高数Ⅱ(2)复习题.
高数(二)期末复习题库
∫L xdy − 2 ydx = (
B
).
( D ) 4. xdy − ydx 2 2 2. 判断：若 L为正向单位圆周 x + y = 1, 则∫ = 2π .( ) 2 2 L x + y 3. 计算曲线积分 I = ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由
2. 设f ( x )是周期为2π的周期函数，且
⎧ 0 , − π ≤ x < 0, 当x = π 时，它的傅里叶级数 f ( x) = ⎨ ⎩ x , 0 ≤ x < π.
收敛于：
π
2
第一型曲线积分
第10章 线面积分
⎧ x = ϕ ( t ), 1. 设f ( x , y )在曲线弧 L上连续， L的参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), (α ≤ t ≤ β ), 其中ϕ ( t ),ψ ( t )在[α , β ]上具有一阶连续导数， 且ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0，则曲线积分 ∫ f ( x , y )ds =
∞ n =1
( B ) 若交错级数 ∑ ( −1)n un收敛，则必为条件收敛 ； (C ) 当 lim un = 0时，级数 ∑ un一定收敛;
n→ ∞ n =1 ∞
( D ) 若对级数 ∑ un的项任意加括号后所成 的新级数发散，
n =1
∞
则原级数一定发散 .
级数敛散性的判别
5. 下列命题正确的是 ( B )
L
( A) 1； ( B ) 3 ；
(C ) 2 ；
√
抛物线 y = x 2和x = y 2所围成的区域 D正向边界曲线 .
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高数第二学期总复习题及答案
高数第二学期复习题及答案1. 求球面222x y z R ++=与x z a +=的交线在x o y 面上的投影曲线的方程.()2222x y a x R z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩2. 判断方程22220,24x y z z x y +-=++=所表示的几何图形.（旋转抛物面，圆锥面） 3. 判断平面:230x y z ∏+-+=与直线112:311x y z l -+-==-的位置关系.（线在面内）4. 求过点()1,1,0且与125:214x y z l ---==垂直相交的直线方程.1121x y z --⎛⎫==⎪-⎝⎭5. 求通过点(1,2,1)-且通过23:212x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的平面方程.()2450x y z --+=6. 求过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z==的平面方程.()726180x y z -+=7. 判断函数1sin ,0(,)0,0x y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)点与(1,0)点的连续性.（在(0,0)点连续，在(1,0)点不连续）8. 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy→+.()09. 求()()()2222(,)(0,0)221cos limexyx y x y xy+→-++.()010. 求(,)(0,0)lim24x y xy xy →-+.()4-11. 若00(,)0x y f x∂=∂，00(,)0x y f y∂=∂，判断(,)f x y 在点00(,)x y 的连续性和可微性.（不一定连续也不一定可微）12. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，且00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，判断函数(,)f x y 在00(,)x y 处有无极值，如果有，判断是极大值还是极小值.（可能有极值，也可能无极值）13. 设222(,)z x yf x y xy =-，其中f 具有连续偏导数，求d z .()()()3222223121222d 2d xyf x y f x y f x xf x y f x y f y ''''+++-+14. 设(),z z x y =是由e2e 2xyzz -+-=所确定，求d z .()e d d 2exyzy x x y -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭15. 设()222,u f x y z xyz =++，其中f 具有二阶连续的偏导数，求2u x y∂∂∂.()22221112222422u xyf x z y z f xyz f zf x y ⎛⎫∂'''''''=++++ ⎪∂∂⎝⎭16. 求曲面222z x y =+在(0,1,1)-处指向下侧的单位法向量.()()0,2,1-- 17. 求曲面arctany z x=在1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处指向上侧的法向量.()()1,1,2-18. 求函数()22ln u x y z=++在点()1,0,1A 处的梯度.11,0,22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19. 求曲面2222321x y z ++=平行于平面460x y z ++=的切平面方程.()4621x y z ++=±20. 求曲线2222223472x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在点()2,1,6-处的切线和法平面方程.切线：21627284x y z +--==法平面：2728420x y z +++=21. 求曲线2322y xz x x⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点()1,2,3处的切线和法平面方程.切线：123145x y z ---==法平面：45240x y z ++-=22. 在螺旋线()2cos ,sin ,02x y z θθθθπ===≤≤上求一点，使该点处螺旋线的切线平行于平面24x z +=.（2(2,,)24π或23(2,,)24π-）23. 交换二重积分21101d (,)d x xI x f x y y --=⎰⎰的积分次序. 21101d (,)d y yy f x y x --⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰ 24. 交换二重积分e ln 1d (,)d x I x f x y y =⎰⎰的积分次序.()1e 0ed (,)d yy f x y x ⎰⎰25. 把220d (,)d a ax x xI x f x y y -=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 24d cos ,sin d a f πθπθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 26. 把22222d ()d y y I y f x y x -=+⎰⎰化为极坐标形式. ()2sin 2200d d f πθθρρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 27. 把21110d (,)d y yI y f x y x +-=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 400d cos ,sin d f πθθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 28. 求22d d Dx y x y +⎰⎰，其中区域D 为由222x y y +=及0x =所围在第一象限内的区域.169⎛⎫⎪⎝⎭29. 求()22ln 1d d Dx yx y ++⎰⎰，其中区域D为由221,0,0x y x y +≤≥≥所围成的区域.()ln 414π⎛⎫-⎪⎝⎭30. 求arctand d Dy x y x⎰⎰，其中区域D 为22224,1,,0x y x y y x y +≤+≥≤≥所围成的区域.2364π⎛⎫⎪⎝⎭31. 求224d d Dx y x y --⎰⎰，其中区域D 为以222x y x +=为边界的上半圆域.41639π⎛⎫-⎪⎝⎭32. 求2d d Dx y x y ⎰⎰，其中区域D 为1,,2xy y x x ===所围成的区域.118⎛⎫⎪⎝⎭33. 求22d d Dxx y y ⎰⎰，其中区域D 为2,x y x ==及双曲线1xy =所围成的区域.94⎛⎫⎪⎝⎭34. 设积分区域:Ω2222(0)x y z az a ++≤>，把三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰化为球面坐标下的三次积分. 22cos 432000d d sin d a r r ππϕθϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰35. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是由圆柱面22y x x =-及平面0,0y z ==和1z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度为22(,,)x y z z x y ρ=+，计算该物体的质量. 89⎛⎫⎪⎝⎭36. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是以221z x y =--及0z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度222(,,)x y z x y z ρ=++，计算该物体的质量. 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭37. 利用三重积分计算由曲面221()2z x y =+与平面0z =和2z =所围成的介于两平面之间的立体的体积. ()4π38. 设222:1,0,0,0x y z x y z Ω++≤≥≥≥，求4d v Ω⎰⎰⎰.23π⎛⎫⎪⎝⎭39. 设L 为椭圆2212yx +=，其周长为a ，求22(2)d Lx y s +⎰ .()2a40. 设空间曲线22222:x y z x y⎧+=⎪Γ⎨=+⎪⎩，求22e d x ys +Γ⎰ .()22eπ41. 求d xyz s Γ⎰ ，其中Γ是点()1,0,2A 与()2,3,1B 之间的直线段.13114⎛⎫⎪⎝⎭42. 求()2d d 2L xxy x x y ++⎰其中L 沿222x y R +=顺时针从()0,A R 到(),0B R .22R ⎛⎫⎪⎝⎭43. 求()()esin d e cos d xxLy my x y my y -+-⎰其中L 为22x y ax +=从点(),0A a 到()0,0O 的上半圆弧，m 为常数.28m a π⎛⎫⎪⎝⎭44. 求()()22d sin d Lxy x x y y --+⎰其中L 是22y x x =-由点()0,0到()1,1的一段弧.sin 2746⎛⎫-⎪⎝⎭45. 设2222:x y z a ∑++=，求2d S ∑⎰⎰.()28a π46. 求(e cos 5)d (e sin 5)d x xCy y x y y --+-⎰，其中C 为222x y x +=自(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧. 25(e 1)2π⎛⎫+- ⎪⎝⎭47. 计算22d d d d d d x y z xy z x y x y ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+被4z =所截下部分的下侧. ()4π-48. 计算()d d ()d d ()d d y z y z z x z xx y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为圆锥面22z x y=+被1z =所截下部分的下侧.()049. 计算22222()d d I x y z x y x y ∑=+++⎰⎰，∑为下半球面221z x y=---的下侧.23π⎛⎫- ⎪⎝⎭50. 设级数21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑均收敛，判断以下结论是否成立（()21n n n u v ∞=+∑收敛成立 ）1n n u ∞=∑收敛；1n n n u v ∞=∑条件收敛；()21n n n u v ∞=+∑收敛； ()211nn n u ∞=-∑条件收敛.51. 判别下列级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛.21(1)sin ln(1)nn n ∞=⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦∑（条件收敛），11(1)1ln n n n n n-∞=-+∑（绝对收敛），31arctan n n n ∞=∑（绝对收敛），()111n n n n ∞=+-∑（发散），()()12111n n n n ∞-=-+∑（条件收敛），()()111ln 1n n n -∞=-+∑（条件收敛）. 52. 判断1!nn n n∞=∑的敛散性.（收敛）53. 判断1!21nn n ∞=+∑的敛散性.（发散）54. 判断13!nnn nn ∞=∑的敛散性.（收敛）55. 求幂级数2321(1)2nn nn xn∞-=-∑的收敛域. ()2,2⎡⎤-⎣⎦56. 求幂级数21212n nn n x∞=-∑的收敛域. ()(2,2)-57. 求幂级数()112(1)nn n x n∞-=+-∑的收敛域.(]()3,1--58. 求幂级数()21211nnn x n ∞=-+∑的收敛域.13,22⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭59. 微分方程323e x y y y x -'''++=的特解形式为________.()e ()x x Ax B -+ 60. 微分方程369(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式为________.()23e ()x x Ax B + 61. 微分方程244e x y y y x '''-+=的特解形式为________.()()22e x Ax B x +62. 求以12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()250y y y '''-+=63. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为212e ,e x xy y -==，求其方程.()20y y y '''+-=64. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为12e ,e x xy y x ==，求其方程.()20y y y '''-+=65. 求以12e xy C C =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()0y y '''-=66. 已知123,,y y y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，且2131y y y y -≠-常数，则方程的通解为________.()()()1212311C y y C y y y -+-+ 67. 求微分方程2d 1d 0xy x x y +-=满足初始条件1e x y ==的特解.()211e xy +-=68. 求解2110x y y x x y =⎧'=-+⎪⎨⎪=⎩.ln x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭69. 求解32cos xy y x x '-=.()()2sin y x x C =+70. 求解004306,10x x y y y y y =='''-+=⎧⎪⎨'==⎪⎩.()32e 4e x x y =+1.求过直线1123:11x y z L ---==-且平行于直线221:211x y z L +-==的平面方程．解：直线1L 上的一点(1,2,3)A ，方向向量1(1,0,1)s =-，2L 的方向向量2(2,1,1)s = 从而所求平面的法向量121013211ijkn s s i j k =⨯=-=-+∴所求平面的方程为：(1)3(2)(3)0x y z ---+-=即320x y z -++=2.设()22,,z f xy x y=+其中f具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．解：121222z f y f x yf xf x∂''''=⋅+⋅=+∂()()2111122122222z z f y f x f y x f x f y x yy x ∂∂∂⎛⎫'''''''''==+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭()221112122224f xyf x y f xyf '''''''=++++ 3.求曲线e cos ,e sin ,e t t t x t y t z ===在0t =时的法平面与切线方程. 解：()e (cos sin ),()e (sin cos ),()e t t t x t t t y t t t z t '''=-=+= ∴在0t =处的切向量为：()(0),(0),(0)(1,1,1)T x y z '''==又 0t =时对应曲线上的点(1,0,1)，∴切线方程：101111x y z ---==，法平面方程：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-= 4.计算22()d d ,Dx y x y +⎰⎰其中 22:24,02D x x y x x -≤≤-≤≤．解：:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤22223202cos ()d d d d d d DDx y x y πθρρρθθρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()42041cos d πθθ=-⎰20312+2cos2+cos 4d 22ππθθθ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰20312+sin2+sin 4)28ππθθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦54π=5.计算()22d ,x y v Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面222x y z +=与平面2z =所围成的空间闭区域．解：2:02,02,22z ρθπρΩ≤≤≤≤≤≤，则()223d d d d x y v z ρθρΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232d d d z πρθρρ=⎰⎰⎰2246230162(2)d 222123ρρρππρρπ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰6.计算22()d (sin )d ,LI x y x x y y =--+⎰其中L 是圆周22y x x =-由点(0,0)到 (1,1)的一段弧．解：22,sin P x y Q x y =-=--，则1P Q yx∂∂=-=∂∂ ∴曲线积分与路径无关取折线:0,:01;:1,:01OB y x BA x y =→=→∴OBBAI =+⎰⎰1122d (1sin )d x x y y =+--⎰⎰131sin 2324⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭71sin 264=-+7.计算()()()222d d d d d d ,y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰其中∑为锥面22(0)z x y z h =+≤≤的外侧．解：补*222:()z h x y h ∑=+≤取上侧，则2P y z =-，2Q z x =-，2R x y =-， 0P Q R xyz∂∂∂===∂∂∂由Gauss 公式得，*0d 0v Ω∑+∑==⎰⎰⎰⎰⎰**22()d d ()d d xyD x y x y x y x y ∑∑=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224d (cos sin )d 4h h ππθρθρθρρ=-=⎰⎰故**44044h h ππ∑∑+∑∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.判定级数12ln 2n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性． 解：0lim2n n n→∞= n ∴→∞时，ln 122n n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴由比较审敛法知：1ln 12n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与12n n n ∞=∑有相同的敛散性.下面只要判定12nn n ∞=∑的敛散性1121lim 122nn n n n +→∞+⋅=< ，故由比值法，知12n n n∞=∑收敛 ∴12ln 2n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛 9.求幂级数12121(1)n nn n xn∞-=+-∑的收敛域．解：()2121121211nn nn n n n xxnn∞∞-==++-=∑∑，令221nn n u xn+=，则22212(23)limlim1(21)n n nn n nn xu n x u n n x++→∞→∞+=⋅=++当21x <，即1x <时，2121nn n xn∞=+∑收敛，21x>，即1x >时，2121nn n xn∞=+∑发散，当1x =时，121n n n∞=+∑发散；1x =-时，121n n n∞=+∑发散， ∴原级数的收敛域：()1,1-10.求微分方程cos d cot 5ed xy y x x+=的通解．解： 对应的齐次线性方程：d cot 0d y y x x+=，即1cos d d sin x y x yx=-两端积分，得ln ln(sin )ln y x C =-+ sin Cy x∴=用常数变易法，设原方程的通解为：()sin C x y x=代入原方程，得cos 2()sin ()cos ()cos 5e sin sin x C x x C x x C x x x x'-+=cos ()5sin e xC x x '∴= 从而cos ()5e xC x C =-+∴原方程的通解：cos 5esin xCy x-+=1.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042:z y x z y x l 在平面14:=+-∏z y x 上的投影直线的方程．解：过直线l 的平面束()092342=---++-z y x z y x λ即()()()0921432=--++-+λλλλz y x ，又l 的投影直线与l 确定的平面与平面∏垂直()()01,1,421,4,32=-⋅---+∴λλλ 即01311=+λ，解得1113-=λ所以投影直线⎩⎨⎧=+-=--+140117373117z y x z y x 。
高数二试题及答案
高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。
7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。
8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。
9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。
10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。
三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。
13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。
14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。
四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。
16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。
答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高等数学二机考复习题
高等数学（二）机考复习题一．单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内.) 1.设y=2cosx ,则y '=( )A.2cosx ln2B.-2cosx sinxC.2cosx (ln2)sinxD.-2cosx-1sinx 2.设f(x 2)=)x (f ),0x (x11'≥+则=( ) A.-2)x 1(1+ B.2x 11+ C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+3.曲线y=1x x132=在处切线方程是( )A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-5 4.设y=f(x),x=e t ,则22dty d =( )A. )x (f x 2''B. )x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D. )x (f x ''+xf(x) 5.设y=lntg x ，则dy=( ) A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d6.下列函数中，微分等于xln x dx的是( ) A.xlnx+c B.21ln 2x+c C.ln(lnx)+c D.xx ln +c 7.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )A.y=|x|,[-1,1]B.y=x 1,[1,2] C.y=32x ,[-1,1] D.y=2x 1x -,[-2,2] 8.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是( )A.22B.0C.-πD.π 9.下列曲线有水平渐近线的是（ ）A.y=e xB.y=x 3C.y=x 2D.y=lnx 10.⎰-2x xdee =( )A.-c e 21x 2+ B. -c e 2x+ C-c e 212x +- D.c e 412x+-11.⎰=dx 2x 3( )A.c 2ln 231x 3+ B.31(ln2)23x+c C. 3123x +c D.c 2ln 2x 3+ 12.⎰+πdx )14(sin =( )A.-cos 4π+x+cB.-c x 4cos 4++ππC.c 14sin x ++πD. c x 4sin x ++π13.⎰-)x cos 1(d =( )A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c 14.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=( )A.4⎰axf(x)dx B.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dx C.0 D.以上都不正确15.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lim a x +→=( )A.0B.aC.af(a)D.不存在16.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )A.⎰+1xe1dxB.⎰π40tgxdx C.dx x1x12⎰+ D.⎰π40ctgxdx17.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=( )A.3B.23C.1D.2 18.当x>2π时，⎰π'x2dt )ttsin (=( ) A.x x sin B. x x sin +c C x x sin -π2 D. xx sin -π2+c19.下列积分中不是广义积分的是( )A.⎰-21022)x 1(dx B.⎰e1xln x dxC.⎰-113xdx D.⎰+∞-0x dx e20.下列广义积分中收敛的是( )A. ⎰+∞xdx sin B.⎰-11x dxC.⎰--012x 1dx D.⎰∞--0x dx e21.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1 C. (-3，1) .{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 22.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-23.设f(x+2)=x 2-2x+3,则f[f(2)]=( )A.3B.0C.1D. 2 24.y=的反函数是xx323+( )A.y=233x x +--B.y=xx 332+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x 2x1- 25.设n n u ∞→lim =a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（ ）A ．无穷小量 B.任意小的正数 C ．常量 D.给定的正数26.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ）A ．-1 B.0 C.1 D.不存在27.当0x →时,x cos x sin 21是x 的( )A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量 28.x21sinx 3lim x •∞→=( )A.∞B.0C.23D.3229.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( )A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在C. )x (f lim 1x +→不存在 D. )x (f lim 1x →不存在30.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( )A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义31．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x ，在点x=0处 （ ） A ．极限不存在B ．极限存在但不连续C ．可导D ．连续但不可导32．设f(x)为可导函数，且1x2)x (f )x x (f lim 000x =∆-∆+→∆，则=')x (f 0（ ）A ．1B ．0C ．2D ．2133．设F(x)=f(x)+f(-x)，且)x (f '存在，则)x (F '是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶的函数 D ．不能判定其奇偶性的函数 34．设y=xxln ，则dy=（ ）A ．2x xln 1- B ．dx x xln 12- C ．2x 1x ln - D ．dx x 1x ln 2-35.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导36．下列四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．y=|x|+1B ．y=4x 2+1C ．y=2x1D ．y=|sinx|37．函数y=3x3x ln 2-+的水平渐近线方程是（ ） A ．y=2B ．y=1C ．y=-3D ．y=038．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（ ） A ．F(x)B ．f(x)C ．F(x)+CD ．f(x)+C39．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（ ） A ．sinx+C B ．-sinx+C C ．xsinx+cosx+C D ．xsinx -cosx+C40．设F(x)=dt te 1xt 2⎰-，则)x (F '=（ ）A ．2x xeB ．2x xe - C ．2x xe - D ．2x xe --41．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（ ）A ．α≤1B ．α<2C ．α>1D ．α≥142.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（ ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x) C ．3sin(3y -x) D ．-3sin(3y -x) 43．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 44．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（ ） A ．I 1>I 2 B ．I 1<I 2 C ．I 1=I 2 D ．I 1，I 2之间不能比较大小45．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．无法判定46．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（ ）A ．41 B ．4 C ．31D ．3 47．微分方程y ln y y x ='的通解是（ ）A ．e x +CB ．e -x +C C ．e CxD ．e -x+C48.下列集合中为空集的是（ ） A.{x|e x =1} B.{0} C.{(x, y)|x 2+y 2=0}D.{x| x 2+1=0,x ∈R}49.函数f(x)=2x 与g(x)=x 表示同一函数，则它们的定义域是（ ） A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.()+∞∞-,D.()+∞,050.函数f(x)==π-⎩⎨⎧≥<)4(f ,1|x |,01|x ||,x sin |则（ ）A.0B.1C.22D.-22 51.设函数f(x)在[-a, a] (a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.可能是奇函数，也可能是偶函数 52.=+→)2x (x x2sin lim 0x （ ）A.1B.0C.∞D.253.设2x10x e )mx 1(lim =-→，则m=（ ）A.21 B.2 C.-2D.21-54.设f(x)=⎩⎨⎧=≠2x ,12x ,x 2,则=→)x (f lim 2x （ ）A.2B.∞C.1D.455.设x1ey -=是无穷大量，则x 的变化过程是（ ）A. x →0+B. x →0-C. x →+∞D. x →-∞56.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 57.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（ ） A.存在 B.不存在 C.存在但不唯一 D.在一定条件下存在 58.下列函数中在x=0处不连续的是（ ）A. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,10x ,|x |xsinB. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x C. f(x)=⎩⎨⎧=≠0x ,10x ,e xD. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1cos x 59.设f(x)=e 2+x,则当△x →0时，f(x+△x)-f(x)→（ ）A.△xB.e 2+△xC.e 2D.060.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0x ,1x 0x ,e 2x ，则=---→0x )0(f )x (f lim 0x （ ）A.-1B.-∞C.+∞D.161.设总收益函数R(Q)=40Q-Q 2，则当Q=15时的边际收益是（ ） A.0 B.10 C.25 D.375 62.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇(0)=（ ） A.0 B.1 C.3 D.3！ 63.设y=sin 33x，则y ＇=（ ）A.3x sin32B.3x sin2C.3x cos 3x sin 32D.3xcos 3x sin264.设y=lnx,则y (n)=（ ）A.(-1)n n!x -nB.(-1)n (n-1)!x -2nC.(-1)n-1(n-1)!x -nD.(-1)n-1n!x -n+165.=)x (d )x (sin d 2（ ）A.cosxB.-sinxC.2xcos D.x2xcos 66.f ＇(x)<0,x ∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 67.函数y=|x-1|+2的极小值点是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 68.函数y=2ln3x3x -+的水平渐近线方程为（ ） A. y=2 B. y=1 C. y=-3 D. y=069.设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是（ ） A. f(a)B. f(b)C.)2ba (f + D.)3a2b (f + 70.=-⎰2)3y 2(dy（ ）A.C )3y 2(613+--B.C )3y 2(613+- C.C 3y 21+-D.C )3y 2(21+--71.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（ ） A.⎰+='C )x (f dx )x (f x 22 B.⎰+='C )x (f 21dx )x (f x 22C.⎰=')x (f 21)dx )x (xf (22D.⎰=)x (f dx )x (xf 2272.⎰=)tgx (xd sin ln （ ） A. tgxlnsinx-x+C B. tgxlnsinx+x+C C. tgxlnsinx-⎰x cos dx D . tgxlnsinx+⎰x cos dx73.=+⎰--21dx 3x x（ ） A.-1-3ln2B.-1+3ln2C.1-3ln2D.1+3ln274.⎰=π210dx )x 2(tg （ ） A.2ln 21-B.2ln 21 C.2ln 1πD.2ln 1π-75.经过变换x t =，⎰=-94dx 1x x ( )A.⎰-94dt 1t tB.⎰-942dt 1t t 2 C. ⎰-32dt 1t tD.⎰-322dt 1t t 2 76.⎰∞+-=1x dx e x1 ( )A.e2B.-e2C.2eD.-2e77.⎰=-211x dx ( )A.2B.1C.∞D.32 78.级数∑∞=-1n nn25)1(的和等于 ( )A.35B.－35C.5D.－579.下列级数中，条件收敛的是( ) A.∑∞=--1n n 1n )32()1( B.∑∞=-+-1n 21n 2n n )1(C.∑∞=--1n 31n n1)1( D.∑∞=--1n 31n n51)1(80.幂级数 ∑∞=---1n n1n n)1x ()1( 的收敛区间是（ ） A.(]2,0B.(]1,1-C.[]0,2-D.()+∞-∞,94.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) A.z y x 22=+B.z y x 22=-C.1y x 22=+D.z xy =81.设 f(u,v)=(u+v)2，则 )yx ,xy (f =( ) A.22)x1x (y +B.22)y 1y (x +C.2)y1y (x +D.2)x1x (y +82.设 )x2y x ln()y ,x (f +=，则=')0,1(f y ( ) A.21B.1C.2D.083.设22y xy 3x 2z -+=，则=∂∂∂yx z2( ) A.6 B.3 C.－2 D.284.下列级数中发散的是( ) A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B. ∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1(C.∑∞=-1n nn1)1( D.∑∞=-1n )n 1( 85.下列级数中绝对收敛的是( A ) A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1( C. ∑∞=-3n nn ln )1( D.∑∞=--1n 321n n)1(86.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+- ( ) A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 87.设幂级数∑∞=-0n n n)2x (a在x=-2处绝对收敛，则此幂级数在x=5处 (C )A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定88.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，则函数f(x 2,y 3)的定义域为( ) A.{(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} B.{(x,y)|-1≤x ≤1,0≤y ≤1} C.{(x,y)|0≤x ≤1,-1≤y ≤1} D.{(x,y)|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1} 89.设z=(2x+y)y ，则=∂∂)1,0(xz ( )A.1B.2C.3D.090.设z=xy+yx,则dz=( ) A.(y+dy )y x x (dx )y 12-+ B. dy )y 1y (dx )y x x (2++-C. (y+dy )y x x (dx )y 12++D. dy )y 1y (dx )yx x (2+++91.过点(1，-3，2)且与xoz 平面平行的平面方程为(C )A.x-3y+2z=0B.x=1C.y=-3D.z=2 92.⎰⎰≤≤-≤≤1y 11x 0dxdy=( )A.1B.-1C.2D.-2 93.微分方程y x 10y +='的通解是( )A.c 10ln 1010ln 10y x =--B. c 10ln 1010ln 10yx =-C.10x +10y =cD.10x +10-y =c94．设函数f )x 1x (+=x 2+2x1，则f(x)=（ ）A ．x 2B ．x 2-2C ．x 2+2D ．24x 1x +95．在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（ ） A ．e x B ．1+sinx C ．lnx D ．tanx 96．=++++∞→2x 1x x limx （ ）A ．1B ．2C ．21D ．∞ 97.下列函数中为微分方程0y y =+'的解的是( )A.x eB.-x eC.x e -D.x e +x e - 98.下列微分方程中可分离变量的是( ) A.2x x y dx dy += B.y x y dx dy += C.)0k (1)b y )(a x (k dxdy ≠+++=， D.x y sin dx dy =- 99.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( ) A. 0B.14 C. 12D. 2100.设D ：0≤x ≤1，0≤y ≤2，则⎰⎰+Ddxdy x1y=( ) A.ln2B.2+ln2C.2D.2ln2101.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 102. limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 2 103.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( )A. x －y>0B. x>0, y>0C. 12D. 2104.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导 105.设函数f(x)=e 1－2x ，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 106.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值 107.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 108.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 109.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nnn =∞∑-+111() B.n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()110.方程y ′—y=0的通解为( ) A. y=ce x B. y=ce －x C. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x二.判断题（正确的在括弧里用R 表示，错误的在括弧里用F 表示。
高数2(2)(重修)卷
学院 信息与计算机 出卷教师 吴振之)系主任签名 制卷份数 专 业 班级编号武汉文理学院2020—2021学年第2学期高数重修复习题课程编号： 903101745 课程名称：高等数学Ⅱ(2)（重修） 试卷类型：A 、B 卷 考试形式：开 、闭 卷 考试时间：120 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 总 分 总分人 得分一、判断题（本大题共5小题） （正确的打√，错误的打×.）1、若∑∞=1n nu发散，则0lim ≠∞→n n u ； ( ）2、若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解; ( )3、若函数),(y x f 在点(1,2)处连续，则(,)(1,2)lim (,)(1,2)x y f x y f →=; （ ）4、定积分的值是一个确定的常数; （ ）5、⎰⎰+Dd y xσ)(22=1224()D x y d σ+⎰⎰,其中D 1是{}(,)1,1D x y x y =≤≤位于第一象限的部分. （ ） 二、选择题（本大题共7小题）（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内，错选、多选或未选均无分.）1. 函数xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值是 （ ） （A ）1； （B ）0； （C ）1/6； （D ）1/4.2. 设区域22:2(0)D x y ax a +≤>，则22x y Ded σ--=⎰⎰ ( )(A) 22cos 22a d ed πθρθρ-⎰⎰； (B) 22cos 202a d e d πθρπθρρ--⎰⎰； (C)22cos 0a d ed πθρθρρ-⎰⎰； （D ）22cos 202a d e d πθρπθρ--⎰⎰.3. 方程44222=--z y x 表示的曲面是 （ ） （A ）双叶双曲面； （B ）椭球面； （C ）球面； （D ）单叶双曲面.得 分 评分人得 分 评分人4. 微分方程cosxsinydy=cosysinxdx 是 ( ) (A) 齐次方程 ; (B) 可分离变量方程 ; (C) 一阶线性齐次方程 ; (D) 一阶线性非齐次方程.5. 利用定积分的几何性质判断下列积分中，值为零的是 （ ）（A ）⎰-114dx x ； （B ）⎰-11cos xdx ； （C ）⎰20sin πxdx ； （D ）131x dx -⎰.6. 设级数∑∞=1n nu收敛于s ，则级数∑∞=++11)(n n nu u（ ）（A ）收敛于s 2； （B ）收敛于12u s +； （C ）收敛于12u s - （D ）发散. 7. 由22x y x y ==、所围成的图形的面积是 （ ） （A ）1/3； （B ）1/2； （C ）3； （D ）2. 三、填空题（本大题共7小题）（在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分.）1. 已知二元函数z=)1ln(yx+,则)1,1(dz = .2. I=⎰⎰100),(ydx y x f dy ,交换积分次序得I= .3. 22021limx dt t x x ⎰+→ .4. 过点(1, —1, —3)且与平面3x —2y+3z —1=0平行的平面方程为 .5. 幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为___________. 6. 微分方程xey y -=+'的通解是 .7. 定积分422sin -xdx ππ⎰= .四、计算题（本大题共5小题）1. 求由3x y =，x=2、y=0所围成的图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积2. 求⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域.3. 求直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0250134z y x z y x 在平面2x －y+5z －3=0上的投影直线的方程.4. 求微分方程044"=+'+y y y ,0)0(,2)0(='=y y 的特解.5. 求幂级数∑∞=1n nnx 的和函数并求级数∑∞=-12)1(n nn n的和. 五、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.六、证明题设)(22y x yf z +=，f 为可导函数，证明： z yx x z y y z x =∂∂-∂∂.。
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高数Ⅱ（2）历届试题汇编（2003——2008）一、填空题和单项选择题: 1、（2003）交换二次积分的次序⎰⎰+=10122),(x xdy y x f dx ⎰⎰⎰⎰-+2/1212/010),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy .2、（2003）幂级数n n n n x n n)32(1∑∞=+的收敛域为)31,31[-.3、（2004）交换二次积分的次序⎰⎰---=10112),(y y dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰---+x x dy y x f dx dy y x f dx 1010101),(),(2 .4、（2004）级数∑∞=-+1/1)1(12n nen n α收敛的充要条件是α满足不等式2/5>α.5、（2004）设nn n x a )1(0∑∞=+在2-=x 处条件收敛，则其在2=x 处( A ) A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不确定6、（2005）由方程5222=+++xyz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =在点），，（2010-P 处的全微分=P dzdy dx 521-. 7、（2005）.交换二次积分的次序⎰⎰--=20422),(x x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 40402002),(),(.8、（2005）将21)(+=x x f 展开成2-x 的幂级数,并指出其收敛域:=)(x f )62(,)2(4)1(01<<---∑∞=+x x n nn n .9、（2005）.设+∞=∞→n n u lim ,则级数)11(11+∞=-∑n n nu u ( B )A.收敛于0B.收敛于11u C.发散 D.敛散性不确定10、（2006）设D :,122≤+y x 所围成,则⎰⎰+Ddxdy y x )]tan(1[2=π . 11、（2006）交换二次积分的次序⎰⎰-=20),(y ydx y x f dy ⎰⎰⎰⎰+--2202022),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx .12、（2006）级数∑∞=--+1211n nn n 的敛散性为 收敛 . 13、（2007）考虑二元函数),(y x f 的下面四条性质：①函数),(y x f 在点),(00y x 处连续 ②函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数连续③函数),(y x f 在点),(00y x 处可微 ④函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数存在则下面结论正确的是( A )A.②⇒③⇒①B.③⇒②⇒①C.③⇒④⇒①D.③⇒①⇒④ 14、（2007）二次积分⎰⎰2/0cos 0)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 可以写成( D )A.⎰⎰-102),(y y dx y x f dy B.⎰⎰-1102),(y dx y x f dyC.⎰⎰1010),(dy y x f dx D.⎰⎰-1002),(x x dy y x f dx15、（2007）XOY 平面上的抛物线x z 52=绕X 轴旋转而成的旋转曲面的方程为x z y 522=+.16、（2007）二次积分⎰⎰-2121sin y dx x xdy =2cos 1cos -.17、（2007）设{}1|),(222≤+∈=y x R y x D ,则⎰⎰-Ddxdy y x)(2=4π.18.（2008）已知三角形ABC 的顶点分别为)2,0,1(),2,3,2(),1,1,1(-C B A ，则三角形ABC 的面积为233.19.（2008）设函数xy e y x y x z )(),(-=，则全微分=)0,2(dz dy dx 3+.20.（2008）交换二次积分的次序⎰⎰--=0121),(ydx y x f dy ⎰⎰-2101),(xdy y x f dx .21.（2008）函数xx f 2)(=展开成)1(-x 的幂级数为∑∞=-0)1(!)2(ln 2n n n x n .22.（2008）设b a b a b a b a24,42-⊥+-⊥+，则a 与b 的夹角为（ B ）A.0 B.2/π C.6/π D.3/π23.（2008）设)sin(22z x y z x -=+确定了隐函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂yz y x z z （ A ）A.x B.y C.z D.)sin(22z x y -24.（2008）设D ：⎰⎰=+≤+Ddxdy y x y x )|(|,1||||则( C ) A.0 B.1/3 C.2/3D.4/3 25.（2008）设n n nx a)3(1∑∞=-在4=x 处发散，则其在0=x 处( C ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法判断敛散性二、解答题:1、（2003）求幂级数∑∞=+1122n n nx 的和函数)(x s . 答案：)(x s =)1ln(212x x --, )1,1(-∈x2、（2003）将)32ln(2x x y +-=展开成x 的幂级数,并求展开区间.答案: ∑∞=+++++-=01112)1()21(2ln n n n n n x y ,)1,1[-∈x 3、（2004）求函数y x y x z 161222+-+=在区域22y x +25≤上的最大值和最小值。
答案：最大值125，最小值75-。
4、（2004）计算二重积分⎰⎰-Ddxdy x y ||2，其中D : 10,1||≤≤≤y x . 答案：1511 5、（2004）求幂级数∑∞=1n nn x的收敛域与和函数. 答案：)1,1[-,)(x s =)1ln(x -- 6、（2004）将321)(2---=x x x x f 展开成x 的幂级数,并求展开区间.答案:∑∞=++--=0113]13)1[(21)(n n nn n x x f ,)1,1(-∈x 7、（2005）计算二重积分⎰⎰Ddxdy x xsin ，其中D 是由直线6,0,π===x y x y 所围成的平面闭区域. 答案：231-8、（2005）判别级数∑∞=17sin !n nnn n π是否收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 答案：绝对收敛9、（2005）求幂级数∑∞=-113n n n nx 的收敛域并求其和函数)(x s .答案：)3,3(-,)(x s =2)3(3-x10、（2006）设),()3(xy x g y x f z +-=，其中g f ,具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2答案: yx z∂∂∂2=222123)(g f g y g x '+''-''+'' 11、（2006）将26511)(x x x f +-=展开成x 的幂级数.答案:∑∞=++-=11)23()(n n n n x x f ,)3/1,3/1(-∈x12、（2006）求幂级数∑∞=+1122n n n x 的收敛域及和函数.答案：)(x s =)1ln(1x x--,)1,0()0,1[⋃-∈x ;)(x s =0,0=x13、(2006)求旋转抛物面222y x z --=在第一卦限内的面积. 答案：1213π14、（2006）设),2,1(0 =>n a n ，n n a a a s +++= 21，试判别级数∑∞=12n nns a 的敛散性. 答案：收敛，提示：部分和112122112a s s a s s a s a n n n <+++<- 15、（2007）1.设),(22xy y x f z -=,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z ∂∂,22x z ∂∂,yx z∂∂∂2.答案：x z ∂∂=212f y f x '+', 22xz ∂∂=121121442f xy f x f ''+''+'222f y ''+, yx z ∂∂∂2=1222112)(24f y x f xy f ''-+''-'22f xy ''+16、（2007）设2),,(yz e z y x f u x ==,其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定的隐函数,求)1,1,0(|-∂∂xu答案：5 解：x z yz e yz e x u x x ∂∂+=∂∂22（*1），又方程对x 求导得 01=∂∂--∂∂+xz xy yz x z ， 从而xy yz x z --=∂∂11代入（*1）得yz e yz e x u x x 22+=∂∂xyyz --11，故)1,1,0(|-∂∂x u =5. 17、(2007)计算⎰⎰Dydxdy x 2，其中D 是由双曲线122=-y x 和直线0,1==y y 所围成的平面闭区域. 答案：15)124(2-18、（2007）求双曲抛物面xy z =被柱面222R y x =+所截出的部分的面积.答案：]1)1[(32232-+R π19.（2008）设),(xy y x f z +=,其中f 具有二阶连续偏导数,求yx z ∂∂∂2.答案：x z∂∂=21f y f '+',yx z ∂∂∂2=12112)(f y x f f ''++''+'22f xy ''+解：xz∂∂=21f y f '+',y x z ∂∂∂2=)(222121211221x f f y f x f f y f y f yf ''+''+'+''+''=∂'∂+'+∂'∂=12112)(f y x f f ''++''+'22f xy ''+.20.（2008）求函数y x y xy x z 9622--++=的极值. 答案：极小值21)4,1(-=z解：解方程组⎩⎨⎧=-+==-+=092062y x z y x z yx ，得驻点)4,1(.因,2,1,02====>==yy xy xx z C z B z A 且032>=-B AC ，故函数在点)4,1(处取得极小值21)4,1(-=z .21.（2008）判别级数∑∞=-+13])1(2[n n nn n 的敛散性. 答案：收敛 解：因为≤-+<n nn n 3])1(2[0 <+n nn 3]12[nn nn n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223)22(n v =，且13221lim 322lim 1<=+=∞→+∞→n n v v n nn n ， 所以∑∞=1n nv收敛，故原级数收敛.（注：本题在08级考试中失分非常严重！原因是错误地直接运用了比值法或根值法，并认为其极限小于1.然而直接比值法或根值法极限n n n nn n u u u ∞→+∞→lim ;lim1不存在.）22、(2008)求由圆锥面222y x z +=与圆柱面)0(22>=+a ax y x 所围成的立体体积. 答案：983a解：由对称性知dxdy y x V axy x )0(22222-+=⎰⎰≤+=⎰⎰⎰--=⋅2/2/33cos 02/2/cos 322ππθππθθρρρθd a d d a =⎰2/033cos 34πθθd a==!!3!!2343a 983a .（注：本题为高等数学习题课教程P146页B5原题）23.（2008）在平面1=++z y x 上求一点，使它与两个定点)1,0,2(),1,0,1(Q P 的距离平方和最小. 答案：)21,21,1(-解：设所求点为),,(z y x M ，则])1()2[(])1()1[(22222222-++-+-++-=+z y x z y x MQ MP =22)2()1(-+-x x 22)1(22-++z y设),,(z y x L =22)2()1(-+-x x 22)1(22-++z y )1(-+++z y x λ，解方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+==+-+-=010)1(4040)2(2)1(2z y x L z L y L x x L z yx λλλλ得唯一可能的极值点)21,21,1(-，即为所求点. 24.(2008)求幂级数∑∞=12n nnx 的收敛域与和函数. 答案：)1,1(-，)(x s =)1ln(2x --解：2222|||1|lim x n x n x n n n =++∞→,由比值法令2||x <1,得收敛区间)1,1(-.因为1±=x 时∑∞=11n n发散，所以幂级数∑∞=12n n n x 的收敛域为)1,1(-. 对)1,1(-∈x ，)(x s =∑∞=12n nnx ，则)(x s '=211212122x x x n x n n n n -=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=-∞=，两边积分=-)0()(s x s ⎰-x dx x x 0212=)1ln(|)1ln(202x x x --=--，因为0)()0(012===∞=∑x n n n x s ,故)(x s =)1ln(2x --.三、证明题 1、（2003）证明：2516)11(4102)(2<<⎰--dx e x e π提示: 2/1422x x ex +-<-2、（2004）设),2,1(0 =≠n u n ,且1lim =∞→nn u n ，证明：级数)11()1(111+∞=++-∑n n n n u u 条件收敛.3、（2005）设]1,0[)(C x f ∈，证明：⎰10)(dx ex f 11)(≥⎰-dy e y f .4、（2007）设)(x f 为恒正连续函数，证明：⎰b adx x f )(⎰-badx x f 1)]([≥2)(a b -.5.（2008） 设级数∑∞=1n na与∑∞=1n nb均收敛，且n a ≤≤n c n b ,证明级数∑∞=1n nc收敛.证明：因为n a ≤≤n c n b ,所以≤0n n n n a b a c -≤-.又∑∞=1n na与∑∞=1n nb均收敛，于是∑∞=-1)(n n na b收敛，从而由比较法知∑∞=-1)(n n n a c 收敛，故=∑∞=1n n c ])[(1n n n na a c+-∑∞=收敛.（注：本题在08级考试中失分非常严重！ 95%以上的同学错误地认为“由∑∞=1n na与∑∞=1n nb均收敛，且∑=nk ka1≤≤∑=nk k c 1∑=nk kb1，可直接推断∑=∞→nk kn c1lim存在”. 这里误用了极限夹逼准则！）。