一道三角函数竞赛题的多种解法
三角方程的解法
三角方程的解法
1. 引言
三角方程是包含了三角函数的方程，与普通的代数方程相比，其求解过程中存在一些特殊性。
本文将介绍几种常见的解三角方程的方法。
2. 常见三角方程的解法
2.1. 三角恒等变换法
三角恒等变换法是一种常用的解三角方程的方法。
该方法通过把原方程经过一系列的三角恒等变换，转化为一个更简单的方程，从而得到解。
例如，对于sin(2x) = 1的方程，可以使用三角恒等变换sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来简化为2sin(x)cos(x) = 1的方程。
2.2. 利用单位圆解法
单位圆解法是一种通过在单位圆上寻找角度的方法来解决三角方程的方法。
该方法通过将三角方程转化为在单位圆上求解对应角度的问题。
例如，对于cos(x) = 1/2的方程，可以在单位圆上找到x = π/3和x = 5π/3两个解。
2.3. 利用三角函数的周期性
三角函数具有周期性，利用这一特性可以简化三角方程的求解
过程。
例如，对于sin(x) = sin(π/6)的方程，考虑到正弦函数的周期
是2π，可以得到x = π/6 + 2πn和x = π - π/6 + 2πn两个解。
其中n
为整数。
3. 总结
解三角方程是研究三角函数的重要环节，通过熟练掌握三角恒
等变换、单位圆解法以及利用三角函数的周期性，可以解决各种类
型的三角方程。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的解法，并注意方程的特殊性。
以上就是本文对三角方程解法的介绍，希望对读者有所帮助。
三角函数竞赛试题与方法
三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。
例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。
【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。
浅谈三角函数的解题方法
浅谈三角函数的解题方法三角函数是数学中的一种重要概念，它涉及三角形的边长与角度的关系。
解题是数学学习的一大重点，而解三角函数的题目，可以通过以下几种方法来进行。
1. 利用基本恒等式三角函数有很多基本的恒等式，比如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，正切函数等于正弦函数除以余弦函数等等。
在解题过程中，可以通过运用这些基本恒等式来简化方程，使得计算变得更加简便。
2. 利用特殊角的值在三角函数中，常用的特殊角有30度、45度、60度等等。
这些特殊角的正弦、余弦、正切的值是已知的，可以在解题中直接使用，从而简化计算过程。
对于一些复杂的三角函数问题，可以通过取特殊角来换算成简单的三角函数问题进行求解。
3. 利用图形解法对于一些几何问题，可以通过画图来解决。
绘制出相关的三角形，利用三角形内角和为180度的特性，结合已知条件，可以得到一些关系式，从而求解未知量。
图形解法在解决实际问题中尤为重要，可以帮助我们更好地理解三角函数的概念和性质。
4. 利用逆函数三角函数中，每个函数都有对应的反函数。
当已知三角函数的值，需要求解对应的角度时，可以通过三角函数的逆函数来获得解。
比如已知正弦函数的值，可以通过反正弦函数来求解对应的角度。
逆函数的运用可以将三角函数问题转化为代数问题，使得求解更加简便。
5. 利用三角恒等式和公式三角恒等式和公式是三角函数解题过程中非常重要的工具。
这些公式包括和差公式、倍角公式、半角公式等等。
通过运用这些公式，可以将复杂的三角函数问题转化为简单的问题，进而求解。
高中数学三角函数解题实例及解题思路分析
高中数学三角函数解题实例及解题思路分析在高中数学学习中，三角函数是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握三角函数的解题方法和思路对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过一些实例来解析三角函数解题的思路和技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常见的一种，它在解决角度问题时特别有用。
下面以一个实例来说明。
例题：已知在直角三角形ABC中，角A的对边为3，斜边为5，求角A的正弦值。
解析：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
所以，sinA = 对边/斜边 = 3/5。
通过这个例题，我们可以看出，解决正弦函数的题目，首先要明确正弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。
二、余弦函数的应用余弦函数在三角函数中也是常见的一种，它在解决角度问题时同样非常有用。
下面以一个实例来说明。
例题：已知在直角三角形ABC中，角A的邻边为4，斜边为5，求角A的余弦值。
解析：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。
所以，cosA = 邻边/斜边 = 4/5。
通过这个例题，我们可以看出，解决余弦函数的题目，同样要明确余弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。
三、三角函数的性质除了直接计算三角函数的值，我们还可以利用三角函数的性质来解题。
下面以一个实例来说明。
例题：已知sinA = 3/5，cosB = 4/5，求sin(A+B)的值。
解析：根据三角函数的性质，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB。
代入已知条件，得到sin(A+B) = (3/5)*(4/5) + (4/5)*(3/5) = 24/25。
通过这个例题，我们可以看出，利用三角函数的性质可以简化计算过程，提高解题效率。
四、三角函数的图像应用三角函数的图像在解题中也有很大的应用价值。
下面以一个实例来说明。
例题：已知函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像如下所示，求解sin(x) = 1的解。
三角函数求解方法
略谈三角函数问题解题方法三角函数问题的题型主要有：三角函数式的化简、求值、证明，方法诸多，如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等，解题中心是“变角”、“变名”、“变式”，基本思路是从“角”“名”“形”入手，根据问题的目标，对其变换或通过对“角”“名”“形”的变换，确立变形目标，使问题向有利解决的方向转化。
一、三角函数式的化简例1、化简 22222sin sin 2cos cos cos2cos2θϕθϕθϕ+-分析 本题中出现的角的形式多，故应先变角。
解：原式=2222222sin sin 2cos cos (2cos 1)(2cos 1)θϕθϕθϕ+---=2222222sin sin 2cos cos 2cos 2cos 1θθθθθθ-++-=222222sin sin 2cos (1cos )2cos 1θθθθθ+-+-=22222sin (sin cos )2cos 1θθθθ++-=222sin 2cos 1θθ+-=1.[点评] 化简三角函数的基本方法：统一角、统一名 通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。
二、 三角函数的求值。
1、给角求值。
利用和、差公式变形，使其出现特殊角，若非特殊角，则可能出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。
例2、 求 22sin 10cos 703sin10cos70++的值[分析] 式中两个角存在关系701060-= 可从“角度”入手。
解：原式=22sin 10cos (6010)3sin10(6010)cos ++++ =221313sin 10(cos10sin10)3sin10(cos10sin10)2222+-+- =22111sin 10cos 10444+= [点评] 本题三角函数均为弦函数，所以变换的角度只涉及角。
一般来说，三角式的化简，应首先考虑角，其次是函数名，再次是代数上的结构特点。
一道三角函数题的九种解法
一道三角函数题的九种解法三角函数是数学中一种重要的函数类型，其涉及角的度量和比例关系。
下面将介绍一道三角函数题的九种解法。
题目：已知三角形ABC，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求BC的长度。
解法一：余弦定理根据余弦定理，可以得到：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)代入已知条件：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos(60°)BC² = 9 + 16 - 24 * cos(60°)BC²=25-24*0.5BC²=25-12BC²=13BC=√13解法二：正弦定理根据正弦定理，可以得到：BC / sin(∠BAC) = AB / sin(∠ABC) = AC / sin(∠ACB)代入已知条件：BC / sin(60°) = 3 / sin(∠ABC) = 4 / sin(∠ACB)BC / sin(60°) = 3 / sin(∠ABC)BC = sin(60°) * (3 / sin(∠ABC))BC = √3 * (3 / sin(∠ABC))利用三角形内角和为180°的性质，可以得到∠ABC=180°-60°-∠ACB=120°-∠ACBBC = √3 * (3 / sin(120° - ∠ACB))BC = √3 * (3 / sin(∠ACB - 60°))BC = √3 * (3 / sin(∠ACB + 60°))通过使用已知条件的角度范围，可以求出sin(∠ACB + 60°)的值，进而求得BC的长度。
解法三：正切函数由正切函数性质可得：tan(∠BAC) = BC / AB∠BAC=60°tan(60°) = BC / 3√3=BC/3BC=3√3解法四：余切函数由余切函数性质可得：cot(∠BAC) = BC / AB∠BAC=60°cot(60°) = BC / 31 / tan(60°) = BC / 31/√3=BC/3BC=√3解法五：辅助角根据已知条件，可以发现∠BAC是一个直角三角形的角，因此可以转化为一个特殊的30°-60°-90°三角形。
高考数学题集，三角函数大题解法最后一步配凑角巧妙简单
高考数学题集，三角函数大题解法最后一步配凑角巧妙简单
三角函数大题，两问都求值，是比较简单的，能用到的知识和方法还是化简求解常规步骤
方法1直接把角带入求值，这个方法很直接，不需要很多的思考时间，只要计算能力过关，正确答案容易求解，第二问从所给条件特征推断，先化简再求值，应该是正解，化简步骤降幂公式，正弦二倍角逆用公式，最后辅助角公式，题图中没有写这一步，因为最后题目要求的是sinα，直接套用已知条件，再利用同角的平方关系，得出一个关于sinx的二次方程，解出来即可。
到这里很多同学就直接写答案了，但是回过头来再看看，α∈（0，π）这个范围，从这里可以感觉到，两个答案里可能有要舍去的解，正弦值为正，负的舍去，解答完毕。
方法2先化简，直接两问同时解决了，第一问直接带入求解得结果，第二问由化简结果中带入，同样也利用平方关系解得相应的余弦值，最后配凑角，也是非常巧妙的解决这个问题。
三角函数基本题型及解题方法
三角函数基本题型及解题方法三角函数基本题型及解题方法对于三角函数的问题，特别是一些创新型问题，对大多数同学来说可能会感到陌生。
这些问题主要考查学生对于重要数学思想和方法的掌握以及在考试时对自己心态的调整。
但是，我们可以使用特殊化方法来解决这些问题。
特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立。
若不成立，则必然选项是错误的。
特殊化方法一般有赋特殊值、特殊函数等。
一、单调性类问题例11）若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA。
sinB-cosA)在哪个象限？选项为A、B、C、D。
2）设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是？选项为A、B、C、D。
分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目。
常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜。
对于（1），赋A=B=60°，可知选B；对于（2），赋α=β=30°，可知选D。
例2若A、B、C是△XXX的三个内角，且A<B<C(C≠π/2)，则下列结论中正确的是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：赋A=30°，B=70°，C=80°，可知B、D错；赋A=30°，B=50°，C=100°，知C错。
故选A。
例3函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数？选项为A、B、C、D。
分析：所给函数的定义域显然是R，又令f(x)=xcosx-sinx，则f(π/2)=f(3π/2)=-1，f(π)=-π，f(π/6)=1，f(2π)=2π。
如对选项A，x从π/3到2π/3，y从-1，-π到1，不符合题意，同理可排除C、D。
例4函数y=2sin(π/6-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：只需考虑区间端点处的函数值，有①x=0，y=1；②x=π/12，y=√3/2；③x=π/3，y=-2；④x=5π/6，y=1.可知选项B为正确答案。
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一道三角函数竞赛题的多种解法
《华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材》第169页有这样一道竞赛题： 求满足下式的锐角x ：4sin 347cos 1215=-+-x x
由于此题较难，所以笔者将它作为我校高二竞赛培训中的一道压轴考试题，但考试结果较好。
笔者收集了几种颇具代表性的解答，供竞赛教练和同学参考。
解法1：考虑构造余弦定理（此法与教程相同）。
因
4)90cos(3432cos 31223123
2
2
2=-︒-++⨯-+x x
在ABC Rt ∆中，设3 =
CE ，x ACD =∠，则x BCD -︒=∠90。
如图，||4|||AB BE AE ≥=+，又4412||=+=AB 所以点E 、D 重合。
设y AD =||，于是
)]90sin(2sin 32[32
1
32x x S S S BCD ACD ABC -︒+⨯=
+==∆∆∆ ︒=⇒︒+=⇒60)30sin(1x x
解法2：运用柯西不等式。
因≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2222sin 347cos 4513x x
2sin 3471cos 453⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+-⨯≥x x 16sin 347cos 12152
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=x x 当且仅当
x
x sin 3471
cos 453-=-，即4cos sin 33=-x x ，
因x x x f cos sin 33)(-=在⎪⎭⎫
⎝
⎛2 ,0π上递增，又4)3(==πf ，则3
π
=x 。
解法3：分子有理化巧妙化简。
因4sin 347cos 1215=-+-x x ① 则
⇒=------4sin 347cos 1215)sin 347()1215(x
x x cocx
x x x x sin 3cos 32sin 347cos 1215+-=--- ②
由(①+②2
)整理得：04)sin 3(cos 4)sin 3(cos 2=++-+x x x x
则2sin 3cos =+x x ，从而︒=60x .
12
3
2
C
A
B
D E
解法4：朴素的化简运算。
原式化为x x sin 347cos 12154-=
--
两边平方得：x x x cos 45232cos 3sin -=+-， 即x x cos 453)30cos(-=
+︒+-。
两边平方得：02cos 4)30cos(32)30(cos 2
=-+︒+-︒+x x x
即01)30sin(2)30(sin 2
=+︒+-︒+x x 1)30sin(=︒+⇒x ，则︒=60x . 解法5：先换元再构造方程组
令b x a x =-=-sin 347 ,cos 1215，
则4=+b a ，1215cos 2
a x -=，3
498347sin 22+--=-=a a b x
由1sin cos 2
2=+x x 得：0)3(0811*******
2
3
4
=-⇒=+-+-a a a a a
则3=a ，即︒=⇒=-603cos 1215x x . 解法6：先转化为解析几何问题，再用三点共线。
原式化为
4)2sin 3()cos 3()sin 3()32cos 3(2222=-+++-x x x x
设点)sin 3 ,cos 3(x x P ，)0 ,32(A ，)2 ,0(B ，则4||||=+PB PA 又因4||=AB ，则点P 在AB 上，因AB 的方程为
12
3
2=+
y
x ， 则
12
sin 33
2cos 3=+
x
x ，从而︒=60x 。
解法7：先数形结合，再构造方程组。
原式化为4)3sin 2()cos 2()sin 2()1cos 2(32
2
2
2
=-+++-⨯x x x x 设点)sin 2 ,cos 2(x x P ，)0 ,1(A ，)3 ,0(B ， 则4||||3=+PB PA ①
由余弦定理知：4||5cos cos 2
PA POA x -=∠=，
3
4||7cos sin 2
PB POB x -=
∠= ，则
()+
-16
||52
2PA ()148
||72
2=-PB ②
x
y
由①②知：48)||5(3)9||38||3(2
222=-++-PA PA PA
令t AP =||，则30)3(0931218344
234=
⇒=-⇒=+-+-t t t t t t
从而2
1
cos =x ，即︒=60x .。