2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章 第13讲 指数函数与对数函数

时，函数值减小．于是当x>0时，由ax<bx<cx， 得a<b<c；当x<0时，由ax<bx<cx，得c<b<a.
对数式的大小比较
【例2】
(1)已知loga5>logb5，比较a、b的大小； (2)设f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(1＋x)(其
中a>1)，在公共定义域下，比较f(x)与g(x)
【变式练习3】
已知函数y＝1＋2x ＋a·4x ，当x≤1时，
恒有y>0，求实数a的取值范围．
【解析】由1＋2 x＋a ( x 1)恒成立．
x
1 2x ，得a － x 4
1 2x 1 2x 1 x 1 x 1 2 1 令f x ＝－ x ＝－( ) －( ) [( ) ] . 4 2 2 2 2 4 1 设t＝( ) x， 2 1 2 1 1 则函数转化为f t ＝－(t＋ ) ＋ ，t [ ，＋)． 2 4 2 1 3 所以 f t max ＝f ( )＝－ . 2 4 3 3 所以a － ，即实数a的取值范围是(－ ，＋)． 4 4
【解析】设t＝a ，则函数化为关于t的函数
x
f t ＝t 2＋2t－1＝(t＋1) 2－2 t 0 ． 当a 1时，a－1 t a，ymax＝a 2＋2a－1＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0 a 1时，a t a－1，ymax＝(a－1 ) 2＋2a－1 1 1 －1＝14，解得a＝ 或a＝－ (舍去)． 3 5 1 故所求a的值为3或 . 3
的大小关系．
1 1 【解析】1 当a 1，b 1时， ， log 5 a log 5 b 即 log 5 b log 5 a，所以b a 1； 1 1 当0 a 1, 0 b 1时， ， log 5 a log 5 b 即 log 5 b log 5 a，所以0 a b 1； 当a 1, 0 b 1时符合题意．
1.函数y=ax-3+2(a>0，且a¹ 1)的图象过定点，
(3,3) 这个定点的坐标是________.
1 1 2.若函数y log ( x ) b的图象不经过 2 2 第一象限，则b的取值范围是 (-∞，-1] .
3.已知函数f(x)=ax+b(a>0)的图象经过点(2,3)
等通过化简后可转化为y＝a x的形式的，是指
(2)讨论指数函数问题时，由于a>1与
0<a<1影响了函数的性质，因此在底数不确
定时，应当对底数作分类讨论． (3)指数函数图象的特点，首先它是R 上的单调函数，当底数a>1时，是R上的增 函数；当0<a<1时，是R上的减函数，值域
对数函数的应用
【例4】 x 已知函数f ( x－3)＝log a (a 0，且a 1)． 6 x 1 判断f x 的奇偶性，写出推理过程；
2 当0 a 1时，求函数f x 的单调区间．
【解析】令u＝x－3，得x＝u＋3， u 3 于是f u ＝log a (－3 u 3)， 3u 3 x 所以f x ＝log a (－3 x 3)． 3 x 3 x 3 x －1 ＝log a ( ) ＝－f x ， 1因为f (－x)＝log a 3 x 3 x 3 x 6 ＝－1－ ，它在(－3,3)上是增函数． 2 令t＝ 3 x 3 x 当0 a 1时，函数y＝log a t是减函数， 3 x 所以函数f x ＝log a (－3 x 3)是减函数， 3 x 故其单调递减区间是(－3,3)．
1.要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二 t≤-3 象限，则t的取值范围为 _______． 【解析】要使g(x)=3x+1+t的图象不经过 第二象限，只要g(0)=31+t≤0，即t≤-3.
2.若函数y＝(log 1 a) x是减函数，则a的
1 ( ， 1). 取值范围是 ________________ 2
2
【解析】由0 log 1 a 1，得0 －log 2 a 1，
2
1 解得 a 1. 2
2 3.已知函数f x ＝lg( a)是奇函数， 1 x (－1,0) 则f x 0的解集为 ____________
【解析】由函数f x 在x＝0处有意义， 知f 0 ＝0，得a＝－1. 2 1 x 则f x ＝lg( 1)＝lg (－1 x 1)． 1 x 1 x 1 x 1 x 由lg 0，得0 1， 1 x 1 x 解得－1 x 0.
xa 4.函数y＝ 0 a 1的值域是 | x| (－∞，－1)∪(0,1) _____________________
【解析】当x<0时，y＝－ax<－a0 ＝ －1；当x>0时，y＝ax∈(0,1)， 所 以 所 求 函 数 的 值 域 为 ( － ∞ ，－ 1)∪(0,1)．
x
2 函数f x 与g x 的公共定义域是(－1,1)．
1 x 因为f x －g x ＝log a a 1， 1 x 1 x 所以，当－1 x 0时， 1； 1 x 1 x 1 x 当x＝0时， ＝1；当0 x 1时， 0 1. 1 x 1 x 于是，当x (－1, 0)时，f x g x ； 当x＝0时，f x ＝g x ； 当x 0,1 时，f x g x ．
c=log20.8<0，所以c<b<a.
指数式的大小比较
【例1】 比较下列各组实数的大小． 0.9 1 0.8 ， ； 0.3 3.1 0.9 2 1.7 ， ； 1 －1.5 8 ( 3 4 ， ， ) . 2
0.9 0.48 1 2 1 3
【解析】1由函数y＝x 的单调性得0.8 0.9 ； 由指数函数的单调性得0.9 0.9 ， 所以0.8 0.9 . 2 因为1.7 0.3 1, 0.93.1 1，所以1.7 0.3 0.93.1. 1 -1.5 1.5 8 ( 3因为4 ＝2 ， ＝2 ， ) ＝2 ， 2 1 -1.5 0.9 所以由指数函数的单调性得4 ( ) 80.48 . 2
0.9 1.8 0.48 1.44 1 2 1 3 1 2 1 3
1 2
1 2
1 2
(1)(2)两组数据的底数不同，指
数也不同，常见方法是寻找中间 量．(1)题，由数的特点，知0.91/2 是 合适的中间量；(2)题，根据指数函数 的性质，1是最合适的中间量；(3)题，
可转化为同底的指数幂的大小比较，
只需应用指数函数的单调性．
【变式练习1】 (ห้องสมุดไป่ตู้)比较60.7与0.76的大小； (2)若a、b、c都是大于1的正数，且ax<bx<cx ， 比较a、b、c的大小． 【解析】(1)因为60.7>1,0.76<1，所以60.7>0.76. (2)设d>1，则y＝dx是增函数，对于x>0，当d
增大时，函数值也增大．对于x<0，当d增大
解析： 因为f(2)<f(3)，所以f(x)=logax单调递增，
则a∈(1，+∞)． 5.若a=log0.40.3，b=log54，c=log20.8，用“<”将a， c<b<a b，c连接起来__________. 解析：
a=log0.40.3>log0.40.4=1,0<b=log54<log55=1，
1．指数函数的概念、图象和性质
1 指数函数y＝a x是说明性定义，注意两点：
一是底数范围的规定“ a 0且a 1 ， 二是式子a x没有被其他元素复合，如y＝2a x， y＝a x－1，y＝a ，y＝a x＋1等都不是指数函数． 但要注意：对某些关系式，如y＝22x，y＝3 数函数．
x 2 1 x
比较对数的大小，有三种具体情况：
①同底数，不同真数，利用对数函数的单调性
进行判断； ②同真数，不同底数，利用对数换底公式转化 为同底的对数； ③不同底数，也不同真数，利用指数、对数互
化或寻找中间量进行判断．(1)中是同真不同底
的两个对数，用对数换底公式比较简便；(2)题 是函数值大小的比较，一般方法是作差，寻找
本题有较强的综合性，首先要通过变
量代换，求出函数f(x)的表达式(防止直接 判断f(x－3)的奇偶性)，然后再判断奇偶 性．在研究函数的单调性时，本解答直接 应用了反比例函数的单调性(常见基本函数
的单调性是可以直接应用的)，如果一定要
用单调性的定义来解答，也只需讨论 3 x t＝ (－3 x 3)的单调性即可． 3 x
2 因为0 a 1，故由f x 1，
xa xa 得 log a log a a，则0 a. x x xa 当 0时，得x 0或x a； x xa a 当 a时，得0 x . x 1 a a 又a , 1 a a 所以原不等式的解集为{x | a x }． 1 a
3 和原点，则f(-2)= ____ 4
a2 b 3 a 2 x 解析： ，解得 ，f x 2 1， a0 b 0 b 1 3 所以f 2 2 1 4
2
4.已知函数f(x)=logax(a>0，a¹ 1)，若f(2)<f(3)， (1，+∞) 则实数a的取值范围是_________.
将复杂的数学问题转化为熟知的数学问题
是数学化归思想的体现．换元法在数学化归思 想中占有重要的地位．本题作换元后，将函数 转化为f(t)＝t2 ＋2t－1(t>0)，使题目的结构一下 子变得清晰起来，因为二次函数在闭区间上存