§6.3 正态总体样本均值与样本方差的分布课件
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63常用统计量的分布
§6.3常用统计量的分布一、样本均值的分布1、单个正态总体下的样本均值的分布2、两个正态总体下的样本均值的分布3、非正态总体下的样本均值的近似分布二、-分布1、分布定义2、分布的性质3、分布的典型模式4、分布的上α分位点2χ2χ2χ2χ2χ三、t-分布1、t 分布的定义2、t(n)的性质3、t(n)的典型模式4、t(n)分布的上α分位点四、F-分布1、F分布的定义2、F分布的性质3、F分布的典型模式4、F分布的上α分位点五、正态总体样本均值与样本方差的分布1、单个正态总体下样本均值与样本方差的分布2、两个正态总体下样本均值差与样本方差比的分布)2.3(1)(1)1()(1)(1)1()(,,,2,1,)(,)(,,,1)1.3(),(~11,,,,),,(1.31222121112212121212n n nX D n X n D X D n nX E n X n E X E n i X D X E X X X X nN X n X nX n X X X X X N X n i i n i i n i i n i i i i n ni i ni i n σσµµσµσµσµσµ=⋅====⋅========∑∑∑∑∑∑======于是有相互独立同分布，故与：由于注的正态分布，即，方差为服从均值为值的一个样本，则样本均为来自服从正态总体设总体定理本均值的分布、单个正态总体下的样一、样本均值的分布"""这点处。
望取值几乎集中在数学期时且当高的集中程度远比总体要的取值于即倍的方差的的方差却只是但有相同的数学期望与由上述可知注µµX n X nX X X X ,,,1,,:2∞→212(1,0.2),,,,,{0.9 1.1}0.95?n X N n X X X X P X n ≤<≥"例 设总体服从正态分布从中抽取容量为的样本欲使样本均值满足不等式试求样本容量最小应为取多大2110.2:~(1,)1.110.910.95{0.9 1.1}0.20.2()()2()1222ni i X X N nnP X n n n n n==⎛⎞⎛⎞−−≤≤<=Φ−Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=Φ−Φ−=Φ−∑解由题设知故0.951()0.975; 1.96,15.3664222,16n n n n +Φ≥=≥≥即查表得故因此样本容量最少应取。
第54讲 抽样分布(4) 样本均值和样本方差的分布
概率论与数理统计
主讲：四川大学
四川大学1
§6.3 抽样分布
四川大学3
第54讲抽样分布(4)
样本均值和样本方差的分布四川大学
四川大学4
四、正态总体的样本均值和样本方差的分布四川大学5
一个正态总体的样本均值和样本方差的分布四川大学13
四川大学
15
复习正态分布的线性组合的性质
教材104~105页下面要反复用这个性质
四川大学
四川大学
四川大学16
两个正态总体的样本均值和样本方差的分布四川大学30
12
四川大学38
四川大学四川大学41
考研题评讲
四川大学44。
§6.3正态总体样本均值与样本方差的分布
X~
, X~
Sn
P X12X22X32 2.5
,Xn为X的样本,则 , .
X ~ t(n 1).
S/ n
证明 因为 X/n~N(0,1),(n12)S2~2(n1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X / n
(n2(n1)S12)~t(n1).
6.3.2 两个正态总体的情形
定理6.3 设X1, X2, , Xn与Y1,Y2, ,Ym分别是来
§6.3 正态总体样本均值与样本方差的分布
单个正态总体的情形 两个正态总体的情形 小结 练习
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正
态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布
有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。
因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
S12/S22
12/22
~F(n1,m1);
(3)
当 12
Байду номын сангаас
2 2
2
时,
(X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
,
Sw
Sw2 .
小结
两个重要定理
定理6.1
X
~
N
布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本
方差。
样本均值
X
1 n
n i1
Xi
样本方差 S2n11i n1(Xi X)2
6.3.1 单个正态总体的情形
6-3正态总体样本均值和样本方差的分布
12
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 72 1 【注】 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 3 3 1 ．
20 30 4
0．. 9 5 4 4
•7
§3 正态总体样本均值和样本方差的分布
（本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布（重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布（简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的
1) ．
•6
例 3.3 从总体 X ~ N(1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个 独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2⑴ ，可 得 X Y ~ N(0, 1) ，所以
4 P{ X Y 1} P{ X Y 2}
Xi
，样本方差为 S12
1 n1 1
n1 i1
(Xi
X )2
．
(Y1,Y2 ,L
,Yn2 ) 为来自总体Y
~
N
(2
,
2 2
)
的一个样本，样本均
值为Y
1 n2
n2
Yi ，样本方差为 S22
i 1
1 n2 1
n2 i1
(Yi
Y )2
，且
X1, X 2 ,L , X n1 与 Y1,Y2 ,L ,Yn2 相互独立．则
例 3.1 设 (X1, X2,L , X9 ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个 样本，求 P{0.4656 X 0.9655}．
S
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 72 1 【注】 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 3 3 1 ．
20 30 4
0．. 9 5 4 4
•7
§3 正态总体样本均值和样本方差的分布
（本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布（重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布（简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的
1) ．
•6
例 3.3 从总体 X ~ N(1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个 独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2⑴ ，可 得 X Y ~ N(0, 1) ，所以
4 P{ X Y 1} P{ X Y 2}
Xi
，样本方差为 S12
1 n1 1
n1 i1
(Xi
X )2
．
(Y1,Y2 ,L
,Yn2 ) 为来自总体Y
~
N
(2
,
2 2
)
的一个样本，样本均
值为Y
1 n2
n2
Yi ，样本方差为 S22
i 1
1 n2 1
n2 i1
(Yi
Y )2
，且
X1, X 2 ,L , X n1 与 Y1,Y2 ,L ,Yn2 相互独立．则
例 3.1 设 (X1, X2,L , X9 ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个 样本，求 P{0.4656 X 0.9655}．
S
正态总体样本均值与方差的分布和性质
2
~ χ ( n + m 2)
2
X Y 与
(n 1) S
2
2 1
+
(m 1) S
σ
2 2
2
相互独立
( X Y ) ( μ1 μ 2 )
ch6-51
σ2
n ( n 1) S12
+ +
σ2
σ
m ( m 1) S 22
2
n+m2
σ2
( X Y ) ( μ1 μ 2 ) = ~ T (n + m 2) 2 2 1 1 (n 1) S1 + (m 1) S 2 + n m n+m2
σ
2
∑(X
i =1
n
=
i
n(n 1) ( X μ )
X)
2
∑(Xi X )
i =1
n
2
~ T (n 1)
n 1
故应选(B)
ch6-62
作业 P 202 习题六
6 9 10 补充题
1. 总体X ~ N(μ,σ 2)(σ >0),从该总体中抽取 简单随机样本
ch6-63
X 1 , X 2 , L , X 2 n ( n ≥ 2)
X Y ~ N ( μ1 μ 2 ,
σ2 σ2
n + m
)
( X Y ) ( μ1 μ 2 )
σ2
n
+
σ2
m
~ N (0,1)
ch6-50
(n 1) S
σ σ
2 1
2
~ χ (n 1)
2
(m 1) S 22
2
~ χ (m 1)
2019§.正态总体样本均值与样本方差的分布.ppt
的样本, X 与 S 2 是样本均值与样本方差, 则
2 X ~ N 0, 1 ; (1) X ~ N , 或 n n
(2)
( n 1) S
2
2
~ ( n 1);
2
(3) X 与 S 2 相互独立.
定理6.2 设 X 1 , X 2 ,
2
, X n 是来自正态总体 N ( , )
2. 设总体 X ~ N (0,1), X 1 , X 2 , X~ P , X S n ~
, X n 为X的样本, 则 ,
2 2 X 12 X 2 X3 2.5
.
布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本
方差。
1 n 样本均值 X X i n i 1
n 1 2 样本方差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1
设 X1 , X2 )
§6.3 正态总体样本均值与样本方差的分布
单个正态总体的情形
两个正态总体的情形
小结
练习
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正 态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布 有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。 因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
2 本均值和样本方差, Y , S2 分别为Y1 , Y2 ,
本均值和样本方差, 则
(1)
( X Y ) ( 1 2 )
2 1
n
2 2
~ N (0,1);
m
2 S12 / S2 (2) 2 2 ~ F ( n 1, m 1); 1 / 2
正态总体的均值和方差的假设检验课件PPT
(3)拒绝域: W1={(x1, x2, ∙∙∙, xn, y1, y2, ∙∙∙, yn)||u| u /2=1.96},
(4)统 计 量 观 察 值 ： u(xy)/ 1 22 21301252.5
n 1 n 2 6080 30 40
( 5 ) |u | 2 .5 1 .9 6 , 拒 绝 原 假 设 H 0 .
0.42, 0.08, 0.12, 0.30 , 0.27
处理后: 0.15, 0.13, 0.00, 0.07, 0.24,
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12 假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立, 方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在 处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ 1 ,σ 1 2 )Y , ~ N ( μ 2 ,σ 2 2 )
1 假 H 0 : μ μ 0 设 , H 1 : μ μ 0 ; 2° 取检验统计量
T X0 ~t(n1);
Sn / n
(当H0为真)时
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P |T | t /2 ( n 1 ) ,查表 t /2 ( n 1 可 ).
拒绝域： W1 = { (x1,x2,∙∙∙,xn)| |t | t /2 (n-1)}；
(4) 由样本值计算U的观测值为
ux800977080032.25;
40
40
(5)判断:由 |u|2.251.9,6故拒绝原假设H0,即
不能认为这批钢索的断裂强度为 800 Mpa .
2. σ2为未知 μ的 ，检 关 t检 验 于 验 （法）
设 X 1 ,X 2 ,,X n 是来自 N (μ ,正 σ 2)的 态 一 总 其μ 中 ,σ2未知，检 α， 验检 水 μ的 验 平 步为 骤
(4)统 计 量 观 察 值 ： u(xy)/ 1 22 21301252.5
n 1 n 2 6080 30 40
( 5 ) |u | 2 .5 1 .9 6 , 拒 绝 原 假 设 H 0 .
0.42, 0.08, 0.12, 0.30 , 0.27
处理后: 0.15, 0.13, 0.00, 0.07, 0.24,
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12 假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立, 方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在 处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ 1 ,σ 1 2 )Y , ~ N ( μ 2 ,σ 2 2 )
1 假 H 0 : μ μ 0 设 , H 1 : μ μ 0 ; 2° 取检验统计量
T X0 ~t(n1);
Sn / n
(当H0为真)时
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P |T | t /2 ( n 1 ) ,查表 t /2 ( n 1 可 ).
拒绝域： W1 = { (x1,x2,∙∙∙,xn)| |t | t /2 (n-1)}；
(4) 由样本值计算U的观测值为
ux800977080032.25;
40
40
(5)判断:由 |u|2.251.9,6故拒绝原假设H0,即
不能认为这批钢索的断裂强度为 800 Mpa .
2. σ2为未知 μ的 ，检 关 t检 验 于 验 （法）
设 X 1 ,X 2 ,,X n 是来自 N (μ ,正 σ 2)的 态 一 总 其μ 中 ,σ2未知，检 α， 验检 水 μ的 验 平 步为 骤
最新§6.3正态总体样本均值与样本方差的分布
X~
, X~
Sn
P X12X22X32 2.5
,Xn为X的样本,则 , .
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§6.3正态总体样本均值与样本方 差的分布
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1 设 X 1 ,X 2 , ,X n是 来 自 正 态 总 体 N (, 2 )
的 样 本 , X 与 S 2是 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ,则
(1)
X
~
N
,
2
n
或X
n
~
N0,
1;
(2)
(n1)S2
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n1)S2 ~t(n1). / n 2(n1)
6.3.2 两个正态总体的情形
定理6.3 设X1, X2, , Xn与Y1,Y2, ,Ym分别是来
自正态总体N(1,12), N(2,22)的样本,且这两个
样本互相独立,设X, S12 分别为X1, X2, , Xn的样 本均值和样本方差,Y, S22 分别为Y1,Y2, ,Ym的样 本均值和样本方差, 则
(1) (XY)(12) ~N(0,1); 12 22
nm
(2)
S12/S22
12/22ຫໍສະໝຸດ ~F(n1,m1);(3)
当 12
2 2
2
时,
(X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
,
Sw
Sw2 .
小结
两个重要定理
定理6.1
X
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布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本
方差。
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1 设 X1, X2 , , Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, X 与 S2 是样本均值与样本方差, 则
(1)
X
~
N
,
X
X~
,
~
Sn
P
X
2 1
X
2 2
X
2 3
2.5
, Xn 为X的样本,则 , .
,
2 2
)的样本,
且这两个
样本互相独立, 设 X , S12 分别为 X1 , X 2 , , X n 的样
本均值和样本方差, Y , S22 分别为Y1 ,Y2 , ,Ym 的样
本均值和样本方差, 则
(1) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1);
2 1
2 2
nm
(2)
S12 / S22
§6.3 正态总体样本均值与样本方差的分布
➢ 单个正态总体的情形 ➢ 两个正态总体的情形 ➢ 小结 ➢ 练习
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正
态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布
有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。
因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
6.3.2 两个正态总体的情形
定理6.3 设 X1 , X 2 , , X n 与Y1,Y2 , ,Ym 分别是来
自正态总体
N
(
1
,
2 1
),
N
(2
2
n
或
X
n
~ N 0, 1;
(2)
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1);
(3) X 与 S 2 相互独立.
定理6.2 设 X1, X2 , , Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, X 与 S2 是样本均值与样本方差, 则
X ~ t(n 1).
S/ n
证明因为 X ~ N (0源自1), / n2 1/
2 2
~ F(n 1, m 1);
(3)
当
2 1
2 2
2
时,
( X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
(n 1)S12 (m 1)S22 , nm2
Sw
Sw2 .
小结
两个重要定理
定理6.1
X
~
N
,
2
n
;
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
定理6.2
X ~ t(n 1)
S/ n
1. 设总体 X ~ N (1, 22 ), X1, X2 , , Xn 为X的样本,则
A. X 1 ~ N (0,1) 2
B. X 1 ~ N (0,1) 4
C. X 1 ~ N (0,1) 2n
D. X 1 ~ N (0,1) 2
2. 设总体 X ~ N (0,1), X1, X2 ,