直棱柱和正棱锥的侧面积
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 PPT课件 人教课标版
2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积
与底面积之和.
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
a'
h h'
a
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长 为c’，则其侧面积的计算公式就是
S侧=c’·l.
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
h h'
a
二.正棱锥的表面积
h h' a
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
解：正棱锥的高PO，斜 高PE，底面边心距OE 组成直角三角形。
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
P
C
O
E
B
所以斜高 PE OE 2 4
sin30 0.5
因此S侧=
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
ch’=32(cm2)
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
O
E
A
B
例3. 如图所示是一个容器的盖子，它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R，正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R，斜高为0.6R；
几何体面积和体积公式
几何体面积和体积公式一、棱柱。
1. 直棱柱侧面积。
- 公式：S_直棱柱侧=Ch（其中C为底面多边形的周长，h为棱柱的高）。
2. 棱柱的体积。
- 公式：V = Sh（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）。
二、棱锥。
1. 正棱锥侧面积。
- 公式：S_正棱锥侧=(1)/(2)Ch'（其中C为底面多边形的周长，h'为正棱锥的斜高）。
2. 棱锥的体积。
- 公式：V=(1)/(3)Sh（其中S为棱锥的底面积，h为棱锥的高）。
三、棱台。
1. 正棱台侧面积。
- 公式：S_正棱台侧=(1)/(2)(C + C')h'（其中C、C'分别为棱台上下底面多边形的周长，h'为正棱台的斜高）。
2. 棱台的体积。
- 公式：V=(1)/(3)h(S+√(SS')+S')（其中h为棱台的高，S、S'分别为棱台的上下底面积）。
四、圆柱。
- 公式：S_圆柱侧=2π rh（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。
2. 圆柱的表面积。
- 公式：S = 2π r(r + h)（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。
3. 圆柱的体积。
- 公式：V=π r^2h（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。
五、圆锥。
1. 圆锥侧面积。
- 公式：S_圆锥侧=π rl（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）。
2. 圆锥的表面积。
- 公式：S=π r(r + l)（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）。
3. 圆锥的体积。
- 公式：V=(1)/(3)π r^2h（其中r为底面半径，h为圆锥的高）。
六、圆台。
1. 圆台侧面积。
- 公式：S_圆台侧=π(r + r')l（其中r、r'分别为圆台上下底面半径，l为圆台的母线长）。
2. 圆台的表面积。
- 公式：S=π(r^2+r'^2+rl + r'l)（其中r、r'分别为圆台上下底面半径，l为圆台的母线长）。
- 公式：V=(1)/(3)π h(r^2+rr'+r'^2)（其中h为圆台的高，r、r'分别为圆台上下底面半径）。
高中数学必修2《简单几何体的侧面积》
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱 长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬 到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是 一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开 图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积 公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体，它们的侧面展开图是什 么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积 等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理， 每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与 母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零 件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）
直棱柱和正棱锥的侧面积公开课
⑨
上图中直棱柱有：
；正棱锥有：
.
立 立体几何 体 立体几何 立体几何 几 何 9.4.3 直棱柱和正棱锥的侧面积
1、把棱柱、棱锥的侧面沿一条侧棱剪开后展 在一个平面上所得的图形，叫做它们的侧面展 开图，侧面展开图的面积就是他们的侧面积.
S直棱柱侧＝ch
练习一 一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形， 侧棱长为4，则其侧面积为 ______．
S
则在Rt△SOE中，
SE2＝SO2＋OE2＝16＋4＝20， 所以 SE＝ 20 2 5 S正棱锥侧＝ ch ． A
D
O B
C
E
1 × 4× 4 × 2 5 2 ． ＝16 5
＝
棱柱、棱锥都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形， 计算它们的全面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．
S直棱柱侧＝ch
例
1 1 S 正棱锥侧＝ nah ch ' 2 2
一个正四棱锥 S－ABCD 的高 SO 和底面边长都是4，如图， 求它的全面积．
解：过点 S 作 SE BC 于点 E，连结 OE．
S
则在Rt△SOE中，
SE2＝SO2＋OE2＝16＋4＝20， 所以 SE＝ 20 2 5 S正棱锥侧＝ ch ． A
1 1 S 正棱锥侧＝ nah ch ' 2 2
练习二 侧面积．
正三棱锥底面边长为6 ,斜高是4，求棱锥的
S直棱柱侧＝ch
例
1 1 S 正棱锥侧＝ nah ch ' 2 2
一个正四棱锥 S－ABCD 的高 SO 和底面边长都是4，如图， 求它的侧面积．
解：过点 S 作 SE BC 于点 E，连结 OE．
简单几何体的表面积和体积(含答案)
简单几何体的表面积和体积[基础知识]1．旋转体的侧面积名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．[基础练习]1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32[典型例题]例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．练1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．例2.已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．练2.圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？例3.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．练3.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．练4.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？简单几何体的表面积和体积活页作业一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)2．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.943．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π34．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π 5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π 6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36B. a 312C.312a 3D.212a 3 7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB ．23π C.736πD.733π8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3二、填空题9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心， 则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．11．已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．12. 如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2. 三、解答题13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱．(1)求圆锥的体积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？16．如图所示，从三棱锥P －ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3.(1)在三棱锥P －ABC 中，求证：P A ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．简单几何体的表面积和体积答案[基础知识]1．旋转体的侧面积名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．答案：1．名称 图形 侧面积公式圆柱侧面积：S 侧＝2πrl圆锥侧面积：S 侧＝πrl 圆台侧面积：S 侧＝π(r 1＋r 2)l 2．ch 12ch ′ 3．(1)Sh (2)13Sh[基础练习]1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32答案：1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．] 3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2，12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．][典型例题]例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．解析：折叠起来后，B 、D 、C 三点重合为S 点，则围成的三棱锥为S －AEF ，这时SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，所以此三棱锥的体积V ＝13·12·1·1·2＝13.练1. (2011·昆山模拟)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，再由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.又由BC 2＋CC 21＝BC 21， 得a 2＋b 2＝24， 可得a ＝22，b ＝4， ∴V ＝34×(22)2×4＝8 3. 答案：8 3例2. 已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．解析：如图所示的是五棱台的一个侧面，它是一个上、下底的边长分别为8 cm 和18 cm ，且腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，垂足为点E ；由点D 向BC 作垂线，垂足为点F .∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴BE ＝CF ＝12(BC －AD )＝12(18－8)＝5 cm.在Rt △ABE 中，AB ＝13 cm ，BE ＝5 cm ，∴AE ＝12 cm ，∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(8＋18)×12＝156(cm 2)．∴S 五棱台侧＝5×156＝780(cm 2)．即此五棱台的侧面积为780 cm 2.练2. 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？解析：首先，圆台的上底的半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC＝BD 2－OD －AB 2＝102－6－42＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)． 例3. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)． (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1．2－2r ) ＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r )＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米．(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．练3. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm ．解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ．解得r ＝4 (cm 3)．例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解析：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r ．即容器中水的深度为315r ．练4. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解析： 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πrh 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．简单几何体的表面积和体积活页作业答案一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析： 设圆柱的底面半径为r ，母线为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2πr ＝4πl ＝6π或⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝6πl ＝4π， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2l ＝6π或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝4π， ∴圆柱的全面积为24π2＋8π或24π2＋18π，即8π(3π＋1)或6π(4π＋3)．答案： C2．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.94解析： 设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h2，∴V ′V ＝92.答案： B3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3 答案： B解析： S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V＝43πR 3＝82π3，故选B.4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π解析： 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S ＝2π×32＋π×3×5＝33π.答案： C 5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π解析： 由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案： A6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36B. a 312C.312a 3D.212a 3 解析： 设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时，BE ⊥DE ，∴DE ⊥面ABC ，∴三棱锥D －ABC 的高为DE ＝22a ， ∴V D －ABC ＝13·12a 2·22a ＝212a 3.答案： D7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB ．23πC.736πD.733π解析：上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝3，∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.答案：D8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3解析：由43πR 3＝323π，∴R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4，设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43，∴V ＝34(43)2·4＝48 3. 答案：D二、填空题9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．解析： V ＝13S △BOC ·B 1B ＝13×12BO ·BC ·sin 45°·B 1B ＝16×2×2×22×2＝23.答案： 2310．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．解析： 由三视图可知，该几何体为底面半径为1，母线长为2的圆锥的一半，所以圆锥的高为3，因此所求体积V ＝12×13×π×12×3＝36π.答案： 36π11．已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________． 解析： 如图， 易知球心O 为DC 中点，由题意可求出CD ＝3，所以球O 的半径为32，故球O 的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2. 答案： 9π212.如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2.答案 36解析 由三视图可知，此几何体是一个以AA ′＝2，AD ＝4，AB ＝2为棱的长方体被平面A ′C ′B 截去一个角后得到的，在△A ′C ′B 中，因为A ′C ′＝BC ′＝25，BA ′＝22，所以S △A ′C ′B ＝12×22×(25)2－(2)2＝6，故几何体表面积为2×4×2＋2×2＋12×4×2×2＋12×2×2＋6＝36.三、解答题13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．解析： 设圆锥底面半径为r ，则母线为2r ，高为3r ，∴圆柱的底面半径为r ，高为3r ，∴S 圆柱侧S 圆锥侧＝2πr ·3r πr ·2r ＝ 3. 14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体解析：(1)如图所示．(2)所求多面体体积V =V 长方体-V 正三棱锥=446-131222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭2=2843(cm 3)．15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱． (1)求圆锥的体积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解析： (1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝5×6π5，解得r ＝3. 所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积V ＝13πr 2×4＝12π.(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．设圆柱的底面半径为a ，则3－a 3＝x 4，从而a ＝3－34x . 圆柱的侧面积S (x )＝2π(3－34x )x ＝32π(4x －x 2) ＝32π[4－(x －2)2](0<x <4)． 当x ＝2时，S (x )有最大值6π.所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为6π.16．如图所示，从三棱锥P －ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3. (1)在三棱锥P －ABC 中，求证：P A ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．解析： (1)证明：由题设知A 、B 、C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC ，取BC 的中点D ，连AD 、PD ，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，∴BC ⊥面P AD .故P A ⊥BC .(2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，P A ＝P 1A ＝BC ＝10， PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12，在等腰三角形DP A 中， 底边P A 上的高h ＝AD 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝119， ∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119，又BC ⊥面P AD ， ∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119 ＝503119.。
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
（A）2：π （B）3：π
（C）4：π （D）6：π
解得AO1=20cm，
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2 O1 O
B A
练习题：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ）
（A）6a2
（C）18a2
（B）12a2
（D）24a2
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是 正四面体的顶点，则正方体的表面积与此
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
一、直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积
• 直棱柱： 侧棱与底面垂直的棱柱。 • 正棱锥： 底面是正多边形，顶点在过底面中心且 与底面垂直的直线上。
• 分析直六棱柱和正四棱锥的展开图
1、S直棱柱侧=ch.
• 直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。
h
h
c
2、S正棱锥侧=
2
Q1 2 Q2 a，，∴Q2＋Q2＝4a2b2， 1 2
2 ∴S 侧＝4ab＝2 Q2＋Q2. 1
2 答案：2 Q2＋Q2 1
例3. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积. 解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2,
A D O B E P
C
所以斜高
因此S侧=
OE 2 PE 4 sin 30 0.5
1 2
ch’=32(cm2)
S全=S侧+S底=48(cm2)
P
D
例2．直平行六面体底面是菱形，两个对角 面的面积分别为Q1和Q2，则此平行六面体 的侧面积为________.
解析： 设侧棱为 b， 底面边长为
课件7：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
问题 4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？ 答 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 问题 5 棱台的表面积或全面积如何求？ 答 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积 问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答 图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周 长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半径为 r， 母线长为 l， 则有：S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)， 其中 r 为圆柱底面半径，l 为母线长．
例 2 如图所示是一个容器的盖子，它是用一 个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径 为 R.正四棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R， 斜高为 0.6R： (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示，焊接处对面积的影响忽略 不计); (2)若 R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每 0.4 kg 可以涂 1 m2，计 算为 100 个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到 0.1 kg)
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面 展开图． 2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表 面积． 3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【知识梳理】
1．直棱柱的侧面积公式 S＝ ch ，其中 c 为底面多边形的周长， h 为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积 ． 2．正棱锥的侧面积公式 S＝ 12nah′＝ 12ch′，其中底面边长为 a，c 为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为 正棱锥的侧面积等于它的 底面周长和斜高乘积的一半 .
跟踪训练 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC，
棱柱、棱锥、棱台的表面积(王永亮 莒县一中)
已知正四棱锥底面正 方形的边长为4cm, 高与斜高的夹角为 35°(如图),求正 四棱锥的侧面积与全 面积(单位:cm2, 精确到0.01).
C
答
案
P D O B E C
解:正四棱锥的高,斜高, 底面边心距组成直角POE. OE=2cm OPE=35 因为OE=2cm,∠OPE=35° 所以 斜高PE=OE/sin35° A =2/0.574≈3.49(cm) 因此 S棱锥侧=1/2ch' =1/2×4×3.49×4=27.92(cm2) S棱锥全=27.92+16=43.92(cm2)
直棱柱的表面积
设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c, 则得到直棱柱的侧面面积计算公式:
S直棱柱侧面积 =ch
即直棱柱的侧面积等于它的底面周 长和高的乘积.
* 棱柱的表面积是正三棱锥的展 开图. 正棱锥的侧面展开图 是一些全等的等腰三 角形,底面是正多边 形,如果设它的底面 边长为a,底面周长 为c,斜高为h' .
*
棱台的表面积或全面积等于侧面积与 底面积的和.
思考题
联系棱柱,棱锥,棱台的几 何图形间的转化过程,思考 是否能由棱台的侧面积公式 得到棱柱,棱锥的侧面积公 式.
想一想
观察圆柱,圆锥,圆台的展开图,思考计 算圆柱,圆锥,圆台侧面积公式.
圆柱展 开图
圆锥展 开图
圆台展 开图
例
题
P D O A B
正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯 形,设棱台下底面边长为a,周长为c , 上底面边长为a',周长为c',斜高为 h',可以得出正n棱台的侧面积公式: S 正棱台侧 =n·1/2(a+a')h'=1/2(n a+na')h'=1/2(c+c')h'
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的侧面积？
S直棱柱侧＝ch
h c
正棱柱的侧面展开图
练习一 一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4， 则其侧面积为 ______．
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的侧面积？
1 1 S 正棱锥侧＝ nah ch ' 2 2
侧面展开 h h
c
练习二
正三棱锥底面边长为6 ,斜高是4，求棱锥的侧面积．
例
一个正四棱锥 S－ABCD 的高 SO 和底面边长都是4，如图， 求它的侧面积．
解：过点 S 作 SE BC 于点 E，连结 OE．
S
则在Rt△SOE中，
SE2＝SO2＋OE2＝16＋4＝20， 所以 SE＝ 20 2 5 S正棱锥侧＝ 0.5ch ． A
D
O B
C
1 ＝2
＝
E
× 4× 4 × 2 5 16 5 ．
练习三
设计一个正四棱锥型冷水塔塔顶，高是0.85 m，底面的
边长是1.5 m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板?
棱柱、棱锥都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形， 计算它们的全面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．
解法二：制作管身所需的平板下料面积为 5×10×30＝1 500（cm2）．
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知 道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 空间问题
展开图
平面图形面积
平面问题
直棱柱、正棱锥都是由多个平面图形围成的几何体， 它们的展开图是什么？如何计算它们的测面积？
立 立体几何 体 立体几何 立体几何 几 何 9.4.3 直棱柱和正棱锥的侧面积
(1)矩形面积公式：
S＝a b
．
1 S ah (2)三角形面积公式： 2 3 2 S a 正三角形面积公式： 4
(3)圆的面积公式： (4)圆周长公式： (5)扇形面积公式： S＝ r2 C＝2 r ．
．
．
． ．
(6)梯形面积公式：
1 S rl 2 1 S ( a b) h 2
．
某工厂有一个排风管，管身为中空的正五棱柱，尺寸 如图所示．计算出制作管身所需的平板下料面积．（不考 虑排风管的壁厚）
30cm
10cm 10cm
10cm
10cm
10cmபைடு நூலகம்
10cm
解： 所求排风管一个侧面的面积为 解法一： 10×30＝300（cm2）． 那么制作管身所需的平板下料面积为 5×300＝1 500（cm2）．
h c
S直棱柱侧＝ch
侧面展开 h h
c
1 1 S 正棱锥侧＝ nah ch ' 2 2
必做题： 教材P145，练习 B 组第 2 题． 选做题： 教材P145，练习 B 组第 1题．