电类高等数学电子教案11.3
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，了解函数的图像。
教学内容：函数的定义，函数的性质，函数的图像。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，学会求极限。
教学内容：极限的定义，极限的性质，极限的求法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标：理解导数的概念，掌握导数的性质，学会求导数。
教学内容：导数的定义，导数的性质，求导数的方法。
2.2 微分的概念与性质教学目标：理解微分的概念，掌握微分的性质，学会求微分。
教学内容：微分的定义，微分的性质，求微分的方法。
第三章：积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标：理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质，学会求不定积分。
教学内容：不定积分的定义，不定积分的性质，求不定积分的方法。
3.2 定积分的概念与性质教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的性质，学会求定积分。
教学内容：定积分的定义，定积分的性质，求定积分的方法。
第四章：向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标：理解向量的概念，掌握向量的性质，学会求向量的运算。
教学内容：向量的定义，向量的性质，向量的运算。
4.2 线性方程组的概念与性质教学目标：理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的性质，学会解线性方程组。
教学内容：线性方程组的定义，线性方程组的性质，解线性方程组的方法。
第五章：矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标：理解矩阵的概念，掌握矩阵的性质，学会求矩阵的运算。
教学内容：矩阵的定义，矩阵的性质，矩阵的运算。
5.2 行列式的概念与性质教学目标：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，学会求行列式的值。
教学内容：行列式的定义，行列式的性质，求行列式的方法。
第六章：级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的概念，掌握级数的性质，学会求级数的收敛性。
教学内容：级数的定义，级数的性质，求级数的收敛性。
高等数学ch11_3_111.3.2 电子教案
证明 (2) (3)
在D内取定点
和任一点B( x, y ),
因曲线积分与路径无关,有函数
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y)
( x, y) D Q(x, y)dy
,
则原函数为
y y
( x0 , y0 )
x
y
或
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y
u (x, y) y0 Q(x0 , y)dy
y0
x
O
P(x, y)dx
x0
x0
xx
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,
y
xdy ydx l x2 y2
lL
O
x
xdy ydx Ll x2 y2
0 d xdy 0
D1
D1
2π 0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2π
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,
它与L 所围区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
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性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分
高 等
号前面．即
教
育 出 版
kf(x,y)dkf(x,y)d( k为常数)．
社
D
D
性质2 两个函数的代数和的二重积分等于
电 类
这两个函数的二重积分的代数和． 即
高 等
[f(x ,y ) g (x ,y )] d f(x ,y )d g (x ,y )d
高
等 数
f(x,y)dg(x,y)d
D
D
学
性质5 (估值定理) 设 和M是在m闭区域 上的最D大
值和最小值， 为 的面积D，则
高
mf(x,y)dM
等 教 育
D
性质6 (中值定理) 如果函数 在f (有x, y界) 闭区域
出
版 社
上连续D， 为区域的面积D，则在区域 内至 D
少存在一点 (,，) 使得
高
n
n
等 教
V Vi f(i,i)i
育
i1
i1
出
版
社
（4）取极限
电 类
用 表示这 个n小闭区域 的直i 径最大值称为这个闭区
数 学
域的直径)的最大值． 显然，当对区域 无D限细分,
即 时0，上述和式的极限就是所求曲顶柱体的
高 体积 V，即
等 教 育 出 版
其中，f (x, y)称为被积函数，f(x,y)d称为被积
高
等 教
表达式，d称为面积微元，
和x
称y为积分变量，
育
出 版
区域 D称为积分区域．
社
二重积分的几何意义：
电 类
闭区域 上D，当 f(x时,y)，以0 为 D
电类高等数学电子教案11.6-文档资料
B
C
f ( x , y ) 6 y 6 f ( x , y ) 0 , y y f ( x , y ) 6 x 6 , x y x x
, 12 , B0 , C6 在点(1,0) 处 A A 2 , AC B 12 6 0 , A0
为极小值; f ( 1 , 0 ) 5
高 等 教 育 出 版 社
二、函数极值的求法
但驻点不一定是极值点.
x y 例如, z 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
z z 电 2x, -2y 类 x y 高 两者在 ( 0 , 0 ) 点均为零，所以点 ( 0 , 0是此函数的驻 ) 等 点． 因为 z |(0,0) 0, 而在 ( 0 , 0 ) 点的任意一个邻域内函数既 数 所以点 ( 0 , 0 ) 不是极值点. 学 可取正值，也可取负值， 2 2 (如下图) 函数z x - y 的图形是双曲抛物面
z
高 等 教 育 出 版 社
1
O
1
y
x
电 类 定理11.6(极值存在的必要条件) 高 函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 存在偏导数, 0 0 等 数 且在该点取得极值 , 则有 学 f ( x , y ) 0 , f ( x , y ) 0 x 0 0 y 0 0 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
z x y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z x y在点 (0,0) 无极值.
高 等 教 育 出 版 社
z z z
x x x
y y y
2 2 例 11.6.2 函数 在点(0,0) 处取得极大值 z 1 x y 电 类 高 f (0,0) =1因为在点 (0,0) 附近任意 ( x, y ) ，有 f ( x, y ) 1 - x 2 - y 2 1 f (0,0) 等 数 其函数图形为上半球面,显然 (0,0,-1) 点高于周围点． 学
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》课件一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质定义域、值域、对应关系奇函数、偶函数、周期函数单调性、连续性、可导性1.2 极限的概念与性质极限的定义（洛必达法则）无穷小、无穷大、极限的存在性极限的运算法则、夹逼定理、单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算导数的定义（极限比值法）基本导数公式、导数的运算法则高阶导数、隐函数求导、参数方程求导2.2 微分的作用与应用微分的定义、微分的运算法则微分在近似计算、物理应用等方面的作用微分方程的解法与应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算泰勒公式的定义、泰勒级数常见函数的泰勒展开式泰勒公式在近似计算中的应用3.2 不定积分的概念与计算不定积分的定义、基本积分公式换元积分、分部积分积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算定积分的定义、定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算反常积分的定义、无穷区间上的积分瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法微分方程的定义、微分方程的解常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程分离变量法、积分因子法、变量替换法5.2 线性微分方程组的概念与解法线性微分方程组的定义、解的结构高阶线性微分方程、齐次线性微分方程特解法、待定系数法、常数变易法六、第6章级数6.1 数项级数的概念与判别法数项级数的定义、收敛性与发散性收敛级数的性质、级数的收敛准则（比较检验、比值检验、根值检验）绝对收敛与条件收敛6.2 幂级数的概念与性质幂级数的定义、收敛半径、收敛区间幂级数的运算、泰勒级数与麦克劳林级数幂级数在函数逼近与数值计算中的应用七、第7章多元函数的极限与连续7.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、偏导数、全微分多元函数的单调性、连续性、可微性方向导数与梯度7.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限定义、极限的存在性多元函数的连续性、无穷远点多元函数极限与单变量函数极限的对比八、第8章多元函数的导数与微分8.1 多元函数的导数与微分多元函数的偏导数、全导数高阶偏导数、隐函数求导、参数方程求导微分的概念与性质、微分在多元函数中的应用8.2 多元函数的泰勒公式与不定积分多元函数的泰勒公式、泰勒级数不定积分的概念、多元函数的不定积分积分在多元函数中的应用九、第9章多元函数的定积分与反常积分9.1 多元函数的定积分多元函数定积分的定义、性质多元函数定积分的计算、换元法、分部积分法多元函数定积分在几何、物理等方面的应用9.2 多元函数的反常积分多元函数反常积分的定义、无穷区间上的积分多元函数瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数多元函数反常积分在实际应用中的意义十、第10章向量分析与线性代数10.1 向量分析的概念与方法向量的定义、向量的运算空间解析几何、向量场的概念梯度、散度、旋度、格林公式10.2 线性代数的基本理论向量空间、线性变换、特征值与特征向量矩阵的运算、行列式、特征方程线性方程组、最小二乘法、正交投影重点和难点解析一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质重点关注函数的奇偶性、周期性及单调性难点解析：奇偶性的判断、周期性的求解、单调性的证明1.2 极限的概念与性质重点关注极限的定义、性质及运算法则难点解析：极限的判断（洛必达法则）、无穷小与无穷大的比较、极限的夹逼定理与单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算重点关注导数的定义、基本导数公式及导数的运算法则难点解析：导数的计算（隐函数求导、参数方程求导）、高阶导数的应用、导数在实际问题中的应用2.2 微分的作用与应用重点关注微分的定义及微分的运算法则难点解析：微分的应用（近似计算、物理应用）、微分方程的解法及应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算重点关注泰勒公式的定义、常见函数的泰勒展开式难点解析：泰勒公式的应用（近似计算）、泰勒级数的收敛性判断3.2 不定积分的概念与计算重点关注不定积分的定义、基本积分公式及积分方法难点解析：不定积分的计算（换元积分、分部积分）、积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算重点关注定积分的定义、性质及计算方法难点解析：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法）、定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算重点关注反常积分的定义、性质及计算方法难点解析：反常积分的计算（瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数）、反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法重点关注微分方程的定义、解的结构及解法难点解析：微分方程的解法（分离变量法、积分因子法、变量替换法）、高阶线性微分方程的解法5.2 线性微分方程组的概念与解法重点关注线性微分方程组的定义、解的结构及解法难点解析：线性微分方程组的解法（特解法、待定系数法、常数变易法）、线性微分方程组的应用全文总结与概括：本文针对《高等数学电子教案》课件的十个章节进行了重点和难点的解析。
高等数学电子教案
高等数学电子教案一、前言1.1 教案简介本教案主要针对高等数学课程，内容包括极限、导数、积分、级数、常微分方程等基本概念和运算方法，适合高等院校理工科专业学生使用。
1.2 教学目标通过本教案的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、运算方法和应用技巧，培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、极限2.1 极限的概念引入极限的概念，解释函数在一点邻域内的极限意义，举例说明极限的存在与不存在。
2.2 极限的运算讲解极限的基本性质和运算规则，引导学生掌握极限的求解方法。
三、导数3.1 导数的定义介绍导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率，举例说明导数的计算。
3.2 导数的运算讲解导数的四则运算规则，引导学生掌握常见函数的导数公式。
四、积分4.1 积分概念引入积分的概念，解释积分表示函数图像与x轴所围成的面积，举例说明积分的计算。
4.2 积分的运算讲解积分的基本性质和运算规则，引导学生掌握常见函数的积分公式。
五、级数5.1 级数概念介绍级数的基本概念，解释级数表示函数的和，举例说明级数的前n项和与收敛性。
5.2 级数的收敛性讲解级数收敛性的判定方法，引导学生掌握常见级数的收敛性判断。
六、常微分方程6.1 微分方程的定义解释常微分方程的概念，即含有未知函数及其导数的等式。
引导学生理解微分方程描述的是函数的导数与函数本身之间的关系。
6.2 微分方程的解法介绍常微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
通过实例演示各种方法的运用。
七、线性代数7.1 向量空间与线性方程组定义向量空间，解释线性方程组的解集及其性质。
介绍高斯消元法求解线性方程组。
7.2 矩阵与行列式讲解矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘、乘法。
介绍行列式的定义及其性质，演示行列式在解线性方程组中的应用。
八、概率论与数理统计8.1 随机事件与概率定义随机事件，解释概率的基本性质，包括加法原则和乘法原则。
通过实例让学生理解概率的意义。
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高
等 教
记作
dzAxBy,也称函数 z f (x, y)在点
育 出 版
x0 , y0 处可微. 全微分dzAx是B 函数y全增量
社 z的线性主部．当 x， 充y 分小时， d z z
由微分定义 :
电 类
lim z
x 0
l 0 i( m A x B y ) o () 0
出
偏导数存在
版 社
(2) 偏导数连续
函数可微
定理11.2(可微的必要条件之二)
电 如果二元函数z = f (x, y) 在点 x0 , y0 处可微 ,即有
类 z A x B y o () ,则在该点f (x, y)的两个偏导数
高
等 都存在,且 A fx(x 0,y 0),B fy(x 0,y0),则全微分 d z有
高
y 0
等 得 limf(xx,yy)f(x,y) 即:
数
x0
学
y0
定理11.1 如果二元函数函数 z = f (x, y) 在点 x0 , y处0 可微, 则它在点 x0 , y0 处必连续.
高 等
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
教 育
(1) 函数可微
0,
x2y20
易知 fx(0,0)fy(0,0)0 但
z - [ f x ( 0 ,0 ) x fy ( 0 ,0 ) y ]
xy (x)2 (y)2
高 等 教 育 出
xy (x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
版 社
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
x
y
z
高 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是有计算公式:
等
教
育 出
dudxudyudzu
版
社
二、全微分的计算
电 例11.3.1 计算函数 zexy 在点 (2,1) 处的全微分.
类 高 解: 等
z yexy , x
z y
xe x y
数 学
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
数 学
d z fx (x 0 ,y 0 ) x fy (x 0 ,y 0 ) y
证: 由 z A x B y o () ,令y0, 得到对 x的
偏增量
高 x z f(x 0 x ,y 0 )- f(x 0 ,y 0 )A xo( x)
第三节 全微分
电 类
一元函数 y = f (x) 的微分
高 等
y A x o ( x )
数 学
dyf(x) x 应用
近似计算 估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
高
等 教
二、全微分的计算
育
出 版
三、全微分在近似计算中的应用
社
一、全微分的定义
电 一元函数的微分概念回顾 类
高 如果一元函数 y f (x) 在点 x 处的改变量
教 育
可微，并称 Ax 是 y f (x) 在点 x 处的微分，记为
出 版
dy Ax
社 且有若 f (x) 可导则 A f (x)
定义11.5 设二元函数 z = f ( x, y )在点 x0 , y0 的
电 类 高
某邻域内有定义,如果此函数在点 x0 , y0 的全增量
(可用于近似计算)
社
例11.3.3 计算 1.042.02 的近似值.
电 类
解: 设
f (x, y) xy,则
高 等
fx(x,y)y xy-1, fy(x,y)xy lnx
数 学
取
x1, y2, x0.04, y0.02
则 1.02.4 0 2f(1.0,4 2.0)2
f( 1 ,2 ) fx ( 1 ,2 ) x fy ( 1 ,2 ) y
等 数
y f (x x) - f (x)
学 可以表示为关于x 的线性函数与一个比 x 的高阶
无穷小之和，即
y f (x x) - f (x) Ax o(x)
其中 A 与x 无关，仅与 x 有关，o(x) 是当 x 0
高 等
时比 x 高阶的无穷小，则称一元函数 y f (x)在 x
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
高 等 教 育 出 版 社
例11.3.2
计算函数
uxsinyeyz 2
的全微分.
解: d u1 d x(1co syzeyz)dyyeyzd z
22
电 三、全微分在近似计算中的应用
类 高 等
,y ) y o ()
z f ( x x , y y ) - f ( x , y ) 可以表示为
等
数 z A x B y o () ,
学 其中 A , B 与 x , y无关 (x)2(y)2
o() 当 时0是比 的高阶无穷小， 那么称
AxBy 为函数 z f (x, y)在点 x0 , y0 处的全微分,
等 教 育 出 版 社
fx(x0,
同样可证
y0)
lim
x0
xz x
fy(x0, y0) B
A
因此有
dzzxzy x y
注意: 上述定理的逆定理不成立 .即:
电
偏导数存在函数不一定可微 !
类 高
等 反例: 函数 f(x,y)
数 学
xy , x2y20 x2y2
数
学
dz
可知当 x 及 y 较小时, 有近似等式:
z d z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
高 等
(可用于近似计算; 误差分析)
教 育
f(x x ,y y )f(x,y)fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
出 版
定理11.3 (可微的充分条件) 设二元函数 zf(x,y)
电 在点 x , 处y 的两个的偏导数连续, 则 zf(x,y)
类 在该点一定可微.
高 等
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
数 学
例如, 三元函数 uf(x,y,z)的全微分为
du u x u y u z