高中数学必修二：课时提升作业(二十八)_4.2.3

高中数学必修二：课时提升作业(二十八)_4.2.3直线与圆的方程的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.圆x2+y2-4x+2y+c=0,与直线3x-4y=0相交于A,B两点,圆心为P,若∠APB=90°,则c 的值为( )A.8B.2C.-3D.3【解析】选 C.由题意得C<5,圆心P(2,-1),r=,圆心到直线的距离d==2,由于∠APB=90°,所以r=d=2,从而=2,c=-3.【补偿训练】若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】选A.已知圆心为O(1,0),根据题意:又k AB·k OP=-1,所以k AB=1,故直线AB的方程是x-y-3=0.2.如果实数x,y满足等式(x-1)2+y2=,那么的最大值是( )A. B. C. D.【解析】选D.的几何意义是圆上的点P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大值为,所以=.3.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区域,城市B 在A 的正东40千米处,B 城市处在危险区域的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.3.6小时D.4.5小时【解析】选B.受影响的区域长度=2=20千米,故影响时间是1小时.4.点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2内,则直线x 0x+y 0y=r 2和已知圆的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选A.因为+<r 2,圆心到直线x 0x+y 0y=r 2的距离d=>r,故直线与圆相离.【延伸探究】若将本题改为“点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2外”,其余条件不变,又如何求解?【解析】选C.因为+>r 2,圆心到直线x 0x+y 0y=r 2的距离d =< r,故直线与圆相交,所以公共点的个数为两个.5.已知集合M={(x,y)|y=,y ≠0},n={(x,y)|y=x+b},若M ∩N ≠∅,则实数b 的取值范围是( )A.[-3,3] B.[-3,3]C.(-3,3]D.[-3,3)【解题指南】解得本题的关键是注意到y=,即x 2+y 2=9(y>0),图形是半圆.【解析】选C.由于M ∩N ≠∅,说明直线y=x+b 与半圆x 2+y 2=9(y>0)相交,画图探索可知-3<b ≤3.【方法技巧】数形结合在求解直线与圆交点个数中的应用直线与圆的一部分有交点时,如果采用代数法去研究,则消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题,求解过程相对复杂,而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解,先找出边界,然后结合直线或圆的变化特征求解,相对来说就简单多了. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.过点A(11,2)作圆x 2+y 2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有 条.【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2×(25-11+1)=32. 答案:32【补偿训练】过直线x+y-2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是 .【解析】设P(x,y),则由已知可得PO(O 为原点)与切线的夹角为30°,则|PO|=2,由可得答案:(,)7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为 .【解析】因为圆心到直线的距离为,从村庄外围到小路的最短距离为-2.答案:-2【补偿训练】已知实数x,y 满足2x+y+5=0,那么的最小值为 ( )A. B. C.2 D.2【解析】选 A.表示点(x,y)与原点的距离,所以其最小值为原点到2x+y+5=0的距离,故d==.8.已知x+y+1=0,那么的最小值是.【解析】表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上且=,=,AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.【解题指南】要证AP⊥CP,可转化为直线AP,CP的斜率之积等于-1即可,由此以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.【证明】以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.则A(3,3),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,).直线AD的方程为y=3(x-2).直线BE的方程为y=(x-5)+.解以上两方程联立成的方程组,得x=,y=.所以,点P的坐标是.直线PC的斜率k PC=-,因为k AP·k PC=3×=-1, 所以,AP⊥CP.10.如图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).【解析】建立如图所示直角坐标系,使圆心在y轴上,只要求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程组解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).所以y≈3.86,故支柱A2P2的高度约为3.86m.【补偿训练】设有半径为3公里的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B 向北前进,A离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇.设A,B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A,B两人在何处相遇?【解析】如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系,又设A向东走到D转向到C恰好与B相遇,设CD方程为+=1(a>3,b>3),设B的速度为v,则A的速度为3v,依题意有解得,所以B向北走3.75公里时相遇.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )A.2B.2C.4D.4【解析】选A.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=4,所以=×4×=2.S△ABC【补偿训练】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.2.如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )A.6sB.6s 或16sC.16sD.8s 或16s【解析】选B.设运动的时间为ts,则ts 后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C 与直线l :y=x-4相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6s或16s.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若点P(x,y)满足x 2+y 2=25,则x+y 的最大值是 .【解析】令x+y=z,则=5,所以z=±5,即-5≤x+y ≤5,所以x+y 的最大值是5.答案:5【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由x+y 联想直线的截距.4.若点P 在直线l 1:x+y+3=0上,过点P 的直线l 2与曲线C:(x-5)2+y 2=16相切于点M,则|PM|的最小值为 .【解析】曲线C:(x-5)2+y 2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在△MPC中,CM ⊥PM,则|PM|==,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d==4,则|PM|的最小值为=4.答案:4【补偿训练】圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+3=0的最远的距离为.【解析】圆心C(2,-3)到直线的距离d==4>2,所以直线与圆相离.过圆心C作直线x-y+3=0的垂线,垂足设为H,则圆上的点A到直线的距离最远为4+2.答案:4+2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:x+2y+2=0,直线n经过圆C外定点A(1,0).若直线n与圆C相交于P,Q两点,与l交于N点,且线段PQ的中点为M,求证:|AM|·|AN|为定值.【解析】方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=得M.所以|AM|·|AN|=·=·=6为定值.方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N,又直线CM与n垂直,由得M.所以|AM|·|AN|=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|==6,为定值.6.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.(1)求k的取值范围.(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数.【解题指南】(1)求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解.(2)利用=+找到m,n的关系.【解析】(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2), 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由=+,得=+,即=+=.由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36.由m2=及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).根据题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n==.于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).关闭Word文档返回原板块。