北师大版必修五综合试卷

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北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

高中数学北师大版5第一、二章综合测试题与答案

高中数学必修5第一二章综合测试卷一、选择题：（每小题4分,共计40分)1．△ABC 的内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =2,b =6，B =120o，则a 等于（ D )AB ．2 CD2．在△ABC 中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是 ( A )A ．222<<aB ．42<<aC ．22<<aD ．222<<a3．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c ，若(a 2+c 2—b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为(D ）A. 6πB. 3πC.6π或56πD 。

3π或23π4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为（ D )A 。

185B.43 C.23 D.87 5．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β（α＞β）则A 点离地面的高AB 等于（ A ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-aD ．)cos(cos cos βαβα-a6．已知等差数列{a n ｝满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=( C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．237．已知{a n }是等比数列,a 2=2， a 5=41,则a 1a 2+ a 2a 3+…+ a n a n+1=（ C ）A ．16（n--41） B ．16（n--21)C ．332(n--41） D ．332(n--21)8 如果a 1,a 2,…， a 8为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 ( B ）A 5481a a a a >B 5481a a a a < C1845a a a a +>+ D5481a a a a =[解析］：因为128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠故2121115412111817)4)(3(,7)7(d d a a d a d a a a d a a d a a a a ++=++=+=+=;故5481a a aa <9、3、已知数列｛a n }满足a 1=0， a n+1=a n +2n,那么a 2003的值是 ( C ）A 、20032B 、2002×2001C 、2003×2002D 、2003×200410、已知等差数列｛a n ｝中，|a 3｜=|a 9|，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是(B)A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、8或9二、填空题:(每小题4分,共计20分）11．已知a +1，a +2，a +3是钝角三角形的三边,则a 的取值范围是（0，2)12．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b – c)cosA=acosC ，则13．若AB=2，，则S △ABC 的最大值14．在等比数列{a n ｝中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log｝前19项之和为___－19 ___［解析］：由题意a n 〉0,且a 1·a 19 =a 2·a 18 =…=a 9·a 11=210a又a 9·a 11=4 ,故1921a a a =192故+121log a 221log a +…+1921loga =19)(log 192121-=a a a15．已知函数f （x ）=2x ，等差数列｛a x ｝的公差为2.若f （a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4，则log 2［f （a 1）f(a 2）f(a 3）…f(a 10)]= －6三、解答题:（共计40分)16．（本题10分）△ABC 中,∠A=45°,AD ⊥BC ，且AD=3，CD=2，求三角形的面积S. 解：记,,βα=∠=∠CAD BAD βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(45tan ,2tan ,3tan -+=+=︒∴==∴hh1(60656522-==⇒=--⇒-=h h h h h h 不合）,155621=⨯⨯=∴S 。

北师大版高二数学必修5综合测试试卷及答案

北师大版高二数学必修5综合测试试卷及答案高二数学高中数学必修5测试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．在△ABC中，若a = 2 ,b?23,A?300 , 则B等于A．60? B．60?或120? C．30? D．30?或150?2．在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．143．等比数列?an?中, a2?9,a5?243,则?an?的前4项和为（）A．81 B．120 C．168 D．1924.已知{an}是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( ) A．12 B．16 C．20 D．245．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和是( )A.130B.170C.210D.260a1?a3?a5?a7等于( )a2?a4?a6?a811A.? B.?3 C.D.3337．设a?b，c?d，则下列不等式成立的是（）。

adA.a?c?b?d B.ac?bd C.? D.b?d?a?ccb8．如果方程x2?(m?1)x?m2?2?0的两个实根一个小于?1，另一个大于1，6．已知等比数列{an}的公比q??，则13那么实数m的取值范围是（）A．(?2，2) B．（－2，0）C．（－2，1）D．（0，1）9．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A. a24B. a=7 或a=24C. -710.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（）A.甲B.乙C.一样低D.不确定二、填空题（每小题5分，共20分）1212．在△ABC中，若a2?b2?bc?c2,则A?_________。

11．在?ABC中, 若a?3,cosA??,则?ABC的外接圆的半径为_____.?13．若不等式ax2?bx?2?0的解集是???,?，则a?b的值为________。

北师大版高中数学必修五模块综合测试(a).docx

模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案： B1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300 解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析：根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析：由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6， ∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n .故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3 解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°. ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1 解析：根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 答案： D7．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1) n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列．答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 21q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2， ∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案： 11015．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x ＋3y ＝9x ＋34－2x＝9x ＋819x ≥281＝18.答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ，∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.解析：若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝z ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3m ＝t 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2. (2)∵f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋4＋a24在(－∞，1]上递增， ∴a2≥1，a ≥2. 又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0，由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1，由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22．(本小题满分14分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．。

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、选择题:1 .在数49 2.A.D.3.5.必修5期末综合测试卷本大题共有10小题，每小题5分,列a n 中，a12,2a n 1 2a n 150 51共50分.则a101的值为D. 52x > 0, y > 0, 与b的大小关已知｛a n｝等比数列, a n>0,B.a2a4 2玄3玄 525,那么a3 a5 =A. 5B. 10C. 15D. 20x、y>0, x + y=1. 恒成立,a的最小值为已知在△B. 2ABC中, sin A ： sin B : sin C= 3 :5 :7,那么这个三角形的最大角是(9 .6 .设a 、a + 1、a + 2为钝角三角形的边，则A. 135B. 90° C . 120°D. 150 O v a v 3 B 3 v a v 4C 1 v a v 3D 4 v a v 6 7 .数列中"8,4右 ( )、八刖项的和为A.c.1 n2 n 2n 21 n2 n 2n 1 2bx 2 5x a 0的解( )A x3或 x 2B 1十 1 x 或x - 23C 11Cx23D3x2已知不等式ax 2 5xb 0的解集是{x| 3xx 4y 3 0目标函数z 2x y ,变量x, y 满足3x 5y 25 ,则有x 1a 的取值范围是2},则不等式A.z max12,Z min B. Z max12, Z 无最小值10. 等差数列厲｝,叫的前n项和分别为盼丁”，若辛启，则簣( )二、填空题：共5小题，每小题5分，共25 分.11. _________________________________________________ 若x>0, y>0,且--1，贝S x+y 的最小值是 _______________________x y14. △ ABC 中，若sin 2 A sin 2B sin 2 C sinAsinC 那么角 B= ______________15. 若方程x 2 2x |g(2a 2 a) 0有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是 ___________________三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2022版高中数学综合测评含解析北师大版必修5

高中数学北师大版必修5：综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式(12-x)(x-13)>0的解集为()A.{x|13<x<12} B.{x|x>12}C.{x|x<13} D.{x|x<13或x>12}2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=√3,则c= ()A.1或2B.2C.√2D.13.设全集U=R,A={x|2(x-1)2<2},B={x|lo g12(x2+x+1)>-log2(x2+2)},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|1≤x<2}B.{x|x≥1}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}4.不等式3x-12-x≥1的解集是()A.{x|34≤x≤2} B.{x|34≤x<2}C.{x|x≤34或x>2} D.{x|x<2}5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S6=-5S3≠0,则x9x3=()A.18B.13C.-13D.-186.在△ABC中,已知A,a,b,给出下列说法:①若A≥90°,则此三角形最多有一解;②若A<90°,且a=b sin A,则此三角形为直角三角形,且B=90°;③若A<90°,且b sin A<a≤b,则此三角形有两解.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.37.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,a 3=5,S k +2-S k =36,则k 的值为 ( ) A.8 B.7 C.6 D.58.若变量x ,y 满足约束条件{x +x ≤8,2x -x ≤4,x ≥0,x ≥0,且z =5y -x 的最大值为a ,最小值为b ,则a -b 的值是 ( )A.48B.30C.24D.169.设{a n }是等比数列,公比q =2,S n 为{a n }的前n 项和,记T n =17x x -x 2xx x +1(n ∈N +),设x x 0为数列{T n }的最大项,则n 0= ( )A.2B.3C.4D.510.在等比数列{a n }中,已知a 2=1,则其前三项和S 3的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,0]∪[1,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)11.在△ABC 中,若a sin A +b sin B -c sin C =0,则圆O :x 2+y 2=1与直线l :ax +by +c =0的位置关系是 ( )A.相切B.相交C.相离D.不确定12.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n +n +1,设数列{1x x}的前n 项和为S n ,若S n <m 对一切正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围为( )A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(2,+∞)D.[2,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知数列{a n }为等比数列,前n 项和为S n ,且a 5=4S 4+3,a 6=4S 5+3,则此数列的公比q = . 14.如图,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于√3a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为 .15.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为 .16.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t ·3n -1-13,则函数y =(x +2)(x +10)x +x(x >0)的最小值为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a 2=(2b -c )b +(2c -b )c. (1)求角A 的大小;(2)若b =2c cos A ,试判断△ABC 的形状.18.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为d ,且关于x 的不等式a 1x 2-dx -3<0的解集为(-1,3). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =1x (x x +3),求数列{b n }的前n 项和S n .19.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c.已知xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.20.(本小题满分12分)设数列{a n }的各项都是正数,且对于任意n ∈N +,都有x 13+x 23+x 33+…+x x 3=x x 2,其中S n为数列{a n }的前n 项和. (1)求a 2;(2)求数列{a n }的通项公式.21.(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f (n )(万元)表示前n 年的纯利润总和(n ∈N +,f (n )=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额). (1)该厂从第几年起开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:方案①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;方案②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂.问哪种方案更划算?22.(本小题满分12分)已知点(x ,y )是平面区域{x +2x ≤2x ,x ≥0,x ≥0(n ∈N +)内的点,目标函数z =x +y ,z 的最大值记作z n .若数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且点(S n ,a n )在直线z n =x +y 上. (1)证明:数列{a n -2}为等比数列; (2)求数列{S n }的前n 项和T n .答案全解全析全书综合测评一、选择题1.A ∵(12-x )(x -13)>0,∴(x -12)(x -13)<0,解得13<x <12, 即不等式(12-x )(x -13)>0的解集为{x |13<x <12},故选A . 2.B ∵B =2A ,a =1,b =√3,∴由正弦定理得1sin x =√3sin x =√3sin2x =√32sin x cos x ,∴cos A =√32,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即1=3+c 2-3c ,解得c =2或c =1(不符合题意,舍去),∴c =2,故选B. 3.A 由2(x -1)2<2,得(x -1)2<1, 解得0<x <2,∴A ={x |0<x <2}.由lo g 12(x 2+x +1)>-log 2(x 2+2),得log 2(x 2+x +1)<log 2(x 2+2),则{x 2+x +1>0,x 2+2>0,x 2+x +1<x 2+2,解得x <1,∴B ={x |x <1}. ∴∁U B ={x |x ≥1}. ∴阴影部分表示的集合为 (∁U B )∩A ={x |1≤x <2}. 4.B 由3x -12-x≥1可得3x -12-x-1≥0,所以3x -1-(2-x )2-x≥0,即4x -32-x≥0,所以4x -3x -2≤0,所以{(4x -3)(x -2)≤0,x -2≠0,解得34≤x <2.故选B.5.D 设S 3=a (a ≠0),则S 6=-5a , ∵{a n }为等差数列,∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列, 即a ,-6a ,S 9-S 6成等差数列, ∴S 9-S 6=-13a ,即S 9=-18a , ∴x 9x 3=-18. 6.C 由A ≥90°,知B 为锐角,则此三角形最多有一解,故①说法正确;若A <90°,且a =b sin A ,则sin B =1,即B =90°,此三角形为直角三角形,故②说法正确;当A <90°,且a =b 时,A =B ,此三角形为等腰三角形,只有一解,故③说法错误.故正确说法的个数为2. 7.A 设等差数列{a n }的公差为d , ∵a 1=1,a 3=5, ∴d =5-12=2,∴a n =1+2(n -1)=2n -1,∵S k +2-S k =a k +2+a k +1=2(k +2)-1+2(k +1)-1=4k +4=36,∴k =8,故选A.8.C 画出可行域,如图所示.由图可知,当直线y =x 5+x5过点A 时z 取得最大值;过点B 时z 取得最小值.联立得方程组{x +x =8,2x -x =4⇒{x =4,x =4,故A (4,4),对x +y =8,令y =0,则x =8,故B (8,0),所以a =5×4-4=16,b =5×0-8=-8,则a -b =16-(-8)=24,故选C .9.A 易得S n =x 1(1-2x )1-2=a 1(2n-1),S 2n =x 1(1-22x )1-2=a 1(22n -1),a n +1=a 1·2n,∴T n =17x x -x 2x x x +1=17x 1(2x -1)-x 1(22x -1)x 1·2x=17-(2x +162x )≤17-2√2x ·162x =17-8=9,当且仅当2n=162x ,即n =2时取等号,∴数列{T n }的最大项为T 2,则n 0=2,故选A. 10.D 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则a 2=a 1q =1,∴q =1x 1,∴S 3=a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=a 1+1+1x 1,当a 1>0时,S 3≥1+2√x 1·1x 1=3,当且仅当a 1=1时取等号;当a 1<0时,S 3≤1-2√(-x 1)·1-x 1=1-2=-1,当且仅当a 1=-1时取等号.故S 3的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).11.A 因为a sin A +b sin B -c sin C =0,所以a 2+b 2-c 2=0,又因为圆心O (0,0)到直线l :ax +by +c =0的距离为√2x2=1,所以圆O :x 2+y 2=1与直线l :ax +by +c =0相切,故选A. 12.D 由题可得a n +1-a n =n +1,则a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=(n -1+1)+(n -2+1)+…+(1+1)+1=n +(n -1)+(n -2)+…+2+1=x (x +1)2,当n =1时,也满足上式, ∴a n =x (x +1)2, ∴1x x =2x (x +1)=2(1x -1x +1),∴S n =2(1-12+12-13+…+1x -1x +1) =2(1-1x +1).∵S n <m 对一切正整数n 恒成立,∴m ≥2,故选D. 二、填空题解析由题可得a 5-a 6=4S 4-4S 5=-4a 5, ∴a 6=5a 5,∴q =5. 14.答案 3a km解析由题意知,∠ACB =120°,∴由余弦定理得AB 2=3a 2+3a 2-2√3a ×√3a ×cos120°=9a 2, ∴AB =3a km . 15.答案 √3解析因为a =2,所以(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 可化为(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,由正弦定理可得(a +b )(a -b )=(c -b )c ,即b 2+c 2-a 2=bc ,由余弦定理的推论可得cos A =x 2+x 2-x 22xx =xx 2xx =12,又0<A <π,所以A =π3.因为cos A =12=x 2+x 2-42xx ≥2xx -42xx,所以bc ≤4,当且仅当b =c 时取等号.由三角形面积公式知S △ABC=12bc sin A =12bc ·√32=√34bc ≤√3,故△ABC 面积的最大值为√3.16.答案 16解析由题意知,公比q ≠1.因为S n =x 1(1-x x )1-x =x 11-x -x 11-x q n,而题中S n =t ·3n -1-13=x 3·3n -13,易知-x 3=-13,故t =1,所以y =(x +2)(x +10)x +x=(x +2)(x +10)x +1=x +1+9x +1+10.因为x >0,所以x +1>1,所以y ≥2√(x +1)·9x +1+10=16,当且仅当x +1=9x +1,即x =2(负值舍去)时,等号成立, 所以函数y =(x +2)(x +10)x +x(x >0)的最小值为16.三、解答题17.解析 (1)∵2a 2=(2b -c )b +(2c -b )c , ∴bc =b 2+c 2-a 2, (2分) ∴cos A =x 2+x 2-x 22xx=12, (3分)∴A =60°. (5分)(2)由正弦定理及已知, 得sin B =2sin C cos A ,(6分) 又B =π-(A +C ),∴sin(A +C )=2sin C cos A =sin A cos C +cos A sin C ,即sin A cos C -cos A sin C =0, ∴sin(A -C )=0,∴A =B =C =60°,∴△ABC 为等边三角形. (10分) 18.解析 (1)由题意,得{x x 1=2,-3x 1=-3,解得{x =2,x 1=1.(4分)故数列{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1. (6分) (2)由(1)知a n =2n -1,所以b n =12x 2+2x =12·(x +1)-x x (x +1)=12·(1x -1x +1), (8分) 所以S n =12(1-12)+(12-13)+…+(1x -1x +1)=12(1-1x +1)=x2(x +1).(12分)19.解析 (1)由xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6. (2分) 由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. (3分) 联立{xx =6,x 2+x 2=13,解得{x =2,x =3或{x =3,x =2.(5分) 因为a >c ,所以a =3,c =2. (6分)(2)在△ABC中,sin B =√1-cos 2x =√1-(13)2=2√23. (7分)由正弦定理,得sin C =xxsin B =23×2√23=4√29. (8分)因为a =b >c ,所以C 为锐角, 因此cos C =√1-sin 2x =√1-(4√29)2=79, (10分)所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2√23×4√29=2327. (12分)20.解析 (1)在已知式中,当n =1时,x 13=x 12,∵a 1>0, ∴a 1=1;当n ≥2时,x 13+x 23+x 33+…+x x 3=x x 2,① x 13+x 23+x 33+…+x x -13=x x -12,②(3分)①-②得x x 3=a n (2a 1+2a 2+…+2a n -1+a n ), ∵a n >0,∴x x 2=2a 1+2a 2+…+2a n -1+a n ,即x x 2=2S n -a n ,当n =1时,也满足此式.∴x 22=2(1+a 2)-a 2,解得a 2=-1或a 2=2, ∵a n >0, ∴a 2=2. (6分)(2)由(1)知x x 2=2S n -a n (n ∈N +),③ 当n ≥2时,x x -12=2S n -1-a n -1,④③-④得x x 2-x x -12=2(S n -S n -1)-a n +a n -1=2a n -a n +a n -1=a n +a n -1.(8分)∵a n +a n -1>0, ∴a n -a n -1=1,∴数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,可得a n =n.(12分) 21.解析 (1)由题意知f (n )=50n -[12x +x (x -1)2×4]-72=-2n 2+40n -72,(2分)由f (n )>0,得-2n 2+40n -72>0,解得2<n <18,由n ∈N +知,该厂从第三年起开始盈利.(4分) (2)方案①:年平均纯利润为x (x )x =40-2(x +36x )≤40-2·2√x ·36x=40-2×2√36=16,当且仅当n =36x ,即n =6时,等号成立.故方案①共获利6×16+48=144(万元),此时n =6.(7分)方案②:由(1)得f (n )=-2(n -10)2+128,所以当n =10时,f (n )max =128.故方案②共获利128+16=144(万元),此时n =10. (10分)比较两种方案,获利都是144万元,但由于第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,因此选择第①种方案更划算.(12分)22.解析 (1)证明:由已知得,当直线y =-x +z 过点(2n ,0)时,目标函数取得最大值,故z n =2n , ∴方程为x +y =2n.(2分)∵(S n ,a n )在直线z n =x +y 上, ∴S n +a n =2n ,①∴S n -1+a n -1=2(n -1),n ≥2,② 由①-②得,2a n -a n -1=2,n ≥2, ∴a n -1=2a n -2,n ≥2. (4分)又∵x x-2x x -1-2=x x -22x x-2-2=x x -22(x x-2)=12,n ≥2,a 1-2=-1, ∴数列{a n -2}是以-1为首项,12为公比的等比数列. (6分)(2)由(1)得a n -2=-(12)x -1,∴a n =2-(12)x -1. (8分)∵S n +a n =2n , ∴S n =2n -a n =2n -2+(12)x -1, (10分)∴T n =[0+(12)0]+[2+(12)1]+…+[2x -2+(12)x -1]=[0+2+…+(2n -2)]+(12)0+(12)1+…+(12)x -1=x (2x -2)2+1-(12)x 1-12=n 2-n +2-(12)x -1. (12分)。

北师大版高中数学必修五模块综合测评.docx

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95 D．23【解析】由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10×(2a1＋9d)2＝10×(－8＋27)2＝5×19＝95.【答案】 C2．在△ABC中，已知a、b和锐角A，要使三角形有两解，则应该满足的条件是()A．a＝b sin A B．b sin A＞aC．b sin A＜b＜a D．b sin A＜a＜b【解析】当a＝b sin A时，有一解，当b sin A＜a＜b时，有两解，当a＞b 时有一解．【答案】 D3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4【解析】欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4.【答案】 A4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1，又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C.【答案】 C5．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【解析】 (ax ＋b )(x －3)>0等价于 ⎩⎨⎧ ax ＋b >0，x －3>0或⎩⎨⎧ax ＋b <0，x －3<0， ∴⎩⎨⎧x >－1，x >3或⎩⎨⎧x <－1，x <3. ∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【答案】 A6．“神七”飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征2号”系列火箭，点火1分钟内通过的路程为2 km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n 分钟内通过的路程为S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1)．检验选项知，n ＝15时，S 15＝240 km.故选C.【答案】 C7．(2016·西安高二检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154 B ．34 C.31510D ．1116【解析】由6sin A ＝4sin B ＝3sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k ＞0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(22＋42－32)k 22×2k ×4k ＝1116.【答案】 D8．(2015·四川高考)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252 B ．492 C ．12D ．16【解析】⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6表示的可行域如图中阴影部分所示．令S ＝xy ，不妨设在点M (x 0，y 0)处S 取得最大值，且由图象知点M (x 0，y 0)只可能在线段AD ，AB ，BC 上．(1)当M (x 0，y 0)在线段AD 上时，x 0∈[－2,0]，此时S ＝xy ≤0；(2)当M (x 0，y 0)在线段AB 上时，x 0∈[0,2]，S ＝xy ＝x ·14－x 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－x 2＝－x 22＋7x ＝－12(x －7)2＋492，当x 0＝2时，S max ＝－12(2－7)2＋492＝－252＋492＝12；(3)当M (x 0，y 0)在线段BC 上时，x 0∈[2,4]，S ＝xy ＝x ·(10－2x )＝－2x 2＋10x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋252，当x 0＝52时，S max ＝252. 综上所述，xy 的最大值为252. 【答案】 A9．y ＝3＋x ＋x 21＋x (x ＞0)的最小值是( )A ．2 3B ．－1＋2 3C ．1＋2 3D ．－2＋2 3【解析】 y ＝3＋x ＋x 21＋x ＝31＋x ＋x ＝31＋x ＋x ＋1－1≥23－1，当且仅当31＋x ＝1＋x ，即x ＝3－1时取等号，故y 有最小值23－1.【答案】 B10．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|的值是( )A.2 0142 015 B ．2 0162 015 C.2 0152 014D ．2 0152 016【解析】 |A n B n |＝|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝2 0152 016.【答案】 D11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15 B ．a ＜－1 C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞15【解析】由于f (x )＝3ax －2a ＋1，故f (x )一定是一条直线，又由题意，存在x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，故直线y ＝3ax －2a ＋1在x ＝－1和x ＝1时的函数值异号，即f (－1)f (1)＜0，得(1－5a )(a ＋1)＜0，解得a ＜－1或a ＞15.【答案】 C12．(2014·福建高考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域的交点为A (6,1)，B (－2,1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝________.【解析】由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.【答案】 214．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．【解析】设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得49＝a 2＋25－2×5a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5×sin120°＝1534. 【答案】153415．(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】画出可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线l 0：x ＋y ＝0. 当直线过点A 时，z 最大，z max ＝1＋12＝32. 【答案】 3216．若a ＞0，b ＞0，且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．【解析】 a 1＋b 2＝12·2a 1＋b 2≤4a 2＋1＋b 24＝54，当且仅当⎩⎨⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即a ＝104，b ＝62时成立．【答案】 54三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的度数．【解】 (1)由题意△ABC 的周长为2＋1，∴AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.由正弦定理，得 BC ＋AC ＝2AB ，∴AB ＝1.(2)由△ABC 的面积为12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由(1)知BC ＋AC ＝2，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝12，∴C ＝60°.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128，若b n ＝log 2a n ，数列{b n }前n 项的和为S n .(1)若S n ＝35，求n 的值；(2)求不等式S n ＜2b n 的解集. 【导学号：67940089】【解】 (1)由a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝128得q 3＝64， ∴q ＝4，a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12·4n －1＝22n －3， ∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －3＝2n －3. ∵b n ＋1－b n ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，∴{b 1}是以b 1＝－1为首项，2为公差的等差数列， ∴S n ＝(－1＋2n －3)n 2＝35，n 2－2n －35＝0，(n －7)(n ＋5)＝0，即n ＝7.(2)∵S n －2b n ＝n 2－2n －2(2n －3)＝n 2－6n ＋6＜0， ∴3－3＜n ＜3＋3， ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3,4，即所求不等式的解集为{2,3,4}．19．(本小题满分12分)如图1，矩形ABCD 是机器人踢球的场地，AB ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器图1人先从AD 中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？【解】设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上．连接FG .设FG ＝x cm.根据题意，得BG ＝2x cm.则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )cm.连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ，所以∠EAF ＝45°，AF ＝402cm ，于是∠F AG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理，得 FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos ∠F AG ，所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x )×cos 45°，解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70 cm 或AG ＝－2303cm(不合题意，舍去)．即该机器人最快可在线段AB 上离A 点70 cm 处截住小球． 20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：67940090】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.21．(本小题满分12分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车运营的总利润y (单位：十万元)与运营年数x 满足二次函数的关系：y ＝－a (x －6)2＋11，且该二次函数图像过点(4,7)．问每辆客车运营多少年，运营的年平均利润最大？最大值为多少？(年平均利润＝总利润年数) 【解】设年平均利润为z 十万元，依题意， ∵二次函数y ＝－a (x －6)2＋11的图像过点(4,7)， ∴7＝－a (4－6)2＋11， ∴a ＝1，∴y ＝－(x －6)2＋11，z ＝y x ＝－(x －6)2＋11x＝－x 2＋12x －25x ＝－x －25x ＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12.∵x ＞0，∴x ＋25x ≥10， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤－10，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤2，∴z ≤2，当且仅当x ＝25x 即x ＝5时，z 有最大值为2十万元．即每辆客车运营5年，运营的年平均利润最大，最大值为2十万元．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N ＋)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{c n }的前n 项和S n ；(3)若c n ≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：67940091】【解】 (1)证明：由题意知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)， ∵b n ＝3log 14a n －2，b 1＝3log 14a 1－2＝1，∴b n ＋1－b n ＝3log 14a n ＋1－3log 14a n ＝3log 14a n ＋1a n＝3log 14q ＝3， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列．(2)由(1)知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)， ∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)， ∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ；于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. ∴S n ＝23－12n ＋83×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)． (3)∵c n ＋1－c n ＝(3n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝9(1－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，c 2＝c 1＝14，当n≥2时，c n＋1＜c n，即c1＝c2＞c3＞c4＞…＞c n，∴当n＝1或2时，c n取得最大值是1 4.又c n≤14m2＋m－1对一切正整数n恒成立，∴14m2＋m－1≥14，即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.故实数m的取值范围为{m|m≥1或m≤－5}．。

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高二数学第十一周周末作业（总第6次）一、选择题（每题5分，共计50分）1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（） A. 90o B. 120o C. 135o D. 150o2．△ABC 中，如果C B A sin cos 2sin =,则△ABC 的形状是（） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰三角形3．在ABC ∆中，若 a =（）4．已知数列{}n a 是等差数列，且74321,0a a a -=-=，则公差=d ( )A ．－2 BCD ．25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则=19S （） A ．55 B ．95 C ．100 Ｄ．不能确定6．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（）A ．50B ．70C ．80D ．907．不等式ax ２＋bx+2a －b 等于（）A.－4B.14C.－10D.108．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是（） A ．若b a >,则22b a > B ．若b a >,则22b a > C ．若b a >,则22b a > D ．若b a ≠,则22b a ≠9．若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是（）A ．18B ．6C ．D ．10．不等式0623<-+y x 表示的区域为 ( )二、填空题（每题5分，共计25分）11．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥0620y x x y y ，则目标函数y x z +=的最大值为12．若关于x 的不等式0122>+-kx kx 的解集为,R 则实数k 的取值围是_____________;13．在数列{}n a 中11a =且对于任意n N +∈，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ 14．数列2211,12,122,,1222,n L L L -+++++++的前n项和n S =________ . 15．在△ABC 中，A =60o ,b =1,则ABC ∆外接圆的半径为．三、解答题（请写出解答过程，共计75分）16．（12分）已知c b a ,,是三个连续的自然数，且成等差数列，5,2,1+++c b a 成等比数列，求c b a ,,的值．17．(13分)关于x 的不等式2(1)0x a x a -++> . (1)当2a =时，求不等式的解集； (2)当a R ∈时，求不等式的解集.18．（12分）已知等差数列{}n a 中，22a =，145a a +=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+；（1）求数列的通项公式n a ；（220．（12分）如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ：找到一个点E，从E点可以观察到点B、C。

并测得以下数据：CD=CE=100m，∠ACD=90°，∠ACB=45°，∠BCE=75°，∠CDA=∠CEB=60°，求A、B两点之间的距离。

21．（14分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：（1）仓库面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？参考答案1．B【解析】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cos θ=（25+64-49）÷（ 2×5×8） =1 ÷2 ，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ． 2．D【解析】sin 2cos sin sin()2cos sin sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin 0sin()0A B C B C B C B C B C B CB C B C B C B C=∴+=⇒+=⇒-=⇒-=⇒=故等腰三角形 3．B4．B【解析5．B【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710105a a a +=∴=，那么19101995S a ==，选B.6．B【解析】解：因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S 3，S 6-S 3，S 9- S 6，解得前9项的和为70，选B 7．C【解析】因为不等式ax ２＋bx+2可知，a-b=-10.选C 8．C【解析】略 9．B【解析】略 10．D 【解析】 11．4【解析】当直线z=x+y 经过直线y=x 与直线2x+y-6=0的交点(2,2)时，z 取得最大值，最大值为4. 12．10<≤k【解析】因为关于x 的不等式0122>+-kx kx 的解集为,R k=0,k>0, 2(2)40k k -<,解得参数k 的围是10<≤k ，故答案为10<≤k 13．4951【解析】解：因为数列{}n a 中，11a =，且对于任意n N +∈，都有1n n a a n+=+，10099501495014951a ∴=⨯+=+=14．221--=+n S n n【解析】解：因为数列2211,12,122,,1222,n L L L -+++++++，则通项公式n n 1n n a 21S 2n 2+=-∴=--15．3；【解析】略16．3,2,1===c b a【解析】本试题主要是考查了等比数列和等差数列的性质的运用。

因为c b a ,,是三个连续的自然数，且成等差数列，故设1,,1+==-=n c n b n a ，由5,2,1+++c b a 成等比数列，可得()()622+=+n n n ，解得2=n 得到结论。

解：因为c b a ,,是三个连续的自然数，且成等差数列，故设1,,1+==-=n c n b n a ，--3分则65,22,1+=++=+=+n c n b n a ，由5,2,1+++c b a 成等比数列，可得()()622+=+n n n ，解得2=n ，-----9分所以3,2,1===c b a ------12分 17．(1) {|21}x x x ><或(2) ①当1a >时,解集为{|1}x x a x ><或，②当1a =,解集为{|1}x x ≠ ③当1a <时,解集为{|1}x x x a ><或【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解。

（1）因为当a=2时，不等式为2320x x -+> ∴解集为{|21}x x x ><或（2）因为2(1)0()(1)0x a x a x a x -++>⇒-->，那么由于根的大小不定，需要对根分类讨论得到结论。

解:(1)当2a =时,不等式为2320x x -+> ∴解集为{|21}x x x ><或 (2)2(1)0()(1)0x a x a x a x -++>⇒--> ①当1a >时,解集为{|1}x x a x ><或 ②当1a =,解集为{|1}x x ≠③当1a <时,解集为{|1}x x x a ><或18．（1）1=d ，n a n = （2）22)1(1+⋅-=+n n n S【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的求和的综合运用。

（1）中，利用数列的22a =，145a a +=，设出首项和公差，联立方程组，得到通项公式。

（2）中，根据第一问的结论，可知22==n n n n b a n ，借助于错位相减法得到新数列的求和问题。

19．A 、B【解析】本试题主要是考查了解三角形在实际生活中的运用。

利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的边长，合理的选用公式是很重要的。

解：连结AB ．在△ACD 中，CD ＝100m ，∠ACD ＝90︒，∠CDA ＝60︒，则AC ＝CDtan 60︒＝； …4分在△BCE 中，CE ＝100m ，∠BCE ＝75︒，∠CEB ＝60︒，则∠CBE ＝45︒，BC 在△ABC 20．解：（1）当2≥n 时，12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n ①L L L …4分当1=n 时， 3121211=⨯+==S a ，也满足①式 LL L 5分所以数列的通项公式为 12+=n a n 6分（2 L L L 10分L L L 12分【解析】略21．（1）S 的最大允许值是100米2.（2）铁栅的长为15米. 【解析】本试题主要是考查了函数模型在实际生活中的运用。

（1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则S=xy ，由题意得40x+2×45y ＋20xy=3 200,然后运用不等式求解得到最值。

（2）当⎩⎨⎧==.9040,100y x xy 即x=15米，可知结论。

（1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则S=xy ，由题意得40x+2×45y ＋20xy=3 200,应用二元均值不等式，得3 200≥即160,））≤0.10⇒S ≤100.因此S 的最大允许值是100米2. （2）当⎩⎨⎧==.9040,100y x xy 即x=15米，即铁栅的长为15米.。