插值与拟合
插值与拟合实验
x x x x
j 1 j 1 j + 1 j + 1
, x , x 其
j 1
≤ x
x ≤
≤ x
x
j
j
≤ 它
j + 1
1 , 6≤ x≤6 【例 2】 g ( x ) = 】 2 1+ x
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差 用分段线性插值法求插值 并观察插值误差. 并观察插值误差 1.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取5个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch11) 2.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取11个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取21个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch13) 4.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取41个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch14)
Matlab程序： 程序： 程序 ch607.m
【例 5】 】 已知飞机下轮廓线上数据如下， 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 每改变0.1时的y 0.1时的
X Y
0 0
3 5 7 9 11 12 13 14 15 12 17 20 21 20 18 12 10 16
机翼下 轮廓线
【例 6】 】 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 3*5网格点处的温度分别为 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 z=f(x,y)的图形 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 先在三维坐标画出原始数据 输入以下命令： 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 以平滑数据, 方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 0.2个单位的地方进行插值
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
插值与拟合
Interpolation and Fitting 插值与拟合-V2.11. 前言Preface ............................................................................................................................................................................. 2 2. 插值与拟合 Interpolation and Fitting . (2)2.1. 最小二乘法理论基础（The basic theory of Least Squares Method ）............................................................. 3 2.2. 数据拟合和曲线拟合（Data Fitting & Curve Fitting ） ........................................................................................ 3 3. 不同曲线的拟合模型 . (4)3.1. 线性模型 Y=C 1+C 2X ................................................................................................................................................... 4 3.2. 拋物线模型 y=C 1+C 2X+C 3X 22123y C C x C x =++ (5)3.3. 对数模型 Y=C 1+C 2ln(x) ............................................................................................................................................ 5 3.4. 指数模型 y=ae bx .......................................................................................................................................................... 5 3.5. 双曲模型 y=1/(C1+C2X) ......................................................................................................................................... 6 3.6. 幂模型 Power y=x n ..................................................................................................................................................... 6 3.7. 多项式拟合 Polynomial Fitting .. (6)3.7.1. 多项式拟合原理（共6步） ............................................................................................................................. 6 3.7.2. 多元函数求偏导的推导过程（共7步） ....................................................................................................... 10 3.7.3. 线性方程组解法－LU 分解法（共4步） ..................................................................................................... 15 3.7.4. 矩阵A 的LU 分解的流程图（共8步） . (18)4. 最小二乘法拟合范例 Example of Fitting by Least Squares Method (29)4.1. 先验证算法正确性 ...................................................................................................................................................... 29 4.2. 利用最小二乘法计算最优曲线 ................................................................................................................................... 29 4.3. VS2010中动态内存的申请 ........................................................................................................................................ 30 5. 添加绘画控件 .......................................................................................................................................................................... 32 6. 参考资料及课本错误之处 (35)6.1. 参考资料 ...................................................................................................................................................................... 35 6.2. 课本上的错误之处 (35)1. 前言Preface工作中需要根据已知的n 组数据，推测未来几个点的数据（或曲线的趋势），如健康指南。
插值和拟合区别
>> [xx,res]=lsqcurvefit(f,[1,1,1,1,1],x,y); xx',res
Optimization terminated successfully: Relative function value changing by less than
125.29*x^4+74.450*x^327.672*x^2+4.9869*x+.42037e-6
最小二乘曲线拟合
• 格式： [a, jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)
例 >> x=0:.1:10; >> y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);
2*x0).*exp(-4*x0) x0.^2]; >> y1=A1*c; >> plot(x0,y1,x,y,'x')
例
• 数据分析
>> x=[1.1052,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487,1.8221,2.0138,... 2.2255,2.4596,2.7183,3.6693];
0.1200 0.2130 0.5400 0.1700 1.2300 res = 9.5035e-021
• 绘制曲线： >> x1=0:0.01:10; y1=f(xx,x1); plot(x1,y1,x,y,'o')
插值与拟合
x[ a ,b ]
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择
在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰 当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采 用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来 考虑：
1．如果给定的数据是少量的且被认为是严 格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方 法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处 完全相等。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的 结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地 控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这 是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完 全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误 差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如 果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效 果往往较差。
0
(
x)
1
2
x x1
x0 x0
x x0
x1 x1
2
1(x)
1
2
x x1 x0 x1
x x0 x1 x0
2
2
0
(
x)
(
x
x0
)
(7.2.3)
下 面 的 (7.2.9) 、 (7.2.10) 两 式 构 成 了 三 次 Hermite 插值基本提法二的插值公式
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)
0 ( x)
(x ( x0
第二章插值与拟合
1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
(完整版)第8讲excel插值与拟合
使用Excel求解
1.1.2 二次插值
线性插值并不 y
一定总是能够
满足精度要求。
y2 y1
y=?
y0
x0
x1
x2
x
二次插值方法
已知数据点x0,y0,x1,y1，x2,y2 (x0<x1<x2)，求在x处 (x0<x<x1)相应的y值。
解法：由x0,y0,x1,y1 ,x2,y2构造二次曲线，并求取在x 点的函数值。
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
使用Excel求解
一次、二次插值结果比较
15
14.5
y=exp(x)
一次插值
14
二次插值
13.5
13
12.5
12
2.5
2.55
2.6
2.65
2.7
2.75
1.1.3 插值方法评价
插值方法广泛应用于查表，对于表格中没有的 数据可以考虑外推。
一般的，外推的准确性较内插差。
线性插值是最常用的插值方法，可以满足大多 数工程要求。
二、拟合与参数估值
2.2.1 介绍
图1-1 含有噪声的数据
200
150
Y Y
在化工设计及化工模拟计算中，需要大100
量的物性参数及各种设备参数。这些参数有50
些可以通过计算得到，但大量的参数还是要
通过实验测量得到。实验测量得到的常常是0
2.2.2 拟合的标准
前面已经提到按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近 函数，称为拟合函数，而向量Q与Y之间的误差或距离有各种不同的定义方 法，一般有以下几种。
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实验2 插 值 与 拟 合一、 概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用● 机械制造：汽车外观设计● 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT ） 2. 概念的定义● 插值： 基于[a,b]区间上的n 个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。
若要求φ(x)在xi 处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi 即是插值点● 逼近： 当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。
此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法● 光顾： 曲线的拐点不能太多，条件：①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小● 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、 插值理论设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x 0,x 1,…,x n 处取值y 0,y 1,…,y n 。
如果函数φ(x)在点x i 上满足φ(x i )=y i (i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x 0,x 1,…,x n 是插值节点。
若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。
显然 f(x)≈φ(x)，x ∈[a,b]1. 拉格朗日插值构造n 次多项式P n (x)= y k l k (x)=y 0l 0 (x)+y 1l 1 (x)+…+y n l n (x)，这是不超过n 次的多项式，其中基函数l k (x)=)...()()...()(()...()()...()(()1110)1110n k k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+-显然l k (x)满足l k (x i )=⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i此时 P n (x)≈f(x),误差R n (x)=f(x)-P n (x)=(x ))!1()(1)1(+++n n n f ωξ 其中ξ∈(a,b)且依赖于x ，(x)1+n ω=（x-x 0）(x-x 1)…(x -x n )很显然，当n=1、插值节点只有两个x k ,x k+1时P 1(x)=y k l k (x)+y k+1l k+1(x)其中基函数l k (x)=11++--k k k x x x x l k+1(x)= kk kx x x x --+12. 牛顿插值构造n 次多项式N n (x)=f(x 0)+f(x 0,x 1)(x-x 0)+f(x 0,x 1,x 2)(x-x 0)(x-x 1)+…+f(x 0,x 1,x 2,…,x n )(x-x 0)(x-x 1)…(x -x n )称为牛顿插值多项式，其中101010)()(),(x x x f x f x x f --=(二个节点，一阶差商)202110210),(),(),,(x x x x f x x f x x x f --=(三个节点，二阶差商)nn n n x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010),...,,(),...,,(),...,,( (n+1个节点，n 阶差商)注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项R n (x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式R n (x)=f(x)-N n (x)=f(x,x 0,…,x n )ωn+1(x), 其中ωn+1(x)=(x-x 0)(x-x 1)…(x -x n )3. 分段插值------子区间内，避免函数在某些区间失真 1） 线性插值已知n+1个不同节点x 0,x 1,…,x n ,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足 ● P(x)在[a,b]上连续 ● P(x k )=y k● P(x)在[x i ,x i+1]上是线性函数，P(x)=∑=ni i i x l y 0)(2） 两点带导数插值---避免尖点、一阶连续区间[a,b]上两个互异节点x i ,x i+1，已知实数y i ,y i+1,m i ,m i+1，为了构造次数不大于3的多项式)(x i ϕ满足条件⎩⎨⎧==i i i i i i m x y x )()('ϕϕ ⎩⎨⎧==++++1111)()('i i i i i i m x y x ϕϕ 引入)(x u i ,)(x v i 使之满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++0)(0)()()(11''i i i i i i i i i i x u x u m x u y x u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++++1111)()(0)(0)('i i i i i i i i i i m x v y x v x v x v可以求出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=--++=+++++2111121))]()(2([)())]()(2([)(i i i i i i i i ii i i i i i i h x x x x y h m y x v h x x x x y h m y x u此时)(x i ϕ=)(x u i +)(x v i ，其中i i i x x h -=+14. 三次样条插值------二阶可导对于给定n+1个不同节点x 0,x 1,…,x n 及函数值y 0,y 1,…,y n ，其中a=x 0<x 1<…<x n =b 。
构造三次样条插值函数S(x)。
S(x)称为三次样条函数时需满足： ● S(x)在[a,b]上二阶导数连续 ● S(x k )=y k (k=0,1,…,n)● 每个子区间[x k ,x k+1]上S(x)是三次多项式(k=0,1,…,n)5. 例题已知函数y=f(x)的观测值解：(1)拉格朗日插值6)4)(3)(2()41)(31)(21()4)(3)(2()(0----=------=x x x x x x x l2)4)(3)(1()42)(32)(12()4)(3)(1()(1---=------=x x x x x x x l2)4)(2)(1()43)(23)(13()4)(2)(1()(2----=------=x x x x x x x l6)3)(2)(1()34)(24)(14()3)(2)(1()(3---=------=x x x x x x x lP 3(x)=y 0l 0(x)+y 1l 1(x)+y 2l 2(x)+y 3l 3(x)=(-5)2)4)(3)(1(---x x x + (-6) 2)4)(2)(1(----x x x +36)3)(2)(1(---x x x=x 3-4x 2+3φ(x)≈P 3(x)= x 3-4x 2+3 φ(2.5)=2.53-4*2.52+3=-6.375(2)牛顿插值N 3(x)=f(x 0)+f(x 0,x 1)(x-x 0)+f(x 0,x 1,x 2)(x-x 0)(x-x 1)+f(x 0,x 1,x 2,x 3)(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) =0+(-5)(x-1)+2*(x-1)(x-2)+1*(x-1)(x-2)(x-3)=x 3-4x 2+3三、 Matlab 在插值中的应用1. Lagrange 插值１)方法回顾对给定的n 个节点x 1,x 2,…,x n 及对应的函数值y 1,y 2,…,y n ，利用n 次Lagrange 插值多项式公式，插值区间内任意x 的函数值y 可以通过下式求出：∑∏=≠=--=n k nkj j jk jk x x x x y x y 11)()( 2) Matlab 实现函数 Lagrange.mfunction y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end3) 例题的Matlab实现x=[1 2 3 4];y=[0 –5 –6 3];lagrange(x,y,2.5)2. Runge现象及分段线性插值１）Runge现象Runge在本世纪初发现：在[-1,1]上用n+1个等距结点作插值多项式P n(x)，使其在个结点的值与函数y(x)=1/(1+25x2)在结点的值相等。
但在n→∞时，插值多项式P n(x)在区间中部趋于y(x)。
但对于0.726≤∣x∣≤1的x，P n(x)严重发散。
通过下面的例子，以图形的方式体会Runge现象（ f(x)=1/(1+x2) ）x=[-5:1:5];x0=[-5:0.1:5];y1=1./(1+x0.^2);%绘制图形plot(x0,y0,'--r')hold onplot(x0,y1,'-b')2）Matlab 实现分段插值------一维插值interp1 ● yi=interp1(x,y,xi) 对(x,y)进行插值，计算插值点xi 的函数值 ● yi=interp1(y,xi)默认x=1:n ，n 是向量y 的元素个数●yi=interp1(x,y,xi,’method ’) 指定特定算法插值，method 可以是如下字符串➢ linear 线性插值 ➢ spline 三次样条插值 ➢cubic三次插值要求：x 是单调，但不要求连续等距。
如果x 连续等距，可以选用快速插值法。
调用函数时只需在method 前加”*”，如”*spline ” 3） 例题①用一维线性插值解决Runge 现象y2=interp1(x,y,x0); plot(x0,y2,'*m') ②正弦曲线的插值示例 x=0:0.1:10; y=sin(x); xi=0:0.25:10; yi=interp1(x,y,xi); plot(x,y,’o ’,xi,yi)3. Hermite 插值 1) 方法介绍已知n 个插值节点x 1,x 2,…,x n 及起对应的函数值y 1,y 2,…,y n 和一阶导数值y 1’,y 2’,…,y n ’，则计算插值区域内任意x 的函数值y 的Hermite 插值公式∑=+--=ni i i i i i i y y y a x x h x y 1])2)([()('其中： ∏≠=--=nij j ji j x x x x hi 12)( , ∑≠=-=nji i j i i x x a 112) Matlab 实现 Hermite.mfunction y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0);m=length(x);for k=1:myy=0.0;for i=1:nh=1.0;a=0.0;for j=1:nif j~=ih=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;a=1/(x0(i)-x0(j))+a;endendyy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));endy(k)=yy;end3）例题如下数据表，构造Hermite多项式，并求出Sin0.34 的近似值y0=[0.29552 0.31457 0.34290];y1=[0.95534 0.94924 0.93937];x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x);plot(x,y)y=hermite(x0,y0,y1,0.34);ysin(0.34)y2=sin(x);hold onplot(x,y2,'--r')4. 三次样条插值y3=interp1(x,y,x0,'*spline');y3=spline(x,y,x0);plot(x0,y3,'-g')四、数据拟合1. 方法介绍在实际生活中，往往需要从一组实验数据（x i,y i）中寻找出变量x,y之间的函数关系。