一道国外竞赛题的多种解法

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中 等 数 学
C、 B.
设 △MN P 的 外心 为 W ( 即 为 △DEF 的九点圆圆 心) . △MN P 外接圆 的 反 演 圆 为 △ABC 的外 接 圆 . 于 是 , I 、 图3 [1] W、 O 三点共线 . 因为 IW 在 △DEF 的欧拉线上 , 所以 , △DEF 的垂心在 OI 上 ( 因为 △DEF 的垂心 也在其欧拉线上) . 证法 4 : 因为 △DEF 的重心 G′ 、 垂心 H 、 外心 I 三点共线 ( 都在欧拉线上) ,所以 ,证明 G′ 位于 OI 上 . 如 G′ 、 O、 I 三点共线 , 则 H 、 O、 I 三点共线 . 如图 4 , 设 △DEF 外 接 圆 半 径 为 r , △ABC 外接圆半径为 R , BC 的中点为 M , AI 分别交 EF 、 BC 于点 L 、 K , IG′ 交 BC 于点 S . 不妨设 AC > AB .
( 2) 只要证明 △DEF 的垂心在 OQ 上 . 因为点 Q 在 OI 上 , 所以 , 直线 OQ 就是 OI . 于是 , 只须证明 △DEF 的垂心在直线 OI 上 ,也就是证明 △DEF 的垂心 、 △ABC 的内 心 I、 △ABC 的外心 O 三点共线 . 证法 1 : 用位似变换证明 . 如图 1 ,设 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的平分线分别 交 ⊙O 于 M′ 、 N′ 、 P′ . 容易证 P′ M′ ∥DF , M′ N′ ∥DE , P′ N′ ∥EF. 于是 , △DEF 和 △M′ N′ P′ 位似 . 设两三角形的位似中心为 T . 因为 △M′ N′ P′ 的外心为 O , △DEF 的外 心为 I ,所以 , O 、 I、 T 三点共线 . 又因为 △M′ N′ P′ 的垂心为 I , △DEF 的 垂心为 H′ ,则 I 、 H′ 、 T 三点共线 . 所以 , I 、 T、 O、 H′ 四点共线 ,即 H′ 在 OI 上 . 证法 2 : 如图 2 ,
=
IK A K = . a 2p
(耿绍辉 翻译整理 河北旅游职业学 院 ,067000)

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OM = R | cos A | , IA b+ c
, DK =
( b - c) ( p - a ) , b+ c
] S ∈OI ] O ∈SI ≡G′ I ] G′ ∈OI .
[1 ] 萧振纲 . 几何变换与几何证题 (M) . 长沙 : 湖南科学技
术出版社 ,2003. 220 ,350 页 .
参考文献 :
2r
R A A A 1 - 2sin ・ cos ・ tan r 2 2 2 R 2 A 1 - 2sin r 2
sin A = 2sin
A
2
・ cos
2
A
2 ;
,
cos A = 1 - 2sin
DM =
2
A
2
=
Rcos A OM = r ID
b- c
2 4 bcp ( p - a) 2 AK = , IL ・ IA = r , ( b + c) 2
图1
( 2005 ,越南国家队选拔考试) 证明 : ( 1) 如图 1 , 设 Q 为 ⊙O 和 ⊙I 的 内位似中心 ,显然 , Q 位于 OI 上 .
由位似变换理论知 ⊙O 和 ⊙I 的内位似 中心 、 圆 ωa 和 ⊙I 的外位似中心 、 ⊙O 和圆 [1] ωa 的内位似中心三点共线 . 但 ⊙O 和 ⊙I 的内位似中心为 Q , 圆 ωa 和 ⊙I 的 外 位 似 中 心 为 D ( 因 为 两 圆 切 于 D) , ⊙O 和圆 ωa 的内位似中心为 K ( 因为两 圆切于 K) ,于是 ,点 Q 、 D、 K 三点共线 . 也就 是说 ,点 Q 位于直线 DK 上 . 同理 ,点 Q 位于直线 EM 和 FN 上 . 因此 ,直线 DK 、 EM 和 FN 交于点 Q . 由此 ,结论 ( 1) 成立 .
2008 年第 3 期
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● 缤纷广角镜 ●
一道国外竞赛题的多种解法
题 目 如 图 1 , 已 知 ⊙I 、 ⊙O 分 别 为 △ABC 的内切圆 、 外接圆 , ⊙I 分别切 BC 、 ωb 、 ωc , 记 ωa CA 、 AB 于点 D 、 E、 F. 作圆 ωa 、 切 ⊙I 、 ⊙O 于点 D 、 K ,ω ⊙O 于点 b 切 ⊙I 、 E、 M ,ω ⊙O 于点 F 、 N . 证明 : c 切 ⊙I 、 ( 1) DK 、 EM 、 FN 共点于 P ; ( 2) △DEF 的垂心在直线 OP 上 .
IK IK・ IA a ( b + c) 2 = = AK 2 2 IL IL ・ IA 4p r
=
a ( b + c) 4 bcp ( p - a) abc ( p - a ) ・ = 2 2 2 ( b + c) 2 4p r pr ( b + c)
] IK = 4 R ( p - a) . ① IL r ( b + c) 对 △LDK 和截线 SG′ I ,由梅涅劳斯定理 SD IK G′ L 得 ・ ・ = 1. S K IL G′ D 由式 ① 知 SD r ( b + c) = S K 2 R ( p - a) ]
2 R ( p - a ) - a ( p - a) tan
A
=
图4
2
2 r ( p - a) 2 R - atan
A
由三角关系知 abc = 4 Rpr ,
a = 2 R sin A , r = ( p - a) tan A
=
2
A
2r 2 R - 2 R sin A ・ tan 2
2
,
= = =
SD SK = r ( b + c) 2 R ( p - a ) - r ( b + c) ( b - c) ( p - a ) = ( b + c) [ 2 R ( p - a ) - r ( b + c ) ] r ( b - c) ( p - a) ] SD = 2 R ( p - a ) - r ( b + c)
收稿日期 :2007 - 10 - 15
设 △DEF 在 边 EF 、 DE 、 FD 上的垂足分 别为 X 、 Y、 Z . 易证 XY ∥AC , XZ ∥AB , YZ ∥BC . 图2 △XYZ 和 △ABC 位似 ,设位似中心为 S . 记 △XYZ 的内心为 H ,则 S 、 I、 H 三点共线 . 而 △XYZ 的内心 H 即为 △DEF 的垂心 ,即 S 位于 △DEF 的外心 和垂心连线 ( 欧拉线) 上 . 设 △XYZ 的外心为 G , 于是 , S 、 O、 G三 点共线 . 因为 △XYZ 的外心 G 为 △DEF 的九点 圆圆心 ,所以 , G 、 S 都在 △DEF 的欧拉线上 , O 也在 △DEF 的欧拉线上 . 于是 , S 、 I、 H、 O、 G 五点共线 ,即 H 在 OI 上 . 2 证法 3 : 如图 3 , 作反演变换 ( I , r ) , EF 、 DE 、 DF 的中点 M 、 N、 P 的反演点分别为 A 、
] SM = SD + DM r ( b - c) ( p - a) b- c = + 2 R ( p - a ) - r ( b + c) 2 2 R ( p - a) - ar = ( b - c) 2[ 2 R ( p - a ) - r ( b + c) ] ] SM = 2 R ( p - a) - ar SD 2 r ( p - a)