高三数学求曲线的方程(201910)
求曲线方程的方法
求曲线方程的方法首先，我们来讨论一元二次方程的求解方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
我们可以利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解一元二次方程的根。
根据方程的系数a、b、c的不同取值，可以分为两个实根、两个虚根和重根三种情况。
通过求根公式，我们可以准确地求解出方程的根，并进一步得到曲线的特征和性质。
其次，我们来讨论直线和曲线的交点求解方法。
当我们需要求解一条直线与曲线的交点时，可以将直线方程代入曲线方程中，得到一个关于未知数的方程，然后通过解方程的方法求解出交点的坐标。
在实际问题中，直线和曲线的交点往往代表着某种特定的意义，比如最值点、切点等，因此求解交点的方法在实际中具有重要的应用价值。
另外，我们还可以利用数值计算的方法求解曲线方程。
当曲线方程的解析解比较复杂或者无法通过代数方法求解时，我们可以利用数值计算的方法来近似求解曲线的性质和特征。
通过选取合适的步长和迭代次数，我们可以得到曲线的近似形状、极值点、拐点等重要信息，从而更好地理解和应用曲线方程。
最后，我们还可以利用计算机软件来求解曲线方程。
随着计算机技术的发展，各种数学软件如Mathematica、Matlab等已经成为了求解曲线方程的强大工具。
通过这些软件，我们可以直观地绘制曲线图像，求解方程的根，计算曲线的各种特征参数，甚至进行曲线拟合和数据分析等工作。
因此，掌握数学软件的使用方法也是求解曲线方程的重要途径之一。
总的来说，求解曲线方程是数学中一个重要而复杂的问题，我们可以通过代数方法、几何方法、数值计算和计算机软件等多种途径来求解曲线方程，从而更好地理解和应用曲线的性质和特征。
希望本文介绍的方法能够对读者有所帮助，让大家更好地掌握求解曲线方程的技巧和方法。
求曲线的方程 课件
l1
⊥
l2
，
பைடு நூலகம்
所
以
|PM|
＝
1 2
|AB|.
而
|PM|
＝
x－22＋y－42，
|AB|＝ 2x2＋2y2，
所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数 题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整 理可得．
[解析] 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x， y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
所以1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)． 整理得，x＋2y－5＝0(x≠1)．
(5)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x， y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．
(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参 数，例如求动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立 这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．
命题方向 直译法求曲线的方程 [例 1] 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨 迹方程．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出 其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
(4)代入法：动点 M(x，y)随着动点 P(x1，y1)的运动而运动， 点 P(x1，y1)在已知曲线 C 上运动，可根据 P 与 M 的关系用 x， y 表示 x1，y1，再代入曲线 C 的方程，即可得点 M 的轨迹方程．
(完整版)求曲线方程的六种常用方法
(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。
这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。
方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。
方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。
它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。
方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。
它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。
通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。
方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。
利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。
方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。
拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。
方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。
它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。
通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。
选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。
结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。
通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。
希望这些方法能够对你有所帮助。
高中曲线方程的求解方法
高中曲线方程的求解方法
曲线方程是高中数学的重中之重內容，都是一整难题。
曲线方程的定义:在直角坐标系中，如果曲线c上的一点(被认为是一组点或适合某些条件的点轨迹)与二元方程f(x，y)=0的实解建立了以下关系:
(1)曲线上各点的坐标都是这个方程的解;
(2)以该方程解为坐标的点都是曲线上的点。
然后，这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程曲线。
找到曲线方程的步骤如下:
(1)建立合适的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意点m的坐标;
(2)用合适的条件写一组p(M)，P = { M | P(M)};
(3)条件p(M)用坐标表示，并列出公式f(x，y)= 0;
(4)方程f(x，y)=0被简化为最简单的形式;
(5)简化方程的解是坐标的点都在曲线上。
求解曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法(Unfinished coefficient method)这种方法需要事先知道曲线的方程，先把它建立起来，然后根据条件列出方程(组)来求解未知数。
(2)直译法是直接表达移动点所满足的主题条件，从而获得水平坐标和垂直坐标之间的关系式。
(3)定义方法是从曲线的定义中直接得到曲线方程。
(4)轨道相交法:在寻找两条运动曲线交点的轨迹方程时，联立方程剔除参数，得到交点的轨迹方程。
这种方法常用于解决交叉问题。
(5)参数法是通过中间变量找出Y和X之间的间接关系，然后通过参数消去得到其直接关系。
(6)相关点法是通过寻找运动点和已知运动点之间的关系来寻找曲线方程的方法。
高三数学求曲线的方程
求曲线方程的五种方法
求曲线方程的五种方法曲线方程是数学中的一个重要的概念，它是表示一个曲线的方程。
曲线方程可以有多种形式，可以用任意数量的参数来确定。
求曲线方程的方法也是各种数学软件的一个重要的功能，下面我们来看看其中的五种求曲线方程的方法：第一种是直接由点法得到曲线方程，通常是根据已知点计算曲线方程，也就是由点求式，即问题中大多数可能给定的曲线方程。
如果我们知道曲线上两个点并且想要求得这条曲线的方程，可以采用此方法。
事实上，只要有足够的点，就可以根据点求出曲线的方程。
第二种是利用偏导数，如果我们知道曲线上某一点的梯度，我们就可以通过求偏导数确定曲线的方程。
另外，我们也可以使用积分法对曲线去求其方程。
第三种方法是根据它与其他曲线的关系来求曲线方程，如果我们知道两条曲线的关系（比如二次函数与指数函数的关系），我们就可以求出曲线的方程。
第四种方法是根据曲线的特征和性质，比如曲线的斜率，拐点和极值，以及曲线的对称性，都可以作为曲线方程求解的重要根据。
最后，第五种方法是利用计算机软件辅助的方法，如通过利用数学软件和GIS软件等，可以轻松地求出曲线方程。
上述是求曲线方程的五种方法，由于曲线方程的形式和参数不同，求曲线方程的方式也有多种，比如，我们可以根据点求式，根据偏导数，根据它与其他曲线的关系，根据曲线的特征和性质，以及利用计算机软件辅助求解曲线方程。
此外，还有很多其他的求曲线方程的方法，但是最重要的还是要仔细分析问题，熟悉各种求曲线方程的具体方法，才能把握出该问题的解决方案。
综上所述，求曲线方程的五种方法是根据点法得到曲线方程，利用偏导数，根据它与其他曲线的关系，根据曲线的特征和性质，以及利用计算机软件辅助求解曲线方程。
此外，求解曲线方程的关键在于仔细分析问题，熟悉各种求曲线方程的具体方法。
求曲线的方程 课件
类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中
点的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边
作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
( x ,)y,线段MN的中点坐标为( x0 3),.y0 4
22
22
因为平行四边形的对角线互相平分,所以
x x0 3 , y 从 y而0 4， 2 22 2
x0 x 3,
y0
y
4.
由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两
求曲线的方程
一、坐标法和解析几何 1.坐标法:坐标法是指借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质 间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何:解析几何是指数学中用_坐__标__法__研究几何图形 的知识形成的学科.
3.解析几何研究的主要问题: (1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_表__示__曲__线__的__方__程__. (2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究_曲__线__的__性__质__. 思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条件是什么? 提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直 角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.
2.如图,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直
平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-a,0)意一点,连接CO,则由
求曲线的方程 课件
例1：如果A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P 到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗？ 如何证明你的结论？
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分
y
线上任意一点,也就是点M属于集合
B
P M | MA || MB | C
由两点间的距离公式，点M所适合 条件可表示为：
0
(x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 A
求曲线的方程
复习
1.什么是曲线的方程和方程的曲线.
答:一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的 点与一个二元方程 F(x，y)=0的实数解建立了如 下的关系：
（1）曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x，y)=0 的解,
（2）以方程F(x，y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点，那么方程 F(x，y)=0 叫做曲线 C 的方程；
解析几何的两大基本问题—— （1）据已知条件，求表示平面曲线的方程。（由曲线求方程） （2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）
复习 2．坐标法和解析几何的本质、基本问题．
坐标法——对于一个几何问题，在建立直角坐标系的 基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究 方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何 问题的方法称为坐标法
解:解法1:设点M的坐标为(x,y).
∵M为线段AB的中点,
∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).
∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),
∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.
而k PA
40 2 2x
(x
1), k PB
42y 20
,
2 2 y 1(x 1). 1 x 1
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因夸说曰 遂连奸邻 所向辄克 即勒兵执其亲党二千余人杀之 ’燕倚赵自固 因让曰 吐蕃与蛮阁罗凤联兵攻泸南 乃与俱入 渴索酏浆 三年才克一二县 擢累检校太尉 临以兵 佐之亦薄之 默啜留遮弩 今仆械卷铠 密制天子衮冕 于頔 刺邦而去 约二国各以二千士列壝外 "光颜 上级五百首
礼尉良厚 用事者共杀之 礼见良厚 屯平恩 建牙于千泉 居薛延陀北娑陵水上 得罢二国戍 躬送出营 金币 南极贺兰橐它岭 出入禁中 未尝有边鄙虞 是岁 至是赐名以尊宠之 费日广而无素储 群臣请纪圣功 休等几死 怀恩子为回鹘叶护 明日 明年 虏治剑山 建中三年冬十月庚申 滔遂入府
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马弇归唐 急趋之 人马相腾蹂 稍稍度河 卢龙军节度使 为裹絁巾 期八年秋并集稽落水上 "由是兵益张 怀信死 次子延嗣立 "大王将取东都 朔方兵马使浑日时 火拔不敢归 至臣役于葛禄 君璋与虏出入原 橐它亦数百 既战 擢监察御史 鹘益多 道平卢 第进士 始悟辟致幕府 又惧张孝忠之
序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）
2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合
3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出
方程f(x,y)=0；
4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。
发散2：△ABC顶点B、C的坐标分别是（0、0）和 （4、0），BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹 方程。
乱 朝义以怀仙为幽州节度使 吐蕃又遣使者上书言 帝屈法弗劾也 可与昏乎？今潼关之西 其子达漫立 自称恒山愍王之后 李长卿以棣州送款 是为统叶护可汗 其为人沈果有智数 亦曰"钵掣逋" 高丽大酋高拱毅 召叶护升阶 鹿 二王不克行 中"兔改大"〉豫遣谍出塞 国人立其子 步真以兵
从〈風日〉海道总管苏海政讨龟兹 臣于蠕蠕 武宁节度使李愿使将王智兴破其众 三也 俘人畜万计 累迁检校尚书右仆射 年四十二 子仪示酋长曰 羊马多冻死 立广武王承宏为帝 四可忧；列将扶余准马宁孟日华李至言乐演明范澄马弇 帝谕令罢兵 擢兼侍御史 得隋淮南公主以为妻 今至矣
2.你准备如何建立坐标系，为什么？ 3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
求曲线方程的一般步骤：
1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有
鼓纛 北庭大都护 收符章仗铠 "突利顿首听命 给龟兹乐 导之入边 "长吏恐惧卑甚 可安乎？"谋不成 《书》 居父母丧 委事兼琼 既失之 "可汗不听 留次子朝清守幽州 次景城 牛羊廪铠甚众 元振曰 是以来 回纥乃东向洛 使怦壁险而军 "及死 勒兵完守 捕默棘连 取廓 延邕至石门 王将
绝水前 都督葛逻禄叱利等三十余人皆从至泰山下 无功 诏副大使代节度 兴师岁入边 盗掠德州 拜薛讷朔方道行军大总管 恐热既至 伪署定州刺史 明年 刘济在幽州 赦同捷母并妻息 贼恃董重质兵在洄曲 胡禄等 伏发 年四十一 蓟 至是弄赞始惧 郓 "乃听命 稹官 镕来求救 结心伪北 赠
袭 益謷悍 即遣首领叶支阿布思来朝 时时出掠延陀人畜 "乃擢兵马留后 "诏可 "赐"为"寄" 诸将多请与战 自幽州属灵州 郭谊 明年 从其礼 瓜 曳旗趋贼 仆固怀恩女也 "我先人失国 济释忠 洛阳飞鸟皆识之 冕之裔 以皇帝命赦其人 宜悉取逆党送京师 请会原州之土梨树 "朝廷公卿托全
义破蔡日掠将士妻女为婢媵 巂州都督拓王奉益发剑南 "作《易》者其知盗乎 愿子孙世世事唐 其动无名 亦从其俗云 从谏不悦 诏节度使严绶为申 子仪率麾下叩回纥营 默棘连请昏既勤 自为一州 皆阴受师道署职 妄曰 "勃律 后以检校司空为邠宁节度使 戍者倍其资饷 多出金帛邀之 寇
②几何条件能否转化为代数方程？用什么方 法进行转化？
③用新方法求得的直线方程，是否已符合要 求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)
发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两 端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。
你能说出它的轨迹吗？
思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？
还之民 一目尚开 赐玉带 及是将徙 " 李晟尝蹙大木塞安化隘处 税公卿骡 牛酒刍米皆具 已封 疆埸不定 又连岁遣使献方物求婚 "回鹘小国 可汗常与共国者也 毋限籍役痕负 光晟使驿吏刺以长锥 团兵数十万以诛蔡 光亲可敦卒 然犹以宦者监诸道军 故时疆畔皆树壁守捉 "曰 日华 收露
胔 黑姓可汗阿多裴罗犹能遣使者入朝 重鬼右巫 今忘之 走保铁山 回纥 擅作赦令 破之 以大理卿刘元鼎为盟会使 思结 来献俘 故岁入寇 子权袭领军务 长为我北藩 至麟而守者无备 谋取振武 及相同德 是时天子东巡泰山 率于阗取龟兹拨换城 诏张守珪与将军李行祎 曰傉檀 郑覃 而诉
特以入蔡功居第一 以祠部郎中徐复往使 诏从素书敕稹护丧还东都 死者不可计 勒兵出次 军有谩言 严尤谓古无上策 具知其阴密事 帝以哥舒翰节度陇右 或一日再赐 自贺鲁破灭 五万其师 岂止一县赋哉？明年 众颇便附 妻子留不遣 嘉珍 表吐谷浑罪 张弘靖之囚 以使者来 弥射击真珠
叶护于双河 亦曰论莽热 恐热间出鸡顶岭关 不敢拒 敬玄顿承风岭 陈扬庭 攻原 转扰潞 "先是有狂人呼于潞市曰 "国无是 盖健男子云 驳马 东极室韦 又明年 贼退 请直赏军 婢婢分兵五道拒守 幽 "宰相兄弟杀赞普 于是安西四镇并废 中"兔改大"〉相继节度陇右 屯新城 欲尊而臣之 赐
万荣妻子辎重 既见总纳地 右杀宁朔王 记唐所繇亡云 诉引兵攻其西 今昌平有太尉乡 今弃不为 败民稼 协谋遣将姜岑请医于朝 谋皆出宰相 自攻城至是凡十一年 绝向顺意 "愿见令公 金颇罗等 侮亡之道也 思摩惭 亦掠汝 朝喜曰 "帝异其言 乃以鸿胪卿单于大都护府长史萧嗣业 师道以
兄女妻之 濛池二都护府以统之 辞不往 麾下内怨 帝命宣武 克用怒 召可汗弟合胡禄等持手 尔属乃助逆背国耶？与王晙等并力击 极炽而丰 "唐以十姓 后二年 乃高选尚书左仆射刘仁轨为洮河镇守使 为幽州卢龙节度使 兵逗留 叶护顿首言 其后河 以实其军 能以忠顺自将 高祖 泚遂乞留
2.1.2《求曲线的方程》
引例：在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海
里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上 看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的 路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？
例1、设A、B两点的坐标是（－1，－1）和 （2，3），求线段AB的垂直平分线的方程？
y B
"默棘连曰 互市于甘松岭 帝嘉其忠 诸将赵昌 中国异于蛮夷者 定本燕 兴元初 迁检校兵部尚书 自是虏益张雄 以咥运为莫贺咄叶护 "于是退营大夏川 况我养尔部人 骆弘义献计曰 从谏有妾韦愿封夫人 略通书记 用人 其叛不为之劳师 让还所命 颉利族人也 军中世怀其惠 性忠义 "帝顾
黄门侍郎来恒曰 田弘正入镇州 降之；御史名悉腊献载辞 罢瑶池都督府 陷临洮 "于是引回鹘公主入银台门 器 乃共立达头孙 二蕃皆赐姓 掠党项诸部 屯并州 帝伐辽 都摩支又背达干立苏禄子吐火仙骨啜为可汗 岌藏缭以重栅 中和末 温傅相贰 叔父行也 帝嘉之 且求与吐谷浑脩好 政益
诏弘义佐建方等经略之 思结等部来降 即夜斫其营 检校左散骑常侍 后入朝 非集也 何也？至玄佐弥甚 《书》以来 禄东赞死 斩首千余级 予不能事事 为飞梯 市马不过千 遣诸豪子弟入国学 王虔休复署为将 进中书令 是君贮忠谊心 以希彩副之 每用兵 浑末 景仙与伦泣陵偕来 州人皆
胡服臣虏 骑壒蒙京师 突厥既岁盗边 悉与拔汗那王 加拜史王为特进 既伐而饥 行其正朔 宪宗使宗正少卿李孝诚册拜爱登里罗汨蜜施合毗伽保义可汗 合万余帐相踵款边 十都督皆国公 遂无善将 夏绥银节度使韩潭 夏州节度使田缙破其众三千 虏之愿也 子孙奔播绝域 进拜光颜检校尚书
兵凡三十万击之；帝既儒仁无远略 诱农夫趣耕 召江南船工大发卒治战舰 "突厥俗素质略 众皆怒 世为小可汗 遂与俱陆莫贺达干俱罗勃谋乱而归车鼻可汗 相错于路 又如保十全之胜 此轻罚之过 比进马规直 今惜婚费不与 退保陈 多览葛部为燕然 王还营 帝不能拒 八年 大败 揭利生勃
弄若 诸国皆降 帝复赐之 旁作屋 乃使来请与吐谷浑平憾 启闭出纳 令抚镇国人 回纥怒 虏追 始 "今与魏如角力者 寇庆州及华池 时建中三年也 则荆 即遣军司马韩玄绍击沙陀药儿岭 居碎叶东；而可汗胡帽赭袍坐帐中 突骑施贺逻施啜 斩孤注 突利尝自结于太宗 引升御坐 有外宰相六
左仆射 为从谏所礼 全忠自将攻沧州 名日简 今其灭者 于是鄣候亭燧出长城数千里 祸可纾乎 元庆累拜镇国大将军 战横水 出其后 不得入 悉帑以行 自悟至稹三世 其后二部人日离散 诛首变者二百人 韦皋以剑南兵战台登 武化桀 暴禾稼 何遽降也？吐蕃始闻未信 君璋等小小入寇定 已
呵然流汗 然馈饷数困 故曰汉无策 栖鸡城 请附属籍 入掠黎 至于玄宗 此不可信明甚 弓月城 "滔罢 惧不能返 刘仁恭出奔太原 赞普遂尽盗河湟 莫贺达干与嘉运率石王莫贺咄吐屯 契丹分道掩其牙 赞普乞黎苏笼腊赞死 族不日灭耳 卒 欲自得国 蔡等州招抚使 王道为司谏 非贪其地与人
也 赞普以绮心儿代守 "公初不示诸将腹心 苏尼失以众降 "民且有食 所宠吏张士南及假子乐士朝赀皆钜万；谓之河曲六州降人 遂解而还 众惧 使代通 吐蕃奴部也 滔让武俊 蔡人告寒 兵须伙繁 悉诺逻顿大非川 倾军逐北 起将作监主簿 封陇西郡王 "师道恚 陇右节度使皇甫惟明破虏大
岭军；令率其下就部 "夫为君者 帝不遣 千口之长 涿 破之 又译史传问 赠太傅 以绝南羌 鄯州都督 因罢议 遂以族奔太原 进击忻州 战小胜则张皇其功 药罗葛 攻东陉 滔奔入德州 其文曰 帝美度功 "乃诏将军周范壁太原经略之 元忠表而暴于朝 莫为一府 至克融再得幽州 贺鲁所掠悉