2010-5水文统计-频率分布与计算
合集下载
工程水文学第四章 水文统计基本方法
反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2
水文统计基本原理与方法
Y=
∶
∶
∶
∶
6 “出现6点”
建立了这种数量化关系后，实际上相当于引入了 变量Y。这样的变量是随试验的不同结果而取不同的 值。
由于试验出现的结果是随机的，因此，变量X和Y 的取值也是随机的，故称X、Y为随机变量。
定义：在随机试验中，用一个变量X的取值（实数） 表示随机试验的结果。由于随机试验的结果是随机的， 所以称这种变量X为随机变量。
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
其几何图形如下图所示， 图中纵坐标表示变量x， 横坐标表示概率分布函数值F（x），在概率论中称此 曲线为概率分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积 频率曲线，简称频率曲线（frequency curve）。
图中，当 x= xP 时， 可以查得：
F(xP) = P(X≥xP) = P 表示随机变量X大于或 等于xP 的概率（可能性） 为P（%）。
【例3-0】河流每年会发生洪水，但洪水的大小无法 预先知道。这是一种偶然现象，也称为随机现象。
水文现象是一种自然现象，所 以它具有必然性的一面，也具有偶 然性的一面。
随机现象看似杂乱无章，但对大量随机现象的分 析发现，随机现象也具有一定的规律性，称这种规律 为统计规律性（statistical regularity）。
水文统计的基本知识
实例
某地区位于甲、乙二河的汇合点，当任 一河流泛滥时，该地区就会被淹没。设在某个 时期内，甲河泛滥的概率P（A）=0.1；乙河 泛滥的概率P（B）=0.2；又知当甲河泛滥时， 乙河泛滥的概率P（B/A）=0.3。求这个时期 内该地区被淹没的概率。又当乙河泛滥时，甲 河泛滥的概率是多少？ 解：因A、B事件相容且不独立，故该地区被淹 没的概率为：
第四章 水文统计的基本知识
§4—1 概述 §4—2 概率的基本概念与定理 §4—3 随机变量及其概率分布
§4—4 频率计算 §4—5 相关分析
§4—1 概述
一、水文现象的必然性和偶然性 1、必然性 水循环 降水 径流 一般可以通过成因分析，建立数学物理方程， 并利用它来求解。例如：用水量平衡方程确定径 流量。 2、偶然性 如：河流某断面每年汛期出现的最大洪峰流 量或年径流量在数量上，有的年份大，有的年份 小，事先无法确定。 二、概率预估
这种频率密度随随机变量取值x变化 的图形，称为频率密度图。 如果资料年数无限增多，组距无限缩 小，频率密度直方图就会变成光滑的连续曲 线，称为随机变量的概率密度曲线 。
计算步骤 以累积频率P为横坐标，以年降水量X 为纵坐标，绘制阶梯形实折线。
这种表示大于或等于x的累积频率随随 机变量取值x变化的图形，称为频率分布图。 同样，如资料年数无限增多，组距无 限缩小，实折线就会变成S形的光滑连续曲 线，交称之为随机变量的概率分布曲线。
概率密度曲线和概率分布曲线示意图
概率密度函数 概率密度曲线的函 数式用f(x)表示，并 称为概率密度函数， 简称密度函数。整 个曲线与X轴所包 围的面积表示概率 为1。
f(x)dx
概率分布函数 概率分布曲线的函数式用 F（X）表示， 称为概率分布函数，简称分布函数。F（X） 表示随机变量取值大于某一指定x值的概率。 分布函数F（X）是密度函数f(x)的积分函数。
20105水文统计频率分布与计算
则可导出：
xN axn l
N a n l
xN 1ja1xj N naj inl1xi
C v1 x N 1 1 ja 1xjx2N n lai n l 1xix2
式中，xj 特大洪水，j＝1，2，…，a；xi 一般洪水i＝ℓ＋1，ℓ
＋2，…，n。 由于Cs属于高阶矩，直接计算的误差较大，故一般参考附近地
1867 1852 1832 1921
1921
1949 1903
1949
1832
1903
N2=141
1935
N1=70
n=33
1972
10
解：据调查从1832～1972年，有调查期N2＝141年
1867年
独立样本法
统一样本法
PM21
1 0.0071 1411
1852年 1832年
PM22
2 0.0141 1411
同独立样本法
PM23
3 0.0 1411
2
1
1
1921年
PM24
14 0.0 411 Nhomakorabea2
82
11
据调查期从1903～1972，有调查期N1＝70年
独立样本法
统一样本法
1921年 已被抽到上面排序
1949年
2
PM12 0.0282(10.028)2
PM12
0.0282 701
21 0.042
7011
其中 ,PMa
a N1
7
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
实测期内特大洪水，l 项
PM
PMa
... ...
实测一般洪水，n – l 项 m = l + 1, l + 2, ..., n
水文学第三章
式中:T-重现期，以年计； P-大于等于某水文变量 XP—事件的频率。
b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ，则小于XP事件的 频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P)，因此其重现期为：
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) ， 对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用，首先要了 解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；
进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球， 问：摸出白或黑求的概率是多少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ 2＋1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H（m）
频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ，则小于XP事件的 频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P)，因此其重现期为：
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) ， 对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用，首先要了 解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；
进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球， 问：摸出白或黑求的概率是多少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ 2＋1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H（m）
频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
3.水文计算中的数理统计法
T p
枯水: 它们的频率＞50％，重现期为
T
1 1 p
50 例如频率为2％的洪水流量,其重现期 为 2% ,这就是说等于和大于该值流量的重现期是平均50年 一遇;又例如枯水流量P＝90％，则 1
T
1
T
1 90%
10
这就是说等于和小于该值流量的重现期是平均10年一 遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能 正确。也就是在很长的年代里，出现时间上间隔的平 均年数，不是固定周期。百年一遇的洪水流量并不意 味着每一百年正好出现一次，实际上，也许会出现几 次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平 均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还 可从表3—l所列的关系加以说明．
当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试 验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在 这一系列试验中出现的频率。设以n代表试验的总次 数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的频率 m P ( A) 为 n 与机率计算公式(3.1) 完全相同，意义上有所不同。 区别: 机率是随机事件在客观上实际出现的可能程度，是 事件固有的客观性质，不随人们试验的情况和次数 而变动，是一个常数,是理论值； 频率是利用有限的试验结果推求出的一个经验值， 将随试验次数的多少而变动，当试验次数达到无限 多时，才能稳定到一个常数即等于理论值—机率。
解：根据上述资料情况．可按三个连序系列来计算。 甲、1935—1972年(32)中．由于与洪水大小天关的原因而 缺测的除外，余下的33年资料可看作一个随机样本，系列 各项按大小排位后，各项经验频率按公式(3－6)估算。n＝ m m P 32，m＝1、2、……33。 33 1 34 乙、1903～1972年(70)系列．只有为首的1921，1949， 1903年三次洪水，按公式（3－9）估算．N＝70, M M P M=1、2、3。 70 1 71 丙、1832～1972年(141)系列，只计算为首的1867、1932、 1921年三次洪水，按公式(3－9)估算．N=141,
枯水: 它们的频率＞50％，重现期为
T
1 1 p
50 例如频率为2％的洪水流量,其重现期 为 2% ,这就是说等于和大于该值流量的重现期是平均50年 一遇;又例如枯水流量P＝90％，则 1
T
1
T
1 90%
10
这就是说等于和小于该值流量的重现期是平均10年一 遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能 正确。也就是在很长的年代里，出现时间上间隔的平 均年数，不是固定周期。百年一遇的洪水流量并不意 味着每一百年正好出现一次，实际上，也许会出现几 次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平 均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还 可从表3—l所列的关系加以说明．
当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试 验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在 这一系列试验中出现的频率。设以n代表试验的总次 数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的频率 m P ( A) 为 n 与机率计算公式(3.1) 完全相同，意义上有所不同。 区别: 机率是随机事件在客观上实际出现的可能程度，是 事件固有的客观性质，不随人们试验的情况和次数 而变动，是一个常数,是理论值； 频率是利用有限的试验结果推求出的一个经验值， 将随试验次数的多少而变动，当试验次数达到无限 多时，才能稳定到一个常数即等于理论值—机率。
解：根据上述资料情况．可按三个连序系列来计算。 甲、1935—1972年(32)中．由于与洪水大小天关的原因而 缺测的除外，余下的33年资料可看作一个随机样本，系列 各项按大小排位后，各项经验频率按公式(3－6)估算。n＝ m m P 32，m＝1、2、……33。 33 1 34 乙、1903～1972年(70)系列．只有为首的1921，1949， 1903年三次洪水，按公式（3－9）估算．N＝70, M M P M=1、2、3。 70 1 71 丙、1832～1972年(141)系列，只计算为首的1867、1932、 1921年三次洪水，按公式(3－9)估算．N=141,
第四章水文统计基础知识
2、均方差 和变差系数 Cv
均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
0
f(x)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 频率密度
2500 2000 1500 1000 500
0 0
频率直方图
概率分布曲线
F(x)
20
40
60
80
累积频率
累积频率曲线
100
120
x
P(x xP ) F(xP )
f (x)dx
xP
>
P xP x
P(A) m n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００
出现正面次数 ２０４０ ６０１８
１２０１４
频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概 率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布
例 4-1
与频率曲线形状的关系
x 对频率曲线的影响
Cv 对频率曲线的影响
Cs 对频率曲线的影响
x3>x2>x1
x
x3
x2 x1
CV3>CV2>CV1
x
CV3
CV2
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法
3．1．5 总体与样本
事件试验各种可能结果的全体称为 总体。 很多水文现象都是 无限总体。 从总体中随机抽取一部分系列，称抽样，抽取的这部分系 列称为一个 随机样本，简称 样本。
样本系列的长短，即样本中所含的项数的多少，称为 样本 容量 或样本大小。
§3．2 随机变量的概率分布及其统计参数
3．2．1 随机变量 若随机事件的每次试验结果可用一个数值 x 来表示，x 随试验 结果取不同的数值。在每次试验中，究竟出现那一个数值则是随机 的，但取得某一数值具有一定的概率，这种变量称为 随机变量。 如果在某一随机变量相邻两数值之间，不存在中间数值，这种 随机变量称为 离散型随机变量（掷骰字）。
频率是一个抽象的数理统计术语，不易为一般人所理解。
有时用“重现期”来更直观地描述“频率”一词。所谓重现 期是事件重复出现的平均间隔时间，即平均隔多少时间出现一次， 或说多少时间遇到一次。 当研究暴雨洪水问题(所取的p< 50％)时，采用 T=1/p
T——重现期，以年计，表示大于、等于xm的随机变量平 均 T 年重现一次； p——频率，以小数或百分数计。 例:某洪水的频率为p＝1％，则此洪水的重现期T=1/1％=100年 ，称此洪水为百年一遇的洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年出现一次。
x Cv C
S
n Cv 3 2 1 2C Cs 2Cv Cs 4 2n
2 v
6 2 5 (1 Cs2 Cs4 ) n 3 16
公式右边各项均为总体的统计参数，计算是仍用样本的统计参 数代替。抽样误差的大小，随样本的容量n、Cv、Cs的大小而变， 样本容量越大，对总体的代表性越好，其抽样误差也越小）。 当样本容量不大时直接计算Cs的误差很大（计算偏差系数Cs的 均方差公式中包含Cs的高次方）。 例：n=100，Cv=0.1∽1.0，Cs=2Cv，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
统一样本法
P .0282 ( 10 .0282 ) M 1 2 0 2 1 0 .042 70 1 1
P .0282 ( 10 .0282 ) M 1 3 0 2 0 .0559 70
1949年
1903年
3 P 0 .0423 M 1 3 70 1
1867 1852 1832 1921
1921 1949
1903
1949
1832
1903
N2=141
1935
N1=70
n=33
1972
10/51
解：据调查从1832～1972年，有调查期N2＝141年
独立样本法
1867年
1852年 1832年 1921年
统一样本法
1 P 0 .0071 M 2 1 141 1
2 P 0 .0141 M 2 2 141 1 同独立样本法
3 P 0 .0211 M 2 3 141 1
4 P 0 .0282 M 2 4 141 1
11/51
据调查期从1903～1972，有调查期N1＝70年
独立样本法
1921年 已被抽到上面排序
2 P 0 .0282 M 1 2 70 1
a），其中可能有ℓ 项实测大洪水；n年实测洪峰流量资料Qmj（j
＝ ℓ ＋1， ℓ ＋2，…，n）。
2/51
假设：
N —— 历史调查期年数； n —— 实测系列的年数；
ℓ—— 为n 年中的特大洪水项数；
a —— 为N 年中能够确定排位的特大洪水项数(含资料内特大洪水 ℓ 项)；
m —— 为实测系列在n中由大到小排列的序号，m＝ℓ+1，ℓ+2，...，n；
当实测系列中含有特大洪水时，把这些特大洪水与历史特大洪水 一起排序，但仍然在实测系列中排序，即实测系列的排序为m＝l+1 ，l+2，...，n。特大洪水系列的经验频率计算公式为：
M P M 1,2,..., a M N 1
6/51
统一样本法： 将实测系列与特大值系列共同组成一个不连序系列，作为代表总 体的一个统一的样本，不连序系列各项可在历史调查期N年内统一 排位。特大洪水的经验频率仍采用下式：
《水 文 统 计》
梁 川 C. Liang
2010年9～11月
1/51
考虑有特大洪水时经验频率的估算 对加入特大洪水后的不连序资料系列进行经验频率和统计参 数分析与计算。当考虑特大洪水时，特大洪水的经验频率和一般 洪水的经验频率需分别计算。目前国内有独立样本法和统一样本 法两种方法。 资料条件：设有a年特大洪峰流量资料Qmi（i＝1，2，…，
T
4/51
例：
1153
1870 N
n
1992
l =？
a=？
N=？
5/51
独立样本法：
把实测一般洪水系列与特大洪水系列都看作是从总体中独立 抽出的两个随机连序样本，各项洪水可分别在各个系列中进行排
位，实测系列的经验频率仍按连序系列经验频率公式计算：
m P m l 1,l 2,...,n m n 1
x x N a n l
则可导出：
N a
n l
1a N an x x x j i N n j 1 i l 1 j
a 2 N 2 1 1 an C x x x x v j i 1 n l xN j 1 i l 1
12/51
另外，实测期n＝33年
独立样本法
1949年 已被抽到上面排序
统一样本法
P .0559 ( 10 .0559 ) m ,2 0
1940年
...
2 P 0 .0588 m ,2 33 1
2 1 0 .0845 33 11
1968年 P m ,33
...
33 0 .969 34
实测期内特大洪水，l 项
实测一般洪水，n – l 项
PM
... ...
PMa
m = l + 1, l + 2, ..., n
Pm ... 1－PMa ... P
PM
M N 1
m l a P P ( 1 P ) 其中 , P m Ma Ma Ma n l 1 N 1
8/51
M P M 1 , 2 ,..., a M N 1
（n－l）项实测一般洪水的经验频率计算公式为：
m l P ( 1 P ) m P Ma Ma nl 1 ml 1 ,l 2 ,..., n
其中 ,P Ma a N 1
7/51
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
P .0559 ( 10 .0559 ) M 1 3 0 32 0 .970 33
...
13/51
问题特大洪水时统计参数的确定
用矩法初步估计参数：假设系列中n－ℓ 年的一般洪水的均值 为xn－ℓ 和均方差为σn－ℓ，与除去特大洪水后的N－a 年总的一般
洪水系列的均值xN－a和均方差σN－a 相等，即
Pm —— 实测系列第m 项的经验频率； PM —— 特大洪水第M 序号的经验频率，M＝1，2，...，a。
3/51
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
实测期内特大洪水，l项
实测一般洪水，n – l项 m = l + 1, l + 2, ..., n
... ...
缺测
...
...
n
N 关键：确定a，l ，N。
一般说来，独立样本法把特大洪水与实测洪水视为相互独 立，这在理论上有些不合理，但比较简单。 当在特大洪水排位可能有错漏时，因不互相影响，采用独 立样本法是比较合适的。
当特大洪水排位比较准确时，理论上，用统一样本法更好
一些。
9/51
算例：某站自1935～1972 年的38年中，有5 年因战争缺测，故实 有洪水资料仅 33 年。其中 1949 年为最大，并考证应从实测系列中 抽出作为特大值处理。另外，查明自 1903 年以来的 70 年间，为首 的三次大洪水，其大小排位为1921、1949、1903年，并能判断在 这 70 年间不会遗漏掉比 1903 年更大的洪水。同时，还调查到在 1903年以前，还有三次大于1921年的特大洪水，其序位是1867、 1852、1832年，但因年代久远，小于1921年洪水则无法查清。试 分别用独立样本法和统一样本法估算各项洪水的经验频率。