测树学第七章

4.1.4 方程的拟合

所谓曲线拟合，即根据样本资料，i=1,2,…,n.对 方 程中参数r、m、k 进行抽样估计，确定r、m、 k 的值。
A, m, r 0
A y rt 1 me
43.9055 y (t ) 1＋47.1800 e 0.039ห้องสมุดไป่ตู้t
4.2 单分子式(Mitscherlich)
y0
4.1.3 方程的适用性

逻辑斯蒂曲线是具有初始值的典型的对称型“S” 形生长曲线。 但是，该方程拐点在y最大值的一半（A/2）处， 方程的生长率随其大小呈线性下降，这些性质比 较适合于生物种群增长，但对树木生长却不合适。 一些研究均表明，用Logistic方程比较适合于描 述慢生树种的树木生长，而对生长较快的其他树 种其精度较低。
Vt t
2.4 定期平均生长量(θn )

树木在一定间隔期[t-n，t]内的平均生长速度，
即定期生长量Zn，被定期的年数n除之商。
Vt Vt n n n
2.5 连年生长量(Z)

树木在单位时间的生长速度，即树木在一年间的
生长量。
Z Vt Vt 1

生产中常用定期（n=5或者10年）平均生长量来代 替连年生长量。

生长量是时间（t）的函数，以年为时间的单位。如：
红松在150年和160年时测定树高（h）分别为：
20.9m 和22.0m，则10年间树高生长量为1.1m。

影响树木生长的因子：树种的生物学特性、树木的 年龄、环境条件和人为经营措施等。
2 树木生长量的种类
2.1 总生长量

树木自种植开始至调查时整个期间累积生长的总 量。它是树木的最基本生长量，其它种类的生长
3 树木生长的特点

树木生长是依靠细胞的增殖不断地扩大它 的直径、树高、材积等，由于细胞增殖的 不可逆性，决定了树木的生长是一个“纯 生型”的生长过程。
在树木幼年阶段，生长缓慢；
在树木中年阶段，生长旺盛； 在树木近、成熟阶段，生长趋于停止
第2节 树木生长方程
1 树木生长方程的基本概念

树木的生长方程：是指描述某树种(组)各调查因 子总生长量y(t)随年龄(t)生长变化规律的数学模 型。 由于树木生长受立地条件、气候条件、人为经营 措施等多种因子的影响，因而同一树种的单株树 木生长过程往往不尽相同。这样的生长方程有无 穷多条。
森林计测学
Forest Mensuration
第7章 生长概论
树木生长量 树木生长方程 平均生长量与连年生长量的关系 树木生长率 林分生长的概念及林分生长量的种类

第一节 树木生长量
1 树木生长量的定义

一定间隔期内树木各种调查因子(D,H,V)所发生的变 化称为生长，变化的量称为生长量。
be
rt


y Ae
A, b, r 0
A-树木生长的最大值参数，A=ymax； b-与初始值有关的参数；
r-内禀增长率（最大生长速率）参数。
方程适用性 该方程存在拐点，约位于最大值三分之一处(A/e)， Gompertz方程是具有初始值的典型“S”形生长曲线。

许多研究者发现，Gompertz方程在生物学工作中适 用性较大，同样也比较适合于描述树木生长，但其 精度不及Richards方程和Korf方程。
4.4 考尔夫(Korf,1939)方程

由前捷克斯洛伐克的林业工作者Korf提出，瑞典林学家 Lundqvist(1957)成功地利用该方程建立了欧洲赤松和挪威 云杉人工林的树高生长模型。 后来许多学者相继用Korf方程描述过树高及胸径生长，效 果很好。其方程形式为：

y Ae
b、c—方程参数。
dZ (t ) d y (t ) 2 dt dt

2
若令 ，由上式可解出连年生长量达 到极大值时的年龄(tZmax )和极大值Zmax。
dZ (t ) 0 dt
2 平均生长量函数

平均生长量函数θ(t)是说明树木在某一时刻(t) 的平均生长速度，即总平均生长量是树木年龄t的 函数。其方程为：
dy 1 yr (1 y ) 0 dt A

曲线存在一个拐点，令：
d2y y 2 y r 2 y1 1 0 2 A dt A
A
解得其拐点坐标：
Ar ln m A dy tI , yI 4 r 2 dt max
c 1 1 m
方程适用性 在林学方面，描述树木及林分生长过程时，理查 德方程是近代应用最为广泛、适应性较强的一类 生长曲线方程

从理论上可以证明单分子方程、Gompertz方程和 Logistic方程均是理查德方程m=0，m→1，m>1时 的一些特例，且包括这些方程中间变化型在内的 一般函数。 因此，Richards方程通过引入参数m而使方程对树 木生长具有广泛的适应能力。
y (t ) (t ) t

即总生长过程曲线方程y(t)被年龄t除，所得到的 平均生长量依年龄变化的曲线方程。 通过求θ(t)一阶导数 ，并令其等于0，可 求得平均生长量达到极大值时的年龄(tθ max )和 极大值θmax 。
d (t ) dt

平均生长量的主要用途： (1)可根据同一生长期平均生长量的大小来比较不同 树种在同一条件下生长的快慢或同一树种在不同 条件下生长的快慢。

（1）逻辑斯蒂(Logistic)方程
（2）单分子(Mitscherlich) 式
（3）坎派兹(Gompertz,1825)方程 （4）考尔夫(Korf,1939)方程 （5）理查德(Richards, 1959)方程
4.1 逻辑斯蒂(Logistic)方程

Logistic 方程是在Marthus(1798)模型基础上发 展而来。
3 树木生长经验方程
(1)舒马切尔(Schumacher,1939)方程： 或 b b a
y ae
t
y 10
t
(2)柯列尔(Rоляср，1878)方程：
y at e
y
b ct
(3) 豪斯费尔德(Hossfeld,1822)方程：
a (1 bt c )
(4)莱瓦科威克(Levakovic，1935)方程： ，d=1,2 或常数 a y (1 bt d ) c
y A(1 e )
式中：A—树木生长的最大值参数，A=ymax；
rt
r—生长速率参数。r>0
方程适用性

单分子式比较简单，它无拐点，相当于理想的生 长曲线，曲线形状类似于“肩形”，是一种近似 的“S”形。 因此，单分子式不能很好地描述典型的“S”型生 长曲线，比较适合于描述一开始生长较快、无拐 点的阔叶树或针叶树的生长过程。
dt

1 dy r r y y dt A
式中：r—内禀增长率（最大生长速率）； 的下降量。
r y A
—拥挤效应系数，是树木竞争相对生长度
4.1.2 方程的性质

(1)曲线有两条渐近线y＝A和y＝y0，其中A是树木生长的极 限值。

(2) y是关于t的单调递增函数，由阻滞方程(1)式，得树木生 长速度为：
m—与初始值有关的参数； r—内禀增长率（最大生长速率）参数。
4.1.1 方程的导出

设y(t)为树木的生长方程，且令树木单位时间的生长量 (即 1 dy dy 生长速度)为 ，相对生长速度(即生长率)为 。 y dt 由于林分中林木生长的营养空间有限，树木生长过程必然 受到林木竞争的限制，而随着林木大小(y)的增加竞争加剧， 使得树木生长率是关于y(t)的线性递减函数：

Mitscherlich（1919）提出了一个方程用来描述 植物生长对环境因子的反应，也就是在农业和经 济学中为人们所熟知的“收益递减率”和化学中 的“浓度作用定律”。最初所提出的方程形式为：
y A(1 e
a1x1
)(1 e
a2 x2
)

若把时间看成是一个影响植物生长的最重要因子， 则上式变为我们所熟知的Mitscherlich方程：
(5)修正Weibull(杨容启等人，1978)方程： y a(1 e
bt c
)
(6)吉田正男(Yoshida，1928)方程： y
a d c (1 bt )
be ct
d
(7)斯洛波达(Sloboda，1971)方程： y ae (8)其他经验方程： 1)幂函数型： 2)对数型： 3)双曲线型： 4)混合型：
量均可由它派生而来。
t-调查时的树木年龄 n-间隔期的年数 Vt-t年时的树干材积 Vt-n-n年前的树干材积
2.2 定期生长量（Zn）：

树木在定期n年间的生长量为定期生长量。
Z n Vt Vt n
2.3 总平均生长量(θ)

指树木在[0, t]内的平均生长速度，即树木总生 长量Vt被t除之商

H (m)
30
25
20
15
10
5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t (a)
y 30.8127 (1 e
0.026265 t
)
4.3 坎派兹（Gompertz,1825）方程

坎派兹方程最早由Gompertz（1825）用来描述人类年龄分 布、死亡曲线以及在人发生偶然事故时核定其价值的一种 方程。 后来，Wright（1926）将其作为生长方程，他指出“以相 对生长率作为测度的平均生长能力多少以一定的百分率下 降”，依此导出Gompertz方程。 该方程是以个体生长为前提，而不像Logistic方程那样，是 非种群数量的变化规律。