材料力学第九章-应力状态(2)

1 ε 3 = [σ 3 (σ 2 + σ 1 )] E
四,平面状态下的应力--应变关系 平面状态下的应力--应变关系 --
σ z =τ yz =τ zx =0
用 应力 表示 应变 的本构关系
E σ x= ε x + ε y 2 1 E [ε y + ε x ] σ y= 2 1
[
]
τ xy =G γ xy
σα
σx
y 0
σy
x
τxy
α τα
σ x +σ y σ x σ y 2 2 σ α + τα = + τ xy 2 2
2 2
n
在
σ α -τ α
坐标系中, 坐标系中, α 与 α σ
τ
τ
落在一个圆上 (应力圆 或 莫尔圆)
圆心? 圆心?—
(
σ x +σ y
2
,0)
半径? 半径?—
= 70
25 3
σ2
45
B
95
A
R = AC = AD 2 + DC 2 = 50
25 3 α0
σ1
(5)计算主应力及 (5)计算主应力及方位角 计算主应力 σ 1 = OC + R = 120
σ 2 = OC R = 20 σ3 = 0 AF 2α 0 = arc tg FC = 60
τα Байду номын сангаасMPa)
OE = OC EC = = = =
σ x +σ y
2 σ x +σ y 2 σ x +σ y 2 σ x +σ y 2
2α 0 E C
x A(σx ,τxy)
R cos[180o ( 2α + 2α 0 )] + R cos( 2α + 2α 0 )
2α 0 B(σy ,τyx)
σα
+ R(cos 2α cos 2α 0 sin 2α sin 2α 0 ) +
x
主应力迹线的画法
q
σ1 σ3
三向应力状态——应力圆法 §9.5 三向应力状态 应力圆法 1,空间应力状态
y
σ1 σ2 σ3
x
τα
σα
z
σ3
σ2
σ1
2,三向应力分析
y
τα
τ max
σ1 σ2 σ3
x
σα
σ3
σ2
σ1
图b
z
图a
(1)弹性理论证明,图 a 单元体内任意一点任意截面上 弹性理论证明, 的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点 (2)整个单元体内的最大剪应力为 τ max=
B D
O
A
2α 0
E C F
20MPa
σ3 σ 2
σ1
σα
(MPa)
α 0 = 30
(6)在图上画主单元体, (6)在图上画主单元体,主应力 主单元体
§9.4
梁的主应力及其主应力迹线
q
梁发生横力弯曲, 梁发生横力弯曲, M与Q > 0,试确定截面上 与 , 各点主应力大小及主平面 位置
单元体上: 单元体上: My QS z τ xy = σ x= b Iz Iz
D2 A2 C O
σ1
5
σ
σ
主应力迹线( 主应力迹线(Stress Trajectories) ) 主应力方向线的包络线 —— 曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力(或主压应力) 都指示着该点的主拉应力(或主压应力)方位
实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线
y
1 a 2 b c d 1 2 3 4 截 截 截 截 面 面 面 面 i 截 面 n 截 面 3 4 i n
3)
3)
τα (MPa)
B A
(3)AB的垂直平分线与 (3) 的垂直平分线与σα 是圆心, 轴的交点 C 即是圆心, 为圆心, 以 C 为圆心,以 AC为 为 半径画圆 ——
σ3
2α 0
C
20MPa
O σ2
σ1
σα
(MPa)
应力圆
(4)按 (4)按图计算 心标 和 半径
OC = (A 横坐标 + B 横坐标)/2 横坐标)/2
σ x σ y
2
cos 2α τ xy sin 2α = σ α
σy σα τα
y O x
n
单元体与应力圆的对应关系
(1)单元体的右侧立面 —— 应力圆的 A 点(2α 0 ) (2)斜截面和应力(σ α ,τ α) 斜截面和应力( 面和应力 —— 应力圆上一点 D 点 和坐标( 和坐标(σ α ,τ α) (3)单元体上夹角α —— x 应力圆上 CA 与 CD 夹角 2α 且转向一致 (4)主单元体上σ 1所在面法向 是由x 轴逆时针转 α 0 ——
R = AC = AD 2 + DC 2 = 50
τ
A (80,
30)
3,算出主应力,切应力极值 ,算出主应力,
σy
σ1
σ 1 10 MPa = 0C ± R = 90 MPa σ 3
σ3
σx
D C
O
σ
τ max = - τ min = R = 50 MPa
B
4,算出方位角 ,
τ
A (80,
0 B
τα
A
B0
σy
C
A0
σα
σx
σy σα τα
y O x
n
第二种画法 (1)坐标系内画出点 A(σ x,τxy) ( B (σy,τyx) (2) AB与σα 轴的 与 交点C是圆心 交点 是圆心
x
α
τxy
σx
τα n D( σα , τα)
2α C O B(σy ,τyx)
A(σx ,τxy)
三个弹性常数之间的关系
E G = 2 (1 + ν
)
五,体积应变与应力分量间的关系
V = dx dy dz V1 = dx ( 1 + ε 1 )dy ( 1 + ε 2 )dz ( 1 + ε 3 ) ≈ dx dy dz ( 1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 )
体积应变: 体积应变:
V1 V Θ= =ε 1 +ε 2 +ε 3 V 代入本构关系, 代入本构关系,得到 体积应变与应力分量间的关系: 体积应变与应力分量间的关系:
单元体上应力如图,求出主应力, 例 单元体上应力如图,求出主应力,画出主单元体 σ x = 80 , σ y = 0 , τ = 30 30 1,取σ x ,σ y 的中点 为圆心 的中点C为圆心 , 80 80
单位: 单位:MPa
30
以 AC 为半径画莫尔圆 2,算出心标 0C = -40,半径 , ,
′ σ2 ′ σ1
210 × 10 9 = ( 240 0 .3 × 160 ) × 10 6 = 44 .3MPa 1 0 .3 2 E [ε 2 + ε 1 ] σ ′2 = 2 1
2 3
=σ
' 1
= 50
面之一 σ 1 =50 ′
τ max = 44
= 27
§9.6 复杂应力状态下的单元体的变形 ——(广义郑玄 ——(广义郑玄 - 虎克定律) 虎克定律) 一,单拉下的本构关系
y
σx
εx=
σx
E
εy = σx εz = σx E E
γ ij = 0 ( i,j = x,y,z )
τ α 的函数关系? 的函数关系?
σy σx
一,斜截面应力
σ x +σ y σ x σ y cos2α τ xy sin2α + σ α = 2 2 τ =σ x σ y sin2α +τ cos2α xy α 2
y O x
τxy
往下是关键的一步---平方和相加, 往下是关键的一步---平方和相加,得 ---平方和相加
[ [
] ]
依叠加原理, 依叠加原理,得
ε x=
σx
E E E 1 = σ x (σ y +σ z ) E
σy
σz
γ xy = G τ yz γ yz =
G
τ xy
[
]
γ zx =
τ zx
G
主单元体本构关系
1 ε 1 = [σ 1 (σ 2 + σ 3 )] E 1 ε 2 = [σ 2 (σ 3 + σ 1 )] E
为什么说有这种对应关系? 为什么说有这种对应关系? DE = R sin[ 180o ( 2α + 2α 0 )] = R sin( 2α + 2α 0 ) = ( R cos 2α 0 ) sin 2α + ( R cos 2α 0 ) cos 2α σ x +σ y = sin 2α + τ xy cos 2α = τ α τα n D( σα , τα) 2
2
) +τ
2
2 xy
σ3 σ2
σ1
σα
τ min
τ max = ± R半径 τ min = ±(
σ x σ y
2
)+τ
2
2 xy
五,平面应力状态的分析方法
1,解析法 精确, 精确,公式不好记 —— 7个 一般公式2 切应力),极值应力5 ),极值应力 一般公式2个(正,切应力),极值应力5个 极大与极小正应力,极大与极小切应力, (极大与极小正应力,极大与极小切应力, 主单元体方位角) 主单元体方位角) 2,图解法 不必记公式, 不必记公式,数值不精确 集二者优点, 有没有 集二者优点,避二者缺点 的方法 ? 我提出了这种方法 —— 3,图算法 前半部 —— 画莫尔圆 后半部 —— 看图精确计算