5)46．如图，直线y x m =-+与4y nx n =+的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40nx n x m +>-+>的整数解可能是（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．17．如图，直线y kx b =+与y mx n =+分别交x 轴于点(1,0),(4,0)A B -，则不等式()()0kx b mx n ++<的解集为（ ）A ．2x >B ．04x <<C ．14x -<<D ．1x <-或4x >8．已知直线()110y kx k =+<与直线()20y mx m =>的交点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，则关于x 的不等式1kx mx <的解集为（ ） A ．12x >B ．12x <C ．32x >D ．32x <9．如图所示，函数1y x =和21433y x =+的图像相交于()1,1-，()2,2两点，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．12x -<<C ．1x <-或2x >D ．2x >10．如图所示，在平面直角坐标系中，直线124y x =+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，以线段OB 为一条边向右侧作矩形OCDB ，且点D 在直线2y x b =-+上，若矩形OCDB 的面积为20，直线124y x =+与直线2y x b =-+交于点P ．则P 的坐标为（ ）A ．522,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．1731,33⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,8 D ．()4,1211．如图，直线1y x b =+与21y kx =-相交于点P ，点P 的横坐标为1-，则关于x 的不等式1x b kx +>-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D12．已知一次函数y 1＝kx+1（k ＜0）的图象与正比例函数y 2＝mx （m ＞0）的图象交于点（12，12m ），则不等式组113kx mx kx mx +<⎧⎨+>-⎩的解集为（ ）A ．122x << B ．1322x << C ．12x >D ．0＜x ＜2二、填空题13．已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4不等式ax＋b＞0的解集是_____．14．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集是_______．15．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2，其中正确的结论是_____．（只填序号）16．如果方程组1(21)4y xy k x=+⎧⎨=-+⎩无解，那么直线(23) 1y k x=---不经过第_________象限．17．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝ax+b （a 、b 为常数且a≠0）和直线l 2：y ＝mx+n （m 、n 为常数且m≠0）相交于点A ，若点A 的坐标是(4，5)，则关于x 、y 的二元一次方程组y ax by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为_____．三、解答题18．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y ＝∣2x －1∣的图像和性质，并解决问题．（1）根据函数表达式，填空m ＝ ，n ＝ ； x … －2 －1 0 121 2 3 … y…5m1n35…（2）利用（1）中表格画出函数y ＝∣2x －1∣的图像． （3）观察图像，当x 时，y 随x 的增大而减小； （4）利用图像，直接写出不等式∣2x －1∣＜x ＋1的解集．19．已知直线y kx b =+经过点()2,0A -，且平行于直线2y x =-（1）求该函数的关系式；（2）如果直线y kx b =+经过点()3,P m -，求m 的值； （3）求经过P 点的直线13y x n =+与直线y kx b =+和y 轴所围成的三角形的面积． 20．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:5l y kx =+与y 轴交于点A ．直线2:1l y x =-+与直线1l 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）当点B 的纵坐标为2时， ①写出点B 的坐标及k 的值；②求直线1l ，2l 与y 轴所围成的图形的面积；（2）当点B 的横坐标B x 满足31B x --时，求实数k 的取值范围．21．如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． （1）求b 的值；（2）不解关于x，y的方程组1y xy mx n=+⎧⎨=+⎩，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－12x＋32与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．参考答案1．B解：∵一次函数y ＝ax +a +2，y 随x 的增大而减小， ∴a <0，又∵一次函数y ＝ax +a +2的图象与y 轴的正半轴相交， ∴a +2>0， ∴a >-2， ∴-2<a <0， 则a 的值可以是-1． 2．D解： 根据表可以知道函数值y 随x 的增大而减小，当x ＝−2时，y ＝0， ∴y ＞0时，x 的取值范围是x ＜−2． 故选D ． 3．A解：根据函数图象，当x ≥2时，bx ≥ax +4． 故选：A ． 4．B解：把x ＝1时，代入y ＝x +1，得出y ＝2，即两直线的交点坐标P 为（1，2），即x ＝1，y ＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x ，y 的方程组13y x y ax =+⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩ 故选B ． 5．B解：∵直线AB ：y =12x +1分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ， 令0x =，则1y =；令0y =，则2x =-， ∴点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，1）， ∴OA =2，OB =1， ∵S △ABD =12BD •OA =12×BD ×2=4， ∴BD =4，∴OD =BD -OB =4-1=3， ∴点D 的坐标为（0，-3）， ∵点D 在直线y =x +b 上， ∴b =-3，∴直线CD 的解析式为：y =x -3， ∵直线AB 与CD 相交于点P ，联立可得：1123y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得85x y =⎧⎨=⎩，即P 的坐标是(8,5)． 故选：B ． 6．A解：∵直线y ＝−x ＋m 与y ＝nx ＋4n 的交点的横坐标为−2， ∴关于x 的不等式nx ＋4n ＞−x ＋m 的解集为x ＞−2， ∵−x ＋m ＞0 ∴由图象可知，x ＜m 又∵−2＜m ＜0， ∴−2＜x ＜0， ∴整数解可能是−1． 故选：A ． 7．D解： ∵直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝mx ＋n 分别交x 轴于点A （−1，0），B （4，0）， ∴1x <-或4x >时，0kx b +<且0mx n +>或者0kx b +>且0mx n +<， ∴不等式()()0kx b mx n ++<的解集为：1x <-或4x >． 故选：D ．8．A 解：∵k ＜0，∴11y kx =+中1y 随x 的增大而减小， ∵m ＞0，∴2y mx =中2y 随x 的增大而增大， ∵两直线交点坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴当x ＞12时，2y mx =的图像在11y kx =+上方， ∴不等式1kx mx <的解集为为x ＞12，故选A ． 9．C解：∵当x≥0时，y 1＝x ；当x ＜0时，y 1＝−x ， 两直线的交点为（2，2），（−1，1）， ∴由图象可知：当y 1＞y 2时x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞2． 故选C ． 10．A∵直线y 1=2x +4分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴B (0，4)， ∴OB =4，∵矩形OCDB 的面积为20， ∴OB •OC =20， ∴OC =5， ∴D (5，4)，∵D 在直线y 2=﹣x +b 上， ∴4=﹣5+b ， ∴b =9，∴直线y 2=﹣x +9，解924y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得53223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴P (53，223)， 故选：A ．11．A解：当x ＞-1时，x +b ＞kx -1，即不等式x +b ＞kx -1的解集为x ＞-1．故选：A ．12．A解：∵一次函数11y kx =+（k ＜0）的图象过点11,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴11122m k =+， ∴m ＝k+2， ∴不等式组113kx mx kx mx +⎧⎨+-⎩＜＞，即为()()12123kx k x kx k x ⎧++⎪⎨++-⎪⎩＜＞， 解得12＜x ＜2． 故选：A ．13．x ＜1解：由图表可得：当x ＝1时，y ＝0，∴方程ax +b ＝0的解是x ＝1，y 随x 的增大而减小，∴不等式ax +b ＞0的解是：x ＜1，故答案为：x ＜1．14．x≥3如图由图知当x ≥3时，一次函数y=kx+1的图象在y=﹣3x+b 上方，所以kx+1≥﹣3x+b 的解集是x ≥3 ．故答案为：x ≥3 ．15．①④⑤解：∵一次函数y 1=kx +b 的图象经过一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0，故①正确，③错误；∵一次函数y 2=x +a 的图象经过一、三、四象限，∴a ＜0，故②错误；∵一次函数y 1=kx +b 与y 2=x +a 的交点的横坐标为3，∴关于x 的方程kx +b =x +a 的解为x =3，故④正确；由图象可知，当x ＞3时，y 1＜y 2，故⑤正确；故正确的结论是①④⑤．故答案为：①④⑤．16．二解：∵1(21)4y x y k x =+⎧⎨=-+⎩无解， ∴函数1y x =+和(21)4y k x =-+无交点（即平行），∴211k -=，解得1k =，∴1y x =-，k >0，b <0，经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．17．45 xy=⎧⎨=⎩解：由题意及图像可得：关于x、y的二元一次方程组y ax by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为直线l1与直线l2的交点坐标，即45xy=⎧⎨=⎩；故答案为45 xy=⎧⎨=⎩．18．（1）∵函数y＝∣2x－1∣，∴当x＝﹣1时，m＝y＝3,当x＝1时，n＝y＝1，故答案为：3，1；（2）函数图象如图所示；（3）由题（2）图象所示，当x＜12时，y随x的增大而减小；（4）如图所示，先画出y=x＋1的图象，不等式∣2x－1∣＜x＋1的解集即为函数y=x＋1在函数y＝∣2x－1∣的图像上方部分，此时x的取值范围为：0＜x＜219．解：∵y kx b =+与2y x =-平行，∴2k =-，∴2y x b =-+．∵过点(2,0)A -∴()022b =-⨯-+，∴4b =-，∴该函数的关系式：24y x =--．（2）∵24y x =--经过点(3,)P m -∴()234m =-⨯--，∴2m =；（3）令直线24y x =--中0x =时，则4y =-，∴直线24y x =--与y 轴的交点是(0,4)-． 令直线13y x n =+中2y =，3x =-，可得：12(3)3n =⨯-+， ∴3n =，∴直线13y x n =+表达式为直线133y x =+∴直线13y x n =+与y 轴的交点坐标为(0,3)， ∴所围成的三角形的面积1217322=⨯⨯=． 20．解：（1）①直线2:1l y x =-+过点B ，点B 的纵坐标为2，12x ∴-+=，解得1x =-，∴点B 的坐标为(1,2)-．直线1:5l y kx =+过点B ，25k ∴=-+，解得3k =；②3k =，∴直线1l 的解析式为：35y x =+，(0,5)A ∴．直线2l 的解析式为：1y x =-+，(0,1)C ∴．514AC ∴=-=，又点B 的坐标为(1,2)-∴直线1l ，2l 与y 轴所围成的图形的面积14122ABC S ∆=⨯⨯=；（2）解方程组51y kx y x =+⎧⎨=-+⎩， 两直线相交，不平行，则1,k ≠-∴ 4151x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，∴点B 的坐标为4(1k -+，5)1k k ++． 点B 的横坐标B x 满足31B x --，∴当3B x =-时，431k -=-+，解得13k =， 经检验：13k =符合题意， 当1B x =-时，411k -=-+，解得3k =， 经检验：3k =符合题意，∴实数k 的取值范围是133k ． 21． 解：（1）把P (1，b )代入y ＝x ＋1中得b ＝2．（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P 的坐标，即解为：12x y =⎧⎨=⎩ （3）∵l 2：y ＝mx ＋n 经过P (1，2)，∴m ＋n ＝2，把P (1，2)代入y ＝nx ＋m ，得m ＋n ＝2，故y ＝nx ＋m 也经过P 点．（4）x +1≥mx +n 的解集可理解为直线l 1：y ＝x ＋1的图像在直线l 2：y ＝mx ＋n 的图像上方部分，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，2)观察图像可得：x ≥1． 22．（1）∵直线y ＝－12x ＋32与y ＝x 相交于点A ， ∴联立得1322y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩， ∴点A （1，1），∵直线y ＝－12x ＋32与x 轴交于点B ，∴令y＝0，得－12x＋32＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（－2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，－1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝322，∴D（－322，－322），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝322，∴D（322，322），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝32，AE＝32，∴D（32，32）．综上所述，在直线OA上，存在点D（－2，－2），D（2，2），D（3，3）或D（32，32），使得△DOB是等腰三角形．。
人教版八年级数学下册-19.2.3 一次函数与方程、不等式(教案)
19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
八年级数学下册(人教版)课件：第19章2.3第二课时
的解是
.
3.方程组
则一次函数y
＝x－a与y＝2x－b的图象的交点坐标是 (－1，－4) .
4. (3分)如图KT19－2－4，已知函数y＝ax＋b和y＝kx
的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一
次方程组
的解是( C )
5. (3分)如图KT19－2－5，已知函数y＝ax＋b和y＝kx 的图象交于点P，则二元一次方程组
的解是( B )
7. (6分)(1)利用一次函数的图象解二元一次方程组
(2)求图KT19－2－6中 两条直线与x轴所围成 的三角形的面积.
解：(1)画出直线y＝－x＋4和y＝2x＋1，如答图19－2 －8.
两直线的交点坐标为(1,3)，所以方程组
的解为
(2)如图，A
，B(4,0)，
所以两条直线与x轴所围成的三角形的面积为
8. (6分)如图KT19－2－7，在平面直角坐标系中，一 次函数y＝－ x＋2的图象分别交x，y轴于点A，B， 与一次函数y＝－2x的图象交于第二象限内的点C.
①方程组
的解为
；
②点A的坐标为 (4,0) ，点B的坐标为 (0,2) ；
③观察一次函数y＝－ x＋2的图象：当x ＜4 时，
y＞0.
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
第二课时 一次函数与二元一次方程（组）
新知 1 一次函数与二元一次方程组
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个 一次函数，也就是对应着两条直线，从“数”的角度 看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值 相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度考 虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以 一次函数及其图象与二元一次方程组有着密切的联系.
一次函数的概念(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)
人教版初中数学八年级下册19.2.3一次函数的概念分层作业夯实基础篇一、单选题：1．有下列函数：①πy x ，②21y x ；③1y x④223226y x x x ；⑤13y x x；⑥21y x ，其中是一次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据一次函数的定义逐项分析判断即可即可求解．【详解】解：因为一次函数的一般形式为(y kx b 其中k ，b 是常数且0k )，所以①②④是一次函数，③⑤⑥自变量的次数不为1，不是一次函数，故选B ．【点睛】本题考查一次函数的概念，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的概念．一次函数y kx b 中k 、b 为常数，0k ，自变量次数为1．2．若 211my m x 是关于x 的一次函数，则m 的值为（）A ．1B ．1C ．1D ．2【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．3．若y −2与x +3成正比例，且当x =0时，y =5，则当x =1时，y 等于（）A ．1B ．6C ．4D ．3【答案】B【分析】根据y -2与x +3成正比，设出解析式，将x =0时，y =5代入计算即可确定出解析式，再计算当x =1时，y 的值即可．【详解】解：根据题意设y -2=k （x +3），将x =0时，y =5代入得：5-2=k （0+3），解得：k =1，∴解析式为y -2=x +3，即y =x +5，∴当x =1时，y =1+5=6，故选：B ．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．已知点(2,)P m 在一次函数32y mx m 的图像上，则m 的值为（）A ．2B ．1C ．1D ．2【答案】C【分析】将点(2,)P m 的坐标代入一次函数32y mx m 中，转化为解关于字母m 的一元一次方程，即可解题．【详解】把点(2,)P m 的坐标代入一次函数32y mx m 中，得232=m m m 220m1m 故选：C ．【点睛】本题考查点在一次函数图像上，涉及解一元一次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．已知函数关系式21y x ，当自变量x 增加1时，函数值（）A ．增加2B ．减少2C ．增加3D ．减少3【答案】B【分析】本题中可令x 分别等于a ，1a ，求出相应的函数值，再求差即可解决问题．【详解】解：令x a ，则21y a ；令1x a ，则 21123y a a ，∵ 21232a a ∴当自变量x 增加1时，函数值减少2，故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数，解决本题的关键是理解自变量x 和因变量之间的关系，确定函数值．6．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ． 1203004S t tB ． 3004S t tC ． 120300S t tD ．304S t t 【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．【详解】解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t ，∵120304 ，∴自变量t 的取值范围是04t ，故选：A ．【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．二、填空题：7．函数y kx b （k ，b 都是常数，且0k ）叫做__________，当0b 时，函数y kx （k 是常数，0k ）叫做__________，常数k 叫做__________．【答案】一次函数正比例函数比例系数【分析】直接根据一次函数和正比例函数的定义作答即可．【详解】函数y kx b （k ，b 都是常数，且0k ）叫做一次函数，当0b 时，函数y kx （k 是常数，0k ）叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数．【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．8．下列函数：①y kx ；②23y x；③2(1)y x x x ；④21y x ；⑤22y x ．其中一定是一次函数的有____________．（只是填写序号）⑤y ＝22−x 是一次函数．故答案为：②③⑤．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y ＝kx ＋b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．9．将二元一次方程23x y 化为一次函数y kx b 的形式______．【答案】23y x 【分析】直接移项变形即可．【详解】解：23x y 移项得：23y x 故答案为：23y x 【点睛】本题考查了二元一次方程与一次函数的转换；运用等式的性质变形即可．10．函数 212n y m x m n ，当m __，n __时为正比例函数；当m __，n __时为一次函数．【答案】2【分析】根据一次函数的定义解题，若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y kx b （k 、b 为常数，0k ）的形式，则称y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量．当0b 时，则 0y kx k 称y 是x 的正比例函数，即可求解．【详解】解：当211n ，0m n 且20m 时，该函数为正比例函数解得∶0,0n m ；∵函数 212n y m xm n 为一次函数∴211n ，且20m ，解得：2,0m n ．故答案为：0、0、2 、0．【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．11．在画一次函数y kx b 的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为____12．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨，水位高度y （m ）与时间t （h ）之间的函数关系式为0.3305y t t ，每小时水位上升的高度是______m ．【答案】0.3【分析】分别求出当1t 和2t 时对应函数值，即可求解．【详解】解：根据题意得：当1t 时，0.33 3.3y ，当2t 时，0.323 3.6y ，∴每小时水位上升的高度是3.6 3.30.3 m ．故答案为：0.3【点睛】本题主要考查了求函数值，根据题意得到当1t 和2t 时对应函数值是解题的关键．三、解答题：13．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常数项b 的值各是多少？2πC r ，22003y x，200t v ，2(3)y x ，(50)s x x ．14．设函数 332my m xm ．(1)当m 为何值时，它是一次函数；(2)当m 为何值时，它是正比例函数．【答案】(1)当2m 或2 ，它是一次函数(2)当2m ，它是正比例函数【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m 的方程进行求解即可；15．220b ，则函数 2312a y b xab b 是什么函数？当x 2时，函数值y 是多少？16．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．（1）长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数关系式；（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的函数关系式；（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的函数关系式；（4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x 之间的函数关系式．17．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=x cm，BC=y cm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x 的取值范围．能力提升篇一、单选题：1．若点 1,2M 关于y 轴的对称点在一次函数 32y k x k 的图象上，则k 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．37【答案】A【分析】依题意，点(1,2)M 关于y 轴的对称点为12()1,M ，然后将点1M 带入一次函数解析式即可；【详解】由题知，点关于y 轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得：对称点12()1,M 将点12()1,M 代入一次函数(32)y k x k ，即为2(32)(1)k k ，可得：2k ；故选：A【点睛】本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质，难点在熟悉二者的衔接；2．下列函数关系不是一次函数的是（）A ．汽车以120/km h 的速度匀速行驶，行驶路程()y km 与时间t(h)之间的关系B ．等腰三角形顶角y 与底角x 间的关系C ．高为4cm 的圆锥体积3()y cm 与底面半径()x cm 的关系D ．一棵树现在高50cm ，每月长高3cm ，x 个月后这棵树的高度()y cm 与生长月数x （月）之间的关系二、填空题：3．下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系；②圆的面积y （2cm ）与它的半径x （cm ）之间的关系；③一棵树现在高50cm ，每个月长高2cm ，x 个月后这棵树的高度为y （cm ）；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y （元）与购买大米x （千克）之间的关系．其中y 是x 的一次函数的是___（填序号）．【答案】①③④【分析】根据题意列出表达式，再根据一次函数的定义进行解答．【详解】解：根据题意列出函数表达式：①y＝60x；②y＝πx2；③y＝2x＋50；④y＝2.2x；符合一次函数定义的有①③④，故答案为①③④．【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．4．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值2，则输出的y值为________．【答案】0【分析】根据x的取值范围，判断选择哪种计算方式即可．【详解】解：∵x＝2，∴满足1＜x≤2，∴把x＝2代入y＝﹣x+2中，得y＝﹣2+2＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查一次函数已知自变量x，求函数值，判断自变量取值范围是本题解题的关键．5．某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x （3x ）千米，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系为______．【答案】y =1.1x +2.7【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的费用即可得出．【详解】解：依据题意得：y =6+1.1（x -3）=1.1x +2.7，故答案为：y =1.1x +2.7．【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到数量关系是本题关键．6．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ☆b ＝ ()a b a b a a b b，那么函数y ＝2☆x ，当y ＝5时，则x 的值为_______．三、解答题：7．“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x 人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．(1)写出家政服务公司每天的收入y （元）与x （人）之间的函数关系式：(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．【答案】(1)204800016y x x (2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间【分析】（1）设派x 人去清扫大房间，则(16)x 人清扫小房间，根据题意列出y （元）与x （人）之间的函数关系式即可；（2）把5000y ，代入204800y x 求解即可．【详解】（1）有x 人清扫大房间，则有16x 人清扫小房间∴80460516204800016y x x x x （2）2048005000x 解得：10x ，166x 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间．【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x 的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点．。
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积(教案)
举例：在求解一个三角形面积的问题时，首先要根据已知条件列出一次函数表达式，然后运用面积公式进行计算。如，给定三角形的一边长为x，这边上的高为kx+b，要求解该三角形的面积。
2.教学难点
-理解一次函数与三角形底边、高的关系：学生需要理解一次函数在三角形中的应用，如何表示底边与高的关系。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与三角形面积的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积：
1.理解一次函数与三角形面积的关系；
2.掌握利用一次函数求解三角形面积的方法；
3.应用一次函数与三角形面积的关系解决实际问题。
具体内容包括：
-利用一次函数表示三角形底边与高的关系；
-函数值与实际意义的对应：在应用一次函数求解三角形面积时，学生需要明白函数值在几何图形中代表的实际意义。
-实际问题的转化：将实际问题抽象成数学模型，特别是涉及一次函数与三角形面积结合的问题。
举例1：在三角形面积问题中，学生可能会对一次函数的斜率k和截距b在几何图形中代表的意义感到困惑。教师需要通过具体实例解释，如斜率k表示高的变化率，截距b表示高在y轴上的起点。
人教初中数学八下 19.2.3《一次函数与方程、不等式》一次函数与一元一次不等式课件 【经典初中数学
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
例题讲解
1、计算: (1 )1x 69x (2 ) 8 045 解：(1) 16x 9x (2) 80 45
4 x3 x (43) x
4 53 5 (43) 5
7 x
5
探究
2、计算:
(1)2 81 181 32
18a , 28, x2 4, 5x4 y ,
×× √
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
√
×√
×
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外 面的正方形边长为 cm，里2 面2的正方形的边 长为 cm，两个正方形2 的周长和为多少？
22
两个正方形的周长和为：
2
4(2 2 2)
8 24 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周长 和为多少？
1.求Y1和Y2与X的函数关系式
2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省＝8x,Y2=4x+120
y
(2)由图象可知，当x=30 时，两家一样， Y=4x+120
当X>30时，照相馆省钱，
当X<30时，学校自己省钱.
0 30
x
24
25
教学反思：
5 63 2
3
4
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
( 2 ) 72 18 3 2 2
人教版八年级下册19.2.3一次函数和方程和不等式的关系(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数、方程和不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
(3)针对实际问题的抽象，教师需要引导学生关注问题中的数量关系，如“速度与时间的关系”，并指导学生将其转化为一次函数模型。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“一次函数和方程和不等式的关系”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数之间的关系的问题？”（例如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数、方程和不等式的奥秘。
(2)通过绘制一次函数图像，让学生观察并理解不等式kx+b>0或kx+b<0的解集与图像的关联。
(3)结合实际例题，如“某商品的售价与成本之间的关系”，让学生学会建立一次函数模型，并求解相关问题。
2.教学难点
-掌握一次函数图像与一元一次方程、不等式之间的转换关系，特别是不同情况下的图像特征。
-理解在图像上如何判断方程的根以及不等式的解集，尤其是在k、b取值不同的情况下。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一次函数与一元一次方程之间的关系，能够运用一次函数图像求解方程。
-学会利用一次函数图像解一元一次不等ห้องสมุดไป่ตู้，并能解释图像与不等式解集的关系。
人教版八年级数学下册 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 (共26张PPT)
（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.
19.2.3 一次函数与方程、不等式 人教版八年级数学下册课时练习(含答案)
19.2.3一次函数与方程、不等式1.如图，直线y=ax＋b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax＋b=0的解是( )A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-32.下列图象中，以方程-2x+y-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )3.一次函数y=kx＋b的图像如图所示，则方程kx＋b=0的解为( ).A.x=2B.y=2C.x=－1D.y=－14.如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(﹣2，0)、B(0，3)两点，则不等式kx+b＞0的解集是( )A.x＞﹣2B.x＞3C.x＜﹣2D.x＜35.如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（）A.﹣1≤k＜0B.1≤k≤3C.k≥1D.k≥36.如图，直线y=kx+b经过点A(3，1)和点B(6，0)，则不等式0＜kx+b＜1解集为( )A.x＜0B.0＜x＜3C.x＞6D.3＜x＜67.如图，是在同一坐标系内作出的一次函数l1.l2的图象，设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则方程组的解是（）A. B. C. D.8.当自变量x_______时，函数y=5x＋4的值大于0；当x_______时，函数的值小于0.9.如图，已知函数y=x＋b和y=ax＋3图像交点为P，则不等式x＋b>ax＋3解集为_____.10.已知点A（0，m）和点B（1，n）都在函数y=﹣3x+b的图象上，则m n．（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）11.已知两条直线y=kx－2和y=2x＋b相交于点（－2，4），则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积为_______.12.如图，平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A坐标为（6，0），C点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分▱OABC的周长，则m的值为．13.某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式为y乙=kx.(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600 m2，那么公园选择哪个工程队施工更合算？14.已知一次函数y=-2x+4，完成下列问题：(1)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标；(2)画出此函数的图像；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是；(3)平移一次函数y=-2x+4的图像后经过点(-3，1)，求平移后的函数表达式.15.如图，直线l1：y=x＋1与直线l2：y=mx＋n相交于点P(1，b).(1)求b的值；(2)不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；(3)直线l3：y=nx＋m是否也经过点P？请说明理由.参考答案1.D2.B3.C4.A.5.C6.D7.B8.答案为：＞－0.8，＜－0.89.答案为：x>110.答案为：＞．11.答案为：1012.答案为：﹣0.25．13.解：(1)y甲=(2)当k>45时，选择甲工程队更合算；当0<k<45时，选择乙工程队更合算；当k=45时，选择两个工程队的花费一样.14.解：(1)当x=0时y=4，∴函数y=-2x+4的图像与y轴的交点坐标为(0，4)；当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2，∴函数y=-2x+4的图像与x轴的交点坐标(2，0).(2)图像略；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是0≤x≤2.(3)设平移后的函数表达式为y=-2x+b，将(-3，1)代入得：b+6=1，∴b=-5，∴y=-2x-5.答：平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5.15.解：(1)2 (2)x=1，y=2; (3)经过点P。
人教初中数学八下 19.2.3 一次函数与方程、不等式课件2 【经典初中数学课件汇编】
要 学 习 好 探只 索有 一 条 路
二次根式的加减
复习回顾
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a a
b
b
a b
a
b （a≥0，b＞0）
最简二次根式。
复习回顾
下列根式中，哪些是最简二次根式？
18a , 28, x2 4, 5x4 y ,
×× √
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
解为χ= −3．
3
-3
直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为 （_-3_,_0_ ），这说明方程χ＋3＝0的 解是x=_-3_）
0
x
从“形”上 看
五、强化训练：
4、已知直线 y2x4与 x轴交于点A，
与 轴y交于点B，求△AOB的面积.
解：由已知可得： 当χ=0时，y=4，即：B（0，4） 当y=0时，χ=2，即：A（2，0） 则S △AOห้องสมุดไป่ตู้=0.5 x OA x OB =0.5 x 2 x 4 =4
解：由题意可得： 当直线y=3χ+ 6与χ轴相交时，y=0 则3χ+ 6=0, 解得：χ= -2, 当χ= -2 时， 2 x (-2) + a =0 解得：a = 4
小组交流需要答成共识,然后由小组 中心发言人代表本组展示交流成果
从“数”上看，“解方程ax+b=0(a，b 为常数， a≠0)”与“求自变量 x 为何值时， 一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从 图象上看呢？
√
×√
×
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外 面的正方形边长为 cm，里2 面2的正方形的边 长为 cm，两个正方形2 的周长和为多少？
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2.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x= .
答案 2 解析 由一次函数与一元一次方程的关系可知一次函数图象与x轴交 点的横坐标即为一元一次方程的解,即x=2.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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知识点二 一次函数与一元一次不等式 3.(2017湖南湘潭中考)一次函数y=ax+b的图象如图19-2-3-1所示,则不等 式ax+b≥0的解集是 ( )
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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解析 由图象可知,当x>1时,函数y1=x+b的图象在y2=kx+4的图象的上方, ∴关于x的不等式x+b>kx+4的解集为x>1.故选C. 答案 C 解题归纳 本题考查了利用一次函数的图象解不等式,解答本题也可以 利用待定系数法求出两函数解析式,再解不等式.
程可以转化为ax+b=0(a,b为 ⇔函数y=ax+b(a≠0)中, ⇔函数y=ax+b(a≠0)的
实数,a≠0)的形式,所以解一 y=0时对应的x的值
图象与x轴交点的横坐
元一次方程可以转化为求
标
某个一次函数的函数值为0
时的自变量的值
利用一次函数的图 象解一元一次方程 的步骤
(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数. (2)画图象:画出一次函数的图象. (3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解
一次不等式
次不等式可以看作:当一次函数的函数值大于0(或小于0)时,求自变量x的取值范围,
也可以把一次函数y=ax+b的图象在x轴上方(或下方)的点所对应的x的取值集合看
作不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集
举例
如图是一次函数y=-2x-2的图象,从图中可以看出,当x<-1时,函数值大于0,所以不等 式-2x-2>0的解集是x<-1;同理,不等式-2x-2<0的解集是x>-1
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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初中数学（人教版）
八年级 下册
第十九章 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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知识点一 一次函数与一元一次方程
内容
叙述
从“数”上看
从“形”上看
一次函数与一元一 次方程的关系
由于任何一个一元一次方 方程ax+b=0(a≠0)的解 方程ax+b=0(a≠0)的解
1.二元一次方程⇔一次函数⇔一条直线;
自变量的值及函数值⇔两条直线的交点坐标
2.二元一次方程的解⇔一次函数两变量的对应值⇔直
线上点的坐标
知 识 详 解
温馨 提示
1.两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系: (1)两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一个解; (2)两条直线无交点(平行)⇔方程组无解; (3)两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数个解. 2.用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤: (1)转函数:把两个方程转化为两个一次函数的形式; (2)画图象:在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象; (3)找交点:根据交点坐标写出方程组的解
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当x>-1时,y>0;当x=-1时,y=0;当x<-1时,y<0. (2)由图象可知当-3<x<0时,-4<y<2. (3)由图象可知当-2≤y≤2时,-2≤x≤0. 方法点拨 在(1)中利用图象解方程或不等式时,关键是确定图象与x轴 的交点坐标,实际解题时可能会有误差,应注意先通过观察得出坐标的 近似值,再代入方程验证后方可确认.
3, 满足2x-y=7,3x+y=8,
1
故方程组
2x 3x
y y
7, 8
的解为
x y
3, 1.
图19-2-3-4
温馨提示 由于所画图象有误差,所以用图象法求出的方程组的解多数
情况下是近似解,可以通过检验知道它是否正确,这种解法很直观,对理
解数形结合思想很有帮助.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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解析 由2x-y=7,得y=2x-7;
由3x+y=8,得y=-3x+8.
在同一直角坐标系内作出函数y=2x-7的图象l1和y=-3x+8的图象l2,如图1 9-2-3-4所示,
由图象知l1与l2的交点坐标为P(3,-1).
经检验
x y
,则方程组
4x
x
y
y 1
7, 的解为
.
答案
x 2
(2,-1);
y
1
解析 在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图
所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=
1,故方程组
4 x
19.2.3 一次函数与方程、不等式
例1 画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解.
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分析 画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1= 0的解,也就是1-2x=0的解. 解析 如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为
k b 4, k b 0,
解得
k b
2, 2.
所以该一次函数的解析式为y=2x+2.
一次函数y=2x+2的图象如图19-2-3-6所示.
图19-2-3-6 (1)由图象可知,直线y=2x+2与x轴交于点(-1,0),
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式
栏目索引ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点一 一次函数与一元一次方程 1.直线y=3x+9与x轴的交点坐标是 ( ) A.(0,-3) B.(-3,0) C.(0,3) D.(3,0)
答案 B 当y=0时,3x+9=0,解得x=-3.故直线与x轴的交点坐标为(-3,0).
19.2.3 一次函数与方程、不等式
x y y 1
7,
的解为
x y
2, 1.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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如图,两直线l1,l2的交点坐标(2,2)可以看作关于x,y的方程组的解,求这 个方程组.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
解析 由题图知,直线l1经过点(0,6)和点(2,2),
分析 首先用待定系数法求出一次函数的解析式,然后在平面直角坐标 系中描出A(1,4),B(-1,0)两点,过这两点画直线,再结合图象,解答各问题.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
解析 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 把点A(1,4),B(-1,0)分别代入y=kx+b中,
得
图19-2-3-2
解析 因为直线呈下降趋势,点A的坐标为(2,3),所以求当y<3时x的取值 范围,即求直线上纵坐标小于3的点所对应的横坐标的取值集合,从图象 上可以看出x的取值范围为x>2.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
知识点三 一次函数与二元一次方程(组)的关系
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5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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题型一 利用函数图象解不等式 例1 (2015山东济南中考)如图19-2-3-5所示,一次函数y1=x+b与一次函 数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是 ()
A.x>-2 B.x>0
图19-2-3-5 C.x>1 D.x<1
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
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解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象
(如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.
图19-2-3-3
当x>-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点 的上方,此时3x+2>2x-1,故不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3. 温馨提示 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直 线上点的位置的高低.
12 ,0,
图19-2-3-1
∴方程2x-1=0的解为x= 1 ,即方程1-2x=0的解为x=1 .
2
2
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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知识点二 一次函数与一元一次不等式
一次函数与一元 将一元一次不等式转化为ax+b>0(或ax+b<0)(a、b为常数,a≠0)的形式,则解一元一
19.2.3 一次函数与方程、不等式
题型三 解与不等式有关的问题
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例3 (2015贵州六盘水中考)联通公司手机话费有A套餐(月租费15元,
通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A
套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.
(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式;
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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题型二 一次函数图象与方程、不等式的综合应用 例2 已知一次函数的图象过点A(1,4),B(-1,0),求该一次函数的解析式 并画出它的图象,再利用图象求: (1)当x为何值时,y>0,y=0,y<0; (2)当-3<x<0时,y的取值范围; (3)当-2≤y≤2时,x的取值范围.