广东省中山一中、仲元中学等七校2019届高三第二次联考(11月)数学(理)试题+Word版含答案

七校联合体2019届高三第二次联考试卷(11月)理科数学命题学校:佛山市南海区南海中学 命题人: 审题人: 考试时间:2018年11月23日(星期五)下午15:00～17:00本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}0,1,2,3,4,5U =,{}1,2,3A =,{}2540B x x x =∈-+≥Z ,则()UAB =ð( )A . {}1,2,3B . {}1,2C . {}2,3D .{}22. 设a ∈R ,复数i3ia z -=+(i 是虚数单位)的实部为2,则复数z 的虚部为( ) A ．7- B ．7 C . 1- D ．13. 已知sin 2cos 0αα+=,则tan 2α=( )A ．34B ．43 C ．43-D ．34-4. 已知命题p :x ∃∈R ,1lg x x -≥,命题q :()0,x π∀∈,1sin 2sin x x+>,则下列判断正确的是( )A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题 5．已知抛物线224y ax =(0a >)上的点()03,M y 到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A . 28y x =B ．212y x =C . 216y x =D ．220y x =6. 若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,则2z x y =+的最小值为( )A . 4-B . 2C .83D . 47. 若双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的中心为O ,过C 的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线,交C 的渐近线于A ,B 和M ,N ,若OAB ∆与OMN ∆的面积比为1:4,则C 的渐近线方程为( )A ．y x =± B．y = C . 2y x =± D ．3y x =±8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一 种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1所示(单位:寸),若π 取3,其体积为13.5(立方寸),则图中的x 为( )A . 2.4B . 1.8C . 1.6D . 1.29. 如图2所示的程序框图,若输入110011a =,则输出结果是( )A ．45B ．47C ．51D ．53 10.已知ln x π=,5log 2y =,12e z -=,则( )A ．x y z << B ．y z x << C ．z x y << D ．z y x << 11.已知函数()21cos sin 222xf x x ωω=+-(0,x ω>∈R ).若函数()f x在区间俯视图侧视图正视图图1(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围是( )A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C . 50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎦12.如图3所示,在平面直角坐标系xOy 中,点B ,C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上点A 在第一象限,且90BAC ∠=︒,4AB AC ==,那么O ,A 两点间距离的 ( )A . 最大值是最小值是4 B . 最大值是8,最小值是4 C . 最大值是,最小值是2 D . 最大值是8,最小值是2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.已知向量()1,m =-a ,()0,1=b ,若向量a 与b 的夹角为3π,则实数m 的值为 . 14.()723x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是 (用数字作答). 15.已知()()3ee 6xx f x x-=++,()10f a =,则()f a -=_________.16.ABC ∆中,AB AC =,D 为AC 边上的点,且4AC CD =,2BD =,则ABC ∆的面积最大值为 ．三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；/cmDCEAB图4(Ⅱ) 若数列{}n b 满足1n n n b b a +-=(n *∈N ),且13b =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)如图4,在四棱锥E ABCD-中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,2CD AB ==24CE =,120BCE ∠=︒,DE =(Ⅰ) 证明:平面BCE ⊥平面CDE ；(Ⅱ) 若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值.19.(本小题满分12分)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了80个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在[)63.0,64.5内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取4件,合格品的个数为ξ,求ξ的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取n 件,全是合格品的概率不小于30%,求n 的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出,A B 两种不同的改进方案进行试验.若按A 方案进行试验后,随机抽取15件产品,不合格个数的期望是2；若按B 方案试验后,抽取25件产品,不合格个数的期望是4,你会选择哪个改进方案? 20.(本小题满分12分)椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为12,其左焦点到点()2,1P 不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,且线段AB 被直线OP 平分. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP ∆的面积取最大时直线l 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数()3213f x x x bx =++,()e 1x g x =+,其中e 2.718=.(Ⅰ) 判断函数()f x 在[)2,-+∞上的单调性； (Ⅱ) 设函数()()()g x F x f x ='的定义域为R ,且有极值点. (ⅰ) 试判断当2b =时,()F x 是否满足题目的条件,并说明理由；(ⅱ) 设函数()F x 的极小值点为0x ,求证:()0F x <请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,实数0a >),曲线2C ：cos sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数,实数0b >).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θα=(0ρ≥,0α≤2π≤)与1C 交于O A 、两点,与2C 交于O B 、两点.当0α=时,1OA =；当2πα=时,2OB =.(Ⅰ) 求a ,b 的值；(Ⅱ) 求22OA OA OB +⋅的最大值.23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲设函数()12f x x a x a=++-(x ∈R ,实数0a <). (Ⅰ) 若()502f >,求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 求证:()f x ≥七校联合体2019届高三第二次联考试卷(11月)理科数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.314. 84 15. 2 16. 327三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17.【解析】(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠),依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+…2分 又15a =,解得2d =,所以23n a n =+. ………………………………………………………………4分(Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+(2n ≥且n *∈N ) 所以()()()11n n b b --=-…………………………………………………6分()()()2132121532n n n n ++=++-+++=22n n =+.…………………………………8分 对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, ……………………10分 所以11123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.…………12分18.【解析】(Ⅰ)证明：因为//AB CD ,90ABC ∠=︒，所以CD BC ⊥.……1分因为42,CD CE DE ===,所以222C D CE DE +=,所以CD CE ⊥, ……………………………………………………………2因为BCCE C =,所以CD ⊥平面BCE . ……………………………3又CD ⊂平面CDE ,所以平面BCE ⊥平面CDE . ……………………4(Ⅱ)以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -如图所示,则 …………5分()()()()4,0,2,400,,0,0,4A B E D -，，,………………………6分所以()()4,0,2,2AD AE =-=--,……………………………7分设平面ADE 的法向量为()1,,x y z =n ,则1100AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即420520x z x z -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩,解得2y z x⎧=⎪⎨=⎪⎩,令1x =,则()1=n ,…………………………………………………………9分显然平面ABD的一个法向量为()20,1,0=n ,…………………………………………………………10分所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n ,所以二面角E AD B --的余弦值为.………12分 19.【解析】(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为()0.750.650.20.50.8++⨯=, 即抽出产品为合格品的概率为45,………………………………………………………………………1分 从产品中随机抽取4件,合格品的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且()41105625P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭,()3144116155625P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭,()22244196255625P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()33441256355625P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()4425645625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,……………………………………………3分所以ξ的分布列为ξ的数学期望416455E ξ=⨯=.…………………………………………………………………………5分(Ⅱ) 随机抽取n 件,全是合格品的概率为45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,依题意40.35n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,故n 的最大值为5.…………8分(Ⅲ) 按A 方案随机抽取产品不合格的概率是a ,随机抽取15件产品,不合格个数()15,XB a ；按B 方案随机抽取产品不合格的概率是b ,随机抽取25件产品,不合格个数()25,YB b ,依题意15E X a ==,254EY b ==,解得215a =,425b =,………………………………………11分 因为241525<,所以应选择A .……………………………………………………………………12分20.【解析】(Ⅰ)依题意12c e a ==,……………1分 左焦点(),0c -到点()2,1P 的距离d ==………2分解得24a =,21c =,故23b =,故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. ……4分(Ⅱ)易得直线OP 的方程12y x =,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 中点()00,R x y ,其中0012y x =,因为,A B 在椭圆上,所以2211143x y +=,2222143x y +=,相减得2222212104433x x y y -+-=,即()()21021022043x x x y y y -⋅-⋅+=,故0212103342AB x y y k x x y -==-⋅=--,…………………………6分设直线AB 的方程为l :32y x m =-+(0m ≠),代入22143x y +=中,消去y整理得223330x mx m -+-=,…………………………………………………………………7分由()()()22234333120m m m∆=-⨯-=->,得m -<<且0m ≠.由韦达定理得12x x m +=,21233m x x -=,………………………………………………………………8分所以1212A B =+……………………………9分 又点()2,1P 到直线l的距离d ==,…………………………………………………10分所以ABP ∆的面积12ABP S AB d ∆==,其中m -<<且0m ≠. 令()()()22412f m m m =--,则()()()()(244264411f m m m m m m m '=----=----,令()0fm '=得1m =,(因4和1m -<<且0m≠,舍去)当(m ∈--时,()0f m'>,当(1m ∈-时,()0f m '<,所以,当1m =-时,ABP S ∆取得最大值,此时直线l的方程为3220x y ++=. …………12分21.【解析】(Ⅰ)()()22211f x x x b x b '=++=++-, …………………………………………………1分若1b ≥,则()f x '0≥,故()f x 在[)2,-+∞上递增；…………………………………………………2分若1b <,由()0f x '=解得11x =-21x =-,当0b ≤时,12x ≤-,此时()22,x x ∈-时,()0f x '<,()2,x x ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在()22,x -上递减,在()2,x +∞上递增. ……………………………………………………3分当01b <<时,12x >-,由()0f x '<得12x x x <<,由()0f x '>得1x x <或2x x >, 所以()f x 在()12,x -上递增,在()12,x x 递减,在()2,x +∞上递增. …………………………………4分(Ⅱ)()2e 12x F x x x b+=++.(ⅰ)当2b =时,()()22e 1e 12211x x F x x x x ++==++++,此时()F x 的定义域为R ,…………………5分()()222e 2222x x x F x xx --'=++,又()1002F '=-<,()24e 62010F -'=>,所以()F x '在()0,2上有变号零点,所以()F x 有极值,即2b =时,()F x 满足题目的条件. ………………………………………………7分(ⅱ) ()2e 12x F x x x b+=++,因为()F x 的定义域为R ,故440b -<,即1b >.………………………8分()()()()222e 2222x x b x F x xx b +--+'=++,令()0F x '=,得2b -=222exx x +-,设()222exx k x x +=-, 则()121e x k x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭,当0x <时,()0k x '>,()k x 递增,当0x >时,()0k x '<,()k x 递减,所以()()max 02k x k ==,所以22b -<,即14b <<满足题意.此时()F x '有且只有两个变号零点,一个为()F x 的极大值点,一个为极小值点,且极小值点大于0,故0x 0>且唯一,又()0000200000e 1e 1e 2222222e x x x x F x x x x b x x ++===++++++, 设()e 22xm x x =+(0x >),则()()22e 022x x m x x '=>+,所以()m x 在()0,+∞上递增, ……………11分又1b >,所以02200323222232121e 2ex x x ⨯++⎛⎫->-=->- ⎪⎝⎭,所以032x <, 所以()03200e 3e22255x F x m x ⎛⎫=<==⎪+⎝⎭.…………………………………………………………12分22.【解析】(Ⅰ)将1C 化为普通方程为()222x a y a -+=,其极坐标方程为2cos a ρθ=, 由题可得当θ= 时,1OA ρ==,所以12a =.………………………………………………………2分 将2C 化为普通方程为()222x y b b +-=,其极坐标方程为2sin b ρθ=, 由题可得当2πθ=时,OB =2ρ=,所以1b =.………………………………………………………4分(Ⅱ)由,a b 的值可得1C ,2C 的方程分别为cos ρθ=,2sin ρθ=, 所以2222O A θ+⋅4πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭,…6分 因为02πθ≤≤,所以52,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以当242ππθ+=即8πθ=时,214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭取得最大值为1+.………………………10分23.【解析】(Ⅰ)因为0<a ,所以()11502f a a a a =+-=-->,即25102a a ++>, 解得2a <-或102a -<<.………………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)()13,21112,2113,a x a x a af x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩,…………………………………………6分所以()f x 在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减,在1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减,在,2a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增,…………………………8分 所以()m i n 122a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭,当且仅当12a a -=-即a =,所以()f x ≥.…………………………………………………………………………………………10分。