高中数学圆锥曲线一章复习与测试苏教版选修1-2

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高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!

高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1）（考试时间：120分钟，共150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．2 210．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．412．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝ ( )A.45B.23C.47D.12第Ⅰ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．(2009·福建高考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B 点，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA ·OB 的值； (2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．20．[文](本小题满分12分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )． (1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．高二数学圆锥曲线章节测试题（选修1-1&2-1）答案与解析：1、解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2、解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3、解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4、解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5、解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3， ∴e ＝23＝233.答案：C6、解析：如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x＞3)．答案：C7、解析：由已知b a ＝55e ，∴b a ＝55×ca ，∴c ＝5b ，又a 2＋b 2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝5b 2，∴a ＝2b . 答案：C8、解析：准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C9、解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA ·OB ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x ⇒x ＝ 2.答案：A10、解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案：A11、解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2，点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C12、解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A 13、解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 2 解析：由焦点弦|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2psin 245°， ∴2p ＝|AB |×12，∴p ＝2.答案：214、解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝|PF 1|＋|PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使|PF 1|＋|PF 2|最小，利用对称性可解．答案：x 25＋y 24＝115、解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故|AF |＝|AC |＝2|FD |＝2p ， |AB |＝2|AF |＝2|AC |＝4p ， ∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA ·BC ＝4p ·23p ·cos30°＝48，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x16、解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 17、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM|22(2)(4)x y -+- |AB 22(2)(2)x y +, ∴2222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程．法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO |=|MP |，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y -2=-12(x -1)，即x +2y -5=0即为所求．18、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线．因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .19、解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)，则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20、解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.21、解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段AB 的中点，所以OE 是△ABD 的中位线，所以|OE |＝12|AD |＝1，所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上，又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上，所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切，所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)，将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3). 又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2. 故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25。

【创新设计】高中数学(苏教版选修1-2)配套练习：2.1圆锥曲线(含答案解析)

第 2 章圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义 .2.能依据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可当作一条直线绕着与它订交的另一条直线 l(两条直线不相互垂直 )旋转一周所形成的曲面．此中直线 l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，可是圆锥极点的截面与轴π所成的角为α，则 α＝ 2时，截线的形状是圆；当πθ<α<时，截线的形状是椭圆；20≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝ θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内到 ______________________________ 等于常数 (大于 F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F 1， F 2 叫做椭圆的 ________．两焦点间的距离叫做椭圆的 ________．4．双曲线的定义平面内到 ____________________________________________ 等于常数 (小于 F 1F 2 的正数 ) 的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F 1， F 2 叫做双曲线的 ________，两焦点间的距离叫做双曲线的 ________．5．抛物线的定义平面内 __________________________________________________________ 的轨迹叫做抛物线， ________叫做抛物线的焦点，__________ 叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为 ____________ ．一、填空题1．已知 A －1， 0 ，B 是圆 F ： x －1 2＋ y 2＝ 4 (F 为圆心 )上一动点，线段AB 的垂直22均分线交 BF 于 P ，则动点 P 的轨迹为 ________．2．方程 5 (x ＋2) 2＋ (y － 1)2＝ |3x ＋ 4y － 12|所表示的曲线是 ________．3． F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上任一点，从焦点 F 2 向△F 1MF 2极点 M 的外角均分线引垂线，垂足为P ，延伸 F 2P 交 F 1M 的延伸线于G ，则 P 点的轨迹为__________( 写出全部正确的序号 )．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上随意一点PP′，则线段PP′的中点 M 的轨迹是 ____________ ．5．一圆形纸片的圆心为O，点 Q 是圆内异于O 点的必定点，点A 纸片折叠使点 A 与点 Q 重合，而后抹平纸片，折痕CD 与 OA 交于P 向 x 轴作垂线段是圆周上一点，把P 点．当点 A 运动时点P 的轨迹是________．6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x＋ 5＝ 0 的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．7．已知两点F1(－ 5,0)， F2(5,0) ，到它们的距离的差的绝对值是 6 的点M的轨迹是__________．8．一动圆与⊙C1： x2＋ y2＝ 1外切，与⊙C2： x2＋ y2－8x＋ 12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为 ______________ ．二、解答题9．已知圆 A ：(x＋ 3)2＋ y2＝ 100，圆 A 内必定点 B(3,0) ，动圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，求证：圆心 P 的轨迹是椭圆．110.已知△ ABC 中， BC ＝ 2，且 sin B － sin C＝2sin A ，求△ ABC 的极点 A 的轨迹．能力提高11．如下图，在正方体 ABCD — A 1B1C1D 1中， P 是侧面 BB 1C1C 内一动点，若 P 到直线BC 与直线 C1D1的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ________(写出正确的全部序号 )．①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．12.如下图，已知点P 为圆 R：(x＋ c)2＋ y2＝ 4a2上一动点， Q(c,0) 为定点 (c>a>0，为常数 )， O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直均分线与直线RP 的交点 M 的轨迹．1．椭圆定义中，常数 >F1 F2不行忽略，若常数 <F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.2．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以 F1、 F2为端点的两条射线．3．抛物线定义中F?l ，若 F∈ l ，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l 的直线．第 2 章圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线知识梳理3．两个定点4．两个定点F1， F2的距离的和焦点F1， F2距离的差的绝对值焦距焦点焦距5．到一个定点 F 和一条定直线l(F不在l 上 )的距离相等的点定点F定直线l6．圆锥曲线作业设计1．椭圆分析由已知，得PA＝ PB， PF＋BP ＝ 2，∴PA＋ PF＝2，且 PA＋PF>AF ，即动点 P 的轨迹是以 A 、 F 为焦点的椭圆．2．抛物线分析由题意知(x＋ 2)2＋ (y－ 1)2|3x＋ 4y－ 12|＝.5左边表示 (x，y)到定点 (－ 2,1)的距离，右边表示(x ，y)到定直线3x＋ 4y－12＝ 0 的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①分析∵∠ F2MP ＝∠ GMP ，且 F2P⊥ MP，∴F2P＝ GP， MG ＝ MF 2.取 F1F2中点 O，连接 OP，则OP 为△ GF1F2的中位线．11∴ OP＝ F1G＝ (F1 M ＋MG)221＝2(F1 M ＋MF 2)．又 M 在椭圆上，∴ MF1＋ MF 2＝常数，设常数为 2a，则 OP＝ a，即 P 在以 F1 F2的中点为圆心， a 为半径的圆上．4．椭圆5．椭圆6．抛物线分析由题意知P 到 F 的距离与到直线x＝－ 4 的距离相等，因此点 P 的轨迹是抛物线．7．双曲线8．双曲线的一支9．证明设PB＝r.∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝ 10－ r，即 PA＋ PB＝ 10(大于 AB) ．∴点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆．10．解由正弦定理得：sin A ＝a， sin B＝b， sin C＝c.2R2R2R1代入 sin B － sin C＝2sin A得： b－ c＝12a，即 b－ c＝ 1，即 AC－AB ＝ 1 (<BC)∴ A 的轨迹是以B、 C 为焦点且凑近 B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．11．④分析∵ D1C1⊥面 BCC1B 1， C1P? 平面 BCC1B1，∴ D1C1⊥ C1P，∴点 P 到直线 C1D1的距离即为 C1P 的长度，由题意知，点P到点 C1的距离与点 P 到直线 BC 的距离相等，这恰切合抛物线的定义．12．解由题意，得 MP＝ MQ ，RP＝ 2a.MR －MQ ＝MR － MP＝ RP＝ 2a<RQ＝ 2c.∴点 M 的轨迹是以 R、Q 为两焦点，实轴长为 2a 的双曲线右支．。

苏教版高中数学选修1-1章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程.docx

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.【解析】由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x2.已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】由题意知c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，所以b ＝ 3. 【答案】33.若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围为________.【解析】由题意可知⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.【答案】 (3,4)∪(4,5)4.以y ＝3为准线的抛物线的标准方程为________.【解析】设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，则－p2＝3，p ＝－6，则抛物线方程为x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y5.抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，即p ＝2. 【答案】 26.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______.【解析】由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝2×3＝6，因为PF 1＝4，所以PF 2＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120°7.已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是________.【解析】 ∵2c ＝AB ＝2，∴c ＝1，∴CA ＋CB ＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线).因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2).【答案】 y 24＋x 23＝1(y ≠±2)8.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________.【导学号：24830061】【解析】由双曲线的渐近线bx －ay ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝3相切得2b a 2＋b 2＝3，由c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. 【答案】 x 2－y 23＝19.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是________.【解析】 ∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)，∴P 的坐标为(5，4). 又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，∴另一个焦点为F 2(5，0). ∴2a ＝|PF 1－PF 2|＝(5＋5)2＋16－(5－5)2＋42＝2.∴a ＝1. 又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4.∴双曲线方程为x 2－y 24＝1.【答案】 x 2－y 24＝110.已知抛物线C ：x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________.【解析】显然t ≠0，直线AB 的方程为y ＝4t x －1，代入抛物线方程得2tx 2－4x ＋t ＝0.由题意Δ＝16－8t 2<0，解得t <－2或t > 2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________.【解析】椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )，OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 【答案】 612.一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.【解析】 x 2＋y 2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎬⎫PO ＝r ＋1P A ＝r ＋2⇒P A －PO ＝1＜AO ＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 【答案】双曲线的一支13.过双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.【解析】先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba (x －c ).因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.【答案】 2＋ 314.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k ＝________.【解析】过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2FB ＝F A ，∴AA 1＝2BB 1，即B 为AC 的中点.从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，⇒消去x 得y 2－8k y∴⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.【答案】223二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，若抛物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263. (1)求抛物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及离心率e .【解】设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝⎛⎭⎪⎫2632＝2p ×23，所以p ＝2，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，焦点F 的坐标为(1,0).(2)由双曲线C 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23，所以a ＝13，b 2＝89 ，所以双曲线C 2的方程为9x 2－98y 2＝1，离心率e ＝3.16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.【解】 ①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2 ＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1. 17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.图1【解】设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0.所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×(83)2－4×5×85＝85.18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .图2(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2＝1.【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知，c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2.故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m ＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4.因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.19.(本小题满分16分)已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若AB ＝25，直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点)，求椭圆的方程.【解】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得(a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2.又设AB 的中点M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝4a 2a 2＋4b 2，y M ＝－12x M ＋2＝8b 2a 2＋4b 2.∵直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝12，∴2b 2a 2＝12，∴a 2＝4b 2，从而x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2＝4，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2＝8－2b 2. 又∵AB ＝25，∴ 1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52×16－4(8－2b )2＝25，解得b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝16，故所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.20.(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB ＝32F 1F 2. (1)求椭圆的离心率.(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2＝2 2.求椭圆的方程.【解】 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由AB ＝32F 1F 2，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )，由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－4c 3，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ －4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－4c3＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .由已知，有TF 22＝MF 22＋r 2，又MF 2＝22，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋2c 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－2c 32＝8＋59c 2.解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.。

苏教版数学高二-高中数学苏教版选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元检测(A)

第2章圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________．2．当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是________________．3．方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )表示曲线在同一坐标系中的示意图可能为______________________．4．短半轴长为2，离心率e ＝3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线于A 、B 两点，且AB ＝8，则△ABF 2的周长为________． 5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．6．若直线mx －ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________． 7.如图所示，若等腰直角三角形ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则直角三角形ABO 的面积是________．8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．9．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是________．10．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是_ ___________．11．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．12．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．13．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．14．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．16．(14分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．17.(14分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．18．(16分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．19.(16分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程．20．(16分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程；（2）若OA →⊥OB →，求k 的值．第2章圆锥曲线与方程(A)1.x 236＋y 227＝1 解析已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则c ＝3，a ＝6，b 2＝36－9＝27，因此椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.2．y 2＝32x 或x 2＝－12y解析将直线方程化为(2x －4)a ＋3x ＋y ＋2＝0，可得定点P (2，－8)，再设抛物线方程即可． 3．④解析由m >0，n >0知mx 2＋ny 2＝1表示的是椭圆的方程，又由mx ＋ny 2＝0，得y 2＝－mnx ，所以抛物线开口向左．4．16＋22解析由于b ＝2，e ＝ca＝3，∴c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋4，∴a ＝22，设AF 2>AF 1，BF 2>BF 1，则由双曲线的定义知：AF 2－AF 1＝2，BF 2－BF 1＝2， ∴AF 2＋BF 2－AB ＝22， ∴AF 2＋BF 2＝8＋22，则△ABF 2的周长为16＋2 2. 5.33解析由题意知AF 1＝33F 1F 2，∴b 2a ＝33·2c ，即a 2－c 2＝233ac ，∴c 2＋233ac －a 2＝0，∴e 2＋233e －1＝0，解之得e ＝33(负值舍去)．6．2解析由题意4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<4，点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2.7．4p 2解析由题意得∠xOA ＝∠xOB ＝45°，则可设点A (a ，a )，代入抛物线的方程得a ＝2p ，∴S △ABO ＝12×2a ×a ＝a 2＝4p 2.8.2＋1解析 ∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴A ⎝⎛⎭⎫p2，p . 又∵c ＝p2，即p ＝2c ，∴A (c,2c )．代入双曲线方程，化简，得e 4－6e 2＋1＝0. ∵e >1，∴e ＝2＋1. 9．3解析注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32，∴2|a |＝3. 10．x 2－y 29＝1解析设双曲线方程为9x 2－y 2＝λ (λ>0)，即x 2λ9－y 2λ＝1.∵a 2＋b 2＝c 2，∴λ9＋λ＝10，解得λ＝9. ∴双曲线方程为x 2－y 29＝1.11.32解析由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝ca，从而e ＝32.12．2x －y －15＝0解析设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P (8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0. 即2x －y －15＝0. 13.22解析由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 14．③④解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．15．解设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 29＝1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.16．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.17．解将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)．由弦长公式得： AB ＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 18．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝65，①又PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝100，②①2－②得2PF 1·PF 2＝80，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝20.19．解焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝ 1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．20．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。

高二数学选修1-1《圆锥曲线》单元测试卷

A． x 2 y 2 1 9 16
x2
B．
y2
1
25 16
x2
C．
y2
1或 x2
y2
1
25 16
16 25
D．以上都不对
3.抛物线 y2 8x 的准线方程是（）
(A) x 2
(B) x 4
(C) y 2
(D) y 4
4.曲线 x2 y2 1(m 6) 与曲线 x2 y2 1(5 m 9) 的（）
10 m 6 m
5m 9m
(A)焦距相等
(B) 离心率相等
(C)焦点相同
(D)准线相同
5.已知
F1 ,
Hale Waihona Puke F2是椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的两个焦点， AB 是过 F1 的弦，则 ABF2 的周长是
(
)
A. 2a
B. 4a
C. 8a
D. 2a 2b
6.一动圆与圆 x2 y2 1外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，则动圆的圆心在（）
F (
3,
0)
,右顶点为
D(2,
0)
,设点
A
1,
1 2
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；
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x2 20、（本大题满分 13 分）椭圆 a2
y2 b2
1(a, b 0) 的两个左右焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，
4
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13.直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于

苏教版高中数学选修1-1第2章圆锥曲线与方程章末检测题(附解析)

苏教版高中数学选修1-1第2章圆锥曲线与方程章末检测题（附解析）(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k的值为________．解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29. 答案：11或29 2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________. 解析：由题意知，m<0，双曲线mx2＋y2＝1化为标准形式y2－x2－1m＝1，故a2＝1，b2＝－1m，所以a＝1，b＝－1m，则由2－1m＝2×2，解得m＝－14. 答案：－14 3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：不妨设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则有2b2a＝2 a2c－c＝1，即2b2a＝2，①b2c＝1，② ①÷②得e＝22. 答案：22 4．与x2－4y2＝1有相同的渐近线，且过M(4，3)的双曲线方程为________．解析：设方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将M(4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为x24－y2＝1. 答案：x24－y2＝1 5．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x23－y29＝1，可知a＝3，c＝a2＋b2＝3＋9＝23，e＝ca＝233＝2. 答案：2 6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为________．解析：椭圆x26＋y22＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y2＝2px的焦点为(p2，0)，则p2＝2，故p＝4. 答案：4 7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→•AF→＝－4，则点A的坐标是________．解析：由题意得F(1,0)，设A(y204，y0)，则OA→＝(y204，y0)，AF→＝(1－y204，－y0)，由OA→•AF→＝－4，解得y0＝±2，此时点A 的横坐标为y204＝1，故点A的坐标是(1，±2)．答案：(1，±2) 8．设P是椭圆x225＋y216＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为________．解析：设P的坐标(x，y)，则PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－y216)＋(y＋4)2＝－916(y－649)2＋6259(－4≤y≤4)，当y＝4时，PQ2最大，此时PQ最大，且PQ的最大值为－＋＋＝8. 答案：8 9．以双曲线x29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)．又因为点(5,0)到渐近线y＝±43x的距离为4，所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0 10．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知a－c＝3 ca＝12，解得a＝23 c＝3，椭圆方程为x212＋y29＝1或y212＋x29＝1. 答案：x212＋y29＝1或y212＋x29＝1 11．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|•|MP→|＋MN→•NP→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，M(－2,0)，N(2,0)，则MN→＝(4,0)，|MN→|＝4，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x －2，y)；由|MN→|•|MP→|＋MN→•NP→＝0，得＋＋y2＋4(x－2)＝0，化简整理得y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 12．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP→＝2PA→且OQ→•AB→＝1，则点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0. 于是BP→＝(x，y－b)，PA→＝(a－x，－y)，由BP→＝2PA→可得a＝32x，b＝3y，所以x>0，y>0. 又AB→＝(－a，b)＝(－32x,3y)，由OQ→•AB→＝1可得32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．答案：32x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 13．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的取值范围是____________．解析：法一：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2) 且AB所在直线的方程可设为：y＝－1mx＋b，代入y2＝x，得y2＋my－mb＝0，∴y1＋y2＝－m，且Δ＝m2＋4mb＞0.① 设A、B的中点为(x0，y0)，则y0＝y1＋y22＝－m2，又A、B的中点在直线y＝m(x－3)上，所以x0＝52，又(x0，y0)在直线y＝－1mx ＋b上．∴b＝y0＋1mx0＝－m2＋52m，代入①并整理得：m2＜10，∴－10＜m＜10，∴m的取值范围是(－10，10)．法二：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中点为(x0，y0)，依题意，则有： y21＝x1 ①y22＝x2 ②y1－y2x1－x2＝－1m③y1＋y2＝2y0 ，④x1＋x2＝2x0 ⑤y0＝－＜x0 ⑦ ①－②得：(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2，将③④代入上式得：y0＝－m2，⑧ 将⑧代入⑥得：x0＝52，⑨ 将⑧⑨代入⑦得－m22＜52，∴m2＜10，∴－10＜m＜10. ∴m的范围是(－10，10)．答案：(－10，10) 14．已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题：①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；④△PF1F2的内切圆必通过点(a,0)．其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，设M点坐标为(x,0)，则由F1M －F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确．答案：①④ 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m. (1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；(2)若水面上升1 m，求水面宽度．解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由已知条件可知，点B的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p×(－4)，即p＝2. 所以，所求抛物线标准方程是x2＝－4y. (2)若水面上升1 m，则y＝－3，代入x2＝－4y，得x2＝－4×(－3)＝12，x＝±23，所以这时水面宽为43 m. 16．(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x29＋y24＝1，焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)．故设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝59a2－4b2＝1，解得a2＝3b2＝2，故所求双曲线的标准方程为x23－y22＝1. (2)由(1)知双曲线的右准线方程为x＝355，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则有p2＝355，故p＝655. 所以抛物线的标准方程为y2＝－1255x. 17．(本小题满分14分)已知双曲线x29－y227＝1与点M(5,3)，F为右焦点，试在双曲线上求一点P，使PM＋12PF最小，并求出这个最小值．解：双曲线的右焦点F(6,0)，离心率e＝2，右准线为l：x＝32.作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则PF＝ePN＝2PN⇒PN＝12PF.此时PM＋12PF＝PM＋PN＝MN＝5－32＝72为最小值．在x29－y227＝1中，令y＝3，x2＝12⇒x＝±23；又∵x>0，∴取x＝23. 即当所求P点的坐标为(23，3)时，PM＋12PF取最小值72. 18．(本小题满分16分)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点N(－2，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足NM→＋F2M→＝0. (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积．解：(1)由已知，点N(－2，1)在椭圆上，∴有2a2＋1b2＝1，① 又∵NM→＋F2M→＝0，M在y轴上，∴M为NF2的中点，∴－2＋c＝0，c＝2.∴有a2－b2＝2，② 由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)设PF1＝m，PF2＝n，则S△F1PF2＝12mnsinπ3＝34 mn. 由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.① 又由余弦定理得PF21＋PF22－2PF1•PF2cosπ3＝F1F22，即m2＋n2－mn＝(22)2.② 由①2－②，得mn＝83，∴S△F1PF2＝233. 19．(本小题满分16分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线方程； (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标； (3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x. (2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，又∵F(1,0)，∴kFA＝43；MN⊥FA，∴kMN＝－34，则FA的方程为y ＝43(x－1)， MN的方程为y－2＝－34x. 解方程组y＝－－2＝－34x，得x＝85 y＝45，∴点N的坐标为(85，45)． (3)由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2. 当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，即为4x－(4－m)y－4m＝0，圆心M(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋－，令d>2，解得m>1. ∴当m>1时，直线AK与圆M相离；当m＝1时，直线AK与圆M相切；当m<1时，直线AK与圆M相交． 20. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x29＋y25＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.(1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹； (2)设x1＝2，x2＝13，求点T的坐标； (3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．解：由题设得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)． (1)如图，设点P(x，y)，则PF2＝(x－2)2＋y2， PB2＝(x－3)2＋y2. 由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化简得x＝92. 故所求点P的轨迹为直线x＝92. (2)如图，由x1＝2，x219＋y215＝1及y1＞0，得y1＝53，则点M2，53，从而直线AM的方程为y＝13x＋1；由x2＝13，x229＋y225＝1及y2＜0，得y2＝－209，则点N13，－209，从而直线BN的方程为y＝56x－52. 由y＝13x＋1，y ＝56x－52，解得x＝7，y＝103. 所以点T的坐标为7，103. (3)证明：如图，由题设知，直线AT的方程为y＝m12(x＋3)，直线BT的方程为y＝m6(x－3)．点M(x1，y1)满足y1＝＋，x219＋y215＝1，得－＋＝－＋因为x1≠－3，则 x1－39＝－m2122•x1＋35，解得x1＝240－3m280＋m2，从而得y1＝40m80＋m2. 点N(x2，y2)满足y2＝－，x229＋y225＝1，解得x2＝3m2－6020＋m2，y2＝－20m20＋m2. 若x1＝x2，则由240－3m280＋m2＝3m2－6020＋m2及m＞0，得m＝210，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)．若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率 kMD＝40m80＋m2240－3m280＋m2－1＝10m40－m2，直线ND的斜率kND＝－20m20＋m23m2－6020＋m2－1＝10m40－m2，得kMD＝kND，所以直线MN过定点D. 因此直线MN必过x轴上的定点(1,0)．。

苏教版高中数学选修2-1圆锥曲线同步练习选修2-1.docx

圆锥曲线同步练习一、选择题（每题3分，共30分）。

1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ c ）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）122.已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ c ） A.2 B.223C. 2D. 4 3.方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ a ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ d ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．45. 平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ b ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件6. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ a ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )327.曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ a ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为（ d ）A ．2B ．3C ．43D ．539.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（a ）A ．43B ．75C ．85D ．310. 直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ d ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每题4分，共20分）。

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高二数学练习
一、填空题。

1.椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b
y a x 的离心率为 2.抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为____________.
3.椭圆13
122
2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的倍.
4.椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为____________.
5.双曲线22a x -22
b
y =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为 6.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，
若621=+y y ，则21P P 的值为_________.
7.过原点的直线l ，如果它与双曲线14
32
2=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是．
8.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的
斜率的取值范围是___________.
9.已知双曲线)0( 1222
>=-a y a
x 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为_________.
10.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是_____________.
11.设AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点,则AB OM k k ⋅=____________
12.椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是
13.若直线2y kx =-与抛物线2
8y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则AB =______
14.已知定点()A -，F 是椭圆22
11612
x y +=的右焦点，则过椭圆上一点M 使2AM MF +取得最小值时点M 的坐标为
二、解答题
15、抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的一个焦点，且抛物
线与双曲线的一个交P （32
16、已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

17、设双曲线C ：x 2
a 2-y 2=1(a >0)与直线l:x+y =1相交于两个不同的点A 、B ．（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围;
（2）设直线l 与y 轴的交点为P,且5.12
PA PB =
求a 的值.
18、已知P （x 0,y 0）是椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
19、过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ．
（1）求证：P 在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围．
20、已知抛物线x y 42
=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．。