学)高一数学必修一函数复习()

课时2函数一.函数(1) 函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B → ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．(2) 区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换化繁为简，三角代换可将代数函数的最值问题转化三角函数最值问题 ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 二．函数的表示法（1）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （2）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．①集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； ②集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； ③不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

三．函数的基本性质 （1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数yxo如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．四．函数的图象 基本函数图象的变换： ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去专项练习函数的概念一．选择题1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．x y x f 21:=→ B ．x y x f 31:=→ C ．x y x f 32:=→ D ．x y x f =→: 2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：603)(3+-=t t t T ，时间单位是小时，温度单位为℃，0=t 表示12:00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为( )A ．8℃B ．112℃C ．58℃D ．18℃ 3．函数y ＝x ＋1＋x -1的定义域是 A ．（-1，1）B ．[0，1]C ．[-1，1]D ．（-∞，-1） （1，+∞）4．函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上5．函数341)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ． RB ． ]43,0[C ．),43[+∞D ．)43,0[二．填空题6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________． 7． 函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________． 三．解答题8.求函数y ＝x ＋1x 2－4的定义域．9.已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，求函数)()(a x f a x f -++的定义域(其中210<<a ).10.已知函数1)(2-+=x x x f .(1)求)2(f (2)求)11(+xf (3)若5)(=x f ,求x 的值.函数相等、函数的值域1.下列各题中两个函数是否表示同一函数?(1)1)(=x f ,0)(x x g = ( ) （2）24)(2--=x x x f ,2)(+=x x g ( )（3）x x x f 2)(2-=,t t t g 2)(2-= ( )（4）|1|)(-=x x f ,⎩⎨⎧<-≥-=)1(1)1(1)(x x x x x g ( )2.下列函数中值域是(0,+∞)的是A ．)0(12>+=x x yB ．2x y =C ．112-=x yD ．)0(2>x x3.设函数13)(2+-=x x x f ,则=--)()(a f a fA ．0B ．a 6-C ．222+a D ．2622+-a a 4.已知)(x f 满足23)()(2+=-+x x f x f ,且316)2(-=-f ,则=)2(f5.已知函数221)(x x x f += (1)计算)2(f 与)21(f (2)计算)3(f 与)31(f (2)计算)20111(...)41()31()21()2011(...)3()2()1(f f f f f f f f +++++++++6.求下列函数的值域: (1)342+-=x x y (2))5,1[,642∈+-=x x x y (3)}2,1,0,1,2{,12--∈-=x x y7.求函数x x x f 41332)(---=的定义域和值域.(提示:设x t 413-=)函数的表示法1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )2.已知x x f 2)2(=,则=)(x fA ．x 2B ．xC ．2xD ．x 43.已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0，则f (4)的值是( )A ．5B ．－5C ．12D ．204.已知)(x f 是一次函数,若5)1(3)2(2=-f f ,1)1()0(2=--f f ,则)(x f 的解析式为A ．23)(+=x x fB ．23)(-=x x fC ．32)(+=x x fD ．32)(-=x x f5．定义域为R 的函数f (x )满足12)(2)(+=-+x x f x f ，则)(x f ＝( )A ．－2x ＋1B ．2x －13C ．2x －1D ．－2x ＋136.若x x g 21)(-=,221))((xx x g f -=,则)21(f 的值是 A ．1B ．15C ．4D ．307.函数)(x f 的图象经过点(1,1),则函数)4(-x f 的图象过点 8.已知)(x f 是二次函数,1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ,求)(x f .9.若2627)))(((+=x x f f f ,求一次函数)(x f 的解析式.分段函数与映射1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3 (x ＞0)，1 (x ＝0)，x ＋4 (x ＜0).则f (f (f (－4)))＝( )A ．－4B ．4C ．3D ．－32已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=)1(2)1(12)(2x x x x x x f ,(1)试比较))3((-f f 与))3((f f 的大小. (2)若3)(=a f ,求a 的值.3.画出下列函数的图象,并写出值域.(1)||)(x x f = (2)|2|)(2x x x f += (3)|3||5|)(++-=x x x f函数的单调性1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）A.y=2x-1B.y=3x 2-1C.y=x2D.y=2x 2+x+1 2.设函数b x a x f +-=)12()(是（-∞，+∞）上的减函数，若a ∈R, 则 （ ） A.21≥a B.21≤a C.21->a D.21<a 3.函数y=4x 2-mx+5在区间[)∞+，2上是增函数，在区间(]2，∞-上是减函数，则m=________; 4.根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间：y-3 0 -1 3 x5.函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是______________.6.判断函数xx y 4+=在在[)∞+，2上的单调性,并用定义证明.7．函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上都有意义，且在此区间上①)(x f 为增函数，0)(>x f ；②)(x g 为减函数，0)(<x g .判断)()(x g x f 在],[b a 的单调性，并给出证明.函数的最大（小）值与值域1.当]5,0[∈x 时,函数143)(2+-=x x x f 的值域为（）A.)]5(),0([f fB.)]32(),0([f fC.)]5(),32([f f D.)]5(),0((f f2.函数11)(-=x x f 在区间]6,2[上的最大值和最小值分别是（）A.1,51B.51,1C.1,71D.71,13.函数x x x f +-=12)(的值域是（）A.),21[+∞B.]21,(-∞ C.),0(+∞ D.),1[+∞4.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=2,321,210,2)(x x x x x f 的值域是（）A.RB.]3,0[C.),0[+∞D.}3{]2,0[5.若410≤<t ,则代数式t t -1的最小值是（）A.2-B.415 C.2 D.0 6.函数)(x f y =的定义域为]6,4[-,且在区间]2,4[--上递减,在区间]6,2(-上递增,且)6()4(f f <-,则函数)(x f y =的最小值是 ,最大值是7.函数*,122N x x y ∈+=的最小值为8.已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.函数的奇偶性1．下面说法正确的选项 （ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．函数x x x f +=2)(是 （ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既奇且偶函数D ．非奇非偶函数3．函数px x x y +=||，R x ∈是 （ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．与p 有关4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有 （ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值5．如果函数R x x f ∈),(是奇函数,且)2()1(f f <,则必有A ．)2()1(-<-f fB ．)2()1(->-f fC ．)1()1(f f =-D ． )2()1(-=-f f6．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .7．（12分）判断下列函数的奇偶性①x x x f 1)(3+=； ②x x x f 2112)(-+-=；③x x x f +=4)(； ④2|2|1)(2-+-=x x x f 。