任意角及其度量

任意角及其度量（3课时）一、任意角定义：角是由平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）而形成的图形．规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角． 例1、已知：主动轮与被动轮相向旋转，它们的齿数之比是3:5，求当主动轮逆时针方向旋转5周时，被动轮旋转的角度．–1080°二、直角坐标系中的角 例2、(1) 观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同； (2) 终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与k 个周角的和30°=30°+0×360° (k =0)390°=30°+360° (k =1) –330°=30°–360° (k =–1) 1470°=30°+4×360° (k =4) –1770°=30°-5×360° (k =–5)(3) 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}|360,S k k ββα==+⋅∈Z ．即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．例3、课本第30页的例1．判别下列各角分别属于哪个象限：(1) –200°； (2) 2000°．三、角度制与弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad ．C||l rα=其中l 是以角a 作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径． 概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．注：弧度是两个长度的比值，在不引起混淆的情形下，可以省略单位“rad ”或“弧度”．角的集合与实数集R 之间的对应关系：任意角的集合R实数集1、把角度换成弧度10.01745rad 180π=≈2、把弧度换成角度'1801rad 57.305718π=≈=例4、(1) 把67°30’化成弧度；(2) 把35πrad 化成度．解：(1) 36030'60.567.5(rad)(rad)1804ππ︒=︒=⨯=，(2) 33180(rad)10855πππ︒=⨯=︒．我们知道，所有的圆都相似，两圆的相似比=1122c rc r =，每个圆的周长与半径之比是常数2π，记周角=2π rad ．因此平角= π rad ，直角=πrad ，进而可得（请学生填第二行） 问：长度等于半径长的弧所对的圆心角=_________________________rad ．例5、找出下列同终边角的最大负角：(1) 512π； (2)143π； (3) 5π． (1) 1912π-； (2) 43π-；(3) -π．【归纳小结】 1、2、学习了角的弧度和弧度制的定义，要熟记特殊角的弧度数；3、角度制与弧度制的互化：180°=π rad ．对于角α，设它的角度为n °，它的弧度为θ，则满足公式：180n θπ︒=︒．四、扇形的弧长与面积填课本第32页的表1一般地，如果一个半径为r 的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值lr 就是角α弧度数的绝对值，即||l rα=．例6、课本第33页的例4．如图，已知扇形的圆心角的弧度数为α（0<α<2π），半径为r ，弧长为l ，面积为S ．求证：（1）l =α r ；（2）212S r α=；（3）12S lr =公式：r l α=，212S r α=，12S lr =．注：扇形中有关的基本量有四个r ,l ,α,S ，只要知道其中的2个量就可求出其它的量．例7、一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ．求这个扇形所含弓形的面积．解：11222sin(2)(1sin 2)22S R R R π=--=-例8、《数学教学目标与课堂教学设计》书105页．如图，弓形ABC 所在的半径为1，如果弓形的弧ACB 的长为x ，弓形的面积为y ，试写出y 关于x 的函数关系式。

解：11sin ,022y x x x π=-<≤，问：如果x >π 呢？例9、一绳索绕在半径为40厘米的轮圈上．绳索的下端B 处悬挂着物体W （如图）．如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W 的位置向上提升100厘米？ 解：100256224060ππ=⨯⨯（秒）．例10、两个齿轮相向旋转，其中大齿轮逆时针旋转．已知：两齿轮的半径大小分别是R 、r ，大齿轮的角速度是ω．用ω、R 、r 表示小齿轮的角速度θ． 解：Rrωθ=-．【归纳小结】扇形的弧长与面积公式：l =α r ，21122S lr r α==；五、角的加、减运算与终边的关系例11、(1) 写出终边分别在x 轴、y 轴正负半轴的角的集合； (2) 写出终边分别在x 轴、y 轴的角的集合； (3) 写出终边在坐标轴的角的集合．解：(1) 终边在x 轴正半轴的角的集合是{|2,}k k θθπ=∈Z ，终边在x 轴负半轴的角的集合是{|2,}k k θθππ=+∈Z ，终边在y 轴正半轴的角的集合是{|2,}2k k πθθπ=+∈Z ，终边在y 轴负半轴的角的集合是{|2,}2k k πθθπ=-∈Z ；(2) 终边在x 轴的角的集合是{|,}k k θθπ=∈Z ，终边在y 轴的角的集合是{|,}2k k πθθπ=+∈Z ；(3) 终边在坐标轴的角的集合是{|,}2k k πθθ=∈Z ．例12、在直角坐标系中画出集合{|,}36k k ππθθ=+∈Z 中角的终边．例13、写出直角坐标系中终边在直线y =-x 上的角的集合．六、终边关于x 轴、y 轴、原点等对称的角例14、在直角坐标系中(1) 角α 与β 的终边关于x 轴对称，写出α、β 满足的关系式； (2) 角α 与β 的终边关于原点对称，写出α、β 满足的关系式； (3) 角α 与β 的终边关于y 轴对称，写出α、β 满足的关系式．例15、在直角坐标系中(1) 角α 与β 的终边关于直线y =x 对称，写出α、β 满足的关系式； (2) 角α 与β 的终边关于直线y =-x 对称，写出α、β 满足的关系式．七、象限角、轴线角与区间角例16、用区间表示终边在下列位置的角的集合．1）第一象限； 2）第四象限； 3）第二、四象限； 4）第一、四象限．例17、在直角坐标系中，用阴影表示属于区间(2,2)(2,2],262k k k k k ππππππππ-+-+++∈Z 的角的终边所在的位置．例18、写出终边落在图1，图2所示范围内的角的集合（不包含画成虚线的边界）． 其中OA 是角23π的终边，OB 是角4π-的终边．例19、课本第34页的例6 设α是第三象限的角，试讨论2α是哪个象限的角，并在直角坐标系中用阴影部分表示出来．例20、若角α是第一象限角，指出πα+，απ--2，α2，2α，3α终边所在的位置．例21、设圆与x 轴正半轴的交点为A ，质点M 从圆周上点A 位置开始，依逆时针方向作匀速圆周运动．已知：质点M 一分钟转过的角为θ (0 ≤ θ ≤ 2π)，2分钟后到达第二象限，14分钟后回到原来位置．求角θ ．图1图2弧度制一、填空题1．把下列给角化成弧度(1)=︒5____________________ (2)=︒75____________________ (3)=︒'3022____________________ (4)=︒54____________________2．把下列给弧度化成角度(1)=π76____________________ (2)43π=____________________ (3)=5.1____________________(4) =2____________________二、选择题1．在半径为R 的圆中,一个扇形的圆心角为θ 弧度,那么这个扇形面积为( )A ．θR 21B ．θl 21 C ．θ221R D ．221θR2．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,那么这个扇形的圆心角θ的大小为( )A ．12+πB ．1-πC ．π23 D ．2-π三、解答题1．计算下列三角式的值 21sin π52ctg ︒50cos ︒89tg2．设两个角的差为︒2,它们的和为2弧度,求这两个角各是多少弧度?3．圆的半径等于12cm,求这个圆上长25cm 的弧所对圆心角的度数(精确到︒1)4．直径是20cm 的轮子,每秒钟旋转45弧度,那么轮周上一点经过5秒钟所转过的弧长为多少?5．一个扇形OAB 的中心角为︒150,扇形的面积为235cm π,求弧AB 的长和以AB 为弦的弓形的面积6．若扇形的圆心角为︒60,半径为r ,求扇形的内切圆与扇形的面积之比7．已知一扇形的周长为m(m>0)．问:扇形的圆心角为多大时,它的面积最大?任意角（1）一、选择题1、角︒1414属于第几象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、与︒-1000角终边相同的角是（ ） A ．︒800B ．︒80-C ．︒640D ．︒280 3、下列各角的始边相同，其中有相同的终边的一组角是（ ） A ．︒︒-︒︒-690 650 330 390 B ．︒-︒︒︒-310 1030 50 670 C ．︒︒︒-︒-800 440 280 1360 D ．︒-︒︒︒700 1000 740 204．若角α的终边在第四象限，则角2α的终边在（ ）A ．第二象限B. 第二象限或第一象限 C ．第二象限或第三象限D. 第二象限或第四象限 5．经过20分钟时，钟的分针所转过的角是（ ）A ．︒120B ．︒-120C ．︒09D ．︒-90 6．2003是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．所有与角α终边相同的角可表示为)( 2Z k k ∈+απ，其中α一定是 （ ）A ．小于π2的角B ．正角C ．象限角D ．任何角二、填空题1．在下列角的集合中，找出终边在︒︒-720~720之间的一切角： （i ）{}36060,A k k αα==⋅︒+︒∈Z ，A 中有____________________ （ii ）{}180135,B k k αα==⋅︒+︒∈Z ，B 中有____________________ （iii ）{}72030,C k k αα==⋅︒-︒∈Z ，C 中有____________________ 2．⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+=k k k B k k k A ,2232 ,,32262ππβππβππαππα 则=B A ____________________，=B A ____________________三、解答题1、在下列角的集合中，找出终边在ππ4~4-之间的一切角： （i ）2,3A k k πααπ⎧⎫==+∈Z ⎨⎬⎩⎭（ii ）3,4B k k πββπ⎧⎫==+∈Z ⎨⎬⎩⎭2、设A 和B 分别是等腰三角形的顶角和底角，用弧度制表示A 和B 的范围。