第1,2节：向量及线性运算

( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 ) k
即向量 AB 等于终点B的坐标减去起点A的坐标
例 3 设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知点，
x
P ( ax ,0,0)
向量模长的坐标表示式
2 2 2 | r | a x a y az
例 4 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上，பைடு நூலகம்设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
a b ( ax bx , a y by , az bz )
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ;
( a , a , a ) a x y z
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ;
三、向量的模、方向角、投影
1、两点间的距离公式 设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
d M1 M 2 ?
z
在直角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN 中，使用勾股定 理知
R
M1
M2
Q
P
N
2
o
y
2 2
M
o
y
x
由题意知： AM MB
x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , z 1 y1 y2 y y1 ( y2 y ) y , B 1 M A z1 z2 o z z1 ( z2 z ) z , x 1 M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，=1 x1 x2 y1 y2 z1 z2 x , y , z . 2 2 2
a
a ，则两式相减得
因为 a 0，所以 0，所以必有 。
( )a 0,即 a 0,
于是我们得到
定理1 设向量 a 0，那末向量b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 ，使 b a .
数轴：
o i P 由定理1，存在唯一一个实数 x , 使得 OP x i 1
12 12 PP2 x
2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
3、方向角与方向余弦
a 0, b 0, 向量a 与向量b 的夹角 (a , b ) (b , a )
z
R (0,0, z )
K(0, y, z )
M( x,
H( x,0, z )
y, z )
o
Q(0, y,0)
N ( x, y,0)
y
x
P (x,0,0)
OM ON NM OP PN NM OP OQ OR x i y j zk OM x i y j z k 有序数组 ( x , y , z ) 点M
设 ea表示与非零向量a 同方向的单位向量， 分析a与 | a |ea 的关系 (1) | a | 0, a与 | a |ea同方向, ( 2) | | a |ea | | a | | ea | | a | 1 | a | a与 | a |ea 大小相等, a ea . a | a | ea |a|
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
M1 P x2 x1 ,
PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
2
2
z
R
M2
M1

Q
P
o
N
y
x
d
M 1 P PN NM 2
2 2
2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
点时，其终点与公共起点在同一平面上。
二、向量的线性运算
1、向量的加减法 [1] 加法： a b c C b b c A A a
b b a
c
C
a
c
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向
| c || a | | b |
( x x1 , y y1 , z z1 ) ( x2 x, y2 y, z2 z ),
y
定理1 设向量 a 0，那末向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 ，使 b a .
设 a ( ax , a y , az ),
( a x )i ( a y ) j ( a z )k .
设 A( x1 , y1 , z1 ) 和B( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知点，
z
B
A
o
x
y
AB OB OA ( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
2、向量的模 设向量 r ( ax , a y , az )
z
R(0,0, az )
r
M ( a x , a y , az )
o
y
Q(0, a y ,0)
而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两
部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
AM ( 1) ，即 ，求分点的坐标. MB
解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点，
z
B A
AM ( x x1 , y y1 , z z1 ) MB ( x2 x, y2 y, z2 z )
2、向量与数的乘法
a 设 是一个数，向量 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a | a 1 2a a 2
三个坐标轴的正方向符合右手系.
当右手的四个手指从正向 x 轴以 2 k 角度转向正向 y 轴时， 定点 o y 纵轴 大拇指的指向就是 z 轴的正向. j i 横轴 x 空间直角坐标系
即以右手握住 z 轴，
z
竖轴
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
bx by bz a x a y az
b ( bx , b y , bz ),
则 ( bx , by , bz ) ( ax , a y , az ) （两向量平行的坐标表示）
即两向量平行的充要条件是它们对应的坐标成比例。
注记：若向量 a 中有一个坐标为0，例如
ax 0, a y 0, az 0, 则上式应理解为 by bz bx 0, . a y az
r xi yj zk 上式称为向量 r 的坐标分解式
分别称为向量 记为 r x, y, z
xi，yj，zk
r沿x轴，y轴，z轴方向的分向量
二、向量的代数运算
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a ( ax , a y , az ), b ( bx , b y , bz ), a b ( ax bx , a y by , az bz )
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
数 使得 b
平 行
a 当 b 与 同向取正号，反向时取负号。另外，在 表达式 b a 中的数 是唯一的。如果不然，存在
• 根据数与向量的乘积的定义, a 与 a 平行 因此 我们常用数与数量的乘积来说明两个向量的平行 a 关系 假设 a 为一非零向量，则与 a 共线（平行） 的 b , 向量 b 都可表示为 b a ，其中
零向量： 模长为0的向量. 0
约定：零向量的方向是任意的
相等向量：大小相等且方向相同的向量
a
b
a= b
a 向量的平行： 方向相同或相反。 a // b a
自由向量： 不考虑起点位置的向量 . 负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
当两个平行向量的起点放在一起时，他们的终点和公 共起点应在同一条直线上。因此两向量平行也叫共线 向量的共面：一组向量，当把它们的起点放在同一
因此，在空间直角坐标系 Oxyz 中 有序数组 ( x , y , z ) 即称为点M 的坐标， 又称为向量 OM 的坐标。
空间向量的坐标表示
r ，对应有点 M , 使OM r 任给向量
如图所示：
z
R(0,0, z )

M ( x, y, z )
o
y
Q(0, y ,0)
x
则有
P ( x ,0,0)