小波分析在函数优化中的应用

Cψ = 1． 2 连续小波变换
∫
+∞
－∞
| ψ（ ω） | 2 dω ＜ ∞ ω
2 将任意 L （ R） 空间中的函数 f（ t） 在小波基下进行展开， 称这种展开为函数 f（ t） 的连续小波变换
（ Continue Wavelet Transform， 简称 CWT） ， 其表示式为
0423 收稿日期： 2011作者简介： 王航（ 1981 —） ， 女， 山西兴县人， 山西财经大学应用数学学院教师， 硕士， 主要从事线性代数方面的研究 ．
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算法
Step 1 Step 2 将原函数 f（ x） 取样， 得到一组序列｛ x k ｝ ， 其中取样点数为 1 000* （ b － a） ， 并且将坐标轴由
［ a， b］转换成 k = 1 ， 2， ……， ? （ 1 000* （ b － a） ） 」 ； 对得到的取样序列 ｛ x k ｝ 进行小波变换， 得到两个系数数组， 分别为取样序列的近似系数 ｛ ca k ｝ 和细节系数｛ cd k ｝ ；
通常一个求全局优化的问题可以表述为 ： 给定一个 n 维欧氏空间中的非空闭集 D 和一个连续函数 f： * * ［1 ］ R → R ， 寻找一个点 x ∈ D， 使对 x ∈ D 满足 f（ x ） ＜ f（ x） ， 即 glob min f（ x） ．
n x∈D
现在局部优化的理论已经相当成熟 ， 比较常用的有最速下降法， 共轭梯度法， 牛顿法， 拟牛顿法等等， ［2 ］ ［3 ， 4 ］ ， 它们都具有相当好的全局收敛性 ． 而对于全局优化来说， 比较常用的方法有遗传算法 模拟退火算 法
∈
2 k +m = m' h m φ j， Σ 2 k +m （ x' ） m Z ∈
=
m' ∈Z
Σ
h m' －2k φ j， m' （ x' ）
（ 1）
C j， φ j +1， Σ l φ j， l （ x） ， k （ x） l Z
∈
＞ C j， Σ l l Z
∈ ∈
C j， Σ l l Z
∈ ∈
d j +1， f， ψ j +1， ψ j +1， Σ C j，l φj，k （ x） ， k = 〈 k〉= 〈 k〉= 同样由关于 ψ 的双尺度方程， ψ j +1， k （ x） = 故 d j +1， k = 分解公式： C j +1， k = d j +1， k = C j， Σ l l Z
小波分析在函数优化中的应用
王 航
（ 山西财经大学应用数学学院，山西 太原 030006 ） 摘 要： 本文介绍了小波变换以及它的多尺度性， 结合局部优化来解决函数的全局优化问题， 提出了一
种新的全局优化方法． 首先给出算法， 用 matlab 编程并给出若干个多峰值函数求解全局最优值的算例， 得到了与理论值十分接近的优化结果 ． 说明了该算法具有一定的可行性 ． 关键词： 全局优化； 多峰函数； 小波分析； 局部搜索； 多尺度分析 中图分类号： TP18 文献标识码： A
C j， Σ m g m －2k m Z
∈
C j， Σ m h m －2k m Z g m － 2 k C j， Σ m m Z
∈
重构公式： C j， f， φ j， Σ C j +1，l φj +1，l （ x） + k = 〈 k〉= 〈
l∈Z
d j +1， φ j， Σ l ψ j +1， l （ x） ， k〉 l Z
Step 6 x
*
列｛ sca k ｝ 进行局部搜索 （ 利用差分代替导数的计算 ） ， 初始点为 x i ， 得到局部最优点 x i +1 ， 令 i = i + 1， 转到 Step 4 ；
* 输出 x ．
= x i +1 ； Step 7 Step 8
4
算例
考虑全局优化问题：
9
max f（ x） = 0. 1 Σ e －0． 05x sin（ 1 ． 2 ix） + 0 ． 2cos（ 0 ． 5 x）
∈
小波系数的计算： 假设信号 f ∈ V j = V j +1 W j +1 f（ x） = 下面求 C j +1， φ j +1， φ j +1， Σ C j，l φj，l （ x） ， k d j +1， k ： C j +1， k = ＜ f， k ＞ = 〈 k （ x） 〉 =
l∈Z
C j， Σ k φ j， k （ x） k Z
［5 ］
， “早熟 ” ， 它们也有较好的全局收敛性， 但也有缺点， 像遗传算法就容易陷入 因此， 有人把全局优化方
［6 ， 7 ］
在这方面， 也取得了一些比较令人满意的成果． 蚁群算法 法和局部优化方法结合起来形成一种新的算法 ， 具有较强的鲁棒性， 但不适于连续问题的求解， 容易陷于局部最优解 化提出了一种新的全局优化方法 ． 首先我们要提到一些有关的知识 ． ． 本文利用小波变换结合局部优
设 φ 是紧支撑连续函数， 满足标准正交条件
∫
j
+∞
－∞
φ（ x － k） φ（ x － l） dx = δ kl
j k ∈ Z｝ 张成的， 令 V j 是由｛ φ（ 2 x － k） ， 则： （ 1 ） 空间 V j 满足可分条件（ 即 ∩ V j = ｛ 0 ｝ ） ；
（ 2 ） 若 φ 满足下列附加条件： ① 归一化：
· 22·
山西师范大学学报（ 自然科学版）
2011 年
Step 3 Step 4 Step 5 else
i = 1， x1 = 0 ； 滤波宽度 d = 100* （ b － a） － 10* i if i ＜ 20 对近似系数｛ ca k ｝ 进行滤波， 这里滤波宽度为 d， 得到一个新的序列｛ sca k ｝ ； break
1
1． 1
小波分析简介
小波（ w荡， （ supp｛ ψ（ x） ｝ = ｛ x | ψ（ x） ≠ 0 ｝ ［ a， b］ ）， 函数 ψ（ x） ， 小— 波— 或衰减速 度比较快．
2 定义： 称 ψ ∈ L （ R ） 是一个小波， 如果满足允许条件：
∫
+∞
－∞
φ（ x ） d x = 1 ．
② 尺度： φ（ x） =
Σ k
p k φ（ 2 x － k ） ， p k 是常量且数量有限．
j
2 2 那么相应 V j 满足稠密条件： ∪ V j = L （ R） ， 或者说， 只要 j 足够的大， 那么 L （ R） 中的函数可以由 V j 中的
j ∈ Z｝ 函数近似． 而且， 若函数 φ 是紧支撑且连续的， 满足归一化、 尺度和标准正交条件， 那么空间集 ｛ V j ， 形成一个多分辨分析． 利用由此定义得到的一个多分辨分析 ， 就可以将一个信号分解成不同分辨率的新信
∈
第4 期
－j － 1 令 x = 2 x' － k 得
王航： 小波分析在函数优化中的应用
· 21·
2 － （ j +1） / 2 φ（ 2 －j －1 x' － k） = 槡 2 ·2 － （ j +1） / 2 Σ h m φ（ 2 （ 2 －j －1 x' － k） － m）
m∈ Z
φ j +1， k （ x' ） = 将（ 1 ） 代入（ * ） 得： C j +1， φ j +1， k = ＜ f， k ＞ = ＜ = =
［8 ］ 希望在不丢失原始信号 f（ t） 信息的情况下， 尽量减小小波变换系数的冗余度． 减小小波 冗余的 ． 因此， 变换系数冗余度的做法是将小波基函数 1 t －τ ） ψ a， ψ（ τ （ t） = a a 槡
的 a， τ 限定在一些离散点上取值． 一种最通常的离散方法是将尺度按幂级数进行离散化 ． 函数 f（ t） 的离散 小波变换（ DWT） 为 WT f （ j， k） =
∈
= =
Σ l Z
∈ ∈
C j +1， 〈φ j +1， φ j， l l （ x） ， k 〉+
∈
d j +1， 〈ψ j +1， φ j， Σ l l （ x） ， k〉 l Z
∈ ∈ ∈
C j +1， 〈Σ h m －2l φ j， 〈Σ g m －2l φ j， φ j， φ j， Σ k m （ x） ， k 〉+ Σ d j + 1 ， k m∈ Z （ x ） ， k〉 l Z m Z l Z m Z
第 25 卷第 4 期 2011 年 12 月
山西师范大学学报（ 自然科学版） Journal of Shanxi Normal University Natural Science Edition
Vol． 25 No． 4 Dec． 2011
4490 （ 2011 ） 04001906 文章编号： 1009-
∈
Σ l Z
∈ ∈
C j， 〈φ j， ψ j +1， l l （ x） ， k〉
φ m （ x） Σ m － 2 k j， m Z
＜ φ j， Σ g m －2k φj，m （ x） ＞ = l （ x） ，
m∈ Z
Σ Σ C j，l g m －2k l Z m Z
∈ ∈ ∈
＜ φ j， l φ J， m ＞ =
2
基本思想
小波具有多尺度性， 小波分析中利用 Mallat 算法可以实现信号的分解与重构 ， 现在我们想利用小波变 换的多尺度分析性质， 结合局部优化来解决全局优化问题 ． 由于小波变换的多尺度性， 可以通过提取不同 分辨率下的相似信号， 让一个非凸函数从单极值的函数逐渐逼近 ， 一直到最后的原函数， 在逼近过程中的 每一步， 都利用局部优化得到当前阶段的局部最优值点 ， 然后把得到的最优值点作为下次局部搜索的初始 继续下一次逼近． 只要这个尺度做得足够细， 就可以得到一个很好的全局优化结果 ． 后面的算例也清楚 点， 地说明了这一点．