上海中学高三数学综合练习四

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上海大学市北附属中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

上海大学市北附属中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17312．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或153．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=4．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40405．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 7．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件 8．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A ．5B ．3C ．3D ．32412．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市市辖区2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(综合卷)完整试卷

上海市市辖区2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．第(2)题如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（）A．B．1C．2D．第(4)题等比数列中，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知角是第二象限角，且终边经过点，则（）A．B．C．D．或第(6)题已知函数，若，则（）A．36B．12C．4D．2第(7)题在九位数123456789中，任意交换两个数字的位置，则交换后任意两个偶数不相邻的概率为（）A．B．C．D．第(8)题飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（）A．点的纵坐标为B．的准线方程为C．若，则的斜率为D．面积的最小值为16第(2)题如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（）A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差D．2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%第(3)题英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）A．第二天去甲餐厅的概率为0.54B．第二天去乙餐厅的概率为0.44C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________.第(2)题已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.第(3)题在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，已知．(1)求的大小；(2)若，求函数在上的单调递增区间．第(2)题若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：第(3)题已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．第(4)题现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．(1)若，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望；(2)若，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，求：（i）的概率；（ii）的分布列．第(5)题选修4-5：不等式选讲已知．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数，成立，求实数的值．。

2019-2020年上海进才中学高三下数学周练四

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众图像，且 f x 的解析式型如 ax b (a , b R) ，则有序实数对 a , b x
。
12．已知 f x ax2 bx c 在 0，1 上满足 f x 1 ，则 a b c 的最大值是
公二、选择题（本题满分 20 分，共有 4 题，每小题 5 分）信 13．过点 (1，2) 且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的一般式方程是（
微13．过点 (1，2) 且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的一般式方程是 5 3
（ A） x 1 y 2
（ B ） 5x 3y 11 0
（ D ）。
5 3
（ C ） 3(x 1) 5( y 2) 0
（ D ） 3x 5y 13 0
14．若函数 y x2 4x 2 的定义域为 0 ，m ，值域为 6 ， 2 ，则 m 的取值范围是（ B ）。
：平面 PCD 所成的角为 45 ， PB 与平面 ABD 成 30 角，求：
号（1）求 PB 与 CD 所成的角；
（2）求二面角 C PB D 的余弦值。
众
公
信
微
2
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分如图，已知 A , B , C 是长轴为 4 的椭圆上三点，点 A 是
SHXINGAOKAO 可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由。：
号众公信微
4
上海市进才中学 2019 学年第二学期高三数学周练四
命题教师、审题教师
20200314
一、填空题（本题满分 54 分，共有 14 题，1~6 每小题 4 分，7~12 每小题 5 分）

2025届上海市第四中学高考考前提分数学仿真卷含解析

2025届上海市第四中学高考考前提分数学仿真卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<3．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．2C ．3D ．22 4．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．5．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（） A 3B 3C ．12D 26．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=7．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-8．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（）A ．-5B ．2C ．7D ．119．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC +10．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（） A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭11．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（） A ．37B ．13C ．13D ．3712．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海中学高三数学综合练习四

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{ OAn OBn} 的前 n 项和为 _
_
2(n 1)
12. 在正三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，各棱长都相等， M 是 BB 1 的中点，则 BC 1 与平面 AC 1 M 所成角的大小是 __________.
13. 设抛物线 y=ax 2(a>0)与直线 y=kx+b 有两个公共点，其横坐标是 x 1,x2,而 x 3是直线与 x 轴交点的横坐标，则 x1,x2,x3 的关系是 _________.
DEA=90°． G 为 PE 的中点。 (1) 求 AG 与平面 PDE 所成角的大小 (2) 求点 C 到平面 PDE 的距离
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19.(1) 如图，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若 OA a ，OB b ，试用 a ，b 表示 OP ，OQ ，
并判断 OP OQ 与 OA OB 的关系；
8．如图 , 在杨辉三角中 , 斜线 l 上方 , 从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿数列 : 1, 3, 3, 4, 6, 5, 10, , ,
记其前 n 项和为 Sn, 则 S19 等于 ____________.
1
1
1l
121
1331
14641
15101051
,
,
,
,
,
,
,
4
9. 在△ ABC中，a、b、c 分别为∠ A、∠ B、∠Ｃ的对边，若 a、b、c 成ຫໍສະໝຸດ 差数列， sinB= 且△ ABC
时，都有
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答案及错误率一．选择题 1.C (0.03) 2.A (0.22) 3
．A (0.17) 4 ． B (0.28)

精品解析：上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题(解析版)

上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题一､填空题：（本大题满分54分，1-6小题每小题4分，7-12小题每小题5分）1.函数y =的定义域是________.【答案】[]1,1-【分析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【详解】y =要使函数有意义，需满足210x - 解得11x - 函数y =[]1,1-故答案为：[]1,1-【点睛】求函数的定义域，也不从开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1等方面限制，属于基础题．2.已知0a >k a 形式，则k =__________.【答案】34【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.133224a a ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.故答案为：34.3.已知复数()1i R z a a =+∈，其中i 是虚数单位，()Re i 2z =，则=a __________.【答案】2-【分析】先求得i z ，然后根据i z 的实部求得a .【详解】依题意，()i 1i i i z a a =+=-+，而()Re i 2z =，所以2,2a a -==-.故答案为：2-4.某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为__________.【答案】14【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】高一高二有1000300700-=人，所以高一高二的参加活动的总人数70020141000⨯=人.故答案为：145.{}{}2540,5,A xx x B y y x x A =+->==-∈∣∣，则A B ⋃=__________.【答案】()1,6-【分析】解二次不等式化简集合A ，进而化简集合B ，从而利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{}()2540151,5A xx x x x =+->=-<<=-∣，当15x -<<时，056x <-<，则{}{}()0,6065,B yy x A y x y ∈<<==-==∣∣，所以A B ⋃=()1,6-.故答案为：()1,6-.6.6log 2a =，则3log 2=__________（用a 表示）.【答案】1a a-【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】由于6log 20,1a =≠，所以()222221log 6log 23log 2log 31log 3a==⨯=+=+，所以211log 31a a a -=-=，所以31log 2aa =-.故答案为：1aa-7.已知函数()()()()()f x x a x b x c a b c =---<<为奇函数，函数()2g x ax bx c =++的图象与x 轴的交点为,A B ，则AB =__________.【答案】2【分析】根据()f x 的奇偶性和零点求得b 以及c a =-，由此求得()g x 与x 轴交点的横坐标，进而求得AB .【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00,0f abc abc =-==，令()0f x =，解得x a =或x b =或x c =，由于a b c <<，根据奇函数图象的对称性可知0b =，0,0a c <>，且c a =-.所以()()()2211g x ax bx c ax a a x x =++=-=+-，令()0g x =，解得1x =±，所以2AB =.故答案为：28.正三棱锥-P ABC 中，4,3PA AB ==，,,,E F G H 分别是,,,AB BC PC PA 的中点，则四边形EFGH 的面积为__________.【答案】3【分析】根据正三棱锥的性质与中位线得出四边形EFGH 为矩形，且32EF HG ==,2HG GF ==，即可计算得出答案.【详解】三棱锥-P ABC 为正三棱锥，4PA =,3AB =,PB AC ∴⊥，4PB =,3AC =，,,,E F G H 分别是,,,AB BC PC PA 的中点，EF AC ∥∴，HG AC ∥，HE PB ，GF PB ，且1322EF HG AC ===,122HG GF PB ===EF HE ∴⊥，∴四边形EFGH 为矩形，∴四边形EFGH 的面积为3232⨯=，故答案为：3.9.ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c c b =则sin sin cos sin2AB C B=+__________.【答案】1【分析】根据正弦定理和余弦定理求得正确答案.【详解】依题意sin sin sin cos sin2sin cos 2sin cos A AB C B B C B B=++，由正弦定理、余弦定理得:sin sin cos 2sin cos AB C B B +222222222aa b c a c b b b ab ac =+-+-⋅+⋅222222442222aa b b a b b b b ab a b=+-+-⋅+⋅⋅222213322aaa b a b aa a===-++.故答案为：110.已知Rt ABC 的面积为6，斜边AB 长为6，设a 为CA 在AB 上的投影向量，a CB ⋅= ____.【答案】4-【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】依题意16,6,12,22abc ab ab c====.依题意，2CA AB AB CA AB a AB AB AB AB ⋅⋅=⋅=⋅ ,所以2CA AB a CB AB CB AB⋅⋅=⋅⋅()2cos πcos cos cos bc A c a B ab A B c ⋅-=⋅⋅=-24b a ab ab c c c ⎛⎫=-⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：4-11.设过点(2,1)-的直线l 与椭圆22:14xC y +=交于M ，N 两点，已知点(0,1)A ，若直线AM与直线AN 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=______．【答案】1-【分析】先根据题意假设直线l 的方程，联立椭圆C 的方程，由韦达定理得到12x x +，12x x ，从而利用斜率公式直接运算即可得解.【详解】因为椭圆22:14x C y +=，所以2,1a b ==，其右顶点为()2,0，下顶点为()0,1-，所以过点(2,1)-的直线l 的斜率存在且不为0和1-，设直线l 的方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，设()11,M x y ，()22,N x y ，点M ，N 的坐标均不为(0,1)±，联立2221,1,4y kx k x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222148(21)16160k x k k x k k +-+++=，则()()2222Δ64(21)4141616640k k kkk k =+-++=->，解得0k <,因为Δ0>时，1228(21)14k k x x k ++=+，2122161614k kx x k +=+，所以()()1221121212121111y x y x y y k k x x x x -+---+=+=()()1221122222kx k x kx k x x x --+--=()12121222(1)kx x k x x x x -++=2222216168(21)22(1)14141161614k k k k k k k k k k k ++⋅-+⋅++==-++.故答案为：1-．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.12.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意实数x 有()()2f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时()1f x '<，若()()4,44m f m f m ≠-+≤+，则实数m 的取值范围是__________.【答案】][(),80,-∞-+∞【分析】构造函数()()g x f x x =-，结合已知得出()()0gx g x --=，即()g x 为偶函数，利用导数得出函数()g x 在()0,∞+上单调递减，所求不等式变形等价于()()()4444f m m f +-+≤-，即()()44g m g +≤，再结合单调性解不等式得出答案.【详解】当()0,x ∈+∞时()1f x '<，∴当()0,x ∈+∞时()10f x '-<，令()()g x f x x =-，()()2f x f x x --= ，()()()()()()20g x g x f x x f x x f x f x x ∴--=---+=---=⎡⎤⎣⎦，()g x ∴为偶函数，当()0,x ∈+∞时()()10g x f x ''=-<，∴函数()g x 在()0,∞+上单调递减，()()4,44m f m f m ≠-+≤+ ，等价于，()()()4444f m m f +-+≤-，即()()44g m g +≤，则当40m +>时，即4m >-时，由函数()g x 在()0,∞+上单调递减，得44m +≥，解得0m ≥，当40m +<时，即4m <-时，40m -->由()g x 为偶函数，得()()()444g m g m g +=--≤，由函数()g x 在()0,∞+上单调递减，得44m --≥，解得8m ≤-，综上，m 的取值范围为][(),80,-∞-+∞ ，故答案为：][(),80,-∞-+∞ .【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.二､选择题：（本大题满分18分，13-14小题每小题4分，15-16小题每小题5分）13.“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据ln 1x =与()2ln 2x=的推出关系判断充分性与必要性是否成立.【详解】当ln 1x =时，e x =，则()()22ln ln e 2x ==，故充分性成立；当()2ln 2x=时，22e x=，则e x =±，故必要性不成立，所以“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的充分非必要条件.故选：A14.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（）A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6【答案】A【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案.【详解】设小明遇到的三人分别为A ，B ，C ，则小明遇到三人的概率都为13，若小明与A 比赛获胜的概率为0.3，与B 比赛获胜的概率为0.4，与C 比赛获胜的概率为0.65，则小明进入决赛的概率为1110.30.40.650.45333⨯+⨯+⨯=，故选：A.15.P 为椭圆()22228103x y a a a+=>上一点，P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到原点O 的距离为（）A.34a B.104a C.74a D.2a 【答案】B【分析】先用a 表示c ，然后根据椭圆的定义判断出三角形PFF '是直角三角形，从而求得OP .【详解】椭圆2222813x ya a+=即2222138x y a a +=，所以c ==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到右焦点F '的距离为3222a a a -=，2222354222a a a c ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三角形PFF '是直角三角形，且π2FPF '∠=，所以P 到原点O的距离124OP FF c ===='.故选：B16.已知()522910012910R,a x x aa a x a x a x a x ∈-+=+++⋯++，则下列三个代数式①81ii a =∑②91ii a =∑③101ii a =∑，其值与a 无关的个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】D【分析】利用赋值法，结合二项式展开式等知识求得正确答案.【详解】依题意，()522910012910R,a x x aa a x a x a x a x ∈-+=+++⋯++，令0x =，得50a a =；令1x =，得50110a a a a =+++ ，所以1100a a ++= ，5105C 1a ==，所以1291a a a +++=- ，()495C 15a =⋅-=-，所以1284a a a +++= ，所以三个代数式①81ii a =∑②91ii a =∑③101ii a =∑的值都与a 无关.故选：D 三､解答题：17.数列{}n a 中，111,3,n n a a a n λ+=-=+是正整数，数列{}n a 的前n 项和n S .（1）若1λ=，且140n S -<，求n 的值；（2）若3λ=，求证32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）1n =或2n =或3n =（2）证明见解析，1332n n a --=【分析】（1）根据13n n a a +-=得{}n a 是公差为3的等差数列，求出2352n n nS -=，再解140n S -<即可.（2）根据等比数列的定义可证32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列从而得到n a .【小问1详解】当1λ=时，13n n a a +-=，()*1,Nn n ≥∈,所以{}na 是公差为3的等差数列，所以()()1132n n n S n -=-+⨯，所以2352n n nS -=，因为2351402n n--<，所以743n -<<，因为n 是正整数，所以1n =或2n =或3n =.【小问2详解】当3λ=时，113133,022n n a a a +=++=≠，因为133332233322n n n n a a a a ++++==++，()*1,N n n ≥∈，所以32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，所以131322n n a -+=⨯，所以1332n n a --=.18.如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，3PA =.（1）若四棱锥P ABCD -是正四棱锥，求四棱锥P ABCD -的体积V ；（2）若AP ⊥平面,17PCD BP AD ⋅=，求PC 的长.【答案】（1）163（2）PC =【分析】（1）根据正四棱锥的结构特征，结合锥体的体积公式运算求解；（2）由垂直关系可得AB AP ⊥，由数量积可得cos 17∠⋅⋅=BP BC PBC ，在PBC 中，利用余弦定理运算求解.【小问1详解】因为四棱锥P ABCD -是正四棱锥，取正方形ABCD 的中心O ，则PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，可得PO AC ⊥，则12AO AC ==，1PO ==，所以四棱锥P ABCD -的体积2111641333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=.【小问2详解】因为AP ⊥平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以AP CD ⊥，而AB ∥CD ，所以AB AP ⊥，由222PB PA AB =+，可得5PB =，又因为17,BP AD BC AD ⋅== ，则cos 17∠=⋅⋅⋅=uur uuu rBP BC BP BC PBC ，在PBC 中，由余弦定理可得：222222cos 542177PC BP BC BP BC PBC ∠=+-⨯⨯⨯=+-⨯=，所以PC =19.电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为12、13、14，记该参加者闯三关所得总分为ξ.（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）23（2）ξ的分布列见解析，()196E ξ=【分析】（1）利用事件的独立性即可求解；（2）根据分布列的计算步骤即可求解分布列，利用数学期望的计算公式即可求解期望.【小问1详解】设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为112p =，213p =，314p =，该参加者有资格闯第三关为事件A ．则1212121211112()(1)(1)2323233P A p p p p p p =-+-+=⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，()()()12121011233P p p ξ==--=⨯=，123123113(3)(1)(1)(1)(1)488P p p p p p p ξ==--+--=+=，1231(6)(1)8P p p p ξ==-=，123123111(7)(1)(1)12248P p p p p p p ξ==-+-=+=，1231(10)24P p p p ξ===，所以ξ的分布列为ξ36710p13381818124所以ξ的数学期望()13111190367103888246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.如图1，已知抛物线τ的方程为2x y =，直线l 的方程为1y kx =+，直线l 交抛物线τ于()()1122,,A x y B x y ､两点()12,x x O <为坐标原点.（1）若0k =，求AOB 的面积的大小；（2）AOB ∠的大小是否是定值？证明你的结论；（3）如图2，过点A B ､分别作抛物线的切线AP 和BP （两切线交点为P ），,AP BP 分别与x 轴交于,M N ，求MNP △面积的最小值.【答案】（1）1（2）是定值，证明见解析（3）1【分析】（1）求得,A B 的坐标，进而求得AOB 的面积.（2）通过证明0OA OB ⋅=来得到AOB ∠的大小是定值.（3）利用导数求得切线方程，求得,,M N P 的坐标，进而求得MNP △面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.【小问1详解】当0k =时，直线l 的方程为1y =，由21x y y ⎧=⎨=⎩解得121,1,1y x x ==-=，所以AOB 的面积为12112⨯⨯=.【小问2详解】由（1）中发现AOB 为等腰直角三角形，猜测AOB 90∠= .证明：2212121212OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+ ，21y kx y x=+⎧⎨=⎩得210x kx --=，即121x x =-，240k ∆=+>，所以110OA OB ⋅=-+=，所以AOB 90∠= 为定值.【小问3详解】()()221122,,,A x x B x x ，对函数2y x =求导得到2y x '=，所以AP 方程为()21112y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-，同理BP 方程为2222y x x x =-，分别令0y =得到12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由第（2）小题，210x kx --=，得到12121x x k x x +=⎧⎨=-⎩，所以12121241444x x x x S x x --===≥，所以MNP △面积的最小值为1.【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.21.定义：设()y f x =和()y g x =均为定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x '和()g x '，若不等式()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦对任意实数x 恒成立，则称()y f x =和()y g x =为“相伴函数”.（1）给出两组函数，①()11e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()10g x =②()2e x f x =和()2g x x =，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；（2）若()()y f x y g x ==､是定义在R 上的可导函数，()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，()()()ln e 1x f x g x x -+=++，证明：()y f x =和()y g x =为“相伴函数”；（3）()()()()sin ,cos f x x g x x θθ=+=-，写出“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.【答案】（1）第（1）组是，第（2）组不是（2）证明见解析（3）()ππZ 4k k θ=+∈，证明见解析【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断.（2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立.（3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【小问1详解】第（1）组是，第（2）组不是.①()11e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()10g x =，()()11e ,0x f x g x -''=-=，()()()()2e 0x f x g x f x g x -⎡⎤⎡⎤--=-≤⎣⎦⎣⎦''，所以这两组函数是“相伴函数”.②()2e xf x =和()2g x x =，()()22e ,1x f x g x ''==，()()()()()()e e 1x xf xg x f x g x x ⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦'-'不一定为非正数，所以这两组函数不是“相伴函数”.【小问2详解】()()()()()()()ln e 1,,x f x g x x f x f x g x g x -+-=+--=-=-，所以()()()ln e 1x f x g x x -=+-()()ln e 1ln e x x x +>=，所以()()0f x g x ->()()()()()''e 1[]ln e 110e 1e 1x x x x f x g x f x g x x ⎡⎤-=-=+'-=-=-<⎣+'⎦+因此()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦成立，即()y f x =和()y g x =为“相伴函数”.【小问3详解】“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()ππZ 4k k θ=+∈充分性：已知()ππZ 4k k θ=+∈则()()πsin sin π4f x x x k θ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭，()()ππππcos cos πcos π2πsin π4424g x x x k x k k x k θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=++--=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时()()f x g x =，所以()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-=⎣⎦⎣⎦，即()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦成立，()y f x =和()y g x =为相伴函数必要性：已知()y f x =和()y g x =为相伴函数()()()()cos ,sin f x x g x x θθ'=+=--'所以()()()()sin cos cos sin 0x x x x θθθθ⎡⎤⎡⎤+--++-≤⎣⎦⎣⎦，()()()()()()()()sin cos sin cos cos cos sin sin 0x x x x x x x x θθθθθθθθ⎡⎤++----+--+-≤⎣⎦()()sin 22sin 22cos202x x x θθ+---≤，cos2sin2cos20x x θ-≤，即()cos2sin210x θ-≤，由于cos2x 取遍[]1,1-内的所有实数，因此当且仅当sin210θ-=时成立，所以()ππZ 4k k θ=+∈，所以“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()ππZ 4k k θ=+∈.【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习04 函数的性质综合应用(解析版)

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题04函数的性质综合应用一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（） A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出()f t 的定义域，进而求(21)f x -的定义域即可. 【详解】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C.2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（） A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）. （i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++，即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--，所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-，因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，所以142x x +≥-，解得1x ≥，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（）A ．()()21,0f x x x =-≥B ．()()21,1f x x x =-≥C ．()()21,0f x x x =+≥D ．()()21,1f x x x =+≥【答案】B 【分析】利用凑配法求得()f x 解析式. 【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥. 故选：B.5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（） A ．1010 B ．20212C ．1011D ．20232【答案】B 【分析】利用赋值法找出规律，从而得出正确答案. 【详解】令0a b ==，则()()()()20020,00f f f f =+=，令0,1a b ==，则()()()()()221021,121f f f f f =+=，由于()10f ≠，所以()112f =.令1a b ==，则()()()221211f f f =+=，令2,1a b ==，则()()()2133221122f f f =+=+=，令3,1a b ==，则()()()23144321222f f f =+=+=，以此类推，可得()202120212f =.故选：B.6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．21x -- B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x --=-，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，则()21x f x --=-，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x ---=-+=，故选：D.7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e-=的最大值与最小值之差为（）A ．4-B ．4eC ．44e-D ．0【答案】B 【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值. 【详解】22()1xx xx e x f x ee-==-，设2()xx g x e=，则()()1g x f x =+则()g x 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，max max ()()1g x f x =+min ()()1min g x f x =+ max min ()()0g x g x +=max min max min max min max ()()(()1)(()1)()()2()f x f x g x g x g x g x g x ∴-=---=-=即()f x 的最大值与最小值之差为max 2()g x ，当0x >时2()xxg x e =，222(1)()x x x x g x e e --'==，故2()xxg x e =的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，所以max 2()(1)g x g e==，所以()f x 的最大值与最小值之差为4e故选：B.8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-. 故选:C.9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xx a x f x x a +=++++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（） A ．5- B ．2 C ．1D ．1-【答案】C 【分析】令()()3g x f x =-，由()()0g x g x -+=，可得()g x 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】解：令()()(1ln 13x x a x g x f x x a +++=--+=，因为()()((11ln ln 011xxx x a a g x x x x x x aa g --++-++-++++=---+=，所以()g x 为奇函数，所以()()0g g ππ-+=，即()()330f f ππ--+-=，又()5f π=，所以()1f π-=，故选：C.10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <【答案】B 【分析】根据条件可得()f x 关于直线3x =对称，()f x 在[)3,+∞上单调递增，结合()54f =可判断出答案. 【详解】由()3f x +是偶函数可得()f x 关于直线3x =对称因为[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增因为()54f =，所以()()064f f =>，()()154f f ==，()()244f f =< 无法比较()3f 与0的大小故选：B.11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【分析】由奇函数的性质()00f =求解即可【详解】因为函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，定义域为R ，所以()00f =，即02021a -=+，解得1a =，经检验符合题意，故选：D.12．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C 【详解】∵()2020sin 2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤，故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C.13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---，记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a ，故选：D.14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案．【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 7【答案】C 【分析】求得()f x 是周期为4的周期函数，从而求得()2021f . 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()11(4)(2)2()1(2)()f x f x f x f x f x +=++===+，其最小正周期为4，所以()()2021450511)()1(f f f f ⨯+===--.因为31,02⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，所以()2()log 13)1(12f -=--+=⨯，所以()202112()f f =--=-. 故选：C.16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（）A ．5,82⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得320a -+-=，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数()f x 在[]3,3-上递增，再将()()0f m f m a +->等价变形为()()f m f a m >-，然后根据单调性即可解出．【详解】依题意可得320a -+-=，解得5a =，而函数f x （）在[3,0]-上单调递增，所以函数()f x 在[0,3]上单调递增，又函数()f x 连续，故函数()f x 在[]3,3-上递增，不等式()()0f m f m a +->即为()()5f m f m >-，所以333535m m m m-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，解得532m <≤．故选：B ．17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln 39b a a b>-”是“a b >”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解：由()22ln ln 2ln 33b a a a b b=->-，得()2ln 23ln 3a b a b +>+，令()ln 3x f x x =+，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2f a f b >，则2a b >．即当0a >，0b >时，2ln 392b a a a b b>-⇔>．显然，2a b a b >⇒>，但由2a b >不能得到a b >．故选：B ．18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩在R 上为减函数，所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得1132a ≤≤，所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B.19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A 【分析】分析可知函数()f x 在()2,+∞为增函数，由已知条件可得1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则()()12f x f x <，所以()f x 在()2,+∞为增函数.又因为()2f x +是偶函数，所以，()()22f x f x -+=+，即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A.20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-【答案】C 【分析】由条件可得()f x 是周期为4的周期函数，然后利用()()()()()()()()()()1232022505123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦算出答案即可.【详解】因为()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，所以()()f x f x -=-，()00f = 因为()()11f x f x -=+，所以()()()2f x f x f x -=+=-所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数因为()13f =，()()200f f ==，()()()3113f f f =-=-=-，()()400f f == 所以()()()()()()()()()()12320225051234123f f f f f f f f f f ++++=+++++=⎡⎤⎣⎦故选：C.21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A 【分析】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，然后可得函数()g x 为奇函数，函数()g x 在R 上单调递增，然后不等式()(32)4f x f x -+-<可化为()(32)g x g x -<-+，然后可解出答案. 【详解】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，可得函数()g x 为奇函数，2()62cos 0g x x x '=++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，()(32)4()2(32)2()f x f x f x f x g x -+-<⇒--<--+⇒-(32)()(32)g x g x g x <--⇒-<-+，所以321x x x -<-+⇒<．故选：A.22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为()()()12x x f x e e f x --=+=，所以函数()f x 为偶函数，()()12x xf x e e -'=-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，则()1log log 22b f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以10log 212πππ<<<<，所以b a c <<. 故选：C ．23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定【答案】B 【分析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，可得函数()f x 的周期4T =，由此即可求出结果. 【详解】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，911334211222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，得到函数是奇函数，然后结合(2)()f x f x +=-，得到函数的周期为4T =求解. 【详解】因为函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称，即()()f x f x -=-，又因为(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，所以函数的周期为4T =，又(1)4f =，所以(2020)(2021)(2022)(0)(1)(0)4f f f f f f ++=++=. 故选：D.25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（）A ．(][),15,-∞-+∞B ．[][]3,05,-+∞C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞递增，且()30f =，所以()f x 在(),0-∞递增，且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到，画出()2f x -的大致图象如下图所示，由图可知，满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选：C.26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()4【答案】C 【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项. 【详解】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，并且()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 关于1x =对称，作出f (x )的草图(如图)，由图可知3()2f <1()4f <1()4f -，故选：C.27．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（）A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，，C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()1f x ≥的解集. 【详解】()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，443,3434,232,21x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪-⎩，当43x <时，431,11x x x -≥≤⇒≤，当423x ≤≤时，55341,233x x x -≥≥⇒≤≤，当2x >时，10x ->，则21,21,3231x x x x ≥≥-≤⇒<≤-，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,33⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（）A ．3B ．-3C ．6D ．2022【答案】B 【分析】根据函数()f x 满足()()4f x f x =-+，变形得到函数()f x 是周期函数求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()4f x f x =-+，即()()4f x f x +=-，则()()()84f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，周期为8，所以()()()()202225286623f f f f =⨯+==-=-．故选：B ．29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的定义域，再求出函数2231u x x =-+在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数2()ln(231)f x x x =-+中，由22310x x -+>得12x <或1x >，则()f x 的定义域为1(,)(1,)2-∞+∞，函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增，于是得()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞. 故选：B.30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】A【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件()(4)f x f x -=-+转化为(4)()f x f x -=-，再根据函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，将1x 转换为14x -，从而14x -，2x 都在(2,)+∞的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断12()()f x f x +的值的符号．【详解】解：定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，将x 换为x -，有(4)()f x f x -=-，122x x <<，且124x x +>，2142x x ∴>->，函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，21()(4)f x f x ∴>-，(4)()f x f x -=-，11(4)()f x f x ∴-=-，即21()()f x f x >-，12()()0f x f x ∴+>，故选：B ．32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +- C ．()()1f x f x - D ．()()1f x f x + 【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为()()1f x f x -=()x R ∈，所以()1()()1f x g x f x -=+，则11()11()()()()1()11()1()f x f x f xg x g x f x f x f x -----====--+++，()g x 是奇函数，同理()()1()1f x h x f x +=-也是奇函数，1()()()()()p x f x f x f x f x =-=--，则()()()()p x f x f x p x -=--=-，是奇函数， 1()()()()()q x f x f x f x f x =+=+-，()()()()q x f x f x q x -=-+=为偶函数，故选：D ．33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2log 3B ．1C ．1-D ．0【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和(1)()f x f x -=可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．【详解】解：奇函数满足(1)()f x f x -=，()(1)(1)f x f x f x ∴=-=--，即(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，所以225111()()log ()log 102222f f ==+==．故选：D.34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（）．A ．2021B ．1C ．0D ．1-【答案】C【分析】分别令0x y ==，令12x y ==得到()()110f x f x ++-=，进而推得函数()f x 是周期函数求解．【详解】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍）令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点【答案】AC【分析】由()()2 x f f x +=-可判断A ，()()()2022450()5220f f f f =⨯+==-，可判断B ，当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，结合条件可判断C ，易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，可判断D.【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2 x f f x +=-，()()4 (2,f x f x f x ∴+=-+=）故函数的周期为4，故选项A 正确；()()()2022452(05201)f f f f =⨯+==-=-，故选项B 错误；当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，则()()()()222log 2 2log 4f x f x x x ⎡=--=---=-⎤⎦-⎣，故选项C 正确；易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，于是函数()f x 在[]0,2021内有1011个零点，故选项D 错误，故选：AC ．36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（） A ．()f x 有且仅有一个零点B ．()f x 在定义域内单调递减C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠D ．()f x 的图象关于点()1,3对称【答案】ACD【分析】将函数()f x 分离系数可得5()31f x x =+-，数形结合，逐一分析即可；【详解】解：323(1)55()3111x x f x x x x +-+===+---，作出函数()f x 图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为{}|1x x ≠，在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，图象关于()1,3对称，故B 错误，故选：ACD ．37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增【答案】ACD【分析】求出两函数的定义域，即可判断A ；命题的否定形式判断B ；函数的最值判断C ；分段函数的性质以及单调性判断D ；【详解】解：函数()f x x =定义域为R ，函数2()g x =的定义域为[)0,+∞，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A 不正确；命题“0[0x ∃∈，1]，2001x x +”的否定为“[0x ∀=，1]，21x x +<”，满足命题的否定形式，所以B 正确；函数4sin sin y x x =+(0)2x π<<，因为02x π<<，所以0sin 1x <<，可知4sin 4sin y x x =+>，所以函数没有最小值，所以C 不正确；设函数22,0,()2,0,x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩两段函数都是增函数，并且0x <时，0x →，()2f x →，0x 时，函数的最小值为1，两段函数在R 上不是单调递增，所以D 不正确；故选：ACD ．38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12- 【答案】ABC【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB 正确；根据()f x 在[]0,2上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C 正确，D 错误.【详解】对于A ，()()13f x f x +=-，()()4f x f x ∴+=，()f x ∴的最小正周期为4，A 正确；对于B ，()()13f x f x +=-，()()22f x f x ∴+=-，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，B 正确；对于C ，当02x ≤≤时，()()max 22f x f ==，()f x 图象关于2x =对称，∴当24x ≤≤时，()()max 22f x f ==；综上所述：当04x ≤≤时，()()max 22f x f ==，C 正确；对于D ，()f x 的最小正周期为4，()f x ∴在[]6,8上的最小值，即为()f x 在[]2,4上的最小值，当02x ≤≤时，()min 1124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()f x 图象关于2x =对称， ∴当24x ≤≤时，()min 711224f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在[]6,8上的最小值为14-，D 错误. 故选：ABC.39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.【答案】BC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A ：中由y ＝f (x )关于y 轴对称，得y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以结论错误；B ：因为y ＝f (x ＋2)为偶函数，所以函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以结论正确；C ：因为f (2＋x )＝f (2－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此结论正确；D ：由f (2－x )＝f (x )，得f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，因此结论错误，故选：BC.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（）A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BD【分析】由|sin |[0,1]x ∈，得到函数的值域，可判定A 错误；由函数奇偶性的定义，可判定B 正确；由函数周期的定义，可得判定C 错误；由()f x ≥，得到1|sin |2x ≥，结合三角函数的性质，可判定D 正确.【详解】由|sin |[0,1]x ∈，可得的sin [1,]x e e ∈，故A 错误；由sin()|sin |()()x x f x e e f x --===，所以()f x 是偶函数，故B 正确；由|sin()||sin ||sin |(=e )()x x x f x e e f x ππ+-+===，所以π是()f x 的周期，故C 错误；由()f x ≥，即1sin 2x e e ≥，可得1|sin |2x ≥，解得x 的取值范围是5,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故D 正确. 故选：BD. 41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】AC【分析】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，然后画出其图象可得答案. 【详解】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，其大致图象如下，结合函数图象可得AC 正确，BD 错误.故选：AC.42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-=，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质：①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=．【答案】()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 【分析】根据性质①②可知()f x 是以4为周期且图象关于2x =对称点的函数，即可求解.【详解】解：由题可知，由性质①可知函数()f x 图象关于直线2x =对称；由性质②x R ∀∈，(4)()f x f x +=，可知函数()f x 以4为周期，写出一个即可，例如：()cos 2f x x π=，故答案为：()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.【答案】12【分析】利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.【详解】由()()416f x f x +-=，令2x =，可得()28f =.因为[]22(2)(1)16f f ==，212(1)02f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥，所以()10f ≥，所以()14f =，由()()416f x f x +-=，令1x =，可得()312f =.因为()f x 是偶函数，所以()()3312f f -==.故答案为：12.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___．【答案】74【分析】由条件可得2233(log 8)(log )22f f +=，然后可算出答案. 【详解】因为()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，所以23log 222331317(log 8)(log )2224244f f +==+=+= 故答案为：74. 46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．【答案】337【分析】先判断出周期为6，再求出126a a a ++⋅⋅⋅+的值，最后求出2021S 的值【详解】因为函数()f x 满足(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，()()()()12311,22,331a f a f a f f ======-=-，()()()()()456420,511,00a f f a f f a f ==-===-=-==，()()7711a f f ===，1261210101a a a ++⋅⋅⋅+=+-+-+=，因为202163365=⨯+，所以()2021126125336336112101337S a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯++-+-=故答案为：337.47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________．【答案】12- 【分析】先根据()()11f f =-求出m 的值，再根据奇偶性的定义证明即可.【详解】解：由已知210x -≠，即0x ≠，故函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则()()11f f =- 即1112121m m -⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，解得12m =-，当12m =-时， ()()()()333331111212221211221x x x x x f x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫--=+⋅--+⋅=⋅--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3332102121x x x x x x =⋅--=--. 故12m =-时，函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数故答案为：12-. 48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.【答案】(0,2)【分析】利用导数可判断函数在(0,)+∞为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将(21)(1)f x f x -<+转化为|21||1|x x -<+，进而可求出不等式的解集【详解】定义域为R ，由题意，()2sin cos (2cos )sin f x x x x x x x x '=--=--，当0x >时，()1sin 0f x x x '≥⋅->，故()f x 在(0,)+∞为增函数.因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，故(21)(1)f x f x -<+即(|21|)(|1|)f x f x -<+，则|21||1|x x -<+，故22(21)(1)x x -<+，解得02x <<，故原不等式的解集为(0,2).故答案为：(0,2).49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+- 222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2.故答案为：2.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+，所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.。

上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编

2021-2022上海市学校——高中数学填选难题专题练习汇编一、第一部分集合1．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）设集合S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：()i {}(),T y y f x x S ==∈， ()ii 对任意1x ，2x S ∈，当12xx <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（） ①A N *=，B N =②{}{}13,8010A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 ③{}05,A x x B R =<<= ④,A N B Q == A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A2．（2022·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”．其中正确的命题有（） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①②④【答案】D3．（2021·上海交大附中高一期中）已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C4．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合10.,A n ab n n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N *，其中a 和b 是不同的数字，则A 中所有元素的和为（）. A ．44 B ．110C ．132D ．143【答案】D5．（2022·上海·高三专题练习）已知命题P ：“存在正整数N ，使得当正整数n N >时，有111112020234n+++++>成立”，命题Q ：“对任意的R λ∈，关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（） A ．P Q ∧为真命题 B ．()P Q ⌝∨为真命题 C ．()P Q ∨⌝为真命题 D ．()()P Q ⌝∨⌝为真命题【答案】D6．（2020·上海市建平中学高三期中）设定义在R 上的函数()f x 的值域为A ，若集合A 为有限集，且对任意12x x R ∈、，存在3x R ∈使得()()()123f x f x f x =，则满足条件的集合A 的个数为（） A ．3 B ．5C ．7D ．无穷个【答案】B7．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期中）若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（） A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B8．（2022·上海市控江中学高一期末）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D9．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.10．（2020·上海市行知中学高一阶段练习）设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________；【答案】1011．（2021·上海交大附中高一期中）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2±12．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是_________． 51+或3. 13．（2021·上海交大附中高二期末）对任意集合M ，定义1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++=（其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）【答案】（1）（2）（3）（4）14．（2022·上海交大附中高一期末）设函数3()22,||1x x f x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（） A ．12p p ､中仅1p 是q 的充分条件 B ．12p p ､中仅2p 是q 的充分条件 C ．12p p ､都不是q 的充分条件 D ．12p p ､都是q 的充分条件15．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知平面上两个点集(){},112,,M x y x y x y x R y R =++++->∈∈，(){},11,,N x y x a y x R y R =-+-≤∈∈，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合是___________．【答案】{}1-16．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合,,,,,S T S N T N S T ⊆⊆中，至少有两个元素，且,S T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.若S 有4个元素，则S T 有___________个元素.【答案】717．（2020·上海中学高一期中）若集合{}2(2)20,x x a x a x N -++-<∈中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦18．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集{}(,)1D P d P C =≤所表示的图形的面积为________________．【答案】5433π+-19．（2020·上海·高一专题练习）{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q +=_____．【答案】-1或520．（2021·上海·复旦附中高二期中）设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】10521．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是集合{0s t e e t s -<<，且},s t N ∈(其中e 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若2lg 10m a <，则m 的最大值为___________.二、函数22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____. 【答案】152- 23．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A24．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=.下列说法正确的是（）①函数3y x =是圆O 的一个“太极函数”； ②函数1sin 2y x π=是圆O 的一个“太极函数”；③函数()f x 的图像关于原点中心对称是()f x 为圆O 的“太极函数”的充要条件； ④圆O 的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数. A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②④【答案】A25．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设04,0b a b m <<<>，若三个数22,2a ba b ab m ab ++-m 的取值范围为（） A ．135,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．(1,3)C ．135,224⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．(3,2)【答案】C26．（2022·上海·高三专题练习）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A27．（2021·上海市向明中学高三阶段练习）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论： ①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>．其中正确的是（） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A28．（2021·上海金山·二模）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2021)f f +的最大值为（）A ．12B ．32C ．212-D ．2 【答案】D29．（2022·上海·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++存在实数0x ，且有0||3x ≥，使得0()0f x =，则224a b +的最小值是________.【答案】3243730．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）已知22,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，方程22()21|()21240f x x f x x ax +-+----=有三个实根123x x x <<，若32212()x x x x -=-，则实数=aA ．173a +=B ．173a -=C ．1a =-D ．1a =【答案】B31．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】()6,1032．（2021·上海南汇中学高三期中）对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()21f x x x =++；②()f x x =③()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C33．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数()2f x x ax b =++在[]2,2-上存在零点，且 022b a ≤-≤，则 b 的取值范围是_____.【答案】(,426-∞-34．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C35．（2022·上海静安·二模）已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若对任意1a ≤-，当1b m -<≤时，总有()()1a f b b -≥成立，则实数m 的最大值为__________. 【答案】136．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）函数f （x ）=3|x +4|﹣2|x +2|，数列a 1，a 2，…，an …，满足an +1=f （an ），n ∈N *，若要使a 1，a 2，…an ，…成等差数列．则a 1的取值范围______．【答案】{8}[2,)--+∞37．（2022·上海虹口·二模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且图像关于直线1x =对称，当[]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，对于闭区间I ，用I M 表示()y f x =在I 上的最大值.若正数k 满足[][]0,,22k k k M M =，则k 的值可以是_________.（写出一个即可）. 22+102-38．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,)32-∞ 39．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数()()2,log xa f x g x x ==，若对于()f x 图像上的任意一点P ，在()g x 的图像上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且OP OQ =，则实数=a ___________.【答案】12##0.540．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知椭圆2212x y +=，过左焦点F 任作一条斜率为k 的直线交椭圆于不同的两点M ，N ，点M '为点M 关于x 轴的对称点，若1[,1]3k ∈，则FM N '△面积的取值范围是_____．【答案】3[112 41．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知0x >，0y >，a x y =+，22b x xy y ++c m xy =若a ，b ，c 构成三角形的三边，则m 的取值范围是_______.【答案】(233，42．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a cbc ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t ++的最小值是_______.【答案】2243．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数()()10,0f x mx m n nx=+>>的定义域为()0,+∞，若1x =时，()f x 取得最小值，则22221122m n n m +++++的取值范围是___________．【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭44．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(4]7,-∞45．（2022·上海·高三专题练习）对于定义域为D 的函数f (x )，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得()()()2212122f x f x f x x ==+，则称函数f (x )具有性质M ，若函数()2log 1g x x =-，(]0,x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为__．22+246．（2022·上海·高三专题练习）设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.【答案】54π47．（2022·上海市进才中学高三期中）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________ 【答案】15548．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(x ≥0)和()1g x x =-图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为____________． 3249．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C50．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B51．（2021·上海交大附中高三期末）已知函数22()6131029f x x x x x =-+-+，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3[()]2f f x =有实数解.其中正确的判断有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B52．（2021·上海市延安中学高三期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D53．（2021·上海黄浦·一模）已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A54．（2021·上海普陀·模拟预测）已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数，若函数[]()x f x a x=-(x ≠0)有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．45(,56] B ． 4554(,,)564][3⋃C ．34(,45] D ． 3443(,,)453][2⋃【答案】B55．（2022·上海·高三阶段练习）已知定义域为[5,5]-的函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x ．若(]12,0,5,x x ∀∈当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，则满足(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（） A ．[]1,1- B ．[]1,5- C ．[]2,3- D ．[]2,1-【答案】A56．（2021·上海普陀·一模）设函数()()2,10.5log 2,1a x x a x f x x x ⎧-+<-⎪=⎨++≥-⎪⎩（0a >且1a ≠）在区间(),-∞+∞上是单调函数，若函数()()12g x f x ax =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,84⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D57．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）1a 、2a 与1b 、2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程1212x a x a x b x b -+-=-+-的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为（） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}2 D ．{}1,2【答案】B58．（2022·上海徐汇·三模）已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+，对于不相等的实数1x 、2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =； ②对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =-，下列判断正确的是（） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题【答案】D59．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，若前2022项和小于零，则122022()()()+++f a f a f a 的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负【答案】B60．（2021·上海普陀·模拟预测）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足44sin(1)250a a -+-=，88sin(1)210a a -++=，则下列结论正确的是( )A ．1111S =，48a a <B ．1122S =，48a a <C ．1122S =，48a a >D ．1111S =，48a a > 【答案】D三、三角函数61．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值为_____________．【答案】262．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π 【答案】A63．（2021·上海奉贤·一模）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C64．（2022·上海·高三开学考试）ABC 中，()sin sin sin A B A B ++的最大值为（）A 323+ B 43+C 15+ D ．32【答案】C65．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy（）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D66．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在ABC 中，若2sin A =则cos 2B C 的取值范围是（） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对【答案】B67．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ； ③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（） A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D68．（2021·上海·模拟预测）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 【答案】25π 69．（2021·上海青浦·一模）若数列：cos cos2,cos4,,cos2n αααα､､中的每一项都为负数，则实数α的所有取值组成的集合为__________.【答案】22,3k k Z πααπ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭70．（2021·上海·高三专题练习）已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a x -=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a x -=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210f x a x -=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C71．（2021·上海虹口·一模）已知函数()cos f x x =，若对任意实数1x ，2x ，方程()()()()()12f x f x f x f x m m R -+-=∈有解，方程()()()()()12f x f x f x f x n n R ---=∈也有解，则m n +的值的集合为______.【答案】{}272．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 73．（2021·上海市进才中学高三期中）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭74．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0>ω的图像在区间[]1,1-上恰有三个最低点，则ω的取值范围为________．【答案】11π13π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 75．（2021·上海奉贤·二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________. 【答案】10±，11±76．（2021·上海闵行·二模）已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x x πππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 【答案】47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭77．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭78．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．【答案】1312π 79．（2021·上海市建平中学模拟预测）设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________．【答案】(1)2n n π- 80．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]81．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>中a 、b 、c 成等比数列，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 倾斜角分别为α、β，则()()cos cos αβαβ-=+________．5282．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）设0≤α≤π，不等式8x 2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ．【答案】[0，6π]∪[56π，π] 83．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数sin 1,0()2log ,0ax x f x x x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰有9对,则实数a 的取值范围_________.【答案】2117⎝⎭， 84．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________【答案】14-##0.25-85．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________. 【答案】9π 86．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或87．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n k παϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________．【答案】1939π##1939π 88．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222x x x a b π--≥的解集为___________. 【答案】{}189．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3490．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】211⎡⎤⎣⎦，. 91．（2022·上海·高三专题练习）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________【答案】4π 92．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C93．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF →→⋅的取值范围为（）A．3⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．4323⎛⎝⎭C．43⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．8,03⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D。

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高三数学综合练习四一．选择题
1. 已知函数f(x)=a x +a -x ,且f(1)=3, 则f(0)+f(1)+f(2)的值是 ( ) A ．14 B .13 C .12 D . 11
2. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数a,b ，a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C
地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公
路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是 ( ) A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元
C ．(27+1) a 万元
D ．(23+3) a 万元
4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则x=S 2n +S 22n , y=S n (S 2n +S 3n )的大小关系是( ) A ． x ≥y B ．x=y C ．x ≤y D ．不确定二．填空题
5. 若函数y=∣log 2x ∣的定义域为[a,b]，值域为[0,2]，则区间[a,b]的长度b-a 的最小值为.
6.已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，且在[-1,3]内，关于x 的方程f(x)=kx+k+1(k ≠-1)有四个根，则k 取值范围是 .
7. 已知函数f (x )=Acos 2(ωx +ϕ)+1(A >0，ω>0)的最大值为3，f (x )的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=____________ 8．如图,在杨辉三角中,斜线l 上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n 项和为S n ,则S 19等于____________.
1
1
1l
121 1331 14641 15101051
… … … … … … …
9. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，sinB=5
4
且△ABC 的面积为
2
3
，则b= _________ . 10. 若对终边不在坐标轴上的任意角x ，不等式sinx+cosx ≤m ≤tan 2
x+cot 2
x 恒成立，则实数m 的取值范围是； 11. 对正整数n ，设抛物线y 2=2(2n+1)x ，过点P(2n,0)任作直线l 交抛物线于,n n A B 两点，则数列
{}2(1)
n n OA OB n ⋅+ 的前n 项和为_ _ 12. 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各棱长都相等，M 是BB 1的中点，则BC 1与平面AC 1M 所成角的大小是__________.
13. 设抛物线y=ax 2(a>0)与直线y=kx+b 有两个公共点，其横坐标是x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，则x 1,x 2,x 3的关系是_________.
14. 满足∣z-z 0∣+∣z+2i ∣=4的复数z 在复平面上对应的点Z 的轨迹是线段，则复数z 0在复平面上对应的点的轨迹是__________
15. 在∆ABC 中，三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在∆ABC 内部运动，若点P 满足032=++PC PB PA ，则S ∆PAC :S ∆ABC=_______
16. 近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：
①在9×9的九宫格子中,分成9个3×3的小九宫格,用1到9这9个数字填满整个格子; ②每一行与每一列都有1到9
每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少. 那么A 处应填入的数字为__________. 三．解答题 17. 已知函数f(x)=a+msin2x+ncos2x 的图象经过点A(0,1)，B(
4π,1),且当x ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,0π时，f(x)取得最大值22－1.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在向量m
，使得将f(x)的图
象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出m
最小的m ;若不存在，说明理
由.
18. 在五棱锥P-ABCDE 中，PA=AB=AE=2a ，PB=PE=22a ，BC=DE=a ，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G 为PE 的中点。

(1)求AG 与平面PDE 所成角的大小 (2)求点C 到平面PDE 的距离
19.(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若=，=，试用，表示，，并判断OQ OP +与+的关系；
(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n-1是AB 的n(n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论。

20. 设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6，a 2=b 2=4，a 3=b 3=3，且数列{a n+1-a n }(n ∈N *)是等差数列，数列{b n -2}(n ∈N *)是等比数列。

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)是否存在k ∈N *，使)2
1,0(∈-k k b a ？若存在，求出k ；若不存在，说明理由。

21. 在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，OM ON OM 5
5
2,5||=
=. 过点M 作MM 1⊥y 轴于M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，N M 11+=. 记点T 的轨迹为曲线C ，点A(5,0)、B(1,0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q （点Q 在A 与P 之间）. (1)求曲线C 的方程； (2)问是否存在直线l ，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l 方程，若不存在，说明理由
22. 已知函数f(x)=ax 2
+2bx+4c(a,b,c ∈R,a ≠0)
(1)若函数f(x)的图像与直线y x =±均无公共点，求证：4b 2
-16ac<-1 (2)若3
4,4
b c ==
时，对于给定的负数a ，有一个最大的正数M(a)，使x ∈[0,M(a)] 时，都有∣f(x)∣≤5，求a 为何值时M(a)最大？并求M(a)的最大值。

(3)若a>0,且a+b=1，又∣x ∣≤2时，恒有∣f(x)∣≤2，求f(x)的解析式；
答案及错误率一．选择题
1.C (0.03)
2.A (0.22) 3．A (0.17) 4．B (0.28)
二．填空题
5.
34 (0.03) 6.
1
0)3
（－， (0.2) 7.200 (0.31) 8. 283 (0.17)
9. 2 (0.31) 10. (0.09) 11.2n n -- (0.4) 12. 1
arcsin 4
(0.28)
13.12123()x x x x x =+ (0.2) 14. 以（0，－2）为圆心以 4 为半径的圆（0.4）
15.1：3 （0.43） 16.1 （0.46）三．解答题
17.
(1)())1
4(2)(,1)
8
f x x π
π
=+- (0.31)
18.(1)90︒
(0.06)
(2)
2
（0.11） 19.2112,,3333
OP a b OQ a b OP OQ OA OQ =+=++=+
1211()2
n n OA OA OA a b --+++=+ （0.11）
20.237181
(1),()222
n n n n n a b --+=
=+（2）不存在（0.2） 21.（1）22154
x y +=（2）不存在（0.22） 22（1）证明略（0.08）（2
）8,()a M a =-=（0.51）（3）2()2(0.75)f x x =-。