重庆大学 数学实验 非线性规划
数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.无向图中边的端点地位是平等的、边是无序点对。
而有向图中边的端点的地位不平等，边是有序点对，不可以交换。
参考答案:正确2.人口数量与下列因素都有关，人口基数、出生率、死亡率、年龄结构、性别比例、医疗水平、工农业生产水平、环境、生育政策等等。
参考答案:正确3.一元5次代数方程在复数范围内有多少个根？参考答案:54.任何贪心算法都能求出最优解。
参考答案:错误5.二维插值函数z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)中，method的缺省值是（）参考答案:linear6.在当前文件夹和搜索路径中都有文件ex1.m，在命令行窗口输入ex1时，则执行的文件是当前文件夹中的ex1.m参考答案:正确7.下列关于Dijkstra算法的哪些说法正确参考答案:Dijkstra算法是求加权图G中从某固定起点到其余各点最短路径的有效算法；_Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)，其中n为顶点数；_Dijkstra算法可用于求解无向图、有向图和混合图的最短路径问题；8.如果x=1: 2 : 10,则x(1)和x(5)分别是( )参考答案:1，99.人口是按指数规律无限增长的。
参考答案:错误10.在包汤圆问题的整个建模过程，包括了如下几个步骤（1）找出问题涉及的主要因素（变量），重新梳理问题使之更明确（2）作出简化、合理的假设（3）用数学的语言来描述问题（4）用几何的知识解决问题（5）模型应用参考答案:正确11.下面程序所解的微分方程组，对应的方程和初始条件为：（1）函数M文件weif.m：function xdot=weif(t, x)xdot=[3*x(1)+x(3);2*x(1)+6;-3*x(2)^2+2*x(3)];（2）脚本M文件main.m：x0=[1,2,3] ;[t,x]=ode23(‘weif’,[0,1],x0),plot(t,x’),figure(2),plot3(x( :,1),x( :,2),x( :,3)参考答案:___12.某公司投资2000万元建成一条生产线。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划作业
非线性规划作业非线性规划是一种数学优化方法，用于解决目标函数和约束条件都是非线性的优化问题。
本文将按照任务名称描述的内容需求，详细介绍非线性规划的标准格式、求解方法以及应用案例。
一、标准格式非线性规划的标准格式如下：目标函数：minimize f(x)约束条件：g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., p其中，x = (x1, x2, ..., xn) 是决策变量向量，f(x) 是目标函数，g_i(x) 是不等式约束条件，h_j(x) 是等式约束条件。
目标是找到一组决策变量 x，使得目标函数 f(x)达到最小值，并满足所有约束条件。
二、求解方法非线性规划问题的求解方法有多种，常用的包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
下面以拟牛顿法为例进行介绍。
拟牛顿法是一种迭代方法，通过逐步改进决策变量的取值，逼近最优解。
其基本思想是利用目标函数的梯度信息来构造一个近似的海森矩阵，进而求解最优解。
拟牛顿法的迭代步骤如下：1. 初始化决策变量 x0 和近似海森矩阵 B0；2. 计算目标函数的梯度 g0 = ∇f(x0)；3. 若满足终止条件，则停止迭代，得到最优解 x*；4. 否则，计算搜索方向 d0 = -B0 * g0；5. 选择步长α，使得目标函数在x0 + αd0 方向上有明显下降；6. 更新决策变量：x1 = x0 + αd0；7. 计算目标函数的梯度 g1 = ∇f(x1)；8. 计算近似海森矩阵的改进量：ΔB = (g1 - g0) * (g1 - g0)ᵀ / ((g1 - g0)ᵀ * d0)；9. 更新近似海森矩阵：B1 = B0 + ΔB；10. 将 x1 和 B1 作为新的初始值，返回步骤2。
通过多次迭代，拟牛顿法可以逐步逼近最优解。
三、应用案例非线性规划在实际问题中有广泛的应用。
以下是一个简单的应用案例：假设某公司生产两种产品 A 和 B，其利润分别为 P_A 和 P_B。
数学实验报告-非线性规划与多目标规划实验
1）建立函数M文件：
functionf=fun(x)
f=-20*exp(-0.2*(0.5*(x(1)^2+x(2)^2)^0.5))-exp(0.5*(cos(2*pi*x(1))+cos(2*pi*x(2))))+22.713;
2）
x0=[0,0];
options=optimset('display', 'iter', 'tolfun',1e-10);
1982
0.117
0.465
0.215
0.187
0.213
0.311
-0.019
0.084
1983
0.092
-0.015
0.224
0.235
0.217
0.08
0.237
-0.128
1984
0.103
0.159
0.061
0.03
-0.097
0.15
0.074
-0.175
1985
0.08
0.366
0.316
[3]熟悉MATLAB软件求解非线性规划模型的基本命令；
[4]通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。
本实验包括基础实验、应用实验和创新实验，基础实验和应用实验要求独立完成，创新实验要求合作完成。通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，并且使学生学会使用MATLAB软件和Lingo软件求解非线性规划模型，注意初始解的选择不同会导致软件求出的解的变化（是局部最优解还是整体最优解）。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。
非线性规划作业
非线性规划作业非线性规划是数学领域中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的意义。
本文将从非线性规划的基本概念、应用领域、解决方法、优化算法和实例分析等五个方面进行详细介绍。
一、基本概念1.1 非线性规划的定义：非线性规划是在目标函数或约束条件中至少包含一个非线性函数的优化问题。
1.2 非线性规划的特点：与线性规划相比，非线性规划具有更为复杂的数学结构和求解困难度。
1.3 非线性规划的分类：根据目标函数和约束条件的性质，非线性规划可分为凸优化和非凸优化两类。
二、应用领域2.1 工程优化：非线性规划在工程领域中广泛应用，如结构设计、电力系统优化、交通规划等。
2.2 金融领域：在金融领域中，非线性规划被用于投资组合优化、风险管理等方面。
2.3 生产调度：生产调度中的资源分配、作业排序等问题也可以通过非线性规划进行求解。
三、解决方法3.1 数值方法：常用的非线性规划求解方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
3.2 优化算法：遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等优化算法也可以用于非线性规划问题的求解。
3.3 全局优化：针对非凸优化问题，全局优化方法可以帮助找到全局最优解而不是局部最优解。
四、优化算法4.1 遗传算法：通过模拟生物进化过程，遗传算法能够在解空间中搜索最优解。
4.2 粒子群算法：模拟鸟群觅食的行为，粒子群算法通过个体之间的信息交流来寻找最优解。
4.3 模拟退火算法：模拟金属退火过程，模拟退火算法通过控制温度来逐步接近最优解。
五、实例分析5.1 生产调度问题：假设一家工厂需要安排不同作业的生产顺序和资源分配，可以通过非线性规划来优化生产效率。
5.2 投资组合优化：一位投资者需要在不同资产中分配资金以达到最大收益，非线性规划可以帮助优化投资组合。
5.3 电力系统优化：电力系统中存在多个发电机和负荷之间的优化问题，非线性规划可以帮助实现电力系统的最优调度。
综上所述，非线性规划在现代科学技术和实际生产中具有重要意义，通过合理选择求解方法和优化算法，可以有效解决复杂的优化问题，提高系统效率和资源利用率。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
非线性规划的相关概念
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
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重庆大学学生实验报告实验课程名称数学实验开课实验室DS1402学院年级专业班学生姓名学号开课时间2014 至2015 学年第二学期总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室： 数学与统计学院 DS1402 实验时间 ： 2015 年5月1日课程 名称 数学实验 实验项目 名 称 非线性规划实验项目类型验证演示 综合 设计 其他指导 教师龚劬 成 绩实验目的[1] 学习非线性规划模型的标准形式和建模方法； [2] 掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法； [3] 熟悉MATLAB 软件求解非线性规划模型的基本命令；[4] 通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。
通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，并且使学生学会使用MATLAB 软件进行非线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析。
解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。
基础实验一、实验内容1求解无约束优化1) 画出该曲面图形, 直观地判断该函数的最优解;2) 使用fminunc 命令求解, 能否求到全局最优解? 实验过程： 1）作图：由题意可知本函数有两个因变量，一个自变量。
可用分别用x ，y 代替两个因变量，z 代表自变量。
先用meshgrid 对x ，y 进行数据的处理，再用surf 画出关于x ，y ，z 的三维图像。
程序如下： x=-5:0.01:5; y=-5:0.01:5;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=-20.*exp(-0.2.*(0.5.*(X.^2+Y.^2).^0.5))-exp(0.5.*(cos(2.*pi.*X)+cos(2.*pi .*Y)))+22.713; surf(X,Y,Z) shading flat 结果如下图：2212120.20.5()0.5(cos(2)cos(2))12min (,)2022.713..55,1,2x x x x i f x x e e s tx i ππ-++=--+-≤≤=由图可以直观的判断出：当x=0，y=0时z的数值最小，即函数的结果最小。
因此（0,0）是函数的最优解。
（2）使用fminunc命令求解程序：1）建立一个m文件function f=fzuiyou(x)f=-20*exp(-0.2*(0.5*x(1).^2+0.5*x(2).^2).^0.5)-exp(0.5*(cos(2*pi*x(1))+cos(2*pi*x(2))))+22 .713;在窗口下输入命令：[x,fmin]=fminunc('fzuiyou',[0,0],1)结果：x =0 0fmin =-0.0053由此可知函数的最优解是当取（0，0）点时，最优解为-0.0053.2. 求解非线性规划,试判定你所求到的解是否是最优?1.实验分析将所给目标函数及约束条件转化成标准的形式，如下：10201.0m in 733241÷⨯⨯⨯-=x x x zS.t. 125050360010419.0067532172321221<=<=<=<=<=<=<=÷⨯+-<=++-x x x x x x x程序如下：1）建立第一个m 文件（目标函数）function f=fun2(x)f=-1e-007*0.201*x(1)^4*x(2)*x(3)^2 2）建立第二个m 文件（非线性约束函数） function [g,h]=fxxys(x) g(1)= x(1)^2*x(2)-675;g(2)= 1e-007*x(1)^2*x(2)^2-0.419; h=[];3)建立第三个m 文件进行求解 x0=[10 10 2]; L=[0 0 0]; U=[36,5,125];[x,fmin]=fmincon('fun2',x0,[],[],[],[],L,U,'fxxys') fmax=-fmin 计算结果：x =36.0000 0.5208 125.0000fmin=-274.7419fmax = 274.7419应用实验421237212221371230.201max 10..67500.419010036,05,0125x x x z s t x x x x x x x =-≥-≥≤≤≤≤≤≤一、实验内容 组合投资问题设有8种投资选择:5支股票,2种债券,黄金. 投资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据 (见表6.1), 投资者应如何分配他的投资资金,即需要确定这8种投资的最佳投资分配比例.表6.1 8种投资项目的年收益率历史数据项目 年份 债券1 债券2 股票1 股票2 股票3 股票4 股票5 黄金 1973 1.075 0.942 0.852 0.815 0.698 1.023 0.851 1.677 1974 1.084 1.020 0.735 0.716 0.662 1.002 0.768 1.722 1975 1.061 1.056 1.371 1.385 1.318 1.123 1.354 0.760 1976 1.052 1.175 1.236 1.266 1.280 1.156 1.025 0.960 1977 1.055 1.002 0.926 0.974 1.093 1.030 1.181 1.200 1978 1.077 0.982 1.064 1.093 1.146 1.012 1.326 1.295 1979 1.109 0.978 1.184 1.256 1.307 1.023 1.048 2.212 1980 1.127 0.947 1.323 1.337 1.367 1.031 1.226 1.296 1981 1.156 1.003 0.949 0.963 0.990 1.073 0.977 0.688 1982 1.117 1.465 1.215 1.187 1.213 1.311 0.981 1.084 1983 1.092 0.985 1.224 1.235 1.217 1.080 1.237 0.872 1984 1.103 1.159 1.061 1.030 0.903 1.150 1.074 0.825 1985 1.080 1.366 1.316 1.326 1.333 1.213 1.562 1.006 1986 1.063 1.309 1.186 1.161 1.086 1.156 1.694 1.216 1987 1.061 0.925 1.052 1.023 0.959 1.023 1.246 1.244 1988 1.071 1.086 1.165 1.179 1.165 1.076 1.283 0.861 1989 1.087 1.212 1.316 1.292 1.204 1.142 1.105 0.977 1990 1.080 1.054 0.968 0.938 0.830 1.083 0.766 0.922 1991 1.057 1.193 1.304 1.342 1.594 1.161 1.121 0.958 1992 1.036 1.079 1.076 1.090 1.174 1.076 0.878 0.926 1993 1.031 1.217 1.100 1.113 1.162 1.110 1.326 1.146 19941.045 0.889 1.012 0.999 0.968 0.965 1.078 0.990二、问题分析设投资的期限是一年，设投资总数为1个单位，用于第i 项投资的资金比例为x i , 则有X=(x 1,x 2 ,…,x 8)称为投资组合向量. 显然有187654321=+++++++xx x x x x x x 。
每种投资的平均收益为：收益的波动程度,可用样本方差(历史方差)来度量, 为(除以n-1）1()/Tj jk k r r T==∑21(())/Tj jk jk q r r T==-∑投资组合X=(x1,x2,…,xn) 的平均收益率为:投资组合X=(x1,x2,…,xn)的风险为:三、 数学模型的建立与求解利用双目标函数，即利润最大化，风险最小化，进行线性规划。
s.t. x1+x2+…+x8=1, xi>=0, i=1,2,…,8 线性函数加权法，化为单目标函数：10≤≤ρ 程序如下：1. 建立第一个m 文function [shouyi,fengxian]=tzzh( R ) junzhi=zeros(1,8); for i=1:8junzhi(i)=mean(R(:,i)); endA1=[];b1=[];A2=ones(1,8);b2=1;v1=zeros(1,8); h=zeros(8,8); for i=1:8for j=1:8xfz=cov(R(:,i),R(:,j)); h(i,j)=xfz(1,2); p(i,j)=h(i,j); if i==j811111()()T T k j jkk k j R X R X x r T T =====∑∑∑()28111Tj jk j k j x r r T ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑211()[()()]T k k Q X R X R X T ==-∑()max ()R X Q X ⎛⎫⎪-⎝⎭12max (1)()(),..11,2,,n i R X Q X s t x x x x i nρρ--+++=≥=h(i,j)=2*h(i,j); end end endfor t=1:11n=(t-1)/10;c=(n-1)*junzhi; H=n*h;[x,fv,ef]=quadprog(H,c,A1,b1,A2,b2,v1) Shouyi(t)=sum(x'.*junzhi)Fengxian(t)=sum(sum(x*x'.*p)) End end2.建立第二个m 文件R=xlsread('tz.xlsx')；//提取表格数据进行处理 [shouyi,fengxian]=tzzh(R)//进行处理plot(shouyi,fengxian,'r'),hold on, plot(shouyi,fengxian,'k*'),hold off,grid四、实验结果及分析有图可知随着年收益率的增加，年投资总风险也逐渐成指数增加，这符号实际情况。
投资者可以根据自己的实际风险承受能力，选择相应的投资决策总结与体会[1] 学习非线性规划模型的标准形式和建模方法； [2] 掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法；[3] 通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。