辽宁省实验中学等五校2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理科)试卷

2014——2015学年度下学期期末考试高二理科数学试卷命题学校：东北育才学校第Ⅰ卷 (选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i面内点Z 表示复数z ，则复数1zi + A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知三个正态分布的概率密度函数()i x ϕ= （R x ∈，3,2,1=i A.321μμμ=<，321σσσ>= B.321μμμ=<，321σσσ<= C.321μμμ<=，321σσσ=<D.321μμμ=>,321σσσ<=3.用数学归纳法证明“22n n >,对于0n n ≥的正整数n 均成立”时， 第一步证明中的起始值0n 的最小值为A.1B.3C.5D.74.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有 A.60种 B.63种 C.65种 D.66种5.已知函数()3sin 34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--= A ．8 B ．2014 C ．2015 D.06.两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60 个,其中有50个合格,令A 事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则(|)P A B 等于 A.35100B.25C.57D.787.若()()()()92901292111x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，且()()2290281393a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m = A.3- B.0 C.1 D.3-或1 8.下列有关线性回归分析的四个命题中①线性回归直线未必过样本数据的中心点(,)x y ；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关性系数0r >时，则两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1. 其中真命题的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知盒子中有4个红球，n 个白球，若从中一次取出4个球，其中白球的个数为X ， 且.712)(=X E 则n 的值 A ．3 B. 4 C.5 D.610.已知函数()g x 是偶函数，()(2)f x g x =-且当2x ≠时，其导函数()f x '满足 (2)()0x f x '->，若13a <<，则A ．3(4)(3)(log )a a f f f << B.3(3)(log )(4)a a f f f <<C.3(log )(3)(4)a a f f f <<D.3(log )(4)(3)a a f f f <<11．如图所示，由直线()2,10,x a x a a y x ==+>=及x小矩形与大矩形的面积之间，即⎰++<<1222)1(a aa dx x a .类比之，n ∀∈*N ,11111122121A n n n n n n +++<<++++++- 恒成立,则实数A 等于A.21 B.2ln C.53 D.25ln 12．已知函数2()2lnx kf x x e x x=--+有且只有一个零点，则k 的值为A ．21e e +B ．21e e +C ．221e e +D ． 1e e+第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13.已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=为纯虚数，则x = . 14.对于实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： 3]3[]2[]1[=++ 10]8[]7[]6[]5[]4[=++++21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[=++++++ ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 .15.若6个人排成一排，,,A B C 三人互不相邻，,D E 两人也不相邻的排法共有 种. 16.若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“开门大吉”是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：ABC DE F⋅O20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.(Ⅱ)判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由.（下面的临界值表供参考）（参考公式：2112212211212()++++-=n n n n n K n n n n ，2121+++++++=n n n n n ）18．（本小题满分12分）若等差数列{}n a 的首项为1122211135mm m ma C A ---=-()m N ∈，公差是5(2nx 展开式中的常数项，其中n 为777715-除以19的余数，求通项公式n a . 19．(本题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A =︒30，333==b a ，． （Ⅰ）求B 和ABC ∆的面积；（Ⅱ）当B 是钝角时，证明：)118tan(︒-B 不可能是有理数．20．(本题满分12分)甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；(Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．21． (本题满分12分)已知函数2()2ln ()f x ax x x a R =+-∈ . （Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若'()f x 在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011x x +>．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-1：平面几何证明选讲如图，在ABC ∆中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ． （Ⅰ）证明：E 是BC 的中点； （Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅.23．(本小题满分10分) 选修4-4：极坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2M π. 以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于,A B 两点.（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到两点,A B 的距离之积. 24．（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+-- （Ⅰ）解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）当x R ∈ ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-.2014——2015学年度下学期期末考试高二理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2.B3.C4.A5.A6.D7.D8.A9.A 10.B 11.B 12.B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13.1 14.22n n + 15. 12016.三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）………6分（Ⅱ）706.23804010020)10301070(1202>=⨯⨯⨯⨯-⨯=k有%90的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。

……… 12分18．解：由题意，51121113 1132275m m m m m ≥-⎧⇒≤≤⎨-≥-⎩，又m N ∈，∴m =2，∴721510100=-=a C A………4分 又777715-=01777777777777(1941)15(194)(194)15C C C ⨯+-=+⨯++⨯-=127776777777(194)[(194)(194)]195⨯+⨯++⨯-+C C C∴777715-除以19的余数为5，即n =5 ………8分又515355215555()(()(1)22r rr r r r r r T x x C C ---+==-，令5150 =3r r -=⇒，∴356355()(1)42d C -=-=-，∴1(1)1044n a a n d n =+-=- ………12分19．解：（Ⅰ）由正弦定理得BbA a sin sin =，即23330sin 33sin =︒=B ………2分 因为B 是三角形内角且A B >，则︒=60B 或︒=120B . ………4分 记ABC ∆的面积为S .当︒=60B 时，︒=90C ，2393332121=⨯⨯==ab S ………5分当︒=120B 时，︒=30C ，439213332130sin 21=⨯⨯⨯=︒=ab S ………6分（Ⅱ）证明：因为B 是钝角，结合（Ⅰ）的结论得)118tan(︒-B =︒2tan假设︒2tan 是有理数， ………8分则=︒4tan ︒-︒2tan 12tan 22为有理数； 同理可证︒︒︒32tan ,16tan ,8tan 为有理数． ………10分︒︒+︒-︒=︒2tan 32tan 12tan 32tan 30tan ，等式左边=33为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，则︒2tan 不可能是有理数，即)118tan(︒-B 不可能是有理数．………12分 20．（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2，3 ………1分 1111(0)43224P ξ==⨯⨯=;3111211111(1)4324324324P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;32112131111(2)43243243224P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;3211(3)4324P ξ==⨯⨯=………5分ξ∴的分布列为1111123()012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………8分 （Ⅱ）设 “甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B则32132123331211211211()()4324334333P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11231211()()43318P AB C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 1()118()1()63P AB P B A P A ===………12分21． 解：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x x x x =+-，(0,)x ∈+∞， 21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值． ………3分（Ⅱ）解法一：21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，得22210ax x +-=，设2()221h x ax x =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意； 当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增， 且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-， 只需(1)210h a =+>，得102a -<<．综上，12a >-． ………7分 （说明：0∆=未讨论扣1分） 解法二：（Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，由22210ax x +-=，得2112a xx =-． 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a m m m =-=--，问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题． 又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，故直线y a =与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-． ……7分 （Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t =-=+--，21221()22at t p t at t t+-'=+-=，由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知， 方程22210at t +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．又(1)=10p a -<，所以0()0p x < 取32e (0,1)a t -+=∈，则326432326432(e )=e 2e 3ln e e 2e 332a a a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且100t x <<， 即1001x x <-<，得1(0,1)x ∈，且011x x +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011x x +> ……12分 （说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分） 22．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为AB 为⊙O 的直径，所以AC BD ⊥，又 90=∠B ，所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此ED EB =，……2分EDB EBD ∠=∠，C EBD EDB CDE ∠+∠==∠+∠ 90，所以C CDE ∠=∠，得ED EC =，因此EC EB =，即E 是BC 的中点 ……5分 （Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB 于是有ABAEAF AB =，即AF AE AB ⋅=2， ……8分 同理可证AC AD AB ⋅=2 所以AF AE AC AD ⋅=⋅……10分23．（Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0=-2θθρcos sin 得θρθρcos sin 22=．所以x y =2即为曲线C 的直角坐标方程； ……2分 点M 的直角坐标为)10(，， 直线l 的倾斜角为43π，故直线l 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） ……5分（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得t t 22)221(2-=+，即02232=++t t ， 01024)23(2>=⨯-=∆， ……7分设A 、B 对应的参数分别为21t t 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+2232121t t t t又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA ……10分24解：（Ⅰ）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. …………………5分 (II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y -+=++-=++≥---11221x x y y∴+--≤+-. ……………………10分 说明：各题中出现的不同解法，请参照此标准相应给分。