北大附中精典题库数学不等式
北京师范大学第二附属中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典练习题(培优)
一、选择题1．定义一种新运算“a ☆b ”的含义为：当a ≥b 时，a ☆b =a +b ；当a ＜b 时，a ☆b =a ﹣b ．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆111(6)6222=--=-，则方程（3x ﹣7）☆（3﹣2x ）=2的解为x=（ ） A ．1B ．125C ．6或125D ．62．若a b >，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．a c b c ->-B ．22ac ab >C ．c a c b -<-D ．a c b c +>+3．程序员编辑了一个运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x 到结果是否75>”为一次程序操作，如果要程序运行两次后才停止，那么x 的取值范围是（ ）A ．18x >B ．37x <C ．1837x <<D ．1837x <≤4．己知关于x ，y 的二元一次方程ax b y +=，下表列出了当x 分别取值时对应的y 值．则关于x 的不等式0ax b --<的解集为（ ）x… －2 －1 0 1 2 3 … y …321－1－2…A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜0D ．x ＞05．不等式组64325x x x -<⎧⎨≥+⎩的解集是（ ）A ．x ≥5B ．x ≤5C ．x ＞3D ．无解6．若|65|56x x -=-，则x 的取值范围是（ ） A ．56x >B ．56x <C ．56x ≥D ．56x ≤7．若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．74a -<<-B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤-8．若关于x 的方程 332x a += 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．23a <B ．23a >C ．a 为任何实数D ．a 为大于0的数9．不等式组36030x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若线段4、4、m 能构成三角形，且使关于x 的不等式组23834x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解的所有整数m 的和为（ ） A ．6 B ．1 C ．2 D ．3 11．若关于x 的不等式组132(2)x a x x ≥-⎧⎨≤+⎩仅有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．12a ≤<C ．12a <≤D ．12a <<12．下列命题是假命题的是（ ）．A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行B ．在实数7.5-，15，327-，π-，()22中，有3个有理数，2个无理数C ．在平面直角坐标系中，点(21,7)P a a -+在x 轴上，则点P 的坐标为(7,0)-D ．不等式组513(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和为713．对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x ”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次就停止了，那么x 的取值范围是（ ）A ．822x <B ．822x <C ．864x <≤D ．2264x <≤14．如果a >b ，那么下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．0a b ->B ．33a b ->-C ．1133a b >D ．33a b ->-15．若关于 x?的不等式组2x 1x 3x a +<-⎧⎨>⎩无解，则实数 a?的取值范围是（ ）A ．a 4<-B ．a 4=-C ．a 4?≥-D ． a 4>-二、填空题16．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x my m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______． 17．已知不等式组43103x x a -≤≤-⎧⎪⎨->⎪⎩有解，那么a 的取值范围是___________．18．不等式组351231148x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩的解集是__．19．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．20．已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________．21．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]4.84=，[]0.81-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{}[]1.5 1.5 1.50.5=-=，则{}{}{}3.9 1.81+--=________．22．把方程组2123x y mx y +=+⎧⎨+=⎩中，若未知数x y 、满足0x y +>，则m 的取值范围是_________．23．若不等式组30x ax >⎧⎨-≤⎩只有三个正整数解，则a 的取值范围为__________．24．不等式组()2x 15x 742x 31x 33⎧+>-⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______25．若关于x 的一元一次不等式组21122x a x x ->⎧⎨->-⎩的解集是21x -<<，则a 的取值是__________．26．现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区，甲种车每辆载重5吨，乙种车每辆载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少需要安排 ________辆.三、解答题27．解下列不等式组，并把它的解集表示在数轴上.（1）35318x x +≥⎧⎨-<⎩；（2）()1212235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩. 28．解下列不等式：（1）()()212531x x -+<-+（2）解不等式组 ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩29．已知，关于x 的不等式（2a-b ）x+a-5b ＞0的解集为x ＜107． （1）求ba的值． （2）求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．30．已知方程组2523x y mx y m-=+⎧⎨+=⎩的解满足条件0x >，0y <，求m 的取值范围．。
北大附中 2019-2020 初一(下)数学暑假作业(五)不等式与不等式组
北大附中2019-2020初一（下）数学暑假作业（五）第九章 不等式与不等式组一、选择题：1．下列用“＞”或“＜”号表示的不等关系正确的是 （ ）A 、23->-B 、41＜51C 、32＜53D 、－21＜－31 2．当0<a 时，下列不等式中正确的是（ ） A 、02<a B 、a a 3445< C 、a a 32< D 、a a 14.3>π 3．不等式组⎩⎨⎧≥+->+053032x x 的整数解的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、44．在平面直角坐标系内，点P （3-m ，5-m ）在第四象限，则m 的取值范围是（ ）A 、35<<-mB 、53<<-mC 、53<<mD 、35-<<-m5．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x ，则可以列得不等式组( )A 、⎩⎨⎧≤--+≥--+6)1(6)194(1)1(6)194(x x x xB 、⎩⎨⎧≥--+≤--+6)1(6)194(1)1(6)194(x x x x C 、⎩⎨⎧≥--+≤--+5)1(6)194(1)1(6)194(x x x x D 、⎩⎨⎧≤--+≥--+5)1(6)194(1)1(6)194(x x x x 6．如果10<<x ，则下列不等式成立的是 （ ） A 、x x x >>12B 、x x x >>21C 、21x x x >>D 、21x x x >>7．不等式a x a ->-1)1(的解为1->x ，则a 的取值范围是 （ ）A 、1≠aB 、1>aC 、1<aD 、0≠a8． 若不等式组⎩⎨⎧≤-<+-m x x x 62只有3个整数解，那么m 的取值范围是（ ） A 、7≥m B 、87≤≤m C 、87≤<m D 、87<≤m二、填空题：9．不等式64-x ≥14-的解集是 ．10．当a 满足条件 时，由8>ax 可得ax 8<．11．不等式组⎩⎨⎧>->11x x 的解集是 ；不等式组⎩⎨⎧>-≤33x x 的解集是 ． 12．在数轴上表示不等式组⎩⎨⎧>>b x a x 的解集如上图所示，则不等式组⎩⎨⎧≤<bx a x 的解集是 ．13．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>--≥-0125a x x 无解，则a 的取值范围是 ．三、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (每小题5分，共20分)14．14155->+x x 15．452615->-+x x16． ⎩⎨⎧-<++≥-148112x x x x 17．()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+-≥-->+)1(233262341533x x x x x x四、解答题18．当x 为何整数时，代数式7103-x 与729+x 的差大于6小于8 ？（6分）19．若不等式组：220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是-1<x<1，则()2009a b +(6分)20．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-+=-+a y x a y x 1143,02解为正数，且a 为正整数，求a 的值．（8分）21．（8分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠． 请你帮小敏算一算，什么情况下，采用哪种方案更为合算．22．先阅读理解下列题，再按要求完成问题：例题：解不等式0)12)(23(>+-x x由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）⎩⎨⎧>+>-012023x x 或 （2）⎩⎨⎧<+<-012023x x ，解不等式组（1），得32>x ；解不等式（2），得21-<x ．因此，不等式0)12)(23(>+-x x 的解集为32>x 或21-<x ； 问题：根据阅读解不等式：03215<-+x x （8分）23、已知非负数x ，y ，z 满足123234x y z ---==，设w =3x +4y +5z ， 求w 的最大值和最小值．。
北京市清华大学附中高考数学复习讲义 第一讲 不等式(
第一讲 不等式一、知识扩展 1. 均值不等式.11121212122221nn n n n a a a na a a n a a a n a a a 2. 柯西不等式设),2,1(,,n i R b a i i ，则222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a当且仅当i b a b a b a nn 2211时，等号成立. 推论（1）当121 n b b b 时，22122221n n a a a a a a n可以推出.2122221na a a n a a a n n R a a a n ,,,21 （2）当nn a b a b a b 1,,1,12211时，22222122221111n a a a a a a nn（3）若R b a i i , ),,2,1(n i ，则221212211n n n n a a a b b b b a b a b a3. 排序不等式：两组实数n n b b b a a a 2121,，则有n n jn n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122111121，递序和≤乱序和≤顺序和.4. 琴生不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则 .)()()(2121n x f x f x f n x x x f n n5. 含有立方的几个不等式：Rc b a ,,（1）;2233ab b a b a （2）abc c b a 3333，);)((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a（3）;33333333cb ac b a abc c b a abc（4）2)(31c b a ac bc ab （c b a 时取等号）6. 常用不等式放缩法 （1）nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112 2 n（2）11121111 n n n n n n n n n1 n .二、例题解析<一>、不等式解析例1（2011年复旦大学千分考）设n 是一个正整数，则函数x nx x n在1轴正半轴上的最小值是（ ）A ．nn 1B ．12n n C ．nn 1D ．1n n例2：（2009清华）已知0,0,0 z y x ，c b a ,,是z y x ,,的一个排列，求证：3 zcy b x a例4：（山东2008预赛）若0,0,0 z y x ，且1 xyz . 求证：21111111 zy x .例5：（34届俄罗斯竞赛）设c b a ,,是△ABC 三边长，且0 m 求征：mc cm b b m a a例6：（学生练，35届俄罗斯）设1,0121ni in ix x x x 且求证：112 ni ix例7：（2010浙江大学）小于1的正数. n x x x x ,,,,321 )2( n且121 n x x x . 求证：41113322311 nn x x x x x x .例8：（2013复旦）设n a a a a ,,,,321 是各不相同的正自然数2 a .求证：21111321an a a a a a a a .10.(2014北约) 已知:123,,,n x x x x RL 且12 1.n x x x L 求证：121nn x x xL.11（2014华约）7. 已知：,.n N x n求证：21.nx x n n e x n<二>、不等式与方程例9：（2012北约）求1210272611 x x x x 的实根个数.例10：（2008同济）即方程组39246849222z y x z y x。
北京大学附属中学七年级数学下册第九章【不等式与不等式组】测试题
一、选择题1．定义一种新运算“a ☆b ”的含义为：当a ≥b 时，a ☆b =a +b ；当a ＜b 时，a ☆b =a ﹣b ．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆111(6)6222=--=-，则方程（3x ﹣7）☆（3﹣2x ）=2的解为x=（ ）A ．1B ．125C ．6或125D ．62．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，准备打折销售，若要保证利润率不低于5%，则最多可打几折（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．若关于x 的不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．21a -≤<- B ．21a -≤≤- C ．21a -<<- D ．21a -<≤-4．不等式组64325x x x -<⎧⎨≥+⎩的解集是（ ） A ．x ≥5 B ．x ≤5 C ．x ＞3 D ．无解5．不等式组23x x ≥-⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个 6．不等式组10,{360x x -≤-<的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．7．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣2.5]=﹣3，若[x ﹣2]=﹣1，则x 的取值范围为（ ）A ．0＜x ≤1B ．0≤x ＜1C ．1＜x ≤2D ．1≤x ＜28．不等式组43x x <⎧⎨≥⎩的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若关于x 的方程 332x a += 的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <B ．23a >C ．a 为任何实数D ．a 为大于0的数10．若关于x 的不等式组132(2)x a x x ≥-⎧⎨≤+⎩仅有四个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤≤ B ．12a ≤< C ．12a <≤ D ．12a << 11．某班共有48人，人人都会下棋，会下象棋的人数是会下围棋人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的有（ ）A ．20人B ．19人C ．11人或13人D ．19人或20人二、填空题12．已知关于x 的不等式组221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩的解集为55x -≤<，则a b 的值为___________． 13．不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，则a 的取值范围是______． 14．若关于x 的不等式组0521x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解有且只有4个，则m 的取值范围是：__________．15．不等式组233225x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是__________． 16．由ac bc >得到a b <的条件是：c ______0（填“>”“<”或“=”）．17．若关于x 、y 的二元一次方程组23242x y a x y a +=-⎧⎨+=+⎩的解满足1x y +<，则a 的取值范围为________．18．若||2x =，||3y =，且0x y +<，则x y -值为______．19．关于x 的不等式组3112x x a+⎧-<⎪⎨⎪<⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____．20．关于x的不等式132xa x-≤⎧⎨-<⎩有5个整数解，则a的取值范围是______．21．若关于x的一元一次不等式组21122x ax x->⎧⎨->-⎩的解集是21x-<<，则a的取值是__________．三、解答题22．筹建中的迪荡中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张：生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．23．入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？24．回答下列小题：（1）解不等式：2111 26x x-+-≤．（2）解不等式组：1132(1)4 xxx+⎧-≤⎪⎨⎪->-⎩．25．某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：（1）若该商场购进这批台灯共用去2750元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B种台灯多少盏？一、选择题1．如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ）A ．a b ->-B ．11a b <C ．2a b b +>D ．2a ab > 2．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a≤2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤24．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣2.5]=﹣3，若[x ﹣2]=﹣1，则x 的取值范围为（ ）A ．0＜x ≤1B ．0≤x ＜1C ．1＜x ≤2D ．1≤x ＜25．若关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围( ) A ．1162a -<- B ．116a 2-<<- C ．1162a -<- D ．1162a -- 6．若|65|56x x -=-，则x 的取值范围是（ ）A ．56x >B ．56x <C ．56x ≥D ．56x ≤ 7．不等式组43x x <⎧⎨≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．8．不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若a b <，则下列不等式中不正确的是（ ）A ．11+<+a bB ．a b ->-C ．22a b --<--D ．44a b < 10．若0a <，则关于x 的不等式221ax x -<+的解集为（ ） A ．32x a <- B ．32x a >- C ．32x a >- D ．32x a <- 11．不等式325132x x ++≤-的解集表示在数轴上是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题12．已知点()2,3P a a -在第四象限，那么a 的取值范围是________．13．若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；②关于x 的方程0ax b c ++=的解为1x =；③22()a b c =+④||||||||a b c abc a b c abc +++的值为0或2； ⑤在数轴上点A ．B ．C 表示数a 、b 、c ，若0b <，则线段AB 与线段BC 的大小关系是AB BC >． 其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．14．若不等式(6)6m x m ->-，两边同除以(6)m -，得1x <，则m 的取值范围为__． 15．随着中秋节的逐渐临近，红梅超市计划购进甜味型、咸味型、麻辣味型三种共50盒月饼，其中咸味型月饼数量不超过甜味型月饼数量，且咸味型月饼数量不少于麻辣味型月饼数量的一半．已知甜味型月饼每盒60元，咸味型月饼每盒80元，麻辣味型月饼每盒100元．在价格不变的条件下，小王实际购进甜味型月饼是计划的56倍，麻辣味型月饼购进了12盒，结果小王实际购进三种月饼共35盒，且比原计划少支付1240元，则小王原计划购进甜味型月饼_____盒．16．已知不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围为__． 17．若不等式组52355x x x a+≤-⎧⎨-+<⎩无解，则a 的取值范围是______. 18．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______． 19．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________．20．若干名学生住宿舍，每间住 4人，2人无处住；每间住 6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x 间宿舍，则可列不等式组为____21．若a b >0，c b <0，则ac________0. 三、解答题 22．解不等式（或组）：（1）2934x x ++≤ （2）()47512432x x x x ⎧-<-⎪⎨->-⎪⎩23．解不等式：431132x x +-->，并把解集在数轴上表示出来．24．解不等式组2536x x +<⎧⎨-<⎩，并把解集在数轴上表示出来．25．解不等式组()41713843x x x x ⎧+≤+⎪⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．一、选择题1．已知实数a 、b ，下列命题结论正确的是（ ）A ．若a b >，则 22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若33a b >，则22a b >2．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．23．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x ≤C ．13x -≤≤D ．13x -<≤ 4．不等式组23x x ≥-⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个 5．不等式组1030x x -≤⎧⎨+>⎩中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ）A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b > D ．22a b -+<-+7．若|65|56x x -=-，则x 的取值范围是（ ）A ．56x >B ．56x <C ．56x ≥D ．56x ≤ 8．不等式组43x x <⎧⎨≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．9．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．11a b -<-B ．33a b <C ．a b ->-D ．ac bc < 10．若关于x 的方程 332x a += 的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <B ．23a >C ．a 为任何实数D ．a 为大于0的数 11．不等式1322x x -+>的解在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题12．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是______________（任写一个）． 13．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x m y m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______． 14．关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则a 的取值范围是________．15．已知点()6,29P m m --关于x 轴对称的点在第三象限，则m 的整数解是______．16．若关于x 的不等式组103420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩无解，a 则的取值范围为___________．17．定义一种法则“⊗”如下：()()a a b a b b a b >⎧⊗=⎨≤⎩，如：122⊗=，若(25)33m -⊗=，则m 的取值范围是_______．18．已知a 、b 的和，a 、b 的积及b 的相反数均为负，则a ，b ，a -，+a b ，b a -的大小关系是________．（用“<”把它们连接起来）19．关于x 的不等式组460930x x ->⎧⎨-≥⎩的所有整数解的积是__________． 20．若关于x 的一元一次不等式组21122x a x x ->⎧⎨->-⎩的解集是21x -<<，则a 的取值是__________．21．现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区，甲种车每辆载重5吨，乙种车每辆载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少需要安排 ________辆.三、解答题22．某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案．（2）如果甲、乙两种汽车每辆车的租车费用分别为2500元和2000元，请你选择最省钱的一种方案．23．筹建中的迪荡中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张：生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．24．解下列不等式：（1）()()212531x x -+<-+（2）解不等式组 ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩25．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A ，B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价是150元/台，B 型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．（1）求A ，B 两种型号家用净水器各购进多少台；（2）为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，设每台A 型号家用净水器的售价为x 元，则每台A 型号家用净水器的毛利润是元．每台B 型号家用净水器的毛利润是 元，并请列式求出每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利率=售价-进价）。
北京市清华大学附属中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典题(培优练)
一、选择题1．已知关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨->⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a≥3C．a＞3 D．a≤3 2．已知实数a、b，下列命题结论正确的是（）A．若a b>，则22a b>B．若ab>，则22a b>C．若a b>，则22a b>D．若33a b>，则22a b>3．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否26>”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则x最小整数值取多少（）A．7 B．8 C．9 D．104．下列不等式的变形正确的是（）A．由612m-<，得61m<B．由33x->，得1x>-C．由03x>，得3x>D．由412a-<，得3a>-5．已知不等式组1113x ax-<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．不等式组1030xx-≤⎧⎨+>⎩中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折 8．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ） A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b > D ．22a b -+<-+ 9．下列说法中不正确的是（ ）A ．若a b >，则a 1b 1->-B ．若3a 3b >，则a b >C ．若a b >，且c 0≠，则ac bc >D ．若a b >，则7a 7b -<-10．若关于x 的不等式组3122x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜-2B ．a ≤-2C ．a ＞-2D ．a ≥-2 11．下列是一元一次不等式的是（ ） A ．21x > B ．22x y -<- C ．23< D ．29x < 12．下列不等式说法中，不正确的是（ ）A ．若,2x y y >>，则2x >B ．若x y >，则22x y -<-C ．若x y >，则22x y >D ．若x y >，则2222x y --<-- 13．若x (x +a )＝x 2﹣x ，则不等式ax +3＞0的解集是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣3D ．x ＜﹣3 14．已知关于x 的方程：24263a x x x --=-的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的值有（ ）种．A ．3B ．2C ．1D ．015．已知a<b ，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）A ．a+2<b+2B ．22ac bc <C ．1122a b <D ．-2a-1-2b-1>二、填空题16．在平面直角坐标系 xOy 中，点(,)P a b 的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b 时，Q点坐标为(,)b a -；当a b <时，Q 点坐标为(,)a b -．（1）(2,3)-的变换点坐标是_____________．（2）若(,0.52)a a -+的变换点坐标是(,)m n ，则m 的最大值是_____________． 17．某次数学竞赛共有20道选择题，评分标准为对1题给5分，错1题扣3分，不答题不给分也不扣分，小华有3题未做，则他至少答对____道题，总分才不会低于65分． 18．若关于x 的不等式x a ≥的负整数解是1,2,3---，则实数a 满足的条件是________． 19．若关于x 、y 的二元一次方程组23242x y a x y a+=-⎧⎨+=+⎩的解满足1x y +<，则a 的取值范围为________．20．已知关于x 的不等式组0,10x a x +>⎧⎨->⎩的整数解共有3个，则a 的取值范围是___________．21．若关于x 的不等式组2()102153x m x 的解集为76x -<<-，则m 的值是______．22．若干名学生住宿舍，每间住 4人，2人无处住；每间住 6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x 间宿舍，则可列不等式组为____23．定义一种法则“⊗”如下：()()a a b a b b a b >⎧⊗=⎨≤⎩，如：122⊗=，若(25)33m -⊗=，则m 的取值范围是_______． 24．关于x 的不等式132x a x -≤⎧⎨-<⎩有5个整数解，则a 的取值范围是______． 25．若关于x 的不等式2x ﹣m≥1的解集如图所示，则m ＝_____．26．方程组43165x y k x y -=+⎧⎨+=⎩的解x 、y 满足条件0783x y ，则k 的取值范围_____． 三、解答题27．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．定义：对于四位自然数n ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数n 为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为347+=，257+=，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为167+=，但457+≠，所以1456不是“七巧数”．（1）若一个“七巧数”的千位数字为a ，则其个位数字可表示为______（用含a 的代数式表示）；（2）最大的“七巧数”是______，最小的“七巧数”是______；（3）若m 是一个“七巧数”，且m 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数”m ．28．某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园．现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．29．解方程或不等式（组）（1）2(21)1690x --=．（2）2111 43x x+-+．（3）4 21223xxx x+⎧-<⎪⎨⎪-⎩30．某企业在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”的思想．计划购买300瓶消毒液，已知甲种消毒液每瓶30元，乙种消毒液每瓶18元．（1）若该企业购买两种消毒液共花费7500元，则购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？（2）若计划购买两种消毒液的总费用不超过9600元，则最多购买甲种消毒液多少瓶？。
北京师范大学大兴附属中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典习题(含答案)
一、选择题1．已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3B ．a ≥3C ．a ＞3D ．a ≤3B 解析：B【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a 的范围．【详解】解：5210x x a -≥-⎧⎨->⎩①②解不等式①，得3x ≤；解不等式②，得x a >；∵不等式组无解，∴3a ≥；故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2．已知关于x 的不等式组3x 05m x +⎧⎨-⎩＜＞的所有整数解的和为-9，则m 的取值范围（ ） A ．3≤m ＜6B ．4≤m ＜8C ．3≤m ＜6或-6≤m ＜-3D ．3≤m ＜6或-8≤m＜-4C解析：C【分析】先求解不等式组，再根据条件判断出含参代数式的范围，从而求得参数的范围即可．【详解】 解原不等式得：35m x x ⎧<-⎪⎨⎪>-⎩，即53m x -≤<-， 由所有整数解的和为-9，可知原不等式包含的整数为-4，-3，-2或-4，-3，-2，-1，0，1， 当整数为-4，-3，-2时，则13m -2<-≤-，解得：36m ≤<， 当整数为-4，-3，-2，-1，0，1时，则23m 1<-≤，解得：63m -≤<-， 故选：C ．【点睛】本题考查含参不等式组求解问题，熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键． 3．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL 的水装进一个容量为300 mL 的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm 3)( ).A ．10 cm 3以上，20 cm 3以下B ．20 cm 3以上，30 cm 3以下C ．30 cm 3以上，40 cm 3以下D ．40 cm 3以上，50 cm 3以下C解析：C【解析】分析：本题可设玻璃球的体积为x ，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可． 详解：设玻璃球的体积为x ，则有33001804300180x x -⎧⎨-⎩＜＞ 解得30＜x ＜40．故一颗玻璃球的体积在30cm 3以上，40cm 3以下．故选C ．点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x 的取值范围．4．不等式32x x -≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． B解析：B【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式在数轴上的表示方法即可得．【详解】 32x x -≤，23x x --≤-，33x -≤-，1≥x ，由此可知，只有选项B 表示正确，故选：B ．【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解题关键．5．不等式-3＜a≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． A 解析：A【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．【详解】解：∵-3＜a≤1，∴1处是实心原点，且折线向左．故选：A ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于向左，大于向右”是解题的关键． 6．若a ＋b ＞0，且b ＜0，则a 、b 、-a 、-b 的大小关系为( )A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜a ＜-bC ．-a ＜b ＜-b ＜aD ．b ＜-a ＜-b ＜a C 解析：C【分析】根据不等式a+b ＞0得a ＞-b ，-a ＜b ，再根据b ＜0得b ＜-b ，再比较大小关系即可.【详解】解：∵a+b ＞0，∴a ＞-b ，-a ＜b.∵b ＜0，∴b ＜-b ，∴-a ＜b ＜-b ＜a.故选C.【点睛】本题考查了不等式的性质与有理数的知识点，解题的关键是熟练的掌握有理数与不等式的性质.7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折B 解析：B【详解】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥7．即最多打7折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．8．不等式()2x 13x -≥的解集是（ ）A ．x 2≥B ．x 2≤C ．x 2≥-D ．x 2≤- D解析：D【分析】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求解．【详解】解：()2x 13x -≥，去括号，得2x 23x -≥，移项，得23x 2x -≥-，解得x 2≤-．故选：D ．【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．若0a <，则关于x 的不等式221ax x -<+的解集为（ ） A ．32x a <- B ．32x a >- C ．32x a >- D ．32x a <- B 解析：B【分析】 先移项，再合并，最后把系数化为1，即可求出答案．【详解】 移项，得：212ax x -<+，合并同类项得：(2)3a x -<，∵0a <，∴20a -<， ∴32x a >-， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式的解法，要注意系数化为1时，因为0a <，所以不等号的方向要改变．10．不等式325132x x++≤-的解集表示在数轴上是（）A．B．C．D． B解析：B【分析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．【详解】解：去分母，得，2（3x+2）≤3（x+5）﹣6，去括号，得6x+4≤3x+15﹣6，移项、合并同类项，得3x≤5，系数化为1，得，x≤53，在数轴上表示为：故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，＞向右画，＜向左画，≤与≥用实心圆点，＜与＞用空心圆圈．二、填空题11．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A、B、C三类糖果．已知一班分别购买 A、B、C三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A、B、C三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A与C单价差大于25元．则三班分别购买A、B、C三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元．296【分析】可设A 单价x元B单价y元由三类糖果单价和为108元得C单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得xy的关系式再由A与C单价差大于25元可得一元一次不等式根据各单价是低于50元解析：296【分析】可设A 单价x 元，B 单价y 元，由三类糖果单价和为108元得C 单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2，可得x 、y 的关系式，再由A 与C 单价差大于25元，可得一元一次不等式，根据各单价是低于50元/千克的整数求出符合题意的解即可【详解】解：设A 单价x 元，B 单价y 元三类糖果单价和为108元得C 单价为（108-x-y ）元又一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得：325(108)324(108)2x y x y x y x y ++--=++-- 整理可得：2x+3y=216①又A 与C 单价差大于25元，即x-（108-x-y ）>25整理可得：2x+y>133,将①中的2x 代入可得：y<41.5又A 、B 、C 三类糖果单价是低于50元/千克的整数，故：若y=41，代入①得x=46.5，不符合题意若y=40，代入①得x=48，符合题意若y=39，代入①得x=49.5，不符合题意若y=38，代入①得x=51，不符合题意y 越小，x 越大，故后面x 的结果均大于50，不符合题意故x=48，y=40,108-x-y=20由上可知：A 类糖果的单价是48元B 类糖果的单价是40元C 类糖果的单价是20元故分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为：48×2+40×3+20×4=296（元）故答案为：296【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，利用条件建立一元一次不等式并结合题意准确得到A 、B 、C 三类糖果的单价是解本题的关键12．若()a 1x a 1-<-的解集为x 1>，则a 的取值范围是________．【分析】根据不等式的性质2可得答案【详解】解：∵不等式的解集是∴解得故答案为：【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变解析：a 1<．【分析】根据不等式的性质2，可得答案．【详解】解：∵不等式()a 1x a 1-<-的解集是x 1>，∴a 10-<，解得a 1<．故答案为：a 1<．【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．13．不等式组2173112x x x -<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩的解集是____．1≤x ＜4【分析】分别求出每一个不等式的解集再找到公共部分即可得【详解】解：解不等式①得x ＜4解不等式②得x≥1所以不等式组的解集为：1≤x ＜4故答案为：1≤x ＜4【点睛】此题主要考查了求一元一次不解析：1≤x ＜4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得．【详解】 解：217? 311?2x x x -<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①② 解不等式①得，x ＜4，解不等式②得，x≥1，所以，不等式组的解集为：1≤x ＜4．故答案为：1≤x ＜4．【点睛】此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．14．对任意四个整数a 、b 、c 、d 定义新运算：a bc d ad bc =-，若1＜2 41x x -＜12，则x 的取值范围是____．【分析】根据新定义列不等式组并求解集即可【详解】解：由题意得：1＜2x-（-4）x ＜12即1＜6x ＜12解得故答案为【点睛】本题主要考查了新定义运用解不等式组等知识点正确理解新运算法则是解答本题的关键 解析：126x ＜＜ 【分析】根据新定义列不等式组并求解集即可．【详解】解：由题意得：1＜2x-（-4）x ＜12，即1＜6x ＜12，解得126x ＜＜ ． 故答案为126x ＜＜． 【点睛】本题主要考查了新定义运用、解不等式组等知识点，正确理解新运算法则是解答本题的关键． 15．若不等式组52355x x x a+≤-⎧⎨-+<⎩无解，则a 的取值范围是______.【分析】先解一元一次不等式组再根据不等式组无解即可得出a 的取值范围【详解】解：解一元一次不等式组得：∵不等式组无解∴解得：故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法一元一次不等式的解法会根据 解析：172a ≤【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a 的取值范围．【详解】 解：解一元一次不等式组52355x x x a +≤-⎧⎨-+<⎩， 得：725x x a⎧≤-⎪⎨⎪>-⎩，∵不等式组无解， ∴752a -≥-， 解得：172a ≤， 故答案为：172a ≤． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a 的取值范围是解答的关键．16．若关于x 的不等式x a ≥的负整数解是1,2,3---，则实数a 满足的条件是________．【分析】首先解不等式求得不等式的解集然后根据不等式的负整数解得到关于a 的不等式组从而求得a 的范围【详解】根据题意得：故答案为【点睛】本题考查了不等式的整数解在解不等式时要根据不等式的基本性质解析：43a -<≤-【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式的负整数解得到关于a 的不等式组，从而求得a 的范围．【详解】根据题意得：43a -<≤-，故答案为43a -<≤-．【点睛】本题考查了不等式的整数解．在解不等式时要根据不等式的基本性质．17．若不等式a x c x c b +>⎧⎨≥-⎩的解为x≥-b+c ，则a ，b 的大小关系一定满足：a___b ．【分析】根据不等式组的同大取大得到-b+c≥c -a 即可得到a 与b 的大小关系【详解】解不等式组解不等式①得x>c-a 解不等式②得x≥-b+c ∵不等式组的解集为x≥-b+c ∴-b+c≥c -a ∴ab 故答案解析：≥【分析】根据不等式组的同大取大得到-b+c≥c -a ，即可得到a 与b 的大小关系.【详解】解不等式组a x c x c b +>⎧⎨≥-⎩①②， 解不等式①得x>c-a ，解不等式②得x≥-b+c ，∵不等式组的解集为x≥-b+c ，∴-b+c≥c -a ，∴a ≥b ，故答案为：≥.【点睛】此题考查解不等式组，不等式组的解集的情况：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键.18．不等式2x+9＞3（x+4）的最大整数解是_____．-4【分析】先求出不等式的解集在其解集范围内找出符合条件的x 的最大整数解即可【详解】解：去括号移项得2x ﹣3x ＞12﹣9合并同类项得﹣x ＞3系数化为1得x ＜﹣3∴x 的最大整数解是﹣4故答案为：﹣4【解析：-4【分析】先求出不等式的解集，在其解集范围内找出符合条件的x 的最大整数解即可．【详解】解：去括号、移项得，2x ﹣3x ＞12﹣9，合并同类项得，﹣x ＞3，系数化为1得，x ＜﹣3，∴x 的最大整数解是﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】考核知识点：解不等式.运用不等式基本性质是关键.19．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元．经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折，若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘_____个．20【分析】直接利用已知得出二元一次方程组求出键盘与鼠标的单价再利用总费用不超过1820元得出不等式求出答案【详解】解：设键盘每个价格为x 元鼠标每个价格为y 元根据题意可得：解得：则设购买键盘a 个则鼠解析：20【分析】直接利用已知得出二元一次方程组求出键盘与鼠标的单价，再利用总费用不超过1820元，得出不等式求出答案．【详解】解：设键盘每个价格为x 元，鼠标每个价格为y 元，根据题意可得：319023220x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5040x y =⎧⎨=⎩， 则设购买键盘a 个，则鼠标（50﹣a ）个，根据题意可得：50×0.8a +40×0.85（50﹣a ）≤1820，解得：a ≤20，故最多可购买键盘20个．故答案为：20．【点睛】本题咔嚓的是二元一次方程组与一元一次不等式，根据题意正确列式是解题的关键． 20．已知x ﹣y=3，且x ＞2，y ＜1，则x+y 的取值范围是_____．1＜x+y ＜5【分析】利用不等式的性质解答即可【详解】解：∵x ﹣y=3∴x=y+3又∵x ＞2∴y+3＞2∴y ＞﹣1又∵y ＜1∴﹣1＜y ＜1①同理得：2＜x ＜4②由①+②得﹣1+2＜y+x ＜1+4∴x解析：1＜x+y ＜5【分析】利用不等式的性质解答即可．【详解】解：∵x ﹣y=3，∴x=y+3，又∵x ＞2，∴y+3＞2，∴y ＞﹣1．又∵y ＜1，∴﹣1＜y ＜1①同理得：2＜x ＜4②由①+②得﹣1+2＜y+x ＜1+4∴x+y 的取值范围是1＜x+y ＜5故答案为1＜x+y ＜5．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如y 取表示另一个量如x ，然后根据题中已知量x 的取值范围，构建另一量y 的不等式，从而确定该量y 的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围．三、解答题21．解不等式（或组）：（1）2934x x ++≤ （2）()47512432x x x x ⎧-<-⎪⎨->-⎪⎩解析：（1）12x ≤；（2）6x >【分析】（1）解一元一次不等式，先去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化1求解； （2）先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：（1）2934x x ++≤ 去分母，得：4243108x x ++≤移项，得：4310824x x +≤-合并同类项，得：784x ≤系数化1，得：12x ≤∴不等式的解集为x≤12（2）()47512432x x x x ⎧-<-⎪⎨->-⎪⎩①②解不等式①，得：2x >-解不等式②，得：6x >∴不等式组的解集为6x >．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22．近两年，重庆市奉节县紧紧围绕“村有骨干产业、户有致富门路”的发展思路，大力实施农产品产业扶贫项目，实现助农增收其中“乡坛子”什锦套菜礼盒、奉节脐橙10km 装广受好评，单价分别为100元/盒和60元/盒．（1）某公司大力响应扶贫政策，准备用不低于15000元购买什锦套菜礼盒、奉节脐橙共200盒，则至少购入什锦套菜礼盒多少盒？（2）2021年春节将至，该公司准备再次购入以上两种产品作为员工新春福利．恰逢“学习强国”重庆学习平台开展“党员直播带货、‘渝’你抗疫助农”扶贫农产品公益直播活动．直播中，什锦套菜礼盒以原价8折销售，该公司购买数量在（1）问最少数量的基础上增加了5%2m ；奉节脐橙售价比原价降低了815m 元，购买数量在（1）问奉节脐橙最多数量的基础上增加了40%．该公司在直播间下单后实际花费比（1）问中最低花费增加2350元，求m 的值．解析：（1）至少购入什锦套菜礼盒75盒；（2）15m =．【分析】（1）设购进什锦套菜礼盒x 盒，则购进奉节脐橙礼盒（200-x ）盒，根据总价值不低于15000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）根据销售总价=销售单价×销售数量结合题意可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设购进什锦套菜礼盒x 盒，则购进奉节脐橙礼盒（200-x ）盒，根据题意得：()6020010015000x x -+≥，解得：75x ≥．答：至少购入什锦套菜礼盒75盒；（2）根据题意得：()()5810080%751%6020075140%150002350215m m ⎛⎫⎛⎫⨯⨯++--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：1708503m =， 解得：15m =．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．为了积极争创“天府旅游名县”，鼓励全民参与健身运动，2019年12月29日，广汉市在城北全民健身中心举行了“2019年广汉市三星堆迷你马拉松（10公里）”比赛．组委会为了奖励活动中取得了好成绩的参赛选手，计划购买一批纪念品发放．已知甲、乙两商场以同样价格出售同样的纪念品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买该纪念品超过1000元后，超出1000元的部分按90%收费；在乙商场累计购买该纪念品超过500元后，超出500元的部分按95%收费，组委会到哪家商场购买花费少？解析：见解析【分析】设顾客累计花费x元，然后根据x的不同取值范围分类讨论哪家的花费更少，利用不等式列式求解．【详解】解：设顾客累计花费x元，根据题意得：（1）当x≤500时，两家商场都不优惠，则花费一样；（2）若500＜x≤1000，去乙商场花费少；（3）若x＞1000，在甲商场花费1000＋(x－1000)×90%＝0.9x＋100（元），在乙商场花费500＋(x－500)×95%＝0.95x＋25（元），①到甲商场花费少，则0.9x＋100＜0.95x＋25，解得x＞1500；∴x＞1500到甲商场花费少②到乙商场花费少，则0.9x＋100＞0.95x＋25，解得x＜1500；∴1000＜x＜1500时，去乙商场购物花费少③到两家商场花费一样多，则0.9x＋100＝0.95x＋25，解得x＝1500，∴x＝1500时，到两家商场花费一样多．【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式进行求解，需要注意进行分类讨论．24．解不等式或不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）解不等式2151132x x-+-≥，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组233311362x xx x+>⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．解析：（1）x≤﹣1，数轴见解析；（2）﹣4≤x＜3【分析】（1）求出不等式的解集，表示在数轴上即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，来确定不等式组的解集．【详解】解：（1）去分母得：2（2x ﹣1）﹣3（5x +1）≥6，去括号得：4x ﹣2﹣15x ﹣3≥6，移项合并得：﹣11x ≥11，解得：x ≤﹣1，（2）233311362x x x x +>⎧⎪⎨+--≥⎪⎩①②，由①得：x ＜3，由②得：x ≥﹣4，∴不等式组的解集为﹣4≤x ＜3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x ”到“结果是否大于0”称为“一次操作”（1）下面命题是真命题有①当输入x ＝3后，程序操作仅进行一次就停止．②当输入x ＝﹣1后，程序操作仅进行一次就停止．③当输入x 为负数时，无论x 取何负数，输出的结果总比输入数大．④当输入x <3，程序操作仅进行一次就停止．（2）探究：是否存在正整数x ，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）②③；（2）存在，x 的值为2．【分析】（1）①把3x =输入程序，通过计算得到结果小于0，从而可判断①错误；②把1x =-输入程序，通过计算得到结果大于0，从而可判断②正确；③输入负数x ，结果为36x -+，由不等式的基本性质可判断③正确；④令 2.5x =代入程序，进行验证，可判断④；（2）由程序只能进行两次操作，可得：3609120x x -+≤⎧⎨->⎩且912x -＜12，解不等式组结合x为整数，从而可得答案．【详解】解：（1）①当输入x ＝3后，结果为：3×（﹣3）+6＝﹣3，返回，所以程序操作仅进行一次就停止错误．②当输入x ＝﹣1后，结果为：﹣1×（﹣3）+6＝9，程序操作仅进行一次就停止，正确． ③当输入x 为负数时，结果为：36x -+， x ＜0，3x ∴-＞0，36x ∴-+＞6，∴ 无论x 取何负数，输出的结果总比输入数大，正确．④当输入x ＜3，如x ＝2.5时，结果为：2.5×（﹣3）+6＝﹣1.5，所以程序操作仅进行一次就停止，错误，故答案为：②③．（2）存在，2x =，理由如下：∵程序只能进行两次操作第一次计算的代数式是（﹣3x +6），第二次输出的代数式是（﹣3）×（﹣3x +6）+6＝9x ﹣12，∴3609120x x -+≤⎧⎨->⎩， 解不等式组得2x ≥，又因为9x ﹣12＜12∴ 9x ＜24∴ x ＜83， ∴823x ≤≤， ∵x 为整数，所以x ＝2．【点睛】本题考查的是代数式的值，程序框图的含义，不等式的基本性质，一元一次不等式组的解法，掌握以上知识是解题的关键．26．11月份，是猕猴桃上市的季节，猕猴桃酸甜，含有丰富的维生素c 和大量的营养元素．万州某水果超市的红心猕猴桃与黄心猕猴桃这两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价12元/千克，黄心猕猴桃售价9元/千克．（1）若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心猕猴桃多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心猕猴桃和黄心猕猴桃的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心猕猴桃售价不变，销量比第一周增加了43a%，黄心猕猴桃的售价保持不变，销量比第一周增加了13a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a %的基础上还多了280元，求a 的值． 解析：（1）第一周至少销售红心猕猴桃400千克；（2）a 的值为10．【分析】 （1）设第一周销售红心猕猴桃x 千克．则黄心猕猴桃（x ﹣200）千克，根据总价=单价×数量结合总销售额不低于6600元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量，结合两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a %的基础上还多了280元，即可得出关于a 的一元一次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设第一周销售红心猕猴桃x 千克．则黄心猕猴桃（x ﹣200）千克，根据题意得：12x+9(x ﹣200)≥6600，解得：x≥400，答：第一周至少销售红心猕猴桃400千克； （2）根据题意得：12×400(1+43a%)+9×200(1+13a%)＝6600(1+711a %)+280， 解得：a=10．答：a 的值为10．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．27．解不等式（组），并将解集表示在数轴上：（1）6194x x ->-（2）13215232(3)4x x x x -+⎧-≥⎪⎨⎪-->⎩解析：（1）x ＜1，数轴见解析；（2）﹣5≤x ＜ 2，数轴见解析【分析】（1）先解一元一次不等式，再在数轴上表示出不等式的解集；（2）先解一元一次不等式组，再在数轴上表示出不等式组的解集；【详解】解：（1）6194x x ->-6941x x ->-+33x ->-解得：x ＜1,在数轴上表示如下：（2）13215232(3)4x x x x -+⎧-≥⎪⎨⎪-->⎩①②解不等式①得：x≥﹣5解不等式②得：x ＜ 2∴不等式组的解集为﹣5≤x ＜ 2 ；在数轴上表示如下：.【点睛】本题主要考查求一元一次不等式和一元一次不等式组的解集和数轴，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的方法.28．长沙市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要400元；若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品5件，需要650元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共70件，其中乙种纪念品的数量不少于40件，考虑到资金周转，用于购买这70件纪念品的资金不能超过5750元，那么该商店共有几种进货方案？解析：（1）购进甲种纪念品每件需50元，购进乙种纪念品每件需100元；（2）该商店共有6种进货方案【分析】（1）设购进甲种纪念品每件需x 元，购进乙种纪念品每件需y 元，根据“若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要400元；若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品5件，需要650元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进乙种纪念品m 件，则购进甲种纪念品（70−m ）件，根据“购进乙种纪念品的数量不少于40件，且用于购买这70件纪念品的资金不能超过5750元”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出结论．【详解】解：（1）设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元，依题意，得：23400 35650x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：50100 xy=⎧⎨=⎩．答：购进甲种纪念品每件需50元，购进乙种纪念品每件需100元；（2）设购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品（70﹣m）件，依题意，得：4050(70)1005750mm m≥⎧⎨-+≤⎩，解得：40≤m≤45，又∵m为正整数，∴m可以为40，41，42，43，44，45，∴该商店共有6种进货方案．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。
北京首都医科大学附属中学初中部七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典练习卷(培优提高)
一、选择题1．程序员编辑了一个运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x 到结果是否75>”为一次程序操作，如果要程序运行两次后才停止，那么x 的取值范围是（ ）A ．18x >B ．37x <C ．1837x <<D ．1837x <≤2．不等式()2533x x ->-的解集为（ ） A ．4x <-B ．4x >C ．4x <D ．4x >-3．已知点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）． A ． B ． C ．D ．4．己知关于x ，y 的二元一次方程ax b y +=，下表列出了当x 分别取值时对应的y 值．则关于x 的不等式0ax b --<的解集为（ ）x… －2 －1 0 1 2 3 … y …321－1－2…A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜0D ．x ＞05．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．6．如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ） A ．a b ->-B ．11a b< C ．2a b b +> D ．2a ab >7．若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．74a -<<-B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤-8．若0a <，则关于x 的不等式221ax x -<+的解集为（ ） A ．32x a <- B ．32x a >- C ．32x a>- D ．32x a<- 9．若关于x 的一元一次方程x −m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是 A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤210．若m n <，则下列各式中正确的是（ ） A ．33m n +>+B ．33m n ->-C ．33m n ->-D ．33m n > 11．小圆想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分为4组，第n 组有n x 首，1,2,3,4n =；②对于第n 组诗词，第n 天背诵第一遍，第(1)n +天背诵第二遍，第(3)n +天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1,2,3,4n =； ③每天最多背诵8首，最少背诵2首，A ．10首B ．11首C ．12首D ．13首12．如果a >b ，那么下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．0a b ->B ．33a b ->-C ．1133a b >D ．33a b ->-13．下列不等式说法中，不正确的是（ ） A ．若,2x y y >>，则2x > B ．若x y >，则22x y -<- C ．若x y >，则22x y >D ．若x y >，则2222x y --<--14．已知a<b ，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A ．a+2<b+2B ．22ac bc <C ．1122a b < D ．-2a-1-2b-1>15．若关于x?的不等式组2x 1x 3x a +<-⎧⎨>⎩无解，则实数 a?的取值范围是（ ）A ．a 4<-B ．a 4=-C ．a 4?≥-D ． a 4>-二、填空题16．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是______________（任写一个）．17．不等式组63024x x x -⎧⎨<+⎩的解集是__．18．对任意四个整数a 、b 、c 、d 定义新运算：a b c dad bc =-，若1＜2 4 1x x -＜12，则x 的取值范围是____． 19．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______．20．不等式12x -<的正整数解是_______________． 21．若||2x =，||3y =，且0x y +<，则x y -值为______．22．关于x 的不等式组3112x x a+⎧-<⎪⎨⎪<⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____． 23．若关于x 的不等式2310a x -->的最大整数解为2-，则实数a 的取值范围是_________．24．如果不等式组324x a x a +⎧⎨-⎩＜＜的解集是x ＜a ﹣4，则a 的取值范围是_______.25．不等式组12153114xx -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩的所有正整数解为_____．26．关于x 、y 的二元一次方程组3234x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y ＞2，则a 的取值范围为__________．三、解答题27．台州某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况．_________分． （2）某参赛者F 一共对了14题，不答题数与总得分有何关系？（3）某参赛者G 答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对了几道题？（4）在前10道题中，参赛者N 答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？28．某木板加工厂将购进的A 型、B 型两种木板加工成C 型，D 型两种木板出售，已知一块A 型木板的进价比一块B 型木板的进价多10元，且购买2块A 型木板和3块B 型木板共花费220元．（1）A 型木板与B 型木板的进价各是多少元？（2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A 型木板、B 型木板共200块，若一块A 型木板可制成2块C 型木板、1块D 型木板；一块B 型木板可制成1块C 型木板、2块D 型木板，且生产出来的C 型木板数量不少于D 型木板的数量的1113． ①该木板加工厂有几种进货方案？②若C 型木板每块售价30元，D 型木板每块售价25元，且生产出来的C 型木板、D 型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？ 29．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： （1）6194x x ->-（2）13215232(3)4x x x x -+⎧-≥⎪⎨⎪-->⎩30．解下列不等式（组） （1）22143x x +-≥ （2）2731205x x x +>-⎧⎪-⎨≥⎪⎩。
北京市清华大学附属中学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)
一、选择题1．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4- 2．下列结论中一定正确的是（ ）A ．若,0a b c <≠，则ac bc <B ．若33a b >，则a b >C ．若,0a b c >≠，则a b c c >D ．若a bc d >⎧⎨>⎩，则a c b d ->-3．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ）A ．322a ab bc ca +++≥B ．322a bab bc ca -+++≥C ．322a b cab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确4．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤≤B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤ 6．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．11b b a a +<+C ．11b ba a +>+ D ．ac bc ≥7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 8．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b >+9．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+10．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b <D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <11．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（） A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ． 22ac bc > D ． 22ac bc 12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <B ．1133a b <C ．a b a b -<-D ．2a ab <二、填空题13．若0,0,0a b m n >>>>，则a b , b a , b m a m ++, a n b n++按由小到大的顺序排列为_______. 14．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 15．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______16．如图，边长为(00)1a b a b ++>>,的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是______.17．已知a b R ∈，，写出不等式a b a b a b +≤++-等号成立的所有条件_________ 18．对任意实数x ，若不等式|x ＋2|－|x －3|＞k 恒成立，则k 的取值范围是________ 19．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范围是_______．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____． 三、解答题21．已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，22a =，()2*112n n n S a a n N ++=-∈. （1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）设()*2n n n a b n N =∈，数列{}n b 的前n 项和n T ， ①求证：2n T <； ②解关于n 的不等式：3332n n n T +>-. 22．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 23．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围．25．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．26．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈（1）当1m =时，解不等式()2f x ； （2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab ∴，∴112ab ． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab ++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．2．B解析：B【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确.【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误.对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a b c c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a b c d>⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题. 3．A解析：A【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案.【详解】因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3，设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--，(1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥，||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤.对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1b =-，0c ，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B. 取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C.故选：A【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题. 4．B解析：B【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤；同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B.本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.5．B解析：B【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可.【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==,从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立,所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立,所以1a =-符合题意,可以排除A.故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误；故选：C .本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用. 7．D解析：D【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sin sin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．D解析：D【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a b b>+不成立. 【详解】 ||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立.故选:D.本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9．C解析：C【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解.【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.10．B解析：B【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可.【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确； 对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-， 则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确； 对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.11．D解析：D【分析】由已知条件，利用不等式的基本性质，直接求解，即可得到答案.【详解】由题意，,a b c >为实数，在A 中，当0c ≤时，ac bc >不定成立，所以不正确；在B 中，当0c ≥时，ac bc <不定成立，所以不正确；在C 中，当0c 时，22ac bc >不定成立，所以不正确；在D 中，因为2,0a b c >≥，所以22ac bc ≥成立，故选D.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C【解析】分析：根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．详解：根据题意，依次分析选项：对于A. 2,b 1a ==时，1a b>成立，故A 错误； 对于B 、2,b 1a ==时，有1133a b >成立，故B 错误；对于D 、2,b 1a ==，有2a ab >成立，故D 错误；故选：C ．点睛：本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．二、填空题13．【解析】解答：−==∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−=∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−<0∴−=∵a>b>0n>0∴−<0∴综上可知故答案为：点睛：比较大小的方法：作差法（作商法）中间量（比如0 解析：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 【解析】解答：b a −b m a m ++==()()b a m a a m -+ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()() b a m a a m -+<0 ∴b b m a a m+<+b m a m ++−a n b n ++=()()()()()()b a b a b a m n a m b n +-+-+++ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()()()()()() b a b a b a m n a m b n +-+-+++<0 ∴b m a m ++−a n b n ++<0 ∴b m a n a m b n++<++ a n b n ++−a b =()()b a n b b n -+ ∵a >b >0，n >0， ∴a nb n ++−a b <0 ∴a n a b n b+<+ 综上可知，b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 故答案为：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 点睛：比较大小的方法：作差法（作商法），中间量（比如0或1），函数的单调性，数形结合等方法.14．（﹣∞8【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和其最小值为8再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解可得a≤8故答案为（﹣∞8解析：（﹣∞，8]【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，可得a≤8，故答案为（﹣∞，8]．15．【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max 利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y解析：42a a ≥≤-或【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立，只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max ，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y+2z 的最大值，再解关于a 的绝对值不等式即可．解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2即x+2y+2z≤3，当且仅当 即，，时，x+2y+2z 取得最大值3．∵不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x ，y ，z 恒成立，只需|a ﹣1|≥3，解得a ﹣1≥3或a ﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2．即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．故答案为a≥4或a≤﹣2．点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力． 16．2【分析】根据矩形的面积公式化简的表示然后分类讨论结合基本不等式比较法放缩法进行求解即可【详解】由图示可得：当时当且仅当时取得等号；当时即有成立由可得当且仅当时取得等号综上可得的最小值是2【点睛】关 解析：2【分析】 根据矩形的面积公式化简3572468152S S S S S S S S S +++++的表示，然后分类讨论，结合基本不等式、比较法、放缩法进行求解即可.【详解】 由图示可得：222235724681522211S S S b a b a S S S S S S b a a b ab a b ab +++=++=+++++++++， 当1a b ab +<+时，2221b a a b ab ++++2222222221111b a a b ab ab ab ab ab ++++>+=≥=++++， 当且仅当1a b ==时，取得等号；当1a b ab +≥+时，即有2221b a a b ab ++++222222a b a b a b a b a b+++≥+=+++成立， 由2222222222(1)(1)20a b a b a b a b a b a b a b+++--+-+--==≥+++， 可得3572468152S S S S S S S S S +++++2≥，当且仅当1a b ==时，取得等号， 综上可得，3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是2. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据1a b ab ++，之间的大小关系，利用放缩法进行求解. 17．或【分析】根据将证等号成立条件转化为证等号成立条件求解【详解】因为所以要证的等号成立条件只需证的等号成立条件即的等号成立条件当时当时所以当且仅当即或时取等号故答案为：或【点睛】本题主要考查绝对值三角 解析：a b =或=-a b【分析】 根据0,0+≥++-≥a b a b a b ，将证a b a b a b +≤++-等号成立条件，转化为证()()22+≤++-a ba b a b 等号成立条件求解. 【详解】 因为0,0+≥++-≥a b a b a b ， 所以要证a b a b a b +≤++-的等号成立条件 ， 只需证()()22+≤++-a b a b a b 的等号成立条件 ， 即2222220++--≥a b a b ab 的等号成立条件 ，当22a b ≥时，()()()222222223230++--=--=-+≥a b a b ab a b ab a ba b ， 当22a b <时，()()()222222223230+---=--=-+≥a b a b ab b a ab b a a b ， 所以当且仅当22a b a b ⎧≥⎪⎨=⎪⎩，即a b =或=-a b 时，取等号， 故答案为：a b =或=-a b【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.18．【分析】令求出即可得出k 的取值范围【详解】设当时则即故答案为：【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围属于中档题解析：(),5-∞-【分析】令()|2||3|f x x x =+--，求出min ()f x ，即可得出k 的取值范围.【详解】设5,3()|2||3|21,235,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩当(2,3)x ∈-时，()(5,5)f x ∈-，则min ()5f x =-即5k <-故答案为：(),5-∞-【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题.19．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题 解析：[0,2]【解析】【分析】先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n n f x ff x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]00,2x ∈时不等式均成立，进而得解.【详解】由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.下证02x ≤≤即为所求.当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈， ()()()()[]201010210,2f x f f x f x ==-∈, ()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,…，()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.故答案为：[]0,2.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题. 20．4【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（）， 当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②{1，2}【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）①22n n n na nb ==，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证； ②原不等式化为2112n n +>，即221n n <+，运用二项式定理和不等式的性质，可得解集．【详解】（1）证明：n S 是正项数列{}n a 的求和，22a =，2112n n n S a a ++=-，可得21122222a S a a ==-=，则11a =，当2n 时，212n n n S a a -=-，又2112n n n S a a ++=-，两式相减可得22111222n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--+，化为11()(1)0n n n n a a a a +++--=，由正项数列{}n a ，可得11n n a a +-=，可得数列{}n a 是首项和公差均为1的等差数列；（2）①证明：22n n n n a n b ==，前n 项和1232482n nn T =+++⋯+， 11123248162n n n T +=+++⋯+， 两式相减可得1111(1)11111221224822212n n n n n n n T ++-=+++⋯+-=--， 化为222n nn T +=-， 可得2n T <； ②3332n n n T +>-即2332322n n n n ++->-， 化为2112n n +>，即221n n <+， 22(11)11n n n n C n =+=+++⋯++，可得1n =时23<；2n =时，45；3n 不成立，故原不等式的解集为{1，2}．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，化简运算能力和推理能力，属于中档题．22．（1）{}05x x ≤≤，（2）证明见解析【分析】（1）先将()f x 化成分段函数的形式，然后根据()5f x ≤，分别解不等式即可；（2）由（1）可知()f x 的最小值为3M =，从而可得223a b +=，再利用基本不等式证明即可【详解】 （1）解：25,4()413,1425,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩因为()5f x ≤，所以2554x x -≤⎧⎨>⎩，或14x ≤≤，或2551x x -+≤⎧⎨<⎩所以45x <≤，或14x ≤≤，或01x ≤<，所以05x ≤≤，所以不等式的解集为{}05x x ≤≤（2）证明：因为()|4||1|(4)(1)3f x x x x x =-+-≥-+-=，当且仅当14x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3M =，所以223a b +=， 所以22222211111[(2)(1)]21216a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭12263⎛≥+⨯= ⎝， 当且仅当22221221b a a b ++=++，即21a =，22b =时取等号 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方23．（1）{}|23x x <<（2）423a ≤≤ 【分析】 （1）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，解绝对值不等式求得q 中x 的取值范围，根据p q ∧为真，即,p q 都为真命题，求得x 的取值范围.（2）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围.【详解】对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<（1）当1a =时，对于p ：()()243310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q ∧为真，所以,p q 都为真命题，所以2413x x <<⎧⎨<<⎩解得23x <<，所以实数x 的取值范围是{}|23x x <<.（2）当0a >时，对于p ：()()224303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤.所以实数a 的取值范围是423a ≤≤. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.24．（1）{}14x x x ≤≥或（2）[]3,1a ∈--【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35x x a x -++≤-在[]1,3上恒成立，即22x a x --≤≤-+在[]1,3上恒成立，由此求得a 的范围．【详解】解：（1）当2a =-时，()3f x ≥， 323x x ∴-+-≥2523x x ≤⎧∴⎨-≥⎩或2313x <<⎧⎨≥⎩或3253x x ≥⎧⎨-≥⎩1x ∴≤或x ∈∅或4x ≥， 所以不等式的解集为{1x x ≤或4}x ≥．（2）()5f x x ≤-，35x x a x ∴-++≤-由于[]1,3x ∈，所以上式2x a ⇔+≤，所以22x a x --≤≤-+在区间[]1,3上恒成立，所以[]3,1a ∈--．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．25．（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】 （1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b -，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.26．（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. 【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-， 所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403x << 所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x << （2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立，即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立， 令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩， ()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， ||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m <<【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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不等式一、选择题（每小题5分，共60分）1．若a ≥0，b ≥0且a+b=1，则22b a +的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．22 D ．22．a 、b 均为正数，下列不等式中不成立的是（ ） A ．221≥++abb aB ．4)11)((≥++ba b a C ．b a abb a +≥+22D ．241≥++a a 3．下列命题中正确的是（ ） A ．xx y 1+=的最小值是2 B ．2322++=x x y 的最小值是2C ．4522++=x x y 的最小值是25 D ．xx y 432--=的最大值是342- 4．如果183log ≤a，则a 的取值范围是（ ） A ．830≤<aB ．83≥aC ．183<≤aD ．1830>≤<a a 或5．已知0)]log 1(log 1lg[35.0>++x ，那么（ ） A ．x>0 B ．x>1 C ．31≥x D ．131<<x 6．方程0)2lg(222=-+-a a x x 有一正根、一负根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,21()0,21(⋃B ．)1,21(-C ．)0,21(-D ．)1,21(7．在锐角三角形ABC 中，a=1，b=2，那么c 边的取值范围是（ ） A ．（0，5） B ．)5,1( C ．（1，3） D ．)5,3(8．设{}034|2<+-=x x x p ，{}2log )1(log )3(log |333>-+-=x x x q ，则q p ⋂为（ ）A ．{x|x>3}B ．{x|-1<x<2}C ．{x|2<x<3}D ．{x|1<x<2}9．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，2] B ．（-∞，2） C ．（-2，2] D ．（-2，2）10．设a ，b 为实数，且a+b=3，则ba22+的最小值是（ ） A ．6 B ．24C ．22D ．6211．已知定义在R 上的偶函数f(x)在[0，+∞）上为增函数，且0)31(=f ，则满足0)(log 81>x f 的x 的范围是（ ）A ．)21,0( B ．（2，+∞） C ．),2()1,21(+∞⋃ D ．),2()21,0(+∞⋃12．设f(x)=|1gx|且0<a<b<c ，f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中正确的是（ ） A ．ac<1 B ．bc<1C ．(a-1)(b-1)>0D ．ac>1二、填空题（每题4分，共16分）13．设a>0,b>0，且2a+3b=1，则ab 的最大值是_______。
14．方程043)3(9=+⋅++x x a 有解，则a 的取值范围是_____________。
15．函数f(x)的定义域是（0，1），若)]3([log )(21x f x F -=，则F(x)的定义域为______________。
16．关于x 的方程11)1(3)2(=+--+x k x k 有负数解，则k 的取值范围是________。
三、解答题（共6小题，共74分）17．（11分）已知适合不等式5|3||4|2≤-++-x p x x 的最大x 值是3，求p 的值。
18．（11分）已知实数a ，b ，x ，y 满足不等式(a+b)(x+y)>2(ay+bx)，求证2≥--+--yx ba b a y x 。
19．（12分）若不等式01222>++-m mx x ，对0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
20．（12分）设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，不论α、β为何实数，恒有f(sin α) ≥0，f(2+cos β) ≤0（1）求证b+c=-1；（2）求证c ≥3；（3）若函数f （sin α）的最大值为8，求b 、c 的值 21．（14分）设f(x)是定义在[-1，1]上奇函数，且对任意a 、b ∈[-1，1]，当a+b ≠0时，都有0)()(>++ba b f a f（1）若a>b ，比较f(a)与f(b)的大小； （2）解不等式)41()21(-<-x f x f ；（3）如果g(x) =f(x-c)和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的范围。
22．（14分）某种商品，原来定价每件p 元，每月能卖出n 件。
若定价上涨x 成（这里x 成即10x，且0<x ≤10），每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍。
（1）设y=ax ，其中a 为常数，且131<≤a ，用a 来表示当售货金额最大时的x 值。
（2）若x y 32=，求使售货金额比原来有所增加的x 的范围。
答案与提示一、1．B 2．D 3．C 4．D 5．D 6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、13．241 14．（-∞，-7]15．)25,2(16．)2,23()23,1(⋃三、17．提示：由x 的最大值为3，则x ≤3，x-3≤0|x-3|=3-x（1）若p x x p x x -+-=+-4|4|22，由题意：023 x ,53422≥++-≤-+-+-p x x p x x ，此时不可能有解x ≤3（2）若p x x p x x +-=+-4|4|22则025 x ,53422≤-+-≤-++-p x x p x x ①由题意可设c ≤x ≤3即(x-c)(x-3) ≤0，03)3(2≤++-c x c x ② 比较①②可得c=2，p=8，于是p=818．提示：由已知不等式有(a+b)(x+y)-2(ay+bx)>0，ax-ay+by-bx>0， a(x-y)-b(x-y)>0，(x-y)(a-b)>0，于是x-y 与a-b 同号，即有0y-x b-a ,0>>--b a y x 从而有2≥--+--yx ba b a y x 19．提示：设122)(2++-=m mx x x f ，本题等价于y=f(x)在x ∈[0，1]上的最小值大于0，求m 取值范围（1）当m<0时，f(x)在[0，1]上是增函数，因此f(0)有最小值解02112)0(0<<-⎩⎨⎧>+=<m m f m 得（2）当0≤m ≤1时，f(x)在x=m 时取得最小值解10012)(102≤≤⎩⎨⎧>++-=≤≤m m m m f m 得 （3）当m>1时，f(x)在[0，1]上是减函数，因此f(1)有最小值， 解102)1(1>⎩⎨⎧>=>m f m 得综合（1）、（2）、（3）得21->m 20．提示：（1）∵|sin α|≤1且f(sin α) ≥0恒成立，可得f(1) ≥0 又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β) ≤0恒成立，可得f(1) ≤0 ∴1010)1(-=+⇒=++⇒=c b c b f （2）∵c b c b --=⇒-=+11∴))(1()1()(2c x x c x c x x f --=++-= ∴x-c ≤0即c ≥x 恒成立 ∴c ≥3（3）∵222)21()21(sin sin )1(sin )(sin c c c c c f +-++-=++-=αααα 又221≥+c∴当sin α=-1时，f(sin α)的最大值为1-b+c 由1-b+c=8与b+c=-1联立可得b=-4，c=3 21．提示：（1）由a>b 知，要比较f(a)与f(b)大小，实质是要判断函数f(x)单调性任取]1,1[,21-∈x x ，当21x x <时，0)()()()()()()()(1212121212>--+-+=-+=-x x x x x f x f x f x f x f x f∴]1,1[)(-在x f 上是增函数 ∵a 、b ∈[-1，1]，a>b ∴f(a)>f(b) ∵ f(x)在[-1，1]上单调递增∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<--≤-⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-⇔-<-1414121211412114111211)41()21(x x x x x x x x x f x f ∴原不等式解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4521|x x （3）设g(x)，h(x)定义域分别是P 和Q则{}{}11|11|+≤≤-=≤-≤-=c x c x c x x P{}{}11|11|222+≤≤-=≤-≤-=c x c x c x x Q于是φ=⋂Q P 的充要条件是111122-<+-<+c c c c 或 解得c 的取值范围是).2()1,(∞+⋃--∞22．提示：（1）由题意知，若上涨x 成，上涨后的定价、每月卖出的数量、每月的售货金额分别是)101(x p +元、)101(yn -件、znp 元 ∴)101()101(yn x p znp -+=又y=ax ∴)101)(101(xa x a z -+=∵010a 1 ,0)101(>->+x x ∴a a x a x a z 4)1(2101)101(22+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++≤ 当且仅当101101x a x -=+，即aa x )1(5-=时取“=”号 ∵]10,0[)1(5131∈-=⇒<≤aa x a ，满足条件 （2）当x y 32=时，)3210)(10(1001)101)(101(x x y x z -+=-+=， 由1)3210)(10(1001>-+x x 解得0<x<5，所以使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围是（0，5）。