高三数学二轮专题复习教案：极限导数和复数

高三数学二轮专题复习教案：极限导数和复数一、本章知识结构：二、重点知识回顾 （一）极限1、数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关命题的重要方法，它是完全归纳法中的一种。

论证问题分为两步： 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；假设当n=k(k ∈*N 且k ≥0n )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。

由（1）、（2）断定命题对于从0n 开始的一切正整数都成立。

2、数列极限的定义 设n a 是一个无穷数列，A 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n ＞N ，就有|n a -A|＜ε，那么就说数列n a 以A 为极限（或A 是数列的极限），记作∞→n limn a =A 。

3、数列极限的运算法则如果∞→n lim n a =A ，∞→n lim n b=B ，那么(1) ∞→n lim (n a ±n b )=∞→n lim n a ±∞→n lim n b=A ±B ；(2)∞→n lim (n a ²n b )=∞→n lim n a ²∞→n lim n b=A ²B（3）)0(lim ≠==∞→∞→∞→B B A b im l a im l b a n n n n nn n（4）∞→n lim（c ²n a ）= c ²∞→n lim n a=cA （c 为常数）极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。

在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。

4、特殊数列的极限 （1）∞→n limC=C （C 为常数）（2） 0（|a|＜1）∞→n limn a = 1（a=l )不存在（|a|＞1或a=-1）(3)∞→n limαn 1=0(α＞0的常数)(4)00a b （当k=l 时）101101limk k kl l n la x a x ab x b x b --→∞++++++ = 0（当k ＜l 时)不存在（当k ＞l 时）说明：欲求极限的式子中，含有项数与n 有关的“和式”或“积式”，应先求和或积。

5、常见的数列极限的类型和求法（1）“00”型，分子、分母分别求和再转化。

（2）“∞∞”型，分子、分母先求和，再化简，转化为有极限。

（3）“∞∞－”型，将其看作分母为1的分式，转化求极限。

6、lim ()x x f x →与+→0limx x ()f x 和-→0limx x ()f x 之间的关系lim ()x x f x →=a+0()f x =-→0lim x x ()f x =a 。

如果()f x 在点0x 处左、右极限都存在并且等值，则()f x 在点0x 处的极限也存在，并且与左、右极限值相同；如果()f x 在0x 处的左、右极限至少有一个不存在，或者左、右极限都存在但不等值，则函数()f x 在点0x 处没有极限，这种关系也反映出)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ⋅、)0)(lim 0)(()()(0≠≠→x g x g x g x f x x 且也都在0x 处连续。

（二）导数1.有关概念①平均变化率：x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(②函数在某一点的导数：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/③函数的导数)(/x f ＝/y ＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim002. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率说明：⑴.导数的几何意义可以简记为“k=)(0/x f ”,强化这一句话“斜率导数，导数斜率”⑵.曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=- 3.导数的物理意义：s=s(t)是物体运动的位移函数，物体在t=0t 时刻的瞬时速度是0()s t '说明：⑴.物理意义在教材上只是以引例形式出现，教学大纲对它的要求不高，知道即可。

⑵.物理意义可以简记为0t v =0()s t '4、几种常见函数的导数公式a a a e e e xx xx x x x x Q n nx x c c x x xx a a n n ln log 1log 1ln sin cos cos sin 01='='='='-='='∈='='-）（，）（）（，）（），（）（）（）（为常数）（5、求导法则'')'(v u v u ±=±，'')'(uv v u uv +=，2'''v uv v u v u -=⎪⎭⎫ ⎝⎛（v ≠0）6、复合函数求导x y '＝x u u y ''∙（三）复数 1．复数及分类形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部，ii 是虚数单位，且满足ii2＝－1.复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0） 虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0） 非纯虚数（a ≠0）2．复数相等的充要条件a ＋bii ＝c ＋dii ⇔a ＝c ，b ＝d （a ，b ，c ，d ∈R ）. 特别地a ＋bii ＝0⇔a ＝b ＝0（a ，b ∈R ）. 3．i 的幂i4n ＝1，i4n+1＝i ，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i （n ∈Z ）. 4．复数的加法和减法（a ＋bi ）±（c ＋di ）＝（a ±c ）＋（b ±d ）i （a ，b ，c ，d ∈R ）. 5．复数的乘法和除法⑴复数的乘法按多项式相乘进行，即 （a ＋bi ）（c ＋di ）＝ac ＋adi ＋bci ＋bdi2＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i. ⑵复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化. 6．共轭复数z ＝a ＋bi 与z －＝a －bi 互为共轭复数。

7．复数的模设z ＝a ＋bi ，则复数的模：｜z ｜＝r ＝a2＋b2 8．复数与点的轨迹复数i b a z +=与复平面上的点()b a Z ,是一一对应的。

⑴两点间的距离公式：d ＝｜z1－z2｜；⑵圆的方程：｜z －P ｜＝r （以点P 为圆心，r 为半径）； 三、考点剖析考点一：数学归纳法【内容解读】数学归纳法的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可。

第一步是命题递推的基础；第二步是递推的依据，是论证过程的关键。

在论证时，第一步验算n=0n 中的n 不一定为1，根据题目的要求，有时可为2，3等。

第二步证明n=k+1时命题也成立的过程中，归纳假设P （k ）起着“已知条件”的作用，必须利用归纳假设P （k ），恰当的通过推理和运算推出P （k+1），否则就不是数学归纳法。

第二步证明的关键是“一凑假设，二凑结论”。

数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件，两者缺一不可，两步均予以证明才具备了充分性，也就是完成了这两步的证明才能断定命题的正确性。

【命题规律】数学归纳法一般出现在解答题中，与数列、函数等内容结合，难度属中等偏难。

例1、（2007全国1理22）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…43n n b a -<≤，123n =，，，…．解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +．所以，数列{na是首项为2-1的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+k =0k =>，又1323k b <=-+，所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(32)k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立． 43n n b a -≤，123n =，，，…．点评：本题考查数学归纳法的证明，与数列、不等式等结合，属中等偏难的试题。

例2、（2008浙江）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ．记：12n n S a a a =+++ ，112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++ ．求证：当*n ∈N 时，（Ⅰ）1n n a a +<；（Ⅱ）2n S n >-；（Ⅲ）3nT <（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <．②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<， 因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++，所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =- ，，，（2n ≥）， 得22231()(1)n n a a a a n a ++++--= ． 因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，所以2n S n >-． （Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得 111(2313)12k k ka k n n a a ++=-+ ≤，，，，≥ 所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++ ≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++ ≤≥，故当3n ≥时，21111322n n T -<++++< ，又因为123T T T <<，所以3n T <．点评：本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．考点二：极限的求解【内容解读】极限主要包括数列极限和函数极限，掌握几个重要极限的求法，极限的四则运算等内容；理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 【命题规律】极限在高中数学和高等数学中起着桥梁作用，是中学数学与大学数学的衔接点，是高中数学的新增内容，是高考的热点之一。