数学必修4教学案：2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
教学目标：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………○2
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1）若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即，同理可得
（2）若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==( x2，y2) (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0)
例4已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0)
即：∴∴(5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且，求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
2.3.2平面向量正交分解及坐
标表示
课前预习学案
1、复习回顾：
平面向量基本定理：
理解：(1) 我们把不共线向量ｅ
１、ｅ
２
叫做表示这一平面内所
有向量的 ;
(2) 基底不惟一，关键是；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、提出疑惑：
如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？
课内探究学案
一、探究学习
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做与相等的向量的坐标也为.
特别地，i= , j= , 0= .
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1）若，，则= ，= .
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即=，同理可得= .
（2）若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==( x2，y2) (x1，y1)= .
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
二、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例4已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
三、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且，求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
课后练习与提高
1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则=_______________，=__________________。

2、已知向量,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则的坐标为
_____________。

3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（）
A．
B．
C．
D．
4、已知向量则与的关系是（）
A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向
5、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6）
E（-2，-2） F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。

参考答案：
1、（2，3）（6，5）
2、（，2）
3、B
4、D
5、略。