七年级角的认识
角
【知识要点】
1.角的概念：①由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边.②由一条射线绕着它的端点，从一个位置转到另一个位置所形成的图形叫做角.
2.角的表示法
①用角的顶点和两边上各一点的三个大写字母表示，如图 a 中的角，记作∠AOB 。
注：顶点字母写在中间。
②在角的顶点处只有一个角时，用一个字母表示，如∠AOB 也可记作∠O 。 ③用希腊字母加弧线表示，如图b ，∠ABC 记作∠α。 ④用数字加弧线表示，如图b ，∠ACB 记作∠1。
3.角的单位：角的度量单位是度、分、秒 ，单位换算：六十进制 061'=?
，061''=' 4.平角、周角、直角
平角=180° 周角=360° 直角=90° 1周角=2平角=4直角
5.方位角 :方位角是表示方向的角，具体表示时通常南北在前，再写偏东或偏西多少度.
6.角的计数:由一个顶点引出n 条射线共有
2
)
1(-n n 个角(小于或等于平角). 7.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
【经典例题】
【例1】如图，在∠AOB 的内部有两条射线OC ，OD ，请问图中有几个角 思考：若在∠AOB 的内部有n 条射线时，有几个角
【例2】①3点45分时，时针与分针的夹角是________度。
②某校七年级在下午3：00开展“阳光体育”活动．下午3：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于__________度。
③换算单位：48°39′+67°31′= °=_____°_____′
°= ′= ″ 2700″= ′ = ° 【例3】①如图，OC 平分∠BOD ，∠AOD=110°，∠COD=35°，求∠AOC 的度数．
B
O
A
a O
B
C A
1
b
α
A 1
A 3 A n
A 2 ...
O
②如图，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的平分线，∠EOD=60°，求∠AOB 的度数．
【例4】如图，货轮O 在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B ，货轮C 和海岛D ，仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B ，货轮C 和海岛D 方向的射线并求出∠AOB 的度数．
【例5】如图，三角板的直角顶点在直线l 上，看∠1=40°，则∠2的度数是 ． 【课堂练习】
1.下列说法正确的是（ ）
A.平角是一条直线
B.已知OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOB=
2
1
∠AOC C.周角是一条射线 D.上午9点整时，时针和分针的夹角是90° 2.下列说法正确的是（ ）
A.若两个角的和为180°，则必有一个角是钝角
B.平面上A ，B 两点间的距离是线段AB
C.若线段AC=BC ，则点C 是线段AB 的中点
D.平面上有三点A ，B ，C ，过其中两点的直线有三条或一条 3.下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；
③有公共端点的两条线段组成的图形叫做角；④∠AOB=90°，∠BOC=30°则∠AOC=120°； ⑤角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 个 个 个 个
4．如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 平分∠AOC ，若∠COD=25°，则∠AOB 的度数为（ ） 5.在钟表上，分针与时针构成直角的情况是（ ） 点15分 点整 点20分 点45分
6.如图，已知∠AOC=90°，∠COB=α，OD 平分∠AOB ，则∠COD 等于（ ） A.
2α B.2
45α
-? C.α-?45 D.α-?90 7.如图，已知OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线，且∠AOC=110°，则∠EOD+∠BOE= _________。
?
第7题
第4题
第6题第9题
8.计算结果用度表示：59°47′+18°28′=_________°
9.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC的度数是_________。
10.如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，求∠BOC的度数．
11．如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD和OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，你能求出∠DOE 的度数吗
12.如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，
①若∠AOD=145°，则∠BOC的度数是②∠AOD与∠COB的度数之和是多少
13.如图，已知OE、OD分别是∠BOC、∠AOC的平分线，
①若∠AOB=150°，则∠DOE的度数是
②若∠AOB=α°，能求出∠DOE的度数吗若能，求出∠DOE的度数；不能，请说明理由。
七年级数学上册 中点及角平分线习题 (新版)新人教版
B D 中点及角平分线（习题） 巩固练习 1. 已知线段 AB =2 cm ，延长 AB 到 C ，使 BC =2AB ，若点 D 为 AB 的中点，则线段 C D 的长为 ． 2. 已知点 C 为线段 AB 的中点，点 D 为线段 BC 的中点，若 AB =10 cm ，则线段 A D 的长是 ． 3. 已知：如图，线段 A B 的中点是 C ，BC 的中点是 D ，AD 的中点是 E ，若 A B =24 cm ，则 A E = ． A E C D B 4. 已知两根木条分别长 60 cm ，100 cm ，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是 cm ． 5. 如图，B ，O ，C 在同一条直线上，OE 平分∠AOB ，OD 平分 ∠AOC ，则∠EOD = ． E A D B O C 6. 若点 C 在线段 AB 上，则下列等式：① AC = 1 AB ；②AC =CB ； 2 ③AB =2AC ；④AC +CB =AB ，其中能说明点 C 是线段 A B 中点的是 （填序号）． 7. 点 C 是线段 A B 的中点，点 D 是线段 B C 上一点，下列说法错误的是（ ） A ． C D = AC - BD C ． C D = AD - BC B ． C D = 1 AB - BD 2 D ． C D = 1 BC 2 8. 如图，点 D 为∠BAC 内一点，则下列等式： ① BAD = 1 ∠BAC 2 ② CAD = ∠BAC - ∠BAD ； ③ BAC = 1 ∠BAC + ∠BAD ； 2 A C ④ BAC = ∠BAD + ∠DAC ． 其中能说明射线AD 是∠BAC 平分线的有 （填序号）．
2019年七年级数学_角的认识同步讲义+提高练习
角的认识 知识点： 1.角的认识：，这个公共端点是角的，这两条射线是角的 2.角的表示方法:(a) ；(b) ； (c) ；(d) ; 3.角的度量单位及换算：度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，记做1°；把1度角等分成60份，每一份就是1分的角，记做1′；把一分的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记做1″。 1°= ′，1′= ″，1周角= °，1平角= °，1直角= °， 1周角=2 =4 =360°，1平角=2 =180°。 方法:（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化为高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错。 4.角的大小的比较方法： （1）：比较两个角的大小时，把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合，另一边落在同一条边的同旁，则可比较大小； （2）：量出角的度数，就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。 比较的结果有三种：①两角相等；②一角大于另一角；③一角小于另一角。 5.角的平分线： 6.余角和补角 余角： 补角： 性质： 例1.如图，POQ是一线段，有一只蚂蚁从A点出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到A点，则该蚂蚁共转过_________°．
例2.如图,直线AB 与CD 交于点O,OE ⊥CD,OF ⊥AB,∠DOF=650 .求：（1)∠BOE 的度数；（2)∠AOC 的度数． 例3.如图,从O 点引四条射线OA 、OB 、OC 、OD,若∠AOB,∠BOC,∠COD,∠DOA 度数之比为1:2:3:4． (1)求∠BOC 的度数；(2)若OE 平分∠BOC,OF 、OG 三等分∠COD,求∠EOG ． 例4.已知2αβ∠=∠，α∠的余角的3倍等于β∠的补角，求α∠、β∠的度数． 例5.如图，（1）已知∠AOB 为直角，∠AOC 为锐角，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，求∠EOF 的度数； （2）若将（1）中的条件“∠AOB 为直角”改为“∠AOB 为任意一个角”，则∠AOB 与∠EOF 的大小关系如何？发现结论并说明理由．
浙教版初中数学七上 6.5 角与角的度量 教案
《课题名称》教学设计 基本信息 教学题目 6.5 角与角的度量 所选教材浙江教育出版社初中数学七年级上册第6单元第5节 一、学习内容分析 1.学习目标描述（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观） 知识与技能： （1）进一步认识角的有关概念； （2）会用符号、字母表示角； （3）掌握度、分、秒单位及其换算 过程与方法： 经历数学概念形成过程、体验数学的研究方法；实现合作学习、自主学习、发现式学习、小组式学习、交往式学习等多种学习方式的运用 情感态度与价值观： 感受生活中处处有数学；体会数学的语言及符号美；养成用数学的观点观察世界的品质；培养学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心 2. 学习内容与重难点分析 （学习内容概述、知识点的划分） 在小学里学生已经初步认识了角的概念。包括角的定义：“从一点引出两条射线所组成的平面图形”；了解直角及其画法；能识别锐角、直角及钝角；认识平角、周角等。给本课教学提供了经验和认识的前提条件。与此同时，虽然在小学阶段已经对角有了初步认识，但仅停留在感性认识阶段，对角的定义、表示、换算等有进一步认识的要求。初一学生处于形象思维向抽象思维过渡时期，对概念性基本图形已有了形象的认识，非常需要在数学语言、符号表示等方面进行更加规范、系统的学习。本课是浙教版七年级上册第六章的第五课时，之前学生已经学习了线段、射线、直线的画法和表示，对于如何用字母表示图形已经有了初步的经验；同时，由于小学已经知道周角360°、平角180°，这就为量角器的操作和角度换算教学提供了基本的算法依据。 项目内容应对措施 教学重点重点是角的概念和角的三种表示方法。操作与练习 教学难点度、分、秒的单位换算；60进制的理解是本节的难点。通过模仿、练习、交流、评价、反思等环节克服教材难点 二、学习者特征分析（说明学生的已有知识基础、学习习惯等信息） 初一学生仍处于一个依赖性强、自觉性弱的学习阶段，因此模仿学习应该占多数，但这种模仿应该多强调以观察、思考为前提，否则就是机械性学习。在定义阶段，采取先看老师怎么做，然后自己亲自操作、观察、体验，进而思考、交流，最后用语言表达出角的动态定义，这体现了课标关于“设计数学活动，体现过程性教学”的实施建议。在练习过程中，采取学生相互纠错、改错的学习方式，培养了学生之间的交流、理解能力。 三、学习环境选择 1．学习环境选择（ A ） A.简易多媒体教室 B.交互式电子白板 C.网络教室 D.移动学习环境
七年级数学下册 角平分线的性质教案
第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
初一数学角与角平分线练习题
初一数学角与角平分线 中考要求 例题精讲 一、角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始 边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角的表示方法 ① 利用三个大写字母来表示，如图1.1． ∠AOB 图1.1 注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2． ∠A 图1.2 A 注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且 只有一个． ③ 用数字来表示角，如图2.1．
∠1图2.1 1 ③用希腊字母来表示角，如图2.2． ∠ α 图2.2 α 三、单位换算 1度＝60分(160 ?=') 1分=60秒(160 '=") 四、角的度量 （1）度量角的工具常用量角器 用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数） （2）角的度量单位及其换算 角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系 1周角=360?1平角＝180?1直角＝90? 1周角＝2平角1平角＝2直角 角的分类： 锐角α（090 α <
七年级角的认识与计算(教师版)
角的认识和初步计算 1、如图，OA ⊥OB ，∠BOC ＝40°，OD 平分∠AOC ，则∠BOD 的度数是（ ）度。C A 、40 B 、 60 C 、25 D 、30 2、将一副三角板如图放置，若?=∠20AOD ，则BOC ∠的大小为___________160度 3、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大20°，则这个角的度数为 。55度 4、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠COB ，若∠EOB ＝50°，则∠BOD 的度数是 。80度 5、如图，∠AOB 与∠BOC 互补，OM 平分∠BOC ，且∠BOM ＝35°，则∠AOB ＝ °。110 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
知识点一（角的认识） 【知识梳理】 1、角：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 2、角的表示法（四种）： 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA 任何情况下都适应。表示端点的字母必 须写在中间。 用一个大写字母表示 ∠A 以这个点为顶点的角只有一个。 用数字表示 ∠1 任何情况下都适用。但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母。 用希腊字母表示 ∠α 3、角的度量单位及换算（度“?”、分“′”、秒“″”）60进制 1?=60'=3600"， 1'=60"； 1'=(601)?； 1"=(601)'=(3600 1 )° 4、角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° 5、角的比较方法 （1）度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． A O B A 1 α
数学人教版七年级上册角平分线
《角的比较与运算2--角平分线》教学设计 【教材】人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算 【课时安排】第2课时 【教学对象】初一学生 【授课教师】东莞长安实验中学郑健微 【教材分析】 本节课是人教版数学七年级上册 4.3.2 角的比较与运算的第二课时，在本节课学习之前，学生已经认识了角，并学会角的表示方法以及角的和差，这为本节课的教学做了知识和思维上的准备，本节课不仅是对角基本概念的进一步研究，更是解决以后有关的几何问题的基础，鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。【学情分析】 七年级学生逻辑思维正迅速发展，但同时，又好动，注意力易分散，爱发表见解，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生上台发表见解，发挥学生学习的主动性。 从认知状况来说，学生在小学的时候已经认识了角，对角的计算已经有了初步的认识，但是，由于初中要求学生能够运用文字语言、图形语言和几何语言对问题进行综合描述，而几何语言表达具有一定的抽象性，学生写起来较为吃力，为了化解本难点，让学生有充足的时间掌握几何语言的表达，本节课大胆将教材中角的和差放在第一课时上，对教材进行加工。【教学目标】 ?知识与技能 （1）认识角平分线，理解角平分线的几何意义及其数量关系， （2）学会用文字语言、图形语言和符号语言进行综合描述。 ?过程与方法 （1）经历类比线段中点来学习角平分线的过程，体会类比思想； （2）经历探究角平分线运用的过程，学会结合图形分析数量关系，体会数形结合思想。 ?情感态度价值观 （1）通过对角平分线性质的探究应用，引导学生在独立思考的基础上积极参与课堂，培养学生的口头表达能力与小组合作意识。 （2）通过学习几何语言的表达，体会数学的合理性和严谨性 【教学重点】角平分线性质的探究应用 【教学难点】学会用几何语言书写几何证明过程 【教学方法】引导探究、小组合作讨论交流。 【教学手段】计算机、PPT。
初一上 角-角平分线
第一讲 角 【考点聚焦】 1、角的定义： （1）角是由两条具有公共端点的 组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点； （2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，起始位置叫做始边，终止位置叫做终边. 2、角的表示方法. （1）用三个大写字母表示或一个大写字母表示； （2）用希腊字母或数字表示； （3）表示角应注意如下问题： ① 用三个大写字母表示时，中间字母必须是 ； ② 用一个大写字母表示时，必须是以该字母为顶点的角 ； ③ 用希腊字母或数字表示时，应在角的内部画一条弧线，表上字母或数字. 3、平角与周角： （1）一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角. （2）终边继续旋转当它又和始边重合时，所成的角叫做周角. 4、角的单位：度、分、秒.0360061''='=? 5、比较角大小的方法：（1）度量法 （2）重叠法 6、角平分线的定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 7、角平分线模型
8、时针每分钟转度，分针每分钟转度. 【典例剖析】 考点题型1：角的计算
【例1】（2014七中）=?76.3 度 分 秒；=?''24'3222 度． 【变式1】（2013都江堰）计算=?+?'5421'5233 ． 考点题型2：角平分线的性质 【例2】（2015七中育才）如图，已知O 是直线CD 上的点，OA 平分BOC ∠，?=∠120BOD ， 则AOC ∠的度数是 . 【变式1】（2013成华）如图，点A 、O 、B 在一条直线上，且'40119?=∠BOC ，OD 平分AOC ∠，则AOD ∠的度数为 . 【变式2】如下图所示，AOB ∠是平角，?=∠30AOC ，?=∠60BOD ，OM 、ON 分别是AOC ∠、BOD ∠的平分线，则MON ∠等于 .
七年级数学角平分线和垂直平分线的性质》综合练习
七下数学《角平分线和垂直平分线的性质》综合练习 一．选择题（共9小题） 1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 3．如图：ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB 的周长是（） A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对 4．（如图，在已知的ΔABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D， 连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90° B．95° C．100°D．105° 5．如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（） A．48° B．36° C．30° D．24° 6．如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∠DBC=15°，则∠A的度数是（） A．50° B．20° C．30° D．25° 7．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A．2个B．3个C．4个 D．5个 8．如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论： ①EF=BE+CF； ②∠BOC=90°+∠A； ③点O到ΔABC各边的距离相等； ④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn． 其中正确的结论是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④ 9．如图，在ΔABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题 10．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为．11．如图，O是ΔABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．（第10题）（第11题）（第12题） 12．如图，在ΔABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，ΔABE 的周长为14，则ΔABC的周长为．
初一上角-角平分线
第一讲角 考点聚焦】 1、角的定义： （1）角是由两条具有公共端点的组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点； （2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，起始位置叫做始边，终止位置叫做终边 2、角的表示方法. （1）用三个大写字母表示或一个大写字母表示； （2）用希腊字母或数字表示； （3）表示角应注意如下问题： ①用三个大写字母表示时，中间字母必须是； ②用一个大写字母表示时，必须是以该字母为顶点的角； ③用希腊字母或数字表示时，应在角的内部画一条弧线，表上字母或数字 3、平角与周角： （1）一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角（2）终边继续旋转当它又和始边重合时，所成的角叫做周角. 4、角的单位：度、分、秒.1 60 3600 5、比较角大小的方法：（1）度量法（2）重叠法 6、角平分线的定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线 叫做这个角的平分线.
7、角平分线模型
8、时针每分钟转度，分针每分钟转度. 典例剖析】 考点题型1：角的计算 3
例1】（2014 七中）3.76 度分秒；22 32'24' ' 度． 变式1】（2013 都江堰）计算33 52' 21 54' 考点题型2：角平分线的性质 【例2（】2015 七中育才）如图，已知O是直线CD 上的点，OA平分BOC，BOD 120 ，则AOC 的度数是. 【变式1】（2013 成华）如图，点A、O、B在一条直线上，且BOC 119 40'，OD 平分AOC，则AOD 的度数为. 【变式2】如下图所示，AOB是平角，AOC 30 ，BOD 60 ，OM 、ON 分 别是AOC、BOD 的平分线，则MON 等于.
沪科版-数学-七年级上册-与角的平分线有关的典型例题
与角的平分线有关的典型例题 对于角平分线的认识，同学们要注意以下两点： （1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分． （2）要掌握角平分线的数学表达式． 下面重点介绍与角的平分线有关的计算问题 例1．如图1，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．求∠DOE 的度数． 解：因为OD 、OE 分别是∠AOC、∠COB 的平分线， 所以∠COD=21∠AOC，∠COE=2 1∠COB， 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+2 1∠COB =21(∠AOC+∠COB)=21∠AOB=21×180°=90°． 例2．如图2，∠AOC 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数． 分析：和图形有关的角度计算问题，需要从图形中找到角与角 之间的关系．本题要求∠AOD 的读数，则只要求出∠COD 的度数即 可． 解：因为∠BOC=∠AOC -∠AOB=90°-35°=55°, 又OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145° 【评注】解决与图形有关的角的计算问题关键将所求的角转化为已知角求解． 例3．如图3，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC． （1）求∠MON 的度数； （2）如果（1）中∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？ （5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法． 请你模仿（1）～（4）设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来． 析解：此题是从特殊化的图形中，寻求解题的思路．然后回到一般图形中，探求一般图1 图2 图3
七年级角的认识
角 【知识要点】 1.角的概念：①由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边.②由一条射线绕着它的端点，从一个位置转到另一个位置所形成的图形叫做角. 2.角的表示法 ①用角的顶点和两边上各一点的三个大写字母表示，如图 a 中的角，记作∠AOB 。 注：顶点字母写在中间。 ②在角的顶点处只有一个角时，用一个字母表示，如∠AOB 也可记作∠O 。 ③用希腊字母加弧线表示，如图b ，∠ABC 记作∠α。 ④用数字加弧线表示，如图b ，∠ACB 记作∠1。 3.角的单位：角的度量单位是度、分、秒 ，单位换算：六十进制 061'=? ，061''=' 4.平角、周角、直角 平角=180° 周角=360° 直角=90° 1周角=2平角=4直角 5.方位角 :方位角是表示方向的角，具体表示时通常南北在前，再写偏东或偏西多少度. 6.角的计数:由一个顶点引出n 条射线共有 2 ) 1(-n n 个角(小于或等于平角). 7.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 【经典例题】 【例1】如图，在∠AOB 的内部有两条射线OC ，OD ，请问图中有几个角 思考：若在∠AOB 的内部有n 条射线时，有几个角 【例2】①3点45分时，时针与分针的夹角是________度。 ②某校七年级在下午3：00开展“阳光体育”活动．下午3：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于__________度。 ③换算单位：48°39′+67°31′= °=_____°_____′ °= ′= ″ 2700″= ′ = ° 【例3】①如图，OC 平分∠BOD ，∠AOD=110°，∠COD=35°，求∠AOC 的度数． B O A a O B C A 1 b α A 1 A 3 A n A 2 ...
人教版七年级第四章几何图形初步 角的认识训练题
D C B A 第19题D C B A O 第20题C B A 第18题C B A O C B A βββα αα人教版七年级第四章几何图形初步 角的认识训练题 综合训练题 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） 10.用度、分、秒表示91.34°为（ ） A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 16.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 . 18.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为. 19.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O ，则∠AOC ＋∠DOB ＝ . 20.如图所示，一艘船从A 点出发，沿东北方向航行至点B ，再从B 点出发沿南偏东15°方向行至点C ，则∠ABC ＝ 度. 22.计算题：（每小题5分，共20分） ⑴ （180°－91°32/24//）÷3 ⑵ 34°25/×3＋35°42/ ⑶ 一个角的余角比它的补角的 31还少20°，求这个角. ⑷ 如图，AOB 为直线，OC 平分∠AOD ，∠BOD ＝42°， 求∠AOC 的度数. 8、下列语句正确的是 （ ） A.钝角与锐角的差不可能是钝角； B.两个锐角的和不可能是锐角； C.钝角的补角一定是锐角； D.∠α和∠β互补（∠α>∠β），则∠α是钝角或直角。
西 东 A D 9、在时刻8：30，时钟上的时针和分针的夹角是为（ ） A 、85 ° B 、75° C 、70 ° D 、60° 10、如果∠α＝26°，那么∠α余角的补角等于 （ ） A 、20° B 、70 ° C 、110 ° D 、116° 11、如果∠α＋∠β＝900，而∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ的关系为 （ ） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不能确定。 12、如图下列说法错误的是（ ） A 、OA 方向是北偏东40° B 、OB 方向是北偏西15 ° C 、OC 方向是南偏西30° D 、OD 方向是东南方向。 17、∠1和∠2互补，且∠2+∠3=180°，则∠1=_______，理由是 。 18、时针指示6点15分，它的时针和分针所成的锐角度数是_______· 19、已知：∠AOB ＝40°，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC 的余角度数是_______· 28、如图，∠AOB 是直角，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，求∠EOD 的度数。（6分） 29、如图，已知∠AOB ＝90 o ，∠AOC 是60 o ，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 。 求∠DOE 。（5分）
七年级上册数学《几何图形初步》角的认识
角 ?一、本节学习指导 ?本节概念比较多,属于基础知识,只要我们多画图出来观察,还是挺容易理解的。? 二、知识要点? 1、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或:角也可以看成是一条射线绕着 它的端点旋转而成的。????2、平角 和周角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图6。终边继续旋转，当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角,如图７。? ? 3、角的表示:??①用数字表示单独的角，如∠1，∠2,∠3等。??②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ，∠θ等。? ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B,∠C等。? ④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAＤ，∠BAE，∠ＣA Ｅ等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。? 用一副三角板，可以画出１5°，30°,45°，６0°,7５°，90°,１05°,120°，135°，15０°，165° ?4、角的度量 ?角的度量有如下规定：把一个平角1８0等分，每一份就是1度的角，单位是度,用“°”表示，1度记作“１°”，n度记作“n°”。? 把1°的角60等分,每一份叫做１分的角,１分记作“1’”。 把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。??5、角的性质 ?(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。??(2）角的大小可以度量，可以比较??(3)角可以参与运算。??6、角的平分线【重要】?
??从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如上图,∵OB平分∠AOC ∴∠AOＢ＝∠ＢＯC=1/2∠ＡOＣ(或者∠ＡＯC=2∠ＡＯB=2∠BOC） ７、余角和补角【重要】 ?①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β＝90°,那么∠α与∠β互余;反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°。? ?如上图中的关系，∠AOB=90°，因为∠β＋∠α=90°,所以角∠α与角∠β互余。? ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角,简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β互补;反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ? ?如上图,∠AOB=18０°，角∠α+∠β=180°,故∠α与∠β互补。 ③同角（或等角)的余角相等；同角（或等角)的补角相等。?? 8、对顶角【重要】 ?①一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
新人教版七年级数学上册：中点及角平分线(讲义及答案)
中点及角平分线（讲义） 知识点睛 1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________． 2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是 ____________________________________________________ ___________________________________________________． 3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做 这个角的平分线． 4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是 ___________________________________________________ __________________________________________________． 精讲精练 1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C是线段AB的中点，求AC的长．
2.已知：如图，点C是线段AB的中点，AC=4 cm，求AB的长． 3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C是线段AD的中点，求BC的长．
4.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点， 求CD的长． 5.已知：如图，∠AOB=70°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度数．
6.如图，已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=25°，求∠AOB的度数． 7.如图，∠AOB=90°，∠AOC=50°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的 度数．
人教版初一数学上册角的认识
4.3.1角 一.教学目标: 1.知识与技能: (1)通过丰富的实例,理解角的有关概念; (2)认识角的表示方法 (3)能进行度与度分秒之间的转化 (4)能够作一个角等于已知角 2.过程与方法: 体会角在实际生活中的应用,培养学生的抽象思维 3.情感与价值观 : 培养学生学习数学的好奇心与求知欲 二、教学重点和难点 教学重点：1．角与角的相关概念； 2．角的度量单位以及单位之间的换算． 教学难点：由于角的度量单位是60进制，所以角的单位换算是本节的难点． 三、教学过程 教师活动、学生活动、设计意图 1、提出问题 展示实物（如时钟,墙角,教材P136页的图片） 1、观察实物与图片，你发现其中有什么相同图形吗？ 学生看书，教师巡视． 学生回答问题，教师点评． 学生回答问题，教师点评． 学生回答，教师点评，注意鼓励学生 2、你能把观察得到的图形画在本子上或黑板上吗？这是一些什么图形？ 思考，动手画一画 3、从黑板上这些不同的图形中，你能归纳出它们的共同特点吗？ 思考 相互交流并回答挖掘和利用现实生活中与角相关的背景，让学生在现实背景中认识角． 培养学生的动手能力．引导学生观察并归纳角的共同点 讲授新课 （一）角的概念 1、在学生充分发表自己对角的认识的基础上，师生共同归纳得出：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 问题1：钟表上的时针与分针是如何构成角的？从中你能得到什么启发？ 师生共同归纳得出角的第二定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． 进而得到两种特殊的角：平角和周角． 平角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时，形成平角； 重合时，形成周角OB与起始位置OA点旋转，当终止位置O绕OB周角：当射线 ：)(二角的表示我们怎样表示角呢？请同学们看书上说了几种表示方法？AOB（1，谁能指出下列各角的顶点和两条边？用三个大写字母可以表示一个角。比如∠）
七年级数学角平分线同步练习
4.12角平分线同步练习 一、判断题 角的平分线可以看作是到角的两边的距离相等的所有点的集合．( ) 二、填空题 △ABC中，∠A=Rt∠，∠B的平分线交AC于D，DE、BC与E，若E恰好是BC的中点时，∠C=________度，AD________DE．三、选择题 1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，DE、BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为_________．[ ] A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 2．三角形角平分线的交点_________．[ ] A．到三角形三顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．到三角形三边中点的距离相等 D．到三边中垂线的距离相等 四、计算题 已知：如图，AD平分∠BAC，∠C=90°，
DE⊥AB ，BC=8cm ，BD=5cm， 求：DE=？ 五、证明题 1．已知：如图△ABC中，AD是∠A的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC于E，F． 求证：EB=FC
2．如图，O为∠BAC的平分线上一点，过O作AB，AC的垂线分别交AC，AB于C、B，垂足为D、E． 求证：AB=AC
参考答案 一、判断题√ 二、填空题30，=．1 三、选择题 1．B 2. B
四、计算题 解：∵AD平分∠BAC ，DE⊥AB ， CD⊥AC ∴CD=DE ∵BC=8cm ，BD=5cm ， ∴CD=3cm ∴DE=3cm 五、证明题 1．证明：∵AD是角平分线 DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ∵BD=CD ∠BED=∠CFD=Rt∠ ∴Rt△BED≌Rt△CFD (HL) ∴BE=CF 2．证：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC ∴OD=OE ∴∠ODB=∠OEC=90° ∠DOB=∠EOC ∴△DOB≌△EOC (ASA) ∴∠B=∠C
人教版七年级数学上册角的认识
角的认识 【例题1】角的认识 在下图中一共有几个角？它们应如何表示． 【练1-1】下列语句正确的是（） A.从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B.两条直线相交组成的图形叫做角 C.从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D.两条线段相交组成的图形叫做角 【练1-2】关于平角和周角的说法正确的是（） A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．反向延长射线OA，就是成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角【练1-3】下列说法正确的是（） A．一个钝角与一个锐角的差一定是锐角 B．一个钝角与一个直角的差一定是锐角 C．一个钝角与一个锐角的差一定是直角 D．一个钝角与一个锐角的差一定是钝角 【例题2】余角和补角 若∠α的余角与∠α的补角的和是平角，求∠α的大小．
【练2-1】下列说法中，正确的是 （ ） A ．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B ．两个锐角的和为钝角 C ．相等的角互为余角 D ．钝角的补角一定是锐角 【练2-2】如图所示，那么∠2与12 （∠1－∠2）之间的关系是 （ ） A.互补 B.互余 C.和为45° D.和为22.5° 【练2-3】如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90° －∠β；②∠α－90°；③12（∠α＋∠β）④12 （∠α－∠β） （ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 【练2-4】一个角的补角的117 是6°，则这个角是 （ ） A ．68° B.78° C ．88° D ．98° 【练2-5】如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的 （ ） A.2倍 B.21倍 C.5倍 D.5 1倍 【练2-6】如图，若180AOB ∠=?，∠1是锐角，则∠1的余角是 （ ）
七年级上角平分线练习题及答案
角平分线相关练习题 如图，^AOB=6Q°, CD 丄04 于 D , CE1.OB 于 E,且 CD=CE> 则 ZDOC= ___________ A 3、如图，已知OE. OD 分别平分厶商 和ZBOC,若 厶OEW , Z^OZ>=70% 求ZBOC 的度数. 3. 如图9F 平分ZAOB,PC 丄O ￡PD 丄O 乩垂足分别是6D.下列结论中错误的是（ 4、如图 4,在△ABE 中 ZA=90° , 若 AD=m, BCn,求△BDC 的面积. 5、（2007浙江义乌课改）如图，点F 是￡BAC 的平分线上一 点，FE 丄理C 于点E.已知FE3 则点戸到川办的距离是（ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A. PC=PD C. ZCPO= ZDPO B. OC = OD D ? OC=PC
区（7 分）如图，ZAOB=ZCOD=903J OC平分ZAOB, ZB0D = 3ZD0E 试求ZCOE的度数. B 了如图，已知ZAOB = 90% ZBOC=60°, OD是ZAOC的平分线，求ZBOD的度数? 鼠如图，已知/DOE=70°, ZDOB=40\OD平分ZA OB 9
OE 平分Z" OG 求Z4 OC A
答案： 1、/DOC=30 ° 解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上，得知，点C在角平分线上，即OC为/AOB 的角平分线，因为/ AOB=60 °，所以zDOC= ZEOC=30 ° 2、/BOC=5O ° 解析：由题知，/ AOE= ZBOE=? Z AOB=45。，启OD= ZEOD-Z BOE=70。-45 °25。，启OC=2 ZBOD=50 ° 3、D 解析：由角平分线定义和性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故A、B、C均正确。 4、S^BDC=? mn 解析：通过D点向BC边作垂线段，交BC于点E,贝V DE为ABDC的高线，由于DA丄AB且DE丄BC, BD是 角平分线，故得知线段AD=DE=m , S4BDC=? BCXDE=? mn 5、A 解析：由角平分线性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故P到AB的距离=PE=3 6、"OE=75 ° 解析：Z AOC= ZBOC= ZBOD=? X 90 ° =45 °，因为Z BOD=3 ZDOE，所以Z BOE=? ZBOD= ? X45 °=30 ° , ZCOE= ZBOC+ ZBOE=45 °+30 °75 7、/BOD=75 ° 解析：Z COD=Z AOD=?Z AOC=?(Z AOB-Z BOC)=?(90°-60°)=15°， ZBOD= ZBOC+ ZCOD=60 °+15 °75 8、/AOC=14O ° 解析：Z AOC= Z AOB+ Z BOC=2 Z BOD+2 Z BOE=2 Z BOD+2 (Z DOE-Z BOD)=2 Z DOE=2 X70 °=140 °
七年级数学角平分线和垂直平分线的性质综合练习
七年级数学角平分线和垂直平分线的性质综合 练习 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
七下数学《角平分线和垂直平分线的性质》综合练习 一．选择题（共9小题） 1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处3．如图：ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB的周长是（） A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对 4．（如图，在已知的ΔABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为 （） A．90° B．95° C．100° D．105° 5．如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（） A．48° B．36° C．30° D．24° 6．如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， ∠DBC=15°，则∠A的度数是（）