2014年10月04184自学考试线性代数试卷及问题详解

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k 12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。

17.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001001011223a a aa a a A ，求1-A 。

18.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011111A ,且矩阵X 满足X A E AX +=+3,求X 。

19.设向量T T T T k k k k )1,1,1,1(,)1,,1,1(,)1,1,2,1(,)1,1,1,1(2321+=++===βααα,试确定当k 取何值时β能由321,,ααα线性表出，并写出表示式。

20.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+++1332122043214324321x x x x x x x x x x x 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11131111x A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001B 相似，求数x 与可逆矩阵P ，使得B AP P =-1。

22.用正交变换将二次型3123222132122),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）23.设向量组321,,ααα线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。

证明：存在全不为零．．．．的常数321,,k k k 使得0332211=++αααk k k 。

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.D2.A3.C4.B5.C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 6. 5 7. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0210 8. 41-9. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22321 10. 2133ααα+-= 11. 1- 12. 1 13. 23-14. E15. 0＜t ＜1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16.解3100131001310013=D =3100131000130131- ......3分5555000310013100131=--= ......9分 17.解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100100101000011000000110000001010000100100100011232223a a aaa aa a a a a a ......2分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00110000100100100001010000001a a a ..........7分 从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-00101010010001a a a A......9分 18.解由XA E AX +=+3,得E A X E A -=-3)( ......2分又由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010001110100010001110011111E A 可逆 ......5分由E A X E A -=-3)(,可得))(()(2E A A E A X E A ++-=- 两边左乘1)(--E A ,得到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=3311233221000100011100111111211022102E A A X ......9分19解设βααα=++332211x x x ， ......2分该线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----++→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=-22222000100101111111111*********k k k k k k k k k k A......6分由于β能有321,,ααα线性表出，则必有3)()(==-A r A r 此时0=k ，方程组有唯一解0,1321===x x x 表示式为1αβ= ......9分20.解 方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000001221011101133211221001111A ......2分 可知2)()(==-A r A r ＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分由同解方程组⎩⎨⎧--=++-=4324312211x x x x x x求出方程组的一个特解T)0,0,1,1(*-=η, 导出组的一个基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2,1(21-=-=ξξ ......7分从而方程组的通解为T T T c c c c )1,0,2,1()0,1,2,1()0,0,1,1(212211*-+-+-=++ξξη21,(c c 为任意常数） ......9分21.解 由条件可知矩阵A的特征值为2,1321===λλλ ......2分由0101121110=-=-----=-x xA E ，得1=x ......4分对于11=λ，由线性方程组0)(=-x A E 求得一个特征向量为 T)1,1,1(1-=α对于232==λλ，由线性方程组0)2(=-x A E 求得两个线性无关的特征向量为TT )1,1,0(,)1,0,1(32==αα令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==111101011),,(321αααP ,则B AP P =-1 ......9分22.解二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ......2分由0)2(11201012=-=-----=-λλλλλλA E故A的特征值为0,2321===λλλ ......4分对于221==λλ，求解齐次线性方程组0)(=-x A ，得到基础解系T)1,0,1(3-=α将其单位化，得T )21,0,21(3-=γ ......7分令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2121000121210),,(321γγγP ,则P 为正交矩阵，经正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x ，化二次型为标准形222122y y + ......9分四、证明题（本题7分）23.证 由于向量组321,,ααα线性相关，故存在不全为零的常数321,,k k k ，使得0332211=++αααk k k ......2分其中必有01≠k 。

否则，如果01=k ，则上式化为03322=+ααk k 其中32,k k 不全为零，由此推出32,αα线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分 类似地，可证明0,032≠≠k k ........7分。