电路第七章 正弦稳态分析3

2
)
是频率为2的正弦量，在一段时间内 p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量 ；另外一段时间内p(t)<0，电感或电容 发出功率释放出它所获得的全部能量。
显然，平均功率为
P0
可见，电感和电容不消耗能量，它们是 无源元件。但要注意，它们的瞬时功率 并不为零。或者说，电感和电容需要电 源(外电路)供给一定的瞬时功率以满足 能量不断的往返交换。
i (t ) I m cos( t i ) 2 I cos( t i )
瞬时功率为
p(t ) u(t )i (t ) U m cos( t u ) I m cos( t i ) 1 U m I m [cos( u i ) cos( 2 t u i )] 2 UI cos Z UI cos( 2 t 2 u Z )
Q发出 Q吸收
由此可得网络吸收的有功功率等于该网 络内每个电阻吸收的平均功率总和。注 意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
8、功率三角形 S Q
Z
P
阻抗三角形，导纳三角形，电压三角 形，电流三角形和功率三角形都是相 似三角形。
例17 电路相量模型如图，端口电压的 ~ 有效值U=100V.试求该网络的P 、 S 、 Q -j14 、S、pf。 + 解:设端口电压相 j16 U 16 量为： 1000 V U 网络的等效阻抗：
pL (t ) UI cos( 2 t 2 u 90 ) pC (t ) UI cos( 2 t 2 u 90 )
若假设电压初相为零，得
pC ( t ) U m cos t I m cos( t U m cos t ( I m sin t )
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘 积VI，还与阻抗角Z=u-I有关。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几种特殊情况。 1、网络等效阻抗为一个电阻。 此时网络电压与电流相位相同，即 Z=u-i=0, cosZ=1，
p(t ) UI UI cos( 2t 2 u )
波 形 如 图 。 p(t) 在 任何时刻均大于或 等于零，电阻始终 吸收功率和消耗能 量。

2
)
1 U m I m sin 2 t UI sin 2 t 2 p L ( t ) U m cos t I m cos( t U m cos t ( I m sin t ) 1 U m I m sin 2 t UI sin 2 t 2
2 2 oc
当XL=-Xo时，分母最小，此时
2 U oc RL P 2 ( R0 RL )
求导数，并令其等于零。
( R0 RL ) 2( R0 RL ) RL 2 dP U oc 0 4 dRL ( R0 RL )
负载电流：
U oc U oc I Z 0 Z L R0 jX 0 RL jX L
I U oc ( R0 RL ) ( X 0 X L )
2 2
负载吸收的平均功率：
U RL P I RL ( R0 RL ) 2 ( X 0 X L ) 2
2 1 2 2
4 P发出 I Re( Z ) I Re(1 j1) 2 1 2 W
2 1 2 1
7-6-2 最大功率传输
图(a)所示含独立电源网络用戴维南等效 U 电路代替，得到图(b)。其中， oc是含源 网络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源网络 的输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。
Z ' arccos 0.8 36.9
I ' 6.25 36.9 A

I'
IC
U
I
I C I ' I 6.25 36.9 10 60 5 j3.75 - (5 - j8.66) 4.9190 A
U S 20 I1 2 45 A Z 1 j1
2 45 j1 1 90 A
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
1 P发出 U S I1 cos Z 2 2 cos45 2 W ~ * ~ 2 S U S I 1 2 245 2 j2 P Re( S ) 2W 3 P发出 I R1 I R2 2 0.5 11 2 W

例18 感性负载接在U=220V,f=50Hz的 交流电源上,其平均功率P=1.1KW,功 率因数pf=0.5，欲并联电容使负载的功 率因数提高到0.8(滞后),求电容。
解：负载电流有效值:
P 1.110 I 10A U pf 220 0.5
3
U
I'
C
I I C 感性
~ ~ S发出 S吸收
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功 功率和无功功率也是守恒的结论。
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出 的有功功率的总和等于电路中其它元件 所吸收的有功功率的总和；由每个独立 电源发出的无功功率的总和等于电路中 其它元件所吸收的无功功率的总和：
P发出 P吸收
2 2
I U Q Q B X
2
2
6、复 功 率
为了便于用相量来计算平均功率，引 入复功率。工作于正弦稳态的网络，其 电压电流采用关联的参考方向，设
U U u I I
U
I
~ * S U I UI u i UI Z UI cos Z jUIsin Z P jQ

由于:
得:
I C CU IC 4.91 C 71μF U 314 220
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均 功率。但电容电流抵消了部分感性负载 的电流，功率因数变大，电源电流的有 效值由原来的10A减小到6.25A，提高 了电源效率。
例19 电路工作于正弦稳态，已知电压
源电压为 uS (t ) 2 2 cos t V .试求该电压
上式第二项的最大值为二端网络的无功 功率 Q 。即
Q UI sin Z
可验证L和C时的特殊情况。
无功功率反映电源(或外电路)和单 口网络内储能元件之间的能量交换 情况，单位为乏(var)(无功伏安： volt amper reactive) 与功率计算类似:
Q UI sin Z I X U B
pf cos Z
Z=u-i为功率因数角。当二端网络
为无源元件R、L、C组成时：
S
|Z|<90 ,0< pf <1。 Z<0 ,电路呈容性，电流导前电压； Z>0 ,电路感呈性，电流滞后电压。
为了提高电能的利用效率，电力部门 采用各种措施力求提高功率因数。例 如使用镇流器的日光灯电路，它等效 于一个电阻和电感的串联，其功率因 数小于1，它要求线路提供更大的电流。 为了提高日光灯电路的功率因数，一 个常用的办法是在它的输入端并联一 个适当数值的电容来抵销电感分量， 使其端口特性接近一个纯电阻以便使 功率因数接近于1。
此时平均功率：
U P UI I R R
2 2
用电压、电流有效值后，计算电阻消耗 的平均功率公式，与直流电路中相同。 若用电流、电压的振幅值，上述公式为
1 1 2 1 Um P Um Im Im R 2 2 2 R
2
2、网络等效阻抗为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关 系，即Z=u-i =90, (+电感－电容)
2 2
I U P P G R
2
2
电阻分量消耗的平均功率，就是单口 网络吸收的平均功率。
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数 网络吸收的平均功率P与cosZ的大小密 切相关，cosZ表示功率的利用程度， 称为功率因数 P
定义：无功功率
把瞬时功率的振幅(最大值)定义为 电感和电容的无功功率，以表明电感和 电容与外电路电流和电压不断往返的程 度。即
Q L UI QC UI
3、任意二端网络的情况
P U I cos Z
设二端网络
Z R j XY G j B P UI cos Z I R U G
源发出的平均功率。
( j1)(j1 1 j1) Z 0.5 j1.5 0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1 1 j1
解：电路的相量模型如图(b)所示。先 求出连接电压源单口网络的等效阻抗
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
j1 I I2 1 1 j1 j1 2 45
5、无功功率 p(t ) U I cos Z U I cos(2 t Z )
U I cos Z U I cos Z cos 2 t U I sin Z sin 2 t U I cos Z (1 cos 2 t ) U I sin Z sin 2 t
故：
1000 36.9 800 j 600 VA ~ S S 1000 VA ~ P Re[ S ] 800 W ~ Q Im[ S ] 600 Var 由于 Z 36.9
所以 pf cos Z cos(36.9 ) 0.8（导前）
7-6 正弦稳态电路的功率
本节讨论正弦稳态单口网络的瞬时
功率、平均功率(有功功率)、无功功 率、视在功率、复功率和功率因数。
正弦稳态单口网络向可变负载传输最
大功率的问题。
7-6-1 二端网络的功率