2016-2017年天津市静海一中高二下学期数学期末试卷与解析PDF(理科)
2016-2017年天津市静海一中高二(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年天津市静海一中高二（下）6月月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共30分）1．（5分）若＝1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|＝（）A．B．C．D．12．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻且A与C不相邻，则不同排法有（）A．60种B．18种C．24种D．36种3．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．4．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）A．+B．+﹣C．﹣D．﹣二、填空题：（每小题5分，共40分）7．（5分）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有种．8．（5分）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3＝．9．（5分）设复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且，若复数对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为．10．（5分）观察下列等式：（1+1）＝2×1（2+1）（2+2）＝22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．11．（5分）已知函数f（x）＝x﹣存在单调递减区间，且y＝f（x）的图象在x＝0处的切线l与曲线y＝e x相切，符合情况的切线l有条．12．（5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，不同的放法种数．13．（5分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f （x）＝lnx﹣ax，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5题，共60分）15．（16分）由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x＝0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．16．（10分）已知A，B，C三个箱子中各装有3个完全相同的小球，每个箱子里的球分别标着号码1，2，3现从A，B，C三个箱子中各摸出1个球．（1）若用数组（x，y，z）中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，问数组（x，y，z）共有多少种？（2）求“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率；（3）若取出的3个球的号码中奇数的个数为ξ，ξ的分布列．17．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝．（Ⅰ）设F（x）＝f（x）﹣g（x），试判断函数F（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？并证明你的结论；（Ⅱ）若方程f（x）＝在区间[﹣1+，1+）上有两不相等的实数根，求m的取值范围；（Ⅲ）当x＞0时，若+g（x）＞恒成立，求整数k的最大值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n与S n满足关系式S n＝3﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（10分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．四、解答题（共1小题，满分20分）20．（20分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；（3）在（2）的条件下设h（x）＝f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．2016-2017学年天津市静海一中高二（下）6月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共30分）1．（5分）若＝1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∴a＝2，b＝﹣1∴故选：A．2．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻且A与C不相邻，则不同排法有（）A．60种B．18种C．24种D．36种【解答】解：根据题意，分3步分析：①、先将DE全排列，有A22＝2种情况，排好后有3个空位，②、将AB看作一个元素，考虑其顺序有A22＝2种情况，插入三个空位之一，有3种方法，则AB的安排方法有2×3＝6种，③、这时AB、D、E产生四个空位，最后将C插入与A不相邻的三个空位之一，有3种方法，则一共有2×6×3＝36种不同排法；故选：D．3．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，函数上的点到直线y＝x的距离为，设g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝，由g′（x）＝≥0可得x≥ln2，由g′（x）＝＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．4．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1＝，令12﹣3r＝0，则r＝4．即有m＝＝3．则＝（x2﹣2x）dx＝（x3﹣x2）＝．故选：C．5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）【解答】解：f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，∴f′（x）＝f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），∴f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）＝1，当x＝0时，解得：f′（1）＝2e2，∴f（x）＝e2x+x2﹣2x，设F（x）＝e2x g（x），F′（x）＝g′（x）e2x+2g（x）e2x＝e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F（2015）＞F（2017），f（2）＝e4，e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），∴g（2015）＞e4g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），故选：D．6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）A．+B．+﹣C．﹣D．﹣【解答】解：∵f（k）＝+…+，f（k+1）＝+…+∴f（k+1）﹣f（k）＝∵f（k+1）＝f（k）+g（k），∴g（k）＝故选：B．二、填空题：（每小题5分，共40分）7．（5分）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有12种．【解答】解：设2名教师为A，B，第一步，先分组，与A同组的2名学生公有种，另两名学生与B同组有种方法，第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有种方法，由分步计数原理可得，共有••＝12种，故答案为：12．8．（5分）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3＝10．【解答】解：f（x）＝x5＝[（x+1）﹣1]5＝（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3＝（﹣1）2＝10故答案为：109．（5分）设复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且，若复数对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为（﹣5，1）．【解答】解：复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且，∴＝，解得a＝3．复数+＝3﹣i+＝3﹣i+＝+i对应的点（，）在第四象限，∴＞0，＜0，解得﹣5＜m＜1．则实数m的取值范围为（﹣5，1）．故答案为：（﹣5，1）．10．（5分）观察下列等式：（1+1）＝2×1（2+1）（2+2）＝22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…•（2n﹣1）．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n 项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）．11．（5分）已知函数f（x）＝x﹣存在单调递减区间，且y＝f（x）的图象在x＝0处的切线l与曲线y＝e x相切，符合情况的切线l有0条．【解答】解：函数f（x）＝x﹣的导数为f′（x）＝1﹣，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线l的方程为y＝（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y＝e x相切，设切点为（x0，y0），即有＝1﹣＝（1﹣）x0﹣1，消去a得＝x0﹣1，设h（x）＝e x x﹣e x﹣1，则h′（x）＝e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则＞1，而a＞0时，1﹣＜1，与＞1矛盾，所以不存在．故答案为：0．12．（5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，不同的放法种数120．【解答】解：根据题意，先在编号为2的盒子中依次放入1个小球，编号为3的盒子中依次放入2个小球，还剩余17个小球，只需将这17个小球放入3个小盒，每个小盒至少一个即可，故答案为：120．13．（5分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．【解答】解：求导函数，可得f′（x）＝2mx+﹣2，x＞0，函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立，所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立，所以，所以﹣2m≤﹣1所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数．故答案为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f （x）＝lnx﹣ax，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）有4个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有2个零点，∴y＝lnx与y＝ax有2个交点，作出y＝lnx与y＝ax的函数图象如图所示：设y＝ax与y＝lnx相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝e，y0＝1，a＝．∴当0时，直线y＝ax与y＝lnx在（0，+∞）上有2个交点，故答案为（0，）．三、解答题（本大题共5题，共60分）15．（16分）由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x＝0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．【解答】解：（1）若x＝5，则四个数字为1，2，4，5；又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32＝6种情况，即能被5整除的三位数共有6个；（2）若x＝9，则四个数字为1，2，4，9；又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，取出的三个数字为1、2、9时，有A33＝6种情况，取出的三个数字为2、4、9时，有A33＝6种情况，则此时一共有6+6＝12个能被3整除的三位数；（3）若x＝0，则四个数字为1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32＝6种情况，当末位是2或4时，有A21×A21×A21＝8种情况，此时三位偶数一共有6+8＝14个，（4）若x＝0，可以组成C31×C31×C21＝3×3×2＝18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18＝126，不合题意，故x＝0不成立；当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21＝4×3×2＝24种，共用了24×3＝72个数字，则每个数字用了＝18次，则有252＝18×（1+2+4+x），解可得x＝7．16．（10分）已知A，B，C三个箱子中各装有3个完全相同的小球，每个箱子里的球分别标着号码1，2，3现从A，B，C三个箱子中各摸出1个球．（1）若用数组（x，y，z）中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，问数组（x，y，z）共有多少种？（2）求“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率；（3）若取出的3个球的号码中奇数的个数为ξ，ξ的分布列．【解答】解：（1）用数组（x，y，z）中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，数组（x，y，z）有：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种（2）“取出的3个号码中恰有2个相同”，包含的基本事件有：（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，3，1），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，3），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，3），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），共18种，∴“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率p＝＝．（3）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝，∴ξ的分布列为：17．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝．（Ⅰ）设F（x）＝f（x）﹣g（x），试判断函数F（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？并证明你的结论；（Ⅱ）若方程f（x）＝在区间[﹣1+，1+）上有两不相等的实数根，求m的取值范围；（Ⅲ）当x＞0时，若+g（x）＞恒成立，求整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）F（x）＝ln（x+1）﹣，F′（x）＝+，由题设x＞0，所以得：F′（x）＞0，故F（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（Ⅱ）∵f（x）＝，∴（x+1）ln（x+1）＝m，设h（x）＝（x+1）ln（x+1），则h′（x）＝ln（x+1）+1，x，h′（x），h（x）变化如下表：1+1+1+1+∵h（0）＝0，h（﹣1+）＝﹣，h（﹣1+）＝﹣，∴h（﹣1+）＜h（0）＝0，又h（1+）＞h（0）＝0，∴﹣＜m≤﹣，即m∈（﹣，﹣]时，方程f（x）＝在区间[﹣1+，1+）有两不相等的实数根．（Ⅲ）当x＞0时，若+g（x）＞恒成立，即k＜[1+ln（x+1）]在（0，+∞）上恒成立，设φ（x）＝[1+ln（x+1）]，则φ′（x）＝，再设G（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），则G′（x）＝1﹣＝＞0，故G（x）在（0，+∞）上单调递增，而G（1）＝﹣ln2＜0，G（2）＝﹣1﹣ln3＜0，G（3）＝2﹣2ln2＞0，故G（x）＝0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），即x＝a是方程x﹣1﹣ln（x+1）＝0在（0，+∞）上有唯一解，故当x∈（0，a）时，G（x）＜0，φ′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，G（x）＞0，φ′（x）＞0，故φ（x）min＝φ（a）＝[1+ln（a+1）]＝a+1∈（3，4），∴k≤3，故k max＝3．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n与S n满足关系式S n＝3﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）∵S n＝3﹣a n（n∈N*）．∴a1＝s1＝3﹣a1，解得a1＝＝1，a1+a2＝s2＝3﹣a2，解得a2＝，a1+a2+a3＝s3＝3﹣a3，解得a3＝＝，a1+a2+a3+a4＝s4＝3﹣a4，解得a4＝，（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想an＝，（n∈N*）．证明：①当n＝1时，a1＝1，等式成立；②假设n＝k时，结论成立，即a k＝，（k≥2，k∈N*）．则n＝k+1时，a k+1＝s k+1﹣s k＝3﹣k k+1﹣3+a k，∴（1+）a k+1＝•，∴a k+1＝，∴a k+1＝，所以当n＝k+1等式成立根据①②可知猜想成立．19．（10分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）＝＝，P（B）＝＝，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）＝P（A）（1﹣P（B））＝＝．（Ⅱ）P（C）＝，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝P（）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝P（A）+P（）+P（）＝+（1﹣）×＝，P（X＝2）＝P（AB）+P（A）+P（）＝+（1﹣）×＝，P（X＝3）＝P（ABC）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．四、解答题（共1小题，满分20分）20．（20分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；（3）在（2）的条件下设h（x）＝f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．【解答】解：（1）…（1分）明显，当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0…（2分）故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，…（3分）因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值…（4分）∴lna＝a﹣1解得a＝1…（5分）（2）∵①若，即，则当时，有f'（x）≥0，∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1﹣ea+a．…（6分）②若，即，则函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴．…（7分）③若，即a≥e，则当时，有f'（x）≤0，函数f（x）在上单调递减，则．…（8分）综上得，当时，f（x）max＝1﹣ea+a；当时，f（x）max＝﹣lna﹣1+a；当a≥e时，．…（9分）（3）要证明，只需证明…（10分）只需证明，即证明，…（11分）不妨设x1＞x2＞0，令，则t＞1，则需证明…（12分）令，则，∴g（t）在（1，+∞）上是单调函数，∴．故不等式得证．…（14分）。
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
2016-2017学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
） B． （0.025，0.05） D． （3.841，5.024）
） B．EX＝ D．EX＝ ，DX＝ ，DX＝ ） D． ≠
9． （4 分）若 m，n∈N ，且 n≥m，则下列说法正确的是（ A． ≥ B． ＞ C． ＝
10． （4 分）函数 f（x）＝ 为（ A．1 二.填空题 11． （4 分）i 是虚数单位，a，b∈R，若 ） B．2
2016-2017 学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（理科）
一.选择题（每题 4 分） 1． （4 分）i 是虚数单位， A． i 等于（ ） C． + i D． ﹣ i
B．﹣ i
2． （4 分）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn） ， 由这些数据得到的回归直线 l 的方程为 ＝ 列各点中一定在 l 上的是（ A． （ ， ） ） C． （0， ） D． （0，0） ，若 ＝ ， ＝ ，则下
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2016-2理 科）
参考答案与试题解析
一.选择题（每题 4 分） 1． （4 分）i 是虚数单位， A． i 【解答】解： 故选：D． 2． （4 分）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn） ， 由这些数据得到的回归直线 l 的方程为 ＝ 列各点中一定在 l 上的是（ A． （ ， ） ） C． （0， ） D． （0，0） ，若 ＝ ， ＝ ，则下 ＝ 等于（ ） C． + i ＝ ＝ ﹣ i， D． ﹣ i
19． （12 分）盒中有标号分别为 0，1，2，3 的球各一个，这些球除标号外均相同．从盒中 依次摸取两个球（每次一球，摸出后不放回） ，记为一次游戏．规定：摸出的两个球上的 标号之和等于 5 为一等奖，等于 4 为二等奖，等于其它为三等奖． （1）求完成一次游戏获三等奖的概率； （2）记完成一次游戏获奖的等级为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望． 20． （12 分）已知函数 f（x）＝x ﹣2x ，g（x）＝﹣4x +4x﹣2，x∈R． （1）求 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）＞g（x） ．
天津市2016_2017学年高二数学下学期期中试题理PDF
a x2
+
1 x
³
0 在（1，2）上恒成立
∴a £ x2 + x
∴a £ 2
（3） g(x ) =
1-
a x2
+
1 x
-
a x
g(x ) =
x2
+ (1 - a)x x2
-a
g '(x ) =
1 - x2
+
a x2
+
2a x3
g '(x )
=
(a
-
1)x x3
+ 2a
=
0
x
=
2a 1-a
∴a ³ 1时
（Ⅱ） f (x) = x ln x ,"x Î[1, +¥), f (x) £ m(x - 1),即ln x £ m(x - 1 ) ，
x +1
x
设 g(x) = ln x - m(x - 1 ) ，即 "x Î[1, +¥), g(x) £ 0 x
h(x) 在 (0, +¥) 无零点；……………………………………………………………………………………5 分
(ⅱ)若 a > 1， h¢(x) = ex - a 在 (0, +¥) 递增， h¢(x) > h¢(0) = 1 - a ，1 - a < 0 x +1
且 x ® +¥ 时， h¢(x) ® +¥ ，则 $x0 Î (0，+ ¥) 使 h¢(x0 ) = 0 进而 h(x) 在 (0，x0 ) 递减，在 (x0，+ ¥) 递增， h(x0 ) < h(0) = 0 ，由指数、对数函数的增长率知， x ® +¥ 时 h(x) ® +¥ ，
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
天津市静海县第一中学、宝坻区第一中学等五校高二下学
高二数学（理）试卷Ⅰ、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数1z i =-（i 是虚数单位），则2iz z+等于（ ） A ．2 B ．2i C ．2i - D ．22i + 2.已知,x y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为：^2y bx =+，则b =（ ） A ．110-B ．12-C ．110D ．123.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈.参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4.已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～(,)B n p 且()12,()4E X D X ==，则n 与p 的值分别为（ ） A ．218,3 B ．118,3 C ．212,3 D ．112,35.函数32()(6)1f x x ax a x =++++在R 上存在极值，则实数a 的取值范围（ ）A ．36a -≤≤B ．6a ≥或3a ≤-C ．36a -<<D ．6a >或3a <- 6.证明*11111()234212nn n N +++++>∈-，假设n k =时成立，当1n k =+时，左端增加的项数是（ ）A ．1项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项7.某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是（ ）A ．14259C CB ．556058C C - C ．1423259258C C C C -D ．1423258258C C C C -8.如果函数321()3f x x a x =-满足：对于任意的12,[0,1]x x ∈，都有12|()()|1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(B ．23[(0,]C ．[D ．23((0,) Ⅱ、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.34P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上有 人.10.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈，则20091222009222a a a +++的值为 .11.曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 .12.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数之和大于8”为事件B ，则(|)P B A = . 13.若,,a b c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则222a b c +=，称这个定理为勾股定理，现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC -中，90AOB BOC COA ∠=∠=∠=，S 为顶点O 所对面的面积，123,,S S S 分别为侧面,,OAB OAC OBC ∆∆∆的面积，则123,,,S S S S 满足的关系式为 .14.已知函数()f x 的定义域是R ，(0)2f =，若对任意'{,()()1}x R f x f x ∈+<，则不等式()1xxe f x e <+的解集为 .Ⅲ、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知在1(nx+的展开式中二项式系数和为256． （1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. （本小题满分13分）甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一对获胜4场就结束比赛. 现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25. （1）求甲对以4:3获胜的概率；（2）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望. 17. （本小题满分13分） 已知函数()ln af x x x=-，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数2()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围. 18. （本小题满分13分）已知一个袋子里装有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； （2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到5次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 19. （本小题满分14分）,,,,A B C D E 五名大学生被随机地分到甲、乙、丙、丁四所学校实习，每所学校至少负责安排一名实习生.（1）求,A B 两人同时去甲学校实习的概率； （2）求,A B 两人不去同一所学校实习的概率；（3）设随机变量ξ为这五名学生中去甲学校实习的人数，求ξ的分布列和数学期望. 20. （本小题满分14分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，2()2g x x x b =-+，当1[,2]2x ∈时，()f x 与()g x 有两个交点，求实数b 的取值范围； （3）证明：*2222223451ln(1)()1234n n n N n++++++>+∀∈.2015-2016学年度第二学期期末五校联考高二数学（理）答案Ⅰ、选择题1.B2.D3.B4.A5.D6.B7.A8.CⅡ、填空题9．8 10.-1 11.12． 13. 14.15.(1)二项式系数和为………………………………………2分…………………………4分(2)第5项二项式系数最大………………………………………………………8分…………………………………………………………………………10分二项式系数最大的项为……………………13分16.（1）设甲队以获胜的事件分别为B∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，∴甲队以获胜的概率分别为……………………………………………5分（2）随机变量X的可能取值为5，6，7……………………………………………5分6分∴………………………………………………………………… 7分……………………………………………………8分…………………………………9分12分………………………………………13分17.（1）的定义域为，且………………………1分①当时，，在上单调递增；………………………3分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增………………………5分（2）当时，，………………6分由得或……………………………………………………7分当时，；当时，.所以在上，…………………………………9分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有…………………………………………………………11分所以实数的取值范围是………………………………………13分18.（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：. 2分………………………………………………………4分………………………………………………………5分另解：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知………2分则…………5分（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……………………………6分，…………………………………………………………7分……………………………………………………8分，………………………………………………………9分………………………………………………10分∴随机变量X的期望为：…………………13分19. （本小题满分14分）解：（1）记“A、B两人同时甲学校实习”为事件…………………………………………………………4分即A、B两人同时甲学校实习的概率是（2）记“A、B两人同时去同一学校实习”为事件…………………………………………………………8分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是。
2016-2017学年天津市静海一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年天津市静海一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分）1．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．22．（5分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（）A．19、13B．13、19C．20、18D．18、203．（5分）曲线y＝cos x，与坐标轴围成的面积是（）A．4B．2C．D．34．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（2014）+2014lnx，则f′（2014）＝（）A．2015B．﹣2015C．2014D．﹣20145．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．1996．（5分）如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1} 8．（5分）记定义在R上的函数y＝f（x）的导函数为f'（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）＝f'（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）＝x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）已知i是虚数单位，复的共轭复数为．10．（5分）已知函数y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y＝2x﹣1，则函数g（x）＝x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为．11．（5分）二项式的展开式中所有有理项的系数和等于（用数字作答）．12．（5分）若，则＝．13．（5分）记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A．若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为．14．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数为f'（x）＝cos x﹣5，且f（0）＝0，如果f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共80分）15．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2n﹣a n（n∈N*），（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）已知函数f（x）＝alnx+bx2+x．（a，b∈R）．（1）若函数f（x）在x1＝1，x2＝2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；（2）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，且对任意x∈[1，e]，都使得f（x）﹣x≤（a+2）（﹣x2+x）恒成立，求实数a的取值范围．17．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望18．（14分）已知函数f（x）＝ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f'（x）为其导函数，且x＝3时f（x）有极小值﹣9．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若g（x）＝f'（x）+（6m﹣8）x+4，h（x）＝mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若不等式f'（x）＞k（xlnx﹣1）﹣3x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）19．（13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．二、提高题（共15分）20．（15分）已知函数f（x）＝ax2+lnx，g（x）＝﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）＝f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x＝处取得极值，且f′（1）＝g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a＝0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．二、提高卷（共30分）21．已知函数f（x）＝（x+m）lnx曲线y＝f（x）在x＝e处切线与y＝2x平行．（1）求实数m值及y＝f（x）极值（2）若当x＞1时，函数y＝（ax+1）（x﹣1）图象恒在y＝（a+1）f（x）图象上方，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．2016-2017学年天津市静海一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分）1．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4，所以a＝0；故选：B．2．（5分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（）A．19、13B．13、19C．20、18D．18、20【解答】解：由题意知，∵甲运动员的得分按照从小到大排列是7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41共有11 个数字，最中间一个是19，乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，共有11个数据，最中间一个是13，∴甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别是19，13．故选：A．3．（5分）曲线y＝cos x，与坐标轴围成的面积是（）A．4B．2C．D．3【解答】解：根据图形的对称性，可得曲线y＝cos x，与坐标轴围成的面积S＝3＝3故选：D．4．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（2014）+2014lnx，则f′（2014）＝（）A．2015B．﹣2015C．2014D．﹣2014【解答】解：求导得：f′（x）＝x+2f′（2014）+令x＝2014，得到f′（2014）＝2014+2f′（2014）+1，解得：f′（2014）＝﹣2015，故选：B．5．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．199【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，．故选：C．6．（5分）如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域E的面积S＝＝2×＝2×，区域D的面积为S1＝2×2＝4，∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P＝，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）＝f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）＝f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）＝1，∴g（1）＝f（1）﹣﹣＝1﹣1＝0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D．8．（5分）记定义在R上的函数y＝f（x）的导函数为f'（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）＝f'（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）＝x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：设函数f（x）的“中值点”为x0，f（x）＝x3﹣3x的导数为f′（x）＝3x2﹣3，由题意可得f′（x0）＝＝＝＝1，即﹣3＝1，解得x0＝±＝±∈[﹣2，2]，故函数y＝x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数是2．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）已知i是虚数单位，复的共轭复数为1+i．【解答】解：∵＝，∴复数的共轭复数为1+i．故答案为：1+i．10．（5分）已知函数y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y＝2x﹣1，则函数g（x）＝x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5＝0．【解答】解：由题意，f（2）＝2×2﹣1＝3，∴g（2）＝4+3＝7∵g′（x）＝2x+f′（x），f′（2）＝2，∴g′（2）＝2×2+2＝6∴函数g（x）＝x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7＝6（x﹣2）即6x﹣y﹣5＝0故答案为：6x﹣y﹣5＝011．（5分）二项式的展开式中所有有理项的系数和等于365（用数字作答）．【解答】解：二项式的展开式中T r+1＝＝26﹣r（﹣1）r，分别令r＝0，2，4，6时，可得：T1＝＝64x3，T3＝x0＝240，T5＝＝60，T7＝＝1．所有有理项的系数和＝64+240+60+1＝365．故答案为：365．12．（5分）若，则＝﹣．【解答】解：设＝m，则f（x）＝x3+3m，∴m＝＝+3＝+3m＝+3m，解得m＝﹣．故答案为：．13．（5分）记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A．若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为．【解答】解：由题意，两位数为10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其个位数为1的为21，41，故其个位数为1的概率为．故答案为：．14．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数为f'（x）＝cos x﹣5，且f（0）＝0，如果f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣8，0]．【解答】解：∵﹣1≤cos x≤1，∴f'（x）＝cos x﹣5＜0，∴函数f（x）在R上单调递减，∵f′（x）＝cos x﹣5为偶函数及f（0）＝0可得f（x）为奇函数由f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0可得，f（1﹣ax）＜﹣f（1﹣ax2）＝f（ax2﹣1）即1﹣ax＞ax2﹣1∴a（x2+x）＜2，当x＜﹣1或x＞0时，x2+x＞0，则a＜＝∵＞0，∴a≤0，当﹣1＜x＜0时，x2+x＜0，则a＞＝当x＝﹣时，（x+）2﹣有最小值，则有最大值﹣8，∴a＞﹣8，当x2+x＝0时，恒成立，综上所述a的取值范围为（﹣8，0]，故答案为（﹣8，0]．三、解答题（本大题共6题，共80分）15．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2n﹣a n（n∈N*），（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2﹣a1，∴a1＝1．当n＝2时，a1+a2＝S2＝2×2﹣a2，∴a2＝．当n＝3时，a1+a2+a3＝S3＝2×3﹣a3，∴a3＝．当n＝4时，a1+a2+a3+a4＝S4＝2×4﹣a4，∴a4＝．（2）猜想a n＝（n∈N*）．证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即a k＝，那么n＝k+1时，a k+1＝S k+1﹣S k＝2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k＝2+a k﹣a k+1．∴2a k+1＝2+a k，∴a k+1＝＝，这表明n＝k+1时，结论成立，由①②知猜想a n＝（n∈N*）成立．16．（13分）已知函数f（x）＝alnx+bx2+x．（a，b∈R）．（1）若函数f（x）在x1＝1，x2＝2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；（2）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，且对任意x∈[1，e]，都使得f（x）﹣x≤（a+2）（﹣x2+x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝alnx+bx2+x的导数为f′（x）＝+bx+1，由在x1＝1，x2＝2处取得极值，可得f′（1）＝a+b+1＝0，f′（2）＝a+2b+1＝0，解得a＝﹣，b＝﹣，此时f（x）＝﹣lnx﹣x2+x，f′（x）＝﹣﹣x+1＝﹣，列出表格：所以，在x＝1取得极小值，在x＝2取得极大值﹣ln2；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，则f′（1）＝a+b+1＝1，则a＝﹣b，故f（x）＝alnx﹣x2+x，若f（x）﹣x＝alnx﹣x2≤（a+2）（﹣x2+x）成立，则a（x﹣lnx）≥x2﹣2x成立，由x∈[1，e]，可得lnx≤1≤x，且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0．因而a≥（x∈[1，e]）．令g（x）＝（x∈[1，e]）又g′（x）＝，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx≥0，从而g′（x）≥0（仅当x＝1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数．故g（x）的最大值为g（e）＝，则a的取值范围是[，+∞）．17．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望【解答】解：（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2＝{从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，事件C＝{顾客抽奖1次能获奖}，由题意A 1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B 1＝A1A2，B2＝+，C＝B1+B2，因为P（A1）＝，P（A2）＝，所以，P（B 1）＝P（A1）P（A2）＝＝，P（B2）＝P（）+P （）＝+＝＝，故所求概率为：P（C）＝P（B1+B2）＝P（B1）+P（B2）＝．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．故X的分布列为：E（X）＝3×＝．18．（14分）已知函数f（x）＝ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f'（x）为其导函数，且x＝3时f（x）有极小值﹣9．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若g（x）＝f'（x）+（6m﹣8）x+4，h（x）＝mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若不等式f'（x）＞k（xlnx﹣1）﹣3x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）【解答】解：（Ⅰ）由f'（x）＝3ax2﹣2x+b，因为函数在x＝3时有极小值﹣9，所以，从而解得a＝，b＝﹣3所求的f（x）＝x3﹣x2﹣3x，所以f'（x）＝x2﹣2x﹣3，由f'（x）＜0解得﹣1＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），（Ⅱ）由f′（x）＝x2﹣2x﹣3，故g（x）＝x2﹣2x﹣3+（6m﹣8）x+4，当m＞0时，若x＞0，则h（x）＝mx＞0，满足条件；若x＝0，则g（0）＝1＞0，满足条件；若x＜0，h（x）＜0，所以g（x）＞0恒成立，6m﹣8＜﹣﹣x+2恒成立，﹣﹣x+2≥4，当且仅当x＝﹣1取等号，所以6m﹣8＜4，0＜m＜2，即m的取值范围是（0，2）；（Ⅲ）因为f′（x）＝x2﹣2x﹣3，所以f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣3x﹣4等价于x2+x+1＞k（xlnx﹣1），即x++1﹣klnx＞0，记φ（x）＝x++1﹣klnx，则φ′（x）＝，由φ′（x）＞0，得x＞k+1，所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（k+1）＝k+3﹣kln（k+1），φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+3﹣kln（k+1）＞0，即1+﹣ln（k+1）＞0，记m（x）＝1+﹣ln（x+1）因为m（x）在（0，+∞）上单调递减，又m（4）＝﹣ln5＞0，m（5）＝﹣ln6＜0，所以k＝1，2，3，4，所以k的最大值为4．19．（13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴，∴500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500＝150（人）；（II）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，故X的分布列为∴数学期望E（X）＝+1•+2•+3•＝＝．二、提高题（共15分）20．（15分）已知函数f（x）＝ax2+lnx，g（x）＝﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）＝f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x＝处取得极值，且f′（1）＝g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a＝0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【解答】解：（1）由已知得f，（x＞0），所以，所以a＝﹣2．由f′（1）＝g（﹣1）﹣2，得a+1＝b﹣2，所以b＝1．所以h（x）＝﹣x2+lnx+x，（x＞0）．则，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）＝lnx+bx，（x＞0）．所以h，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）＝0得x＝＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0得．所以h（x）极大＝h（）＝﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．所以当时，h（x）有两个零点．②由题意得lnx1+bx1＝0，lnx2+bx2＝0∴lnx1x2+b（x1+x2）＝0，lnx2﹣lnx1+b（x2﹣x1）＝0，∴＝，不妨设x1＜x2要证x1x2＞e2，只需要证lnx1x2＞（lnx2﹣lnx1）＞2，即证lnx2﹣lnx1＞，设t＝，t＞1，则F（t）＝lnt﹣＝lnt+﹣2，∴F′（t）＝﹣＝＞0，∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，而F（1）＝0，∴F（t）＞0，即lnt＞，∴x1x2＞e2，∴＞1．二、提高卷（共30分）21．已知函数f（x）＝（x+m）lnx曲线y＝f（x）在x＝e处切线与y＝2x平行．（1）求实数m值及y＝f（x）极值（2）若当x＞1时，函数y＝（ax+1）（x﹣1）图象恒在y＝（a+1）f（x）图象上方，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx，∴f′（x）＝lnx+，由题意得f′（e）＝2，即lne+＝2，解得：m＝0，∴f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝0，解得：x＝，x∈（0，）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（，+∞）递增，故f（x）在x＝处取极小值，也是最小值，最小值是f（）＝﹣，又﹣＞﹣，故f（x）＞﹣；（2）若不等式（ax+1）（x﹣1）≥（a+1）xlnx在x∈（1，+∞）上恒成立，则（a+1）lnx+﹣ax+a﹣1≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，设h（x）＝（a+1）lnx+﹣ax+a﹣1，x∈（1，+∞），则h′（x）＝，①a≤0时，h′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，故h（x）在（1，+∞）递增，又h（1）＝0，故x∈（1，+∞）时，总有h（x）≥0，不符合题意；②a≥1时，0＜≤1，令h′（x）＝0，解得：x＝（舍）或x＝1，易知h（x）在（1，+∞）递减，又h（1）＝0，总有h（x）＜0在（1，+∞）恒成立，符合题意；③0＜a＜1时，＞1，令h′（x）＜0，解得：x＞，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜，故h（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减，又h（1）＝0，故h（）＞h（1）＝0，不符合题意；综上，a的范围是：[1，+∞）．22．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a），①若a＝0，那么f（x）＝0⇔（x﹣2）e x＝0⇔x＝2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x＝1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）＝a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2＝a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＝0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne＝1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1＝0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x＝ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））＝[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a＝﹣，则ln（﹣2a）＝1，当x＜1＝ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne＝1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x＝1时，函数取极大值，由f（1）＝﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a＝＝，令g（x）＝，则g（x1）＝g（x2）＝﹣a，∵g′（x）＝，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）＝﹣＝，设h（m）＝，m＞0，则h′（m）＝＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）＝0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m＝1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）＝g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．。
天津市静海一中2015-2016学年高二下学期开学数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年天津市静海一中高二（下)开学数学试卷（理科）一、选择题：（每小题4分，共28分）。
1．设a，b，c表示三条直线,α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是(）A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α,若c∥α,则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．a，b⊂α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b，若α⊥β，则c⊂β2．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为(）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的全面积是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm25．如果椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且｜PF1｜、｜F1F2|、|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（)A．=1 B．=1C．=1 D．=16．若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y﹣1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是(）A．(﹣，0）B．（0,）C．（0，) D．（﹣∞,0）∪(，+∞)7．设m,n∈R，若直线(m+1）x+（n+1)y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切,则m+n的取值范围是（）A．［1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣］∪［1+，+∞）C．[2﹣2，2+2］D．(﹣∞,2﹣2]∪[2+2,+∞）二、填空题:每小题4分，共20分。
8．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则=．9．过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为CD、DD1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为．11．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为．12．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．三、解答题:共5题，共57分13．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0,(1）求l2的方程，使得：①l2与l1平行，且过点（﹣1,3）;②l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；(2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点)内切圆及外接圆的方程．14．已知命题p:当x∈R时，不等式x2﹣2x+1﹣m≥0恒成立：命题q：方程x2﹣（m+2）y2=1表示双曲线,若p或q为真命题,p且q为假命题，求实数m的取值范围．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．16．已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1)求的最大值和最小值；（2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；(3）求x+y的最大值与最小值．17．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°（1）若PA=AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．四、提高题（共15分）18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，与双曲线有相同的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II)过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且｜+N|=，求直线l的方程．（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．2015—2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题:（每小题4分，共28分）。
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2016-2017学年天津市静海一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分）1．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（5分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（）A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、203．（5分）曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A．4 B．2 C．D．34．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（2014）+2014lnx，则f′（2014）=（）A．2015 B．﹣2015 C．2014 D．﹣20145．（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．1996．（5分）如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y=x3的图象与x 轴及x=±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1} 8．（5分）记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f'（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）已知i是虚数单位，复的共轭复数为．10．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为．11．（5分）二项式的展开式中所有有理项的系数和等于（用数字作答）．12．（5分）若，则=．13．（5分）记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A．若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为．14．（5分）已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx﹣5，且f（0）=0，如果f （1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共80分）15．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n﹣a n（n∈N*），（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）已知函数f（x）=alnx+bx2+x．（a，b∈R）．（1）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；（2）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，且对任意x∈[1，e]，都使得f（x）﹣x≤（a+2）（﹣x2+x）恒成立，求实数a的取值范围．17．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．18．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f'（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若g（x）=f'（x）+（6m﹣8）x+4，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若不等式f'（x）＞k（xlnx﹣1）﹣3x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）19．（13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．二、提高题（共15分）20．（15分）已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．二、提高卷（共30分）21．已知函数f（x）=（x+m）lnx曲线y=f（x）在x=e处切线与y=2x平行．（1）求实数m值及y=f（x）极值（2）若当x＞1时，函数y=（ax+1）（x﹣1）图象恒在y=（a+1）f（x）图象上方，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．2016-2017学年天津市静海一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分）1．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．2．（5分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（）A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、20【解答】解：由题意知，∵甲运动员的得分按照从小到大排列是7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41共有11 个数字，最中间一个是19，乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，共有11个数据，最中间一个是13，∴甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别是19，13．故选：A．3．（5分）曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A．4 B．2 C．D．3【解答】解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故选：D．4．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（2014）+2014lnx，则f′（2014）=（）A．2015 B．﹣2015 C．2014 D．﹣2014【解答】解：求导得：f′（x）=x+2f′（2014）+令x=2014，得到f′（2014）=2014+2f′（2014）+1，解得：f′（2014）=﹣2015，故选：B．5．（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选：C．6．（5分）如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y=x3的图象与x 轴及x=±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域E的面积S==2×=2×，区域D的面积为S1=2×2=4，∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P=，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D．8．（5分）记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f'（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设函数f（x）的“中值点”为x0，f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，由题意可得f′（x0）====1，即3x﹣3=1，解得x0=±=±∈[﹣2，2]，故函数y=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数是2．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）已知i是虚数单位，复的共轭复数为1+i．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数为1+i．故答案为：1+i．10．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．【解答】解：由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）即6x﹣y﹣5=0故答案为：6x﹣y﹣5=011．（5分）二项式的展开式中所有有理项的系数和等于365（用数字作答）．==26﹣r（﹣1）【解答】解：二项式的展开式中T r+1r ，分别令r=0，2，4，6时，可得：T1==64x3，T3=x0=240，T5==60，T7==1．所有有理项的系数和=64+240+60+1=365．故答案为：365．12．（5分）若，则=﹣．【解答】解：设=m，则f（x）=x3+3m，∴m==+3=+3m=+3m，解得m=﹣．故答案为：．13．（5分）记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A．若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为．【解答】解：由题意，两位数为10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其个位数为1的为21，41，故其个位数为1的概率为．故答案为：．14．（5分）已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx﹣5，且f（0）=0，如果f （1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣8，0] ．【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴f'（x）=cosx﹣5＜0，∴函数f（x）在R上单调递减，∵f′（x）=cosx﹣5为偶函数及f（0）=0可得f（x）为奇函数由f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0可得，f（1﹣ax）＜﹣f（1﹣ax2）=f（ax2﹣1）即1﹣ax＞ax2﹣1∴a（x2+x）＜2，当x＜﹣1或x＞0时，x2+x＞0，则a＜=∵＞0，∴a≤0，当﹣1＜x＜0时，x2+x＜0，则a＞=当x=﹣时，（x+）2﹣有最小值，则有最大值﹣8，∴a＞﹣8，当x2+x=0时，恒成立，综上所述a的取值范围为（﹣8，0]，故答案为（﹣8，0]．三、解答题（本大题共6题，共80分）15．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n﹣a n（n∈N*），（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，∴a1=1．当n=2时，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2=．当n=3时，a 1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3=．当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4﹣a4，∴a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：①当n=1时，a1=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即a k=，那么n=k+1时，a k+1=S k+1﹣S k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1．=2+a k，∴2a k+1∴a k==，+1这表明n=k+1时，结论成立，由①②知猜想a n=（n∈N*）成立．16．（13分）已知函数f（x）=alnx+bx2+x．（a，b∈R）．（1）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；（2）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，且对任意x∈[1，e]，都使得f（x）﹣x≤（a+2）（﹣x2+x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=alnx+bx2+x的导数为f′（x）=+bx+1，由在x1=1，x2=2处取得极值，可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=a+2b+1=0，解得a=﹣，b=﹣，此时f（x）=﹣lnx﹣x2+x，f′（x）=﹣﹣x+1=﹣，列出表格：所以，在x=1取得极小值，在x=2取得极大值﹣ln2；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，则f′（1）=a+b+1=1，则a=﹣b，故f（x）=alnx﹣x2+x，若f（x）﹣x=alnx﹣x2≤（a+2）（﹣x2+x）成立，则a（x﹣lnx）≥x2﹣2x成立，由x∈[1，e]，可得lnx≤1≤x，且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0．因而a≥（x∈[1，e]）．令g（x）=（x∈[1，e]）又g′（x）=，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx≥0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数．故g（x）的最大值为g（e）=，则a的取值范围是[，+∞）．17．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A 1，A2相互独立，，，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）互斥，B=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：E（X）=3×=．18．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f'（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若g（x）=f'（x）+（6m﹣8）x+4，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若不等式f'（x）＞k（xlnx﹣1）﹣3x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）【解答】解：（Ⅰ）由f'（x）=3ax2﹣2x+b，因为函数在x=3时有极小值﹣9，所以，从而解得a=，b=﹣3所求的f（x）=x3﹣x2﹣3x，所以f'（x）=x2﹣2x﹣3，由f'（x）＜0解得﹣1＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3），（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2x﹣3，故g（x）=x2﹣2x﹣3+（6m﹣8）x+4，当m＞0时，若x＞0，则h（x）=mx＞0，满足条件；若x=0，则g（0）=1＞0，满足条件；若x＜0，h（x）＜0，所以g（x）＞0恒成立，6m﹣8＜﹣﹣x+2恒成立，﹣﹣x+2≥4，当且仅当x=﹣1取等号，所以6m﹣8＜4，0＜m＜2，即m的取值范围是（0，2）；（Ⅲ）因为f′（x）=x2﹣2x﹣3，所以f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣3x﹣4等价于x2+x+1＞k（xlnx﹣1），即x++1﹣klnx＞0，记φ（x）=x++1﹣klnx，则φ′（x）=，由φ′（x）＞0，得x＞k+1，所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（k+1）=k+3﹣kln（k+1），φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+3﹣kln（k+1）＞0，即1+﹣ln（k+1）＞0，记m（x）=1+﹣ln（x+1）因为m（x）在（0，+∞）上单调递减，又m（4）=﹣ln5＞0，m（5）=﹣ln6＜0，所以k=1，2，3，4，所以k的最大值为4．19．（13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴，∴500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）；（II）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，故X的分布列为∴数学期望E（X）=+1•+2•+3•==．二、提高题（共15分）20．（15分）已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【解答】解：（1）由已知得f，（x＞0），所以，所以a=﹣2．由f′（1）=g（﹣1）﹣2，得a+1=b﹣2，所以b=1．所以h（x）=﹣x2+lnx+x，（x＞0）．则，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．所以h，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0得．=h（）=﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．所以h（x）极大且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．所以当时，h（x）有两个零点．②由题意得lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0∴lnx1x2+b（x1+x2）=0，lnx2﹣lnx1+b（x2﹣x1）=0，∴=，不妨设x1＜x2要证x1x2＞e2，只需要证lnx1x2＞（lnx2﹣lnx1）＞2，即证lnx2﹣lnx1＞，设t=，t＞1，则F（t）=lnt﹣=lnt+﹣2，∴F′（t）=﹣=＞0，∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，而F（1）=0，∴F（t）＞0，即lnt＞，∴x1x2＞e2，∴＞1．二、提高卷（共30分）21．已知函数f（x）=（x+m）lnx曲线y=f（x）在x=e处切线与y=2x平行．（1）求实数m值及y=f（x）极值（2）若当x＞1时，函数y=（ax+1）（x﹣1）图象恒在y=（a+1）f（x）图象上方，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=（x+m）lnx，∴f′（x）=lnx+，由题意得f′（e）=2，即lne+=2，解得：m=0，∴f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得：x=，x∈（0，）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（，+∞）递增，故f（x）在x=处取极小值，也是最小值，最小值是f（）=﹣，又﹣＞﹣，故f（x）＞﹣；（2）若不等式（ax+1）（x﹣1）≥（a+1）xlnx在x∈（1，+∞）上恒成立，则（a+1）lnx+﹣ax+a﹣1≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，设h（x）=（a+1）lnx+﹣ax+a﹣1，x∈（1，+∞），则h′（x）=，①a≤0时，h′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，故h（x）在（1，+∞）递增，又h（1）=0，故x∈（1，+∞）时，总有h（x）≥0，不符合题意；②a≥1时，0＜≤1，令h′（x）=0，解得：x=（舍）或x=1，易知h（x）在（1，+∞）递减，又h（1）=0，总有h（x）＜0在（1，+∞）恒成立，符合题意；③0＜a＜1时，＞1，令h′（x）＜0，解得：x＞，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜，故h（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减，又h（1）=0，故h（）＞h（1）=0，不符合题意；综上，a的范围是：[1，+∞）．22．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x 1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。