中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第7课时 一元二次方程及其应用同步训练
安徽地区中考数学复习第二单元方程组与不等式组第7课时一元二次方程及其应用教案
第二单元方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用教学目标【考试目标】1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程.2.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，了解一元二次方程根与系数的关系.【教学重点】1.了解一元二次方程的定义.2.学会一元二次方程的解法.3.熟悉一元二次方程根的判别式与根的关系.4.熟悉一元二次方程根与系数的关系.5.了解一元二次方程的实际应用.教学过程一、知识体系图引入，引发思考二、引入真题，深化理解【例1】（2016年山西）解方程：2(x -3)2=x 2-9.【解析】原方程可变形为2(x -3)2-(x 2-9)=0，即2(x -3)2-(x +3)(x -3)=0.提公因式可得，(x -3)[2(x -3)-(x +3)]=0,即(x -3)(x -9)=0.所以x 1=3，x 2=9.【考点】本题考查了一元二次方程的解法，主要考查了因式分解法的运用.此题的关键是发现公因式，找到公因式后，解决此题会方便很多.【例2】（2016年十堰）已知关于x 的方程(x -3)(x -2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.（2）设方程的两根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3x 1x 2，求实数p 的值.【解析】原方程写成一般式为：x 2-5x +6-p 2=0.（1）证明：∆=(-5)2-4×1×(6-p 2)=25-24+4p 2=4p 2+1.∵p 2≥0，∴∆≥1＞0.∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实根.（2）对x 12+x 22=3x 1x 2进行变形，左右两边同时加2x 1x 2得x 12+2x 1x 2+x 22=5x 1x 2，即(x 1+x 2)2=5x 1x 2.由题可知212125,6x x x x p +=⋅=-.代入得，25=30-5p 2.解得p 2=1，∴p = ±1.【考点】此题考查了根的判别式与根之间的关系，以及根与系数的关系、一元二次方程的解法.根与系数的关系、根的判别式与根之间的关系均需要把方程变为一般式.【例3】（2016年包头）一幅长20cm 、宽12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为3：2，设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩带所占面积为y cm 2.（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占的面积是图案面积的25，求横竖彩条的宽度.【解析】（1）∵横竖彩条的宽度比为3:2，∴横彩条的宽度为1.5x cm.一条竖彩条的面积为12x cm2，一条横彩条的面积为30x cm2.重合部分的面积为2x（1.5x）=3x2∴y=12x×2+30x-3x2.整理得y= -3x2+54x.（2）图案面积为20×12=240（cm2）由题意知y=96. 即-3x2+54x=96.整理得x2-18x+32=0. (x-2)(x-16)=0.∴x1=2，x2=16. 由图可知，x≤8，所以x2=16（舍去），∴x=2.∴横彩条的宽度为2cm.【考点】本题考查了一元二次方程的应用.同时还涉及了解一元二次方程的方法.三、师生互动，总结知识先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：同步导练教学反思同学们对本节的内容理解挺到位，但是碰到题目还是很容易出错，希望大家勤加练习，做到熟练.。
中考数学 第一部分 考点研究复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第7课时 一元二次方程及其应用真
江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章方程(组）与不等式（组)第7课时一元二次方程及其应用江苏近4年中考真题精选(2013～2016)命题点1 一元二次方程及其解法（2015年3次，2014年4次，2013年5次)1. (2016泰州14题3分)方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m 的值为________．2. （2015徐州20（1）题5分)解方程：x2－2x－3＝0。
3。
（2014泰州17(2）题6分)解方程:2x2－4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2016年5次，2015年7次，2014年6次，2013年3次）4。
(2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是( )A。
x2－x＋1＝0 B. x2＋x＋1＝0C. (x－1）(x＋2)＝0 D。
（x－1)2＋1＝05. （2016淮安14题3分)若关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________．6. (2016宿迁12题3分)若一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．7。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
【中考复习】中考数学复习第二单元方程(组)与不等式(组)第7课时一元二次方程及其应用教案
第二单元方程（组）与不等式（组)第7课时一元二次方程及其应用教学目标【考试目标】1。
能够根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程.2.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.3。
会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，了解一元二次方程根与系数的关系。
【教学重点】1.了解一元二次方程的定义。
2.学会一元二次方程的解法.3.熟悉一元二次方程根的判别式与根的关系.4.熟悉一元二次方程根与系数的关系.5.了解一元二次方程的实际应用。
教学过程一、知识体系图引入,引发思考二、引入真题，深化理解【例1】(2016年山西)解方程：2(x —3）2=x 2-9.【解析】原方程可变形为2(x —3）2-(x 2—9）=0，即2(x -3）2—（x +3)（x -3)=0.提公因式可得，(x —3)[2（x —3）-（x +3)]=0，即（x —3)（x -9）=0. 所以x 1=3，x 2=9.【考点】本题考查了一元二次方程的解法，主要考查了因式分解法的运用。
此题的关键是发现公因式，找到公因式后，解决此题会方便很多.【例2】（2016年十堰）已知关于x 的方程(x —3)（x —2)—p 2=0。
（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.（2）设方程的两根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3x 1x 2，求实数p 的值.【解析】原方程写成一般式为：x 2-5x +6-p 2=0。
(1）证明：∆=(—5）2-4×1×（6-p 2）=25—24+4p 2=4p 2+1.∵p 2≥0，∴∆≥1＞0.∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实根。
(2）对x 12+x 22=3x 1x 2进行变形,左右两边同时加2x 1x 2得x 12+2x 1x 2+x 22=5x 1x 2，即（x 1+x 2）2=5x 1x 2。
由题可知212125,6x x x x p +=⋅=-.代入得,25=30—5p 2.解得p 2=1，∴p = ±1.【考点】此题考查了根的判别式与根之间的关系，以及根与系数的关系、一元二次方程的解法。
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
2．已知a是方程x2－2x－3＝0的一个根，则代数式 a2－2a－1的值为_____2_____.
3．用适当的方法解下列方程： (1)(x＋2)2－9＝0; (2)x2＋5x＝0； 解：(1)移项，得(x＋2)2＝9. 由此可得x＋2＝±3， x1＝1，x2＝－5. (2)因式分解，得x(x＋5)＝0. 于是得x＝0，或x＋5＝0， x1＝0，x2＝－5.
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
五、一元二次方程的应用
步相骤同：，列即一审元、二设次、方列程、解解应、用验题以的及步答骤和列一次方程组解应用题的步骤
应 用
常见类型增利长润率问问题题：总12b利..为增设润增长a为＝长率基单后＝础件的基量增利量础，量润，量m×则×为销a1平01售0＋均%量m增n长＝率b ，n为增长次数，
所有一元 二次方程
＋c＝ 0(a≠0，
b2－
4ac≥0)
方程的解
x＝± ka－h
－b± b2－4ac x＝③_____2_a____
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
方法
因式分 解法
方程的形
适用的方程
方程的解
式
容易变形为
(x－a)(x－b) (x－a)(x－
＝0形式的 b)＝0
x1＝a，x2＝b
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(3)2x2－4x－1＝0; (4)2x2－3x＝3.
中考数学 第二单元 方程(组)与不等式(组)第07课时 一元二次方程课件
2021/12/9
第十九页，共三十五页。
高频考向探究
探究(tànjiū)二 一元二次方程根的判别式的应用
例2 关于x的方程mx2+x-m+1=0有以下三个结论:①当m=0时,方程只有一个实数解;②当m≠0时,方程有两个不等的实数解;③
无论m取何值,方程都至少有一个负数(fùshù)解.其中正确的结论是
系:x1+x2=
2021/12/9
-
,x1·x2=
.
第十一页，共三十五页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)四
一元二次方程的应用
1.[2017·杭州] 某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014 年为
10.8 万人次,2016 年为 16.8 万人次,设参观人次的平均年增长率
为 x,则
(
∴(x1+x2)2-2x1x2=10.
∴(2m-2)2-2(m2-2m)=10.
化简,得m2-2m-3=0,
解得:m1=3,m2=-1.
∴m的值为3或-1.
2021/12/9
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高频考向探究
探究(tànjiū)三 一元二次方程的应用
例3 小丽为校合唱队购买某种服装时,商店(shāngdiàn)经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为
[解析] 长方体底面长为(80-2x)cm,宽
掉一个边长为 x cm 的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面
为(70-2x)cm,由题意可得方程(80-
积为 3000 cm2 的无盖长方体工具箱,根据题意可列方程为
2x)(70-2x)=3000.
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第二章 方程(组)与不等式(组)一元一次不等式(组)及其应用
(2)不等式②的解集为________;
(3)把不等式组的解集在如图的数轴上表示出来;
解:在数轴上表示不等式组的解集如解图.
1≤x＜3
(4)不等式组的解集为____________;
1,2
(5)不等式组的整数解为________.
解图
解
答
变式2－1
是(
C
－＋3＜5,
(2023·娄底)不等式组ቊ
的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多
可购买这种型号的水基灭火器多少个?
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型
号的干粉灭火器(50－x)个.
根据题意,得540x＋380(50－x)≤21 000,解得x≤12.5.
∵x为整数,∴x的最大值为12.
∴最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
解
1.若a>b,则下列四个选项一定成立的是( A )
A.a＋2>b＋2
B.－3a>－3b
C. ＜
4
4
D.a－1＜b－1
2.(2022·益阳)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,则这个不
等式组是( D )
＜1,
A.ቊ
＜－1
＜1,
B.ቊ
> －1
> 1,
C.ቊ
＜－1
> 1,
不等式的解集 不等式的解的全体称为不等式的解集
2.不等式的性质
性质
性质1
内容
应用
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号
b±c
的方向不变,即如果a>b,那么a±c>_______
中考数学总复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第07课时 一元二次方程及其应用课件
[答案] A
是 (
[解析] ∵2- 3是方程 x2-4x+c=0 的
A.1
)
B.3- 3
C.1+ 3
D.2+ 3
一个根,
∴(2- 3)2-4(2- 3)+c=0,∴c=1,故
选 A.
第十五页，共三十一页。
课堂考点探究
探究(tànjiū)二
一元二次方程的解法
解:解法一:移项,得 3x2-2x=2,配方得
A.55(1+x)2=35
B.35(1+x)2=55
C.55(1-x)2=35
D.35(1-x)2=55
4.[九上 P31 练习第 1(3)题改编] 方程(x+3)2-36=0 的解为 x1=3,x2=-9
5.[九上 P48 习题 2.4A 组第 1 题]
-1
(1)设方程 x2-4x-1=0 的两个根为 x1 与 x2,则 x1x2=
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
所以 x-4=0 或 x+1=0,即 x=4 或 x=-1.
实例分解因式:
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试分解因式:x2+6x+8=(x+
)(x+
);
(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.
第十八页，共三十一页。
UNIT TWO
第二(dì èr)单元 方程(组)与不等式(组)
第 7 课时(kèshí) 一元二次方程及其应用
第一页，共三十一页。
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第7课时 一元二次方程及其应用
基础导练
一、选择题
1．（2015年重庆）一元二次方程x 2－2x ＝0的根是 ( )
A ．x 1＝0，x 2＝－2
B ．x 1＝1，x 2＝2
C ．x 1＝1，x 2＝－2
D ．x 1＝0，x 2＝2
2.（2015年兰州）一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为 ( )
A ．(x ＋4)2＝17
B ．(x ＋4)2＝15
C ．(x －4)2＝17
D ．(x －4)2＝15
3.（2015·铜仁）已知关于x 的一元二次方程3x 2＋4x －5＝0，下列说法正确的是
( )
A ．方程有两个相等的实数根
B ．方程有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
二、填空题
1.（2014年眉山）若关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋k ＝0的两个根分别是x 1，x 2，且
则k 的值为________．
2.（2015年丽水）解一元二次方程x 2
＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：__________．
3.（2014年随州）某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．
三、解答题
1.解方程：x 2－3x ＋2＝0；
12
113x x +=
2.（2014·株洲）已知关于x的一元二次方程 (a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c 分别为△ABC的三边长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案.
一、选择题
1.D
2.C
3.B
二、填空题
1. -2
2.(x+3=0)（或x-1=0）
3. 20%
三、解答题
1.解：原方程可变形为(x-2)(x-1)=0.
所以解得x1=1，x2=2.
2.解：（1）当x=-1时，代入方程得a+c-2b+a-c=0.整理得2a-2b=0.∴△ABC为等腰三角形.
（2）如果方程有两个相等的实数根，则∆=(2b)2-4(a+c)(a-c)=4b2-4a2+4c2=0
即c2-b2-a2=0.∴△ABC为直角三角形.
（3）如果三角形为等边三角形，则a=b=c.原方程可写成2ax2+2ax=0.
即x(x+1)=0，∴x1=0，x2=-1.。