等比数列性质
等比数列性质
等差数列{an}性质: (1)若m+n=2p,则 am+an=2ap (2)若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 一般性：与首末等距离的两项和相等即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2= … … 对于等比数列是否有上述类似的性质呢?
下面看一个具体的等比数列{an}:
30
（9）q 2, a1a2 a3 a4 a28 a29 a30 2 , 求a3 a6 a9 a27 a30
已知正项等比数列an 中,公比q 1 则( ) A. a2 a8 ＞ a4 a6 B. a2 a8 ＜ a4 a6 C. a2 a8 ＝ a4 a6 D. a2 a8 与 a a 的大小不确定
1 , -2 , 4 , -8 , 16 , -32 , 64 , -128 , 256 , -512 ,…
问： （１）a1,a2,a3之间关系如何？ （２）a1,a5,a9之间关系如何？ （３） a1· a9 与a4· a6之间关系如何？
等比数列{an}性质： (1)若m+n=2p,则am· an=ap2 (2)若m+n=p+q,则am· an=ap· aq 一般性：与首末等距离的两项积相等即 a1· an=a2· an-1=a3· an-2= … …
（ 5）a4a7 512, a3 a8 124, q Z , 求a10
在等比数列{ an}中,
(6)a15 10, a45 90.求a60
(7)若a1+a2=2,a3+a4=4,求a9+a10 (８)q=2且 a1 a3
a5 a99 60. 求a1 a2 a3 a100
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比性质知识点总结归纳
等比性质知识点总结归纳一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
即对于数列{a1, a2, a3, ..., an}，若对任意的n≥2，都有an/an-1=an-1/an-2=...=a2/a1=q（q≠0），则称该数列是等比数列，其中q为等比数列的公比。
二、等比数列的性质1.通项公式：对于等比数列{a1, a2, a3, ..., an}，其通项公式为an=a1*q^(n-1)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
2.前n项和公式：等比数列前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
3.角标和公式：等比数列角标和公式为Sn=a1*(1-q)/1-q^(n)（n≥1），其中a1为首项，q为公比。
4.性质1：等比数列的首项、公比、通项、前n项和、角标和满足一定关系。
5.性质2：等比数列的前两项确定了整个数列，即已知首项和公比就可以唯一确定一个等比数列。
6.性质3：等比数列的任意相邻两项的比值都等于公比，即an/an-1=q（n≥2）。
7.性质4：等比数列的任意三项都满足一个比值关系，即an/an-1=an-1/an-2=an/an-2=q^2（n≥3）。
8.性质5：等比数列中，如果公比大于1，则数列是递增的；如果公比小于1且大于-1，则数列是递减的；如果公比小于-1或等于-1，则数列不变号。
9.性质6：等比数列的各项满足乘法法则，即连续三项的乘积等于它们中间一项的平方。
10.性质7：等比数列中，如果公比大于1，则数列无上界；如果公比小于1且大于-1，则数列有上界，上界为a1/(1-q)；如果公比小于-1或等于-1，则数列不收敛。
三、等比数列的计算方法1.已知首项和公比求通项公式：对于等比数列{a1, a2, a3, ..., an}，若已知首项a1和公比q，其通项公式可求得为an=a1*q^(n-1)（n≥1）。
等比数列的性质总结
等比数列性质1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n mnma q a -=或n q =3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','nnn n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
等比数列的性质总结[参考]
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等比数列的性质总结[参考]
等比数列是指一组数字满足每项都乘以同一个正数（不等于1）后得到的一组数的的
一种数列，即a1、a2、…、an，当且仅当存在一个正数q（称为公比），满足每一项之间
的关系：a2=qa1、a3=qa2、…、an=qa(n-1)时，称其为q公比等比数列。
等比数列具有几个重要的性质，如：1.数列和——对于一个等比数列∑an，有
sn=(a1-aq^(n-1))/(1-q)，其中n是生成等比数列的项数，q是数列的公比；2.平方和——对于一个等比数列∑an，有sn=(a12-aq^(2n-2))/(1-q2)，其中n是生成等比数列的项数，q是数列的公比；3.等差的项的和——如果公比q等于1，则该等比数列a1、a2、…、an实际上是一个公差为d=a2-a1=a3-a2=…=an-a(n-1)的等差数列；4.递推公式——给定
一个等比数列a1、a2、…、an，其关系式可由a1和q得出：a(n+1)=qa(n)；5.差分——
给定一个等比数列a1、a2、…、an，有d1=a2-a1，dn=an-a(n-1)，且dn = q(d(n-1))；6.互比数——如果n个数字的比值形成等比数列，则称这些数字为互比数或者互比数列，相
应的，a、b、c、…这些数字构成的等比数列的公比q的逆数就是常用的几何平均数。
此外，等比数列还有几种特殊情况：一是等比数列公比为1，则数列成等差数列；二
是等比数列公比大于1、并且无穷大，也就是q→∞，则该等比数列的所有项都会变成同
一项，即a1=a2=a3=…nan=an(1)=正无穷；三是等比数列公比小于1、并且无穷小，也就
是q→0，则该等比数列的所有项都变成0。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列（geometric progression）是指数列中任意两个相邻项的比等于同一个常数的数列。
在数学中，等比数列具有一些独特的性质和应用，本文将介绍这些性质以及如何应用等比数列解决一些实际问题。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比例都相等。
具体而言，如果一个数列满足对于任意的正整数 n，都有 an/an-1 = r (r ≠ 0)，其中an 表示数列的第 n 项，an-1 表示数列的前一项，r 表示公比，则该数列可以被称为等比数列。
二、等比数列的性质1. 公比的性质等比数列的公比 r 是决定数列特征的重要因素。
当 r 大于 1 时，数列呈现递增的趋势；当 0 < r < 1 时，数列呈现递减的趋势；当 r 等于 1 时，数列的各项相等；当 r 小于 0 时，数列的各项交替变号。
2. 通项公式对于等比数列的通项公式，即 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示数列的首项，an 表示数列的第 n 项。
3. 等比数列的和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) 求得。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，特别是在金融、工程、物理等领域中。
以下将介绍一些等比数列的典型应用。
1. 财务投资在财务投资中，利率往往以等比数列的形式递增或递减。
通过计算等比数列的前 n 项和，可以帮助投资者评估不同时间段内的资金增长情况，从而做出更明智的决策。
2. 网络传输等比数列在网络传输中的应用非常广泛。
例如，下载文件时，下载速度可能以等比数列递增或递减；发送数据包时，包的大小可能以等比数列的形式递增或递减。
3. 器械运动许多器械运动（如弹簧）的行为都可以通过等比数列来描述。
器械的某些性质随着使用次数的增加而发生变化，这种变化往往符合等比数列的规律。
4. 科学实验在科学实验中，等比数列被广泛用于模拟实验数据。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结引言在数学中，数列是由一系列有序的数字按一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将重点总结等比数列的性质公式。
等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项（除首项外）都与它前一项成等比关系的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么该数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)，其中an为第n项。
性质公式一：第n项公式等比数列的第n项公式可通过通项公式进行推导。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项an可表示为：an = a * r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比和首项的情况下，快速计算出任意一项的值。
性质公式二：前n项和公式等比数列的前n项和公式可以帮助我们计算等比数列前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n项的和Sn可表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)性质公式三：通项公式与首项之间的关系在等比数列中，通项公式与首项之间存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么首项a可表示为：a = an / r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比、任意一项的值以及项数的情况下，求解出首项的值。
性质公式四：公比和项数之间的关系在等比数列中，公比和项数之间也存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么公比r可表示为：r = (an / a)^(1 / (n-1))这个公式可以帮助我们在已知首项、任意一项的值以及项数的情况下，求解出公比的值。
性质公式五：等比数列的特殊性质等比数列还有一些特殊性质，如首项为1，公比为正数，则数列的前n项和公式可以简化为：Sn = (1 - r^n) / (1 - r)其中，r不等于1。
总结等比数列是数学中常见的数列类型之一，我们通过总结上述性质公式，可以更好地理解和应用等比数列。
这些性质公式包括了等比数列的第n项公式、前n项和公式以及通项公式与首项之间的关系等。
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8 27 ＝3，a5＝ 2 .∵这5个数成等比数列，∴a2a3a4＝a3 3. 8 27 8 2 2 ∵a1a5＝a3，∴a3＝ × ＝36.∵a3＝ ×q2， 3 2 3
3 ∴a3>0，∴a3＝6，故a2a3a4＝a3 3＝6 ＝216.
(2)设插入的n个正数为a1，a2，„，an，它们的积为G＝ a1a2„an，由等比数列的性质得G2＝(a1an)(a2an－1)(a3an－2)„(ana1) ＝(1×100)n＝100n，∴G＝10n.
【正解】
∵a3· a7＝a1· a9＝64，
a3＝4， 或 a7＝16.
a3＝16， 又a3＋a7＝20，解得 a7＝4，
4
a7 1 1 2 当a3＝16，a7＝4时，q ＝ ＝ ，∴q ＝ ， a3 4 2 1 ∴a5＝a3· q ＝16× ＝8， 2
2
当a3＝4，a7＝16时，q2＝2， ∴a5＝a3· q2＝4×2＝8. 综上，知a5＝8.
(4)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公 差为lgq的等差数列． (5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成 等比数列． (6)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0. (7)等比数列中从第二项起任一项是它前后两项的等比中 项，即a2 an－1(n≥2)． n＝an＋1·
第二章 数列
§2.4
等比数列
第二课时
等比数列的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质． 2．理解等比数列的性质． 3．掌握等比数列的性质并能综合应用.
课前热身 等比数列的常用性质． 由通项公式an＝a1qn－1易推得： (1)在等比数列中，任两项之间的关系an＝amqn－m(m，n∈ N*)． (2)在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项积 相等．即有 a1· an＝a2· an－1＝a3· an－2＝„.
答案 A
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝ 1,2，„)，如果数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82} 中，那么6q＝________.
解析 {an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，
36 而集合中仅有－24,36，－54,81成等比数列，公比为q＝ ＝ －24 3 － .∴6q＝－9. 2
【答案】
(1)216
(2)10n
规律技巧
本题主要考查等比数列的通项公式的应用及等
比数列的相关性质，解题时需注意，等比数列中符号是隔项相 同.
三
等差、等比数列的综合应用
【例3】
三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它
们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数． 【分析】 因为所求三数成等差数列，且其和已知，故可
随堂训练 1.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9 ＝10，则a4a5a6＝( A．5 2 C．6 ) B．7 D．4 2
解析
由等比数列的性质，知a7a8a9＝a1q6· a2q6· a3q6＝
a1a2a3q18，∴10＝5q18，∴q9＝ 2. 又a4a5a6＝a1a2a3q9＝5 2.
名师讲解 等比数列还有如下性质 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0，或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列； 当q>1，a1<0，或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列； 当q＝1时，数列为常数列； 当q<0时，数列为摆动数列．
(2)数列{λan}(λ为不等于0的常数)仍是公比为q的等比数列； 若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为 qq′的等比数列； 1 1 数列{a }是公比为q的等比数列； n 数列{|an|}是公比为|q|的等比数列． (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成 新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
பைடு நூலகம்
(舍去)
∴所求三数为3,5,7.
规律技巧
此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然
后利用等比数列知识建立等式求解.另外，对本题若设所求三数 为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将很复杂.因此， 在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少.
易错探究 已知{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a5. 【错解】 由等比数列的性质知，a2 a9＝64， 5＝a1· ∴a5＝± 8.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一
典 例 剖 析 等比数列性质的应用
在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝
【例1】
124，且公比为整数，求a10. 【分析】 利用若m＋n＝k＋l，则aman＝akal解题．
【解】
由a4a7＝－512，知a3a8＝－512. 且q为整数，
a3a8＝－512， 解方程组 a3＋a8＝124， a3＝－4， 得 a8＝128，
显然a≠0，否则由①得d＝0，将a＝0，d＝0代入③出现矛 盾．
a＋d2 由①②得 ＝16－a＋d.④ a 由③得d＝12－2a，代入④得 a2－13a＋36＝0，∴a＝4，或a＝9. 相应地，d＝4，或d＝－6. 于是所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法2：设第一个数与第二个数分别为x，y，则由已知可得 第三个数为12－y，第四个数为16－x.根据前三个数成等差数
设这三数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a，d的 两个方程，通过解方程组即可获解．
【解】
设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得
a－d＋a＋a＋d＝15， 2 a ＋ 3 ＝a－d＋1a＋d＋9， a＝5， 解此方程组得 d＝2， a＝5， 或 d＝－10.
【例 2】
8 27 (1)在3和 2 之间插入三个数，使这五个数成等比
数列，则插入的三个数的乘积为__________． (2)在 1 与 100 之间插入 n 个正数， 使这 n＋2 个数成等比数 列，则插入的 n 个正数的积为________．
【解析】
(1)设插入的三个数依次为a2，a3，a4，其中设a1
【错因分析】
上述解法忽略了对a5符号的讨论，实际
上，在等比数列{an}中，当公比q>0时，an· an＋1>0，即相邻两项 同号；当q<0时，an· an＋1<0，即相邻两项符号相反，也可以说， 在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号，本例中，由a1· a9＝ 64，a3＋a7＝20知，奇数项应为正值．因此a5＝8.
答案 A
2．设等比数列{an}中，a1，a7是方程2x2－7x＋4＝0的两个 根，则log2a1－log2a4＋log2a7＝( 1 A. 2 C．1 B. 2 D．2 )
解析
4 由韦达定理，得a1· a7＝ ＝2. 2
∴a2 a7＝2，又a4>0，∴a4＝ 2. 4＝a1· a1· a7 1 ∴log2a1－log2a4＋log2a7＝log2 a ＝log2a4＝log2 2＝2log22 4 1 ＝ . 2
x＋12－y＝2y， 列，后三个数成等比数列，可得 2 y 16 － x ＝ 12 － y ， x＝0， 由此解得 y＝4， x＝15， 或 y＝9.
于是这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
答案 －9
4．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比 数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数 的和为12，求这四个数．
解 解法1：由前三个数成等差数列，可设前三个数为a－ d，a，a＋d，设第四个数为a4，则 a4， a＋d2＝a· a－d＋a4＝16， ② a＋a＋d＝12. ③ ①
a3＝128， 或 a8＝－4.
(舍去)
5 a 8 q＝ a ＝－2. 3 ∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.
规律技巧
本例主要考查等比数列的性质及解方程组的能
力，当然若将条件化为 a1，q 的形式，亦可求解，只不过麻烦一 些罢了，因此，在解题时，要灵活运用性质解题.
二
等比数列的运算
(3)若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则有am· an＝ap· ak. 其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，若m＋n＝2p，则 有am· an＝a2 p. (4)在等比数列{an}中，an≠0，当公比q>0时，an>0或 an<0；当q<0时，anan＋1<0，称为摆动数列(正、负项相间隔)．