协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是数据统计学的一个名词。
它将每组实验数据标上号码，然后依照它们在总体中出现次数的大小，以及每一组数据与其他数据之间的平均差异，求得一组平均数据代表整个总体的概率。
简单来说，就是在均值的基础上，加减方差的和，或者说在众多的数据中取最好的一个数据作为代表整体的标准，这个量化了的标准就叫做“均值”。
这个“均值”是不是真正代表总体呢？不是的，因为它有偏差。
即“协方差”。
协方差分析的目的：协方差分析可以消除假设检验的各种局限性，消除非参数检验中可能存在的假定导致的检验误差，提高非参数检验的效度；而且通过对观测数据的处理，还可以获得一些新的信息，例如平均值变化的原因，检验数据的随机趋势是否符合某种规律，从而为非参数检验建立更好的假设检验方案。
协方差分析包括方差分析和分类变量回归分析两部分内容。
这里仅对方差分析进行介绍。
协方差分析法的基本思想是利用统计软件，根据研究所需的条件自动地选择适当的分析方法，并用数学方法对实验数据进行分析，得到一些重要的参数，例如最大似然估计、协方差、协方差矩阵、相关系数、协方差阵等。
把这些参数应用到假设检验和回归分析中去，就可以确定最优的回归方程。
通常是采用以下3种分析方法。
1.协方差分析法协方差分析是一种比较常见的非参数统计方法，它是根据样本和总体的协方差矩阵来分析总体特征的，即寻找样本与总体的差别以及差别的来源，而不涉及具体的数值解。
这一方法适用于那些对分类变量数值有兴趣的研究。
协方差分析法主要由协方差矩阵和协方差系数两部分组成，其中协方差系数反映了两个变量之间的线性相关程度，其计算公式如下：上述公式的含义是：协方差矩阵E=∑×∑×，式中P是每个变量的数值， Q是各变量的协方差，即协方差矩阵E 的特征值或特征向量为：式中：1．检验每个随机样本与某个特定均值间有无关系，即证明它们的均值之间是否存在协方差。
2．如果没有关系，可以在检验区间内取若干样本点进行多重比较，看看是否存在协方差。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析（CovarianceAnalysis）是一种常见的统计分析方法，是衡量两个变量之间线性关系强度的有效手段。
协方差分析与相关分析（correlation analysis）有很多相关点，都是用来识别变量之间的关系，但两者的方法不同。
协方差分析的核心是对变量之间关系的衡量，而这种衡量有多种形式。
一般情况下，协方差分析主要是通过计算变量之间的协方差来完成的。
协方差（covariance）是衡量两个变量的线性关系的函数，可以从变量的期望值（expected value）和方差（variance）来计算。
如果变量之间的协方差大于0，则表明两个变量之间存在正相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B也有可能会上升；如果变量之间的协方差小于0，则表明两个变量之间存在负相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B可能会下降。
此外，协方差分析还可以用于研究多个变量之间的关系，其中最常用的方法是多元协方差分析（multivariable covariance analysis）。
它可以用来研究多个变量之间的变化与偏差，以及它们之间关联程度的大小。
此外，协方差分析还可以用于研究两个或多个样本之间的关系，也就是说，它可以分析两个或多个样本集中的变量之间是否存在关联性。
例如，可以利用协方差分析，分析一组调查者的年龄、职业、教育水平和收入之间的关系，这有助于统计学家和社会研究者了解他们的研究结果。
最后，协方差分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助研究者和社会科学家分析不同变量之间的关系，同时它也可以帮助研究者分析不同样本集之间的关系，从而使他们更好地理解社会、经济和文化现象。
它的分析结果可以为社会科学研究提供更多的参考依据，从而改善当前的社会现状。
协方差分析
协方差分析是方差分析法与回归分析法相结合 而产生的一种资料分析方法，其主要作用是用处理 前的试验记录矫正处理后的试验记录，以避免由于 处理前基数不一对处理后差异显著性所带来的影响， 从而提高试验结果的精确度。
协方差分析的分析步骤（原理）：
记处理前观测值（基数）为x、试验处理后观测值为y。
12 3 4 1 11 1 1 2 12 2 2 3 13 3 3 4 21 2 3 5 22 3 1 6 23 1 2 7 31 3 2 8 32 1 3 9 33 2 1
处理
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表9.7 L9（34）肥料试验结果表
NPK
区组Ⅰ … x y…
区组Ⅳ xy
1 1 1 1 30.3 32.9 … 27.4 30.7
cards; 28 202 22 165 27 ...... 221 27 207 24 204 ;
proc glm; class corn block; model y=corn block
x/solution; lsmeans corn/stderr
pdiff; run;
其SAS输出结果见书 P164略
1 2 2 2 32.8 35.4 … 24.0 27.4
1 3 3 3 31.7 34.7 … 23.8 26.4
2 1 2 3 26.7 29.7 … 25.4 28.3
2 2 3 1 32.9 35.9 … 25.7 28.8
2 3 1 2 30.0 31.9 … 28.4 31.7
3 1 3 2 34.3 37.5 … 28.1 31.8
9.1 含一个协变数的协方差分析
1.完全随机化设计的协方差分析
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
应用统计学(第九章 协方差分析)
从而求得相应的均方； 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积； 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方的关 系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值；
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验，这时误差项目回
归自由度dfeU=1，回归平方和：
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和：
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度：
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769， LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较， 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异，配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验：
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系
协方差分析
肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差 异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种 结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同 肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923
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25
两条回归线之差（两个修正均数之差）：
yˆ1' yˆ2' y1 y2 bc x1 x2
12
协方差分析的应用条件 ⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方 差相等；（t检验或方差分析的条件） ⑵各组的总体回归系数β i相等，且都不等于0 （回归方程检验）。
因此，应用协方差分析前，要对资料进行 方差齐性检验和回归系数的假设检验，只有满 足上述两个条件之后才能应用，否则不宜使用。
13
协方差分析的应用条件 ⑴各比较组协变量X与分析指标Y存在线性 关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数βi相等，即各直 线平行(绘出回归直线，看是否平行)。
药物临床疗效研究
混杂因
患者的状况（性别、年龄
素
药物
病情
疗效
举
例
心 理 因
其他因 素
素
5
各组间的效应进行比较，必须保持组间的 影响因素（混杂因素的比例）相同，组间 才具有可比性。
处理因素
T + S1
混杂因素
－
S2
T
e + s1 （实验组）
s2 （对照组） e
（在设计阶段控制混杂因素的方法）
6
在混杂因素中，有些是难以完全控制的， 如停经天数，酒精消耗量，饲料的进食量； 有些是可以控制的，如年龄，动物的初始体 重。
由于正常体重者和超重者平均年龄不一样（分 别为44.46和54.46），而且根据专业知识得知年龄 与血清胆固醇含量有关，年龄越大血清胆固醇含量 越高。因此不宜直接比较这两组人平均血清胆固醇 含量（分别是5.092，6.785）是否相同，而应以年 龄作为协变量，进行协方差分析。
22
⑵能否做协方差分析。回归系数是否不为 零；两条回归直线是否平行
40
4.9
39
6.0
47
5.1
52
7.5
41
4.1
45
6.4
41
4.6
58
6.8
56
5.1
67
9.2
2
3
在科研中，实验效应除了受到处理因 素的作用外，尚受到许多非处理因素的影 响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不 仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性 别、病情、心理、环境、社会等因素的影 响。
4
41
4.7
51
5.8
71
8.4
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4.9
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33
4.9
49
3.6
54
6.7
42
5.5
65
6.4
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4.9
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6.0
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5.1
52
7.5
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45
6.4
41
4.6
58
6.8
56
5.1
67
9.2
20
21
⑴是否需进行协方差分析。有无协变量（相关分 析）且协变量组间差异（t检验）有无统计学意义。
协方差分析
1
研究体重与胆固醇水平的关系
正常组 (n1=13)
超重组(n2=13)
年龄(x1) 胆固醇(y1) 年龄(x2) 胆固醇(y2)
48
3.5
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7.3
33
4.6
41
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5.8
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4.9
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5.1
43
8.7
33
4.9
49
3.6
54
6.7
42
5.5
65
6.4
18
协方差分析的基本方法（结合例1说明） 某医生欲了解成年人正常体重者与超
重者血清胆固醇含量是否不同，而胆固醇 含量与年龄有关，资料见表1。
19
研究体重与胆固醇水平的关系
正常组 (n1=13)
超重组(n2=13)
年龄(x1) 胆固醇(y1) 年龄(x2) 胆固醇(y2)
48
3.5
58
7.3
33
4.6
（2）比较不同HbsAg携带率与肝硬化率的 关系时，酒精消耗量是混杂因素。 （3）比较两种药物治疗高血压的疗效，年 龄是一个混杂因素。 （4）研究不同饲料对动物增加体重的作用 时，动物的初始体重、进食量等因素。 （5）… …
9
在分析阶段控制混杂因素的方法： 1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料） 2、率的标准化（适用：计数资料） 3、协方差分析（适用：计量资料） 4、多因素分析（适用：计量、计数资料）
若胆固醇含量与年龄的线性关系在正 常组和超重组均成立且总体回归系数相等， 即β1≠0，β2≠0，β1=β2=βc，则两条 回归直线平行。回归方程分别是：
23
_
_
Y 1 Y1 b1 ( X1 X1)
_
_
Y 2 Y2 b2 ( X 2 X 2 )
a y bx
bc
组内的lxy 组内的l xx
10
协方差分析 将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
协变量：在进行协方差分析时，混杂因素 统称为协变量。
11
协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数 y1，y2 …，yk的假
设检验前，用线性回归分析方法找出协变 量X与各组Y之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数y1 ，y2 …y，k ，然后用方 差分析比较修正均数间的差别，这就是协 方差分析的基本思想。
14
回归分析结果：
正常组没有回归关系（P=0.907）
15
两条回归直线不平行
结论：本资料 不宜做协方差 分析
16
不满足条件时的处理方法 X与Y不满足线性关系时，通常情况下是 对X或Y或两者作适当的变量变换，使之符 合线性关系。
年龄和胆固醇取对数后，仍不满足要求
17
协方差分析适用的资料
协方差分析可用于： 完全随机设计、配伍设计、拉丁方设计、析 因设计等资料； 协变量X可以仅有一个，称一元协方差分析； 协变量也可以有多个，称多元协方差分析。
可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
7
常见的实例
（1）比较正常妊娠妇女与患葡萄胎的妇女 血中胎盘生乳素（hpl）含量的差别，以了 解葡萄胎对胎盘功能的影响，这时停经天 数就是一个混杂因素，因为停经天数对hpl 有直接影响 。
8
常见的实例
或bc
(lxy )1 (lxx )1
(lxy )2 (lxx )2
本例组内lxy 258.8923,组内的lxx 2749.2308
则bc
258.8923 2749.2308
0.09417
24
⑶进行协方差分析。 为扣除年龄对胆固醇比较的影响，令X=X
求得修正的平均胆固醇值，即Y1，Y2。