第四、五章 向量空间,特征值特征向量 M2-4,5a 答案

按相似定义知命题 (2) (3) (4) 均正确。
6、 (D)
分析：请考察下列矩阵
⎛0 0 0⎞ ⎛0 1 0⎞ ⎛0 1 0⎞
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
，
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
，
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2，可见仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。
( A2 + kA + 6E)α = (λ 2 + kλ + 6)α = 0 ，因为α ≠ 0 ，所以 λ2 + kλ + 6 = 0 。令 λ = 2 ，则
有 4 + 2k + 6 = 0 ，故 k = −5 。 3、解：由 3E + A = 0 ，知 −3E − A = 0 ，所以 λ = −3 是 A 的一个特征值，由条件，有
有相同的特征向量对于 A ∼ B 来说既不充分也不必要，所以应当选 (D) 。
9、 (A)
分析：若
A
∼
Λ
=
⎛ ⎜ ⎜
a1
%
⎞
⎟ ⎟
，则有可逆矩阵
P
使
P−1 AP
=
Λ
，或
AP
=
PΛ
，令
⎜⎝
an ⎟⎠
P = (γ1,γ 2 ,...,γ n ) ，即有
⎛ a1
⎞
A
(γ
1,
γ
2
,
...,
γ
n
)
=
(
γ
1
,
γ
2
,
...,
γ
n
)
⎜ ⎜
%
⎟ ⎟
=
(
a1γ
1
,
a2γ
2
,
...,
anγ
n
)
⎜⎝
an ⎟⎠
从而有 Aγ i = aiγ i ,i = 1, 2,..., n 。
由 P 可逆，有 γ i ≠ 0 ，且 γ1,γ 2 ,...,γ n 线性无关，按定义知 γ1,γ 2 ,...,γ n 是 A 的 n 个线性
1
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由秩
⎛ 0 −2 −3⎞
r(E
−
A)
=
r
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
−3 2
⎟ ⎟⎟⎠
=
2
知齐次方程组 (E − A)x = 0 只有 3 − 2 = 1个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角
化，所以应当选 (D) 。
5、 (A)
分析：由于矩阵 A 可逆，有 A−1( AB) A = BA ，按相似定义知 AB ∼ BA ，即命题 (1) 正确。
7、 (B)
分析：由 A ∼ B ，即存在可逆矩阵 P 使 P−1AP = B 知
| λE − B |=| λE − P−1AP |=| P−1(λE − A)P |=| P−1 || λ E − A || P |=| λ E − A |
即 A 与 B 有相同的特征值。
但当
A,
B
有相同特征值时，A
与
(B) 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以
矩阵必可以相似对角化。
(C) 是秩为 1 的矩阵，由 | λE − A |= λ3 − 4λ 2 ，知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 λ = 0 ，
由秩 r(0E − A) = r( A) = 1，知齐次方程组 (0E − A)x = 0 的基础解系有 3 −1 = 2 个线性无关 的解向量，即 λ = 0 有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。 (D) 是上三角矩阵，主对角线上的元素1,1, −1就是矩阵的特征值，对于二重特征值 λ = 1 ，
10、 (C)
分析：设 λ 是 A 的一个特征值，则 λ k 是 Ak 的特征值。因为 Ak = 0 ，所以其全部特征值应
3
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为 0，从而 λ k = 0 ，故 λ = 0 。 二、填空题
1、 答案：4。
分析：由矩阵 A 的特征多项式 λ − 2 1 −2 λ − 4 0 λ − 4
λ 从而 (kA−1 + E)2 有特征值 ( k +1)2 。
λ
评注：本题考查相关联矩阵特征值之间的关系，应当熟悉这些关系，你能用定义法推导 出这些特征值之间的联系吗？
4、答案： −1
分析：由 ( A + E )3 = 0 ⇒ A + E 3 = 0 ⇒ A + E = 0
故 (−1) ⎡⎣(−1) E − A⎤⎦ = (−1)n (−1) E − A = 0
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第四、五章 答案
一、选择题
1、 (B)
分析：若 λ = 2 为 A 的特征值，则 1 A2 的对应特征值为 4 ，所以 (1 A2 )−1 的特征值为 3 。
3
3
3
4
2、 (C)
分析： 由| A |≠ 0 知， A 是可逆矩阵，且 A−1 = 1 A* ，从而 A* =| A | A−1 。现 A 有一个特 | A|
B
不一定相似，例如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
0 0
0 0
⎞ ⎟ ⎠
,
B
=
⎛ ⎜ ⎝
0 0
1 0
⎞ ⎟ ⎠
，虽然
A,
B
有相同的特征值 λ1 = λ2 = 0 ，但由于 r( A) ≠ r(B) ， A, B 不可能相似，所以，相似的必要
条件是 A, B 有相同的特征值。
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8、 (D)
分 析 ： 方 阵 A 的 行 列 式 等 于 其 n 个 特 征 值 （ 重 根 按 重 数 计 算 的 乘 积 ）， 由 此 ，
A = 1× (−2) × 3 = −6 ；
若设 X 为 A 的对应于 λ 的特征向量，则有 AX = λ X ，从而 A−1X = 1 X ，即 A−1 的特征 λ
值为 1 ，由此， A−1 的特征值为1, − 1 , 1 ；
−1 1
1 0
0 2
⎟ ⎟⎟⎠
分析：因为 (α1 α2 α3 ) = ( β1 β2 β3 ) P ， ( y1, ) y2 , y3 T = P ( x1, x2 , x3 )T
又 y1 = x1 − x2 − x3 ， y2 = −x1 + x2 ， y3 = x1 + 2x3
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与 C 正 交 相 似 ， 即 存 在 非 奇 异 矩 阵 Q ， 使 C = Q−1BQ ， 且 Q−1 = QT 。 因 此 ，
C = Q−1(P−1AP)Q = Q P −1 −1APQ = (PQ)−1 A(PQ) 。 因 为 P 与 Q 均 为 正 交 阵 ， 所 以
(PQ)−1 = Q P −1 −1 = QT PT = (PQ)T ，即 PQ 也是正交阵，即 C = (PQ)T A(PQ) ，由此证明 A 与 C 正交相似。 2 、 解 ： 设 A 的 特 征 值 为 λ ， 对 应 的 特 征 向 量 为 α ， 则 由 Aα = λα (α ≠ 0) ， 得
因为 A ∼ B ，故存在可逆矩阵 P 使 P−1AP = B ，那么 B2 = (P−1AP)(P−1AP) = P−1A2P ，
B−1 = (P−1 AP)−1 = P−1 A−1(P−1)1 = P−1 A−1P ，
BT = (P−1AP)T = PT AT (P−1)T = [(P−1)T ]−1 AT (P−1)T
分析：由 A ∼ B ，即存在可逆矩阵 P 使 P−1AP = B 知：若 AX = λ X , X ≠ 0 ，有
B(P−1X ) = (P−1AP)(P−1X ) = P−1AX = λ(P−1X ) ，
即 X 是 A 的特征向量， P−1X 是 B 的特征向量，所以， A 与 B 的特征向量不同。 反之，若 A 与 B 有相同的特征向量，因为它们可以属于不同的特征值，即 AX = λ X , BX = μ X , λ ≠ μ ，由于 A 与 B 的特征值不同，A 和 B 不可能相似，因此 A 与 B
λ −1 −2 = λ 2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ +1) ， −4 λ − 3 λ − 2 1 = λ 2 − 4λ + 3 = (λ − 3)(λ −1) ， 1 λ−2
可见 (4) 亦与 A 相似，而 (3) 与 A 不相似。
4、 (D)
分析： ( A) 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。
无关的特征向量。
反之，若 A 有 n 个线性无关的特征向量 X1, X 2 ,..., X n 满足
AXi = λi Xi , i = 1, 2,..., n ，那么，用分块矩阵有
⎛ λ1
⎞
A
(
X
1,
X
2
,
...,
X
n
)
=
(
X1
,
X
2
,
...,
X
n
)
⎜ ⎜
%
⎟ ⎟
⎜⎝
λn ⎟⎠
由于矩阵 P = ( X1, X 2 ,..., X n ) 可逆，故 P−1AP = Λ ，即 A 与对角矩阵 Λ 相似。
征值 λ ， A* 有一个特征值为 | A | ，从而 ( A*)2 + 2E 有一个特征值为 (| A |)2 + 2 。