北师大版初二数学上册平方根111
数学北师大版八年级上册平方根(1)
2.2 平方根（第一课时）教学设计
教学目标
(一)教学知识点
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的性质.
(二)能力训练要求
1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.
2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.
(三)情感与价值观要求
1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.
2.训练学生动脑、动口、动手能力.
教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.
教学难点：了解算术平方根的概念、性质.
教学过程：
【课前预习】按照学案提纲阅读教材。
【学习目标】
1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根。
3、会利用算术平方根解决实际问题.
自我小结你今天有什么收获与感悟？
本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.
课后思考题作业：p40 习题2.3
1．△abc的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，求c的取值范围．
2．求中的x．。
北师大版数学八年级上册平方根(第1课时)课件
教学过程——新知探究
第二章 实数
知识点 算术平方根
2.算术平方根的性质
根据算术平方根的概念，可以得到算术平方根有如下性质：
(1)正数有算术平方根，负数没有算术平方根，0的算术平方根
是0,即 =0；
(2) ≥0(a≥0),即算术平方根是一个非负数.
(3)
第二章 实数
教学过程——课堂小结
第二章 实数
记一记
1.算术平方根的定义
2.算术平方根的性质
课后巩固——分层作业
练一练
第一层：课本第27页习题2.3第1、2、3题
第二层：课本第27页习题2.3第1、2、3、4题.
第二章 实数
结束新课
第二章 实数
感谢凝听
2
=
；
=
；
3
=
；
4
=
.
5
问题：
, , , 中哪些是有理数？哪些
是无理数？怎么表示它们？
1
D
1
O
1
A
C
1
1
B
教学过程——新知探究
第二章 实数
知识点 算术平方根
1.算术平方根的概念
利用学过的知识，我们很容易判断出 , , , ，中是有理数，其他三
个是无理数. 为了表示 , , ，我们引入一个新概念：
解：∵ − 2和 2 − 都有意义
∴ − 2≥0且2 − ≥0.
∵ − 2和2 − 互为相反数，两个非负数互为相反数只有0.
∴ − 2=0，2 − =0，
∴=2.
问题：若 = − + − − 求代数式 +
北师大版八年级数学上册课件.2平方根
第二章 实数
2.2.2 平方根
新课引入
1. 什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于a 则这个数叫做a的算 术平方根,表示为 a (a≥0）. 0的平方根是0，即 0 =0 .
新知探究
2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
答：加、减、乘、除、乘方五种运算.加与减互逆；乘与除互逆.
课堂小测
4.若|a-9|+（b-4）²=0，则
b a
2 的平方根是___3_.
【解析】因为|a-9|和（b-4）²都是非负数，且|a-9|+
（b-4）²=0，所以|a-9|=0，（b-4）²=0，所以a=9,b=4，
b a
4 9
,其平方根为
2. 3
5.求下列各式中的x: (1) x²=16 (2) x²= 25
课堂小测
2.4的平方根是 （ B ）
A. 2 B. 2 C. 16 D. 16
【解析】4的平方根是 4 = 2.
3.一个数x的平方根等于m+1和m-3，则m= 1 ，x= 4 .
【解析】根据一个正数的平方根互为相反数，得m+1和 m-3互为相反数，即m+1+m-3=0，解得m=1，则m+1=2， m-3=-2，所以x=4.
49
解: (1)x 16 4.
(2)x 25 5 . 49 7
课堂小结
1.平方根的概念：若x2=a，则x叫做a的平方根，x= a .
2.平方根的个数：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没 有平方根. 3.平方与开平方之间是互逆关系. 4.求平方根的方法：求一个数的平方根就是转化为
寻找哪个数的平方等于这个数.
北师大版八年级上册：平方根课件
3.（检测目标2）若
于（ D ）（5分）
A.-2
B.0
C.1
D.2
当堂达标
B组：
4. （检测目标1，2）若x+1的算术平方根是2，
求： x+6的算术平方根；（10分）
当堂达标
5.（检测目标3）用大小完全相同的240块正方形地板砖，
铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长
1.通过实际问题认识算术平方根，会用根号表示一个非负数的算术
平方根，发展符号意识.（重点）
2.通过自主探究、题组训练、合作探究等活动，会求一个非负数的
算术平方根，能归纳出算术平方根的双重非负性，提高计算能力和
归纳概括能力.（重难点）
3.通过合作探究，会用算术平方根解决生活中数学问题，发展应用
意识，体会数学与生活的联系.（难点）
z2 = 4
w2= 5
， y= 3 ;
， z = 4 ; 2
. w= 5 .
(2) x，y，z，w 中哪些是有理数？哪些
是无理数？你能表示它们吗？
合作探究
任务二
求某些数的算术平方根、探索及性质（指向目标2）
活动一
求一个正数的算术平方根
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；
(2) 1；
49
合作探究
合作探究
任务一：
认识算术平方根（指向目标1）
问题：(1)请大家根据勾股定理，结合图形完成填空.
x2 = 2 ，
，
y2 = 3
z2 = 4
，
w2= 5
.
(2) x，y，z，w 中哪些是有理数？哪些
是无理数？你能表示它们吗？
北师大版八年级数学上册2.2 平方根 第1课时 算术平方根
19.
若 a，b 为有理数，且 b＝
a2－1＋ a＋7
1－a2＋4，
a＞0，求 a＋b 的值．
解：由题意知 a2－1≥0 且 1－a2≥0，所以 a2＝1，
又因为 a＞0，所以 a＝1，所以 b＝4，所以 a＋b＝5.
12. (中考·绵阳)若 a＝2，则 a 的值为( B )
A．－4
B．4
C．－2
D. 2
13. 如下表，被开方数 a 的小数点位置移动和它的
算术平方根 a的小数点位置移动符合一定的规律，若 a
＝180，且－ 3.24＝－1.8，则被开方数 a 的值为( C )
a 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 a 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000
知识点 算术平方根的含义
1. 下列各式无意义的是( C )
A.
1 2
C. －2
B. （－2）2 D．－ 2
2. 下列说法正确的是( A ) A．因为 62＝36，所以 6 是 36 的算术平方根 B．因为(－6)2＝36，所以－6 是 36 的算术平方根 C．因为(±6)2＝36，所以 6 和－6 都是 36 的算术平 方根 D．以上说法都不对
输入 x ⇒
⇒ ÷2 ⇒ ＋1 ⇒ 输出
16. 已知|x－3|＋ y－10＝0，求 2x＋y 的算术平方 根．
解：因为|x－3|＋ y－10＝0， 所以 x－3＝0，y－10＝0， 所以 x＝3，y＝10. 所以 2x＋y＝16， 所以 2x＋y＝ 16＝4.
17. (教材 P27 习题 T4 变式)某小区要扩大绿化带面 积，已知原绿化带的形状是一个边长为 10 m 的正方形， 计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积 是原绿化带面积的 4 倍，求扩大后绿化带的边长．
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点平方根是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，特别是在代数、几何和物理中。
掌握平方根的概念和相关的知识，对于初中学生来说至关重要。
以下是初二上册数学《平方根》的一些重要知识点：一、什么是平方根1.定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x使得x²=a，那么x就是数a的平方根。
2.平方根的表示方法：√a，读作"a的平方根"。
3.平方根的性质：非负实数a的平方根是存在且唯一的。
二、平方根的运算1.平方根的加减法：√a±√b=√(a±b)2. 平方根的乘法：√a× √b = √(ab)3.平方根的除法：√a/√b=√(a/b)，其中b≠04.平方根与混合数的乘法：√(a×b)=√a×√b5.平方根的开方法则：√(a^m)=a^(m/2)，其中a≥0，m为正整数三、平方运算与平方根1.平方运算和平方根的逆运算关系：√(a²)=，a，即任意实数a的平方根的平方等于a的绝对值。
2.平方根与平方运算的运算规律：a)(√a)²=a，即平方根的平方等于原来的数。
b)√(a×b)=√a×√b，即两个数的乘积的平方根等于各个因数的平方根的乘积。
c)√(a/b)=√a/√b，即两个数的商的平方根等于各个因数的平方根的商。
四、平方根的应用1.平方根的几何意义：平方根表示直角三角形的边长关系。
2.平方根的估算：使用近似值计算平方根，例如使用奇数的平方根进行估算。
3.平方根的图像表示：绘制平方根函数的图像，了解其随着自变量的变化而变化的规律。
4.平方根在实际问题中的应用：例如计算长方形的对角线长度、计算三角形的边长等。
总而言之，初二上册数学《平方根》主要包括平方根的定义、运算法则以及平方根与平方运算的逆运算关系等知识点。
掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解和应用平方根，在解决实际问题时有更好的思路和方法。
北师大版八年级上册2.2.1平方根(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方根的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方根的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方根的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如平方根的符号理解和计算应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，ຫໍສະໝຸດ 组讨论一个与平方根相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量并计算正方形边长，演示平方根的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方根在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.通过估算平方根的练习，发展学生的数学运算和数据分析素养，提高其数学思维和实际应用能力。
4.结合实际问题的解决，激发学生的数学应用意识，培养其跨学科综合运用知识解决问题的能力，增强创新意识和实践能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平方根的定义及其性质：理解非负数平方根的概念，掌握一个非负数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根是0。
另外，实践活动中的分组讨论环节，学生们表现得非常积极。他们能够主动提出问题，并尝试用所学的平方根知识来解决。但同时，我也注意到有些学生在讨论中不够积极，可能是因为他们对问题还不够理解或者缺乏自信。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，更多地鼓励和引导这些学生，帮助他们克服困难，增强自信。
数学北师大版八年级上册平方根111
２．平方根（二）一．学生起点分析学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方根.本节也为后面学习“立方根”做基础.二．教学任务分析《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探索---类比----发现”中发展学习数学的能力.三．学习目标知识目标1.了解平方根、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.能力目标1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力.2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力.情感目标1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神.2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度.四.教学重点:1.了解平方根开、平方根的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点:1.平方根与算术平方根的区别和联系.2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.3.五．教学方法引导、探究、类比相结合六．课前准备ppt 和flash七．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习旧知 引入新知；第二环节：形成概念，辨析概念；第三环节：例题和巩固练习；第四环节：课堂小结；第五环节：思维拓展；第六环节：布置作业.第一环节：复习旧知 引入新知（一）复习1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是____3______. 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________.展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长___7_____米.2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___.将它扩展，面 积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____.（二）复习引入问题：平方等于9，254,49的数还有吗？意图: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识.熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成FLASH 情景引入,增加动画效果.效果：借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣.第二环节 : 新课学习（一）探究新知填空：32=(9 )(-3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=()214= (不存在)2=-4(12-)2（二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。
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２．平方根（二）
一．学生起点分析
学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习
中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方
根.本节也为后面学习“立方根”做基础.
二．教学任务分析
《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在
具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及
其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---
探索---类比----发现”中发展学习数学的能力.
三．学习目标
知识目标
1.了解平方根、开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.
3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.
能力目标
1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力.
2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力.
情感目标
1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神.
2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度.
四.教学重点:
1.了解平方根开、平方根的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
教学难点:
1.平方根与算术平方根的区别和联系.
2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.
3.
五．教学方法
引导、探究、类比相结合
六．课前准备
ppt 和flash
七．教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习旧知 引入新知；第二环节：形成概念，辨析概念；第三环节：例题和巩固练习；第四环节：课堂小结；第五环节：思维拓展；第六环节：布置作业.
第一环节：复习旧知 引入新知
（一）复习
1．什么叫算术平方根?
3的平方等于9，那么9的算术平方根就是____3______. 52的平方等于 254 ，那么25
4 的算术平方根就是_____52_________.
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长___7_____米.
2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？
乘方有没有逆运算?
平方与算术平方根之间的关系？
已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___.将它扩展，面 积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____.
（二）复习引入
问题：平方等于9，254,49的数还有吗？
意图: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识.熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成FLASH 情景引入,增加动画效果.
效果：借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣.
第二环节 : 新课学习
（一）探究新知
填空：
32=(9 )
(-3)2=(9 ) ( )2=9 02
=0
(1
2)2=(
)214= (不存在)2=-4 (1
2-)2
（二）形成概念(1)
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。
表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根. 记作： a ±
例如:(±4)2
=16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根.
（三）探索平方与开平方的关系:
给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系.
（四）概念辨析
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a
意图：形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系.，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系.
效果：由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠。
第三环节 例题和新知巩固
（一）例题示范
求下列各数的平方根:
(1) 25 (2) ； (3)15； (4) ；(5)0.1-2
确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.
效果：通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言.
（二）思考提升
()2
5-的平方根是 ，2
=
= ，=
=2a 。
2
≥=当a ，
（三）巩固练习
1 ．下列说法正确的是
①3-②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的
平方根是8．
2．下列说法不正确的是( ) ．
(A)0的平方根是0 (B)2
2-的平方根是2±
(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3. 已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．
(A) a+1 (C) a 2+1
4.x 有意义？ 答：因为02
x -≥，所以0x ≤ 意图：围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解.
效果：学生基本能水利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达.
第四环节 课堂小结
内容：引导学生总结本课时的知识、方法。
意图：让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯.
效果：在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如：
平方根的概念：若2x a =，则x 叫a 的平方根，x =平方根的个数：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根.
平方与开方之间的关系；
求平方根的方法：求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数.
第五环节 提高训练
内容：1.5+a ，5-b ，求a b +的值.
2.已知实数a ，b 满足2
96b b =
①若a ，b 为ABC ∆的两边，求第三边c 的取值范围；
②若a ，b 为ABC ∆的两边，第三边c 等于5，求ABC ∆的面积.
意图：安排了两道题,其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题.可供老师根据教学的实际情况灵活处理.
第六环节 作业布置
习题2．４
八、教学设计反思
本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时.主要知识是平方根的学习和运用.教材是教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.
（１）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的.所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符.对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题.如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.
再让学生去讨论：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念.
（２）鼓励学生进行探究和交流本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流.如：把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性.
（３）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系.类比概念：“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算.
（4）根据学生实际，灵活使用教材
教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固,我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习. 当然，选题要有层次,有梯度.老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍.。