【20套精选试卷合集】陕西师范大学附属中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷(考试时间：120分钟 总分：150分)第I 卷 选择题一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分，每一小题只有一个选项正确） 1．集合{|24}x M x =≤，{|(1)0}N x x x =->，则M C N =（ ） A ．（﹣∞，0]∪[1，2] B ．（﹣∞，0）∪[1，2] C ．（﹣∞，0）∪[1,)+∞ D ．（﹣∞，0]∪[1,)+∞A ．不全相等B ．均不相等 C．都相等，且为502 015 D．都相等，且为1403．在某届冬奥会期间，某站针对性别是否与看冬奥会直播有关进行了一项问卷调查，得出如下表格：性别是否看冬奥 会直播男女看冬奥会直播 6 000 2 000 不看冬奥会直播2 0002 000(22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)，则2K 等于( )A ．700B ．750C ．800D ．850 4. 若复数2z i =-，则10z z-+等于( ) A ．2i - B ．2i + C ．42i +D ．63i +5. 某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 人数 5 15 20 10 频率0.10.30.40.2A.80 B ．81 C ．82D ．836. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A. 2113 B. 138 C.813 D .13117. 如图，已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( ) A.74π B ．2π C.94π D ．3π 8. 已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以线段1F 2F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为( )A.221916y x -= B. 22143y x -= C. 221169y x -= D. 22134y x -= 9. 若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=(p 为常数)，则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为( )A.－1B. 2C.1 007D ．2 01410．已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32C ．1D ．211.点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心 12.已知函数3()cos |cos |,(,)22f x x x x ππ=+∈-，若集合{|()}A x f x k ==中有且仅有两个元素，则实数k 的取值范围是( )．A. (0,2)B. (0,2]C. [0,2]D.[0,2)第II 卷 非选择题二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置） 13. 曲线3()2f x x x =+-的一条切线平行于直线4y x =，则切点0P 的坐标为_ ___.15.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，25AE AB →→=，12AF AD →→=，AK AC λ→→=，则λ的值为__________.16．已知函数()sin 3cos f x x x =+，则下列命题正确．．的是__________．(写出所有正确命题的序号) ①()f x 的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ②()f x 在区间⎝⎛⎭⎫－5π6，π6上单调递增； ③若实数m 使得方程()f x m =在[0,2π]上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1x +2x +373x π=； ④()f x 的图象与2()2sin()3g x x π=-的图象关于x 轴对称. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. 某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？(^1122211()()()nniii ii i nniii i x x y y x y n x yb x x xn x----==--==---==--∑∑∑∑)18.已知函数21()3sin cos cos ,2f x x x x x R =--∈． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）已知△ABC 内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f c =，若向量(1,sin )m A →=与(2,sin )n B →=共线，求a ，b 的值．19. 如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，1AE =,CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为6．若F 是线段CD 的中点 （1）证明：//EF 面ABC ； （2）证明：EF ⊥面DBC ．20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*11()3n n S a n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*41log (1)()n n b S n N +=-∈，12231111n n n T b b b b b b +=+++L ，求使5041009n T ≥成立的最小的正整数n 的值．21. 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21→→→+=OB OA OP ，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）椭圆上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，求点Q 到直线30x y ++=的最大距离。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点，试求AB 的最大值和最小值.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()21f x x x =+-- （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若关于x 的不等式()412f x m +≥-有解，求实数m 的取值范围.数学（文科）答案一、选择题2．解：从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN .3.解：由题意知，2＝12 000(6 000×2 000－2 000×2 000)28 000×4 000×8 000× 4 000＝750.4.解∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋10(2＋i)(2－i)(2＋i)＝6＋3i.5．解：平均分x ＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82.6. 解：逐次运行的结果是x ＝1，y ＝1，z ＝2；x ＝1，y ＝2，z ＝3；x ＝2，y ＝3，z ＝5；x ＝3，y ＝5，z ＝8；x ＝5，y ＝8，z ＝13；x ＝8，y ＝13，z ＝21，此时输出的结果y x ＝138.7. 解：所作的截面与OE 垂直时，截面圆的面积最小，设正三角形ABC 的高为3a ，则4a 2＋1＝4，即a ＝32，此时OE 2＝12＋34＝74.截面圆半径r 2＝22－74＝94，故截面面积为9π4. 8.解：由题意可知c ＝32＋42＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25，①又点(4,3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34，②由①②解得a＝3，b ＝4，∴双曲线的方程为y 29－x 216＝1.9. 解：由题意可知，a 2n ＋a 2n ＋1＝1，首项a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝±1，a 4＝0，a 5＝±1，…， ∴从第2项起，数列的奇数项为1或－1，偶数项为0，∴S 2 014的最大值为1 007，最小值为－1 005，∴S 2014的最大值与最小值之和为2.10. 解：由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1,则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d≥2.11.解：由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心.12. 解函数化为f(x)＝ππ2cos,(,],22π3π0,(,),22x x ⎧∈-⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩画出f(x)的图象可以看出，要使方程f(x)＝k 至少有两个根，k应满足0<k<2. 二、填空题13. (1,0) 解： /2()3141f x x x =+=⇒=± ∴ 切点为(1,0)或（-1，-4）（舍去∵直线4y x =过这个点） 14. 162.5解：a=0.03,中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5所以中位数的估计值为162.5． 15. 29 解∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)16．②③④ 解：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 因为将x ＝－π6代入f(x)，得f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2sin(－π6＋π3)＝1≠0，所以①不正确； 由2kπ－π2≤x ＋π3≤2kπ＋π2，k ∈，得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6，k ∈， 所以f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－5π6，π6上单调递增，所以②正确； 若实数m 使得方程f(x)＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，所以③正确；因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－g(x)，所以④正确． 三、解答题 17.解：（1）=== 5， === 50，———4分∴== = 6.5，————8分^^50 6.5517.5a yb x --=-⋅=-⨯=————9分因此，所求回归直线方程为^6.517.5y x =+————10分（2）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，y =6.5×10+17.5=82.5（万元），即这种产品的销售收入大约为82.5万元．————12分18.解：（1）由于函数f （x ）==sin2x ﹣﹣—1分=sin （2x ﹣）﹣1，————2分故函数的最小值为﹣2，最小正周期为=π．————4分 （2）△ABC 中，由于f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，可得2C ﹣=，∴C=．—5分再由向量(1,sin )m A →=与=（2，sinB ）共线可得sinB ﹣2sinA=0．——6分 再结合正弦定理可得b=2a ，且B=﹣A ．————7分再由可得，————10分解得 a=，b=2．————12分19.解：（1）取BC 的中点G ，连接AG ，FG ，则FG =P 12BD ，——————1分 过点C 作CM AB ⊥于M ，连接MD ，B BD CM D ABC ABC ⎫⇒⊥⎬⊥⊂⎭平面CM 平面————2分,BD CM CM ABCM AEDBAB BD B BD AB AEDB ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭面面————4分∴ CDE ∠是CD 与平面ABDE 所成角————5分 ∵ △ABC 是边长为2的等边三角形 ∴3CE =36sin 224CE CDE CD CD CD ∠===⇒=————6分 B BD AB D ABC AB ABC ⎫⇒⊥⎬⎭⊥⊂平面平面 ∵ 2AB = ∴ 2BD =————7分∵ 1AE =,//AE DB ∴AE =P 12BD ∴ FG =P AE ∴ 四边形AEFG 是平行四边形——————8分 EF AGEF ABC EF ABC AG ABC ⇒⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭P P 面面面——————9分（2）∵22222125EC AE AC =+=+=，在直角梯形AEDB 中，222125ED =+=F 是线段CD 的中点 ∴EF CD ⊥————10分连接AG ，则 AG BC ⊥ ∵EF AG P ∴EF BC ⊥ ————11分 ∵CD BC C ⋂=，,CD BC BCD ⊂面 ∴EF ⊥面DBC ————12分 20. 解：（1）当n=1时，a 1=S 1，S 1+a 1=1，解得a 1=，————1分 当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=1﹣a n ﹣（1﹣a n ﹣1），即为114n n a a -=， 114n n a a -=为常数，则1111()3()44n n n a a -=⋅=⋅————————5分 可得数列{a n }的通项公式为13()4nn a =⋅——————6分GM（2）141431(1)44log (1)log [1](1)114n n n b S n ++-=-=-=-+-————8分 =++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣，————10分 成立，即为﹣≥，解得n≥2016，则使成立的最小的正整数n 的值为2016． ————12分21.解：(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，则2212212212122222140414y x y y x x y x ⎧+=⎪-⎪⇒-+=⎨⎪+=⎪⎩————2分 12121212()()()()04y y y y x x x x -+⇒-++=————3分121212124()41AB PM y y x x x y k k x x y y y x-+-⇒==-=-==-+——————4分即2240x y y +-=∴ 动点P 的轨迹方程为2240x y y +-=————6分 （2）设Q 的坐标为(cos ,2sin )θθ ，——————7分 则|35sin()|55d θϕ++==————9分 其中1tan 2ϕ=————10分 当sin()1θϕ+=时， 点Q 到直线30x y ++=353515+=+——12分22．解：（1）138cos 8(cos )4cos 43sin 322πρθθθθθ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭——1分 2224cos 43sin 443x y x ρρθρθ=+⇒+=+22(2)(3)16x y ⇒-+-=—3分∴曲线2C 的直角坐标方程为22(2)(23)16x y -+-=，曲线2C 以(2,23)为圆心，4为半径的圆.————5分（2）由曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）得，曲线1C 过定点3)P ————6分∵1||34C P =< ∴点3)P 在圆2C 内——————8分23．（1）解：()3221212131x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=+-≤≤⎨⎪>⎩∴231x <-⎧⎨->⎩或21211x x -≤≤⎧⎨+>⎩或131x >⎧⎨>⎩————3分∴ 01x ≤≤或1x >————4分 ∴原不等式的解集为[0,)+∞————5分（2）关于x 的不等式()412f x m +≥-有解⇒()max 412f x m +≥-————6分 ⇒21347721734m m m -≤+=⇒-≤-≤⇒-≤≤————9分 ∴实数m 的取值范围为[3,4]-.高考模拟数学试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （1）已知复数()41biz b R i+=?-的实部为-1，则复数z b -在复平面上对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知向量12||,10||==b a ,且60-=⋅b a ，则向量a 与b 的夹角为（A ）060 （B ）0120 （C ）0135 （D ）0150 （3）设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，若(X 4)(X 0)P P >=<，则μ=(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 1 （4）已知在等比数列{}n a 中，11=a ，=5a 9，则=3a(A) 5±(B) 5(C) 3±(D) 3（5）已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：22(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是 （A ） [)21,+?（B ）[)19,+? （C ） [)9,+? （D ）()0,+?（6）已知a,b 表示两条不同直线，,,a b g 表示三个不同平面，给出下列命题： ①若a,b ,ab a b a ?蘜则a b ^；②若a a Ì，a 垂直于b 内的任意一条直线，则a b ^；③若,a b ^a,b,a b a g ??则a b ^；④若a 不垂直于平面a ，则a 不可能垂直于平面a 内的无数条直线； ⑤若a ,b ,a a b ^^∥b ,则a ∥b .上述五个命题中，正确命题的个数是（ ）个（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （7）函数2ln xy x=的图象大致为（A ）向右平移12p 个单位 （B ）向左平移12p 个单位 （C ）向右平移6p 个单位 （D ）向左平移6p个单位 （9）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是(A) 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4(10)若直线:(2)l y k x =-与曲线221(0)x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是 (A) [)0,π （B ）3,,4224U ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ） 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）3,,4224U ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦(11)已知定义在02,p骣琪琪桫上的函数()f x ,()f x ¢为其导数，且()()tan f x f x x '<恒成立，则 （A ） 3243f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（B ） 264f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ）363f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭(12)设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)m ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a m am =+，则正实数a 的取值范围是(A) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（C ） [)2,+∞ （D ）()2,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)（13）如果实数x 、y 满足关系⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤-+044004y x y x y x ，则22(2)x y -+的最小值是 .（14）设0,0a b >>，若4a b +=，则14a b+的最小值为 . (15)阅读如图所示程序框图，若输出的5n =，则满足条件的整数p 共有 个.13211 正(主)视图侧(左)视图俯视图（16）若从区间(0,)e 内随机取两个数，则这两个数之积不小于．．．e 的概率为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12分）已知()f x a b =⋅r r ,其中(2cos ,3sin 2)a x x =-r ,(cos ,1)b x =r,x R ∈.（Ⅰ）求()x f 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()1f A =-, 7a =, 且向量(3,sin )m B =u r与(2,sin )n C =r共线，求边长b 和c 的值.(18)（本小题满分12分）甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为23，甲班胜丙班的概率为14，乙班胜丙班的概率为15．（Ⅰ）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；（Ⅱ）设在该次比赛中，甲班得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP .（Ⅰ）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（Ⅱ）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．（20）（本小题满分12分）已知直线1y x =-+与椭圆12222=+b y a x ()0a b >>相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长；（Ⅱ）若向量OA u u u r 与向量OB u u u r互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率]22,21[∈e 时，求椭圆长轴长的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）； （Ⅲ）求证()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．FEDCBA请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求AB DC的值；（Ⅱ）若CD EF //，证明：FB FA EF ⋅=2．（23）（本小题满分10分）选修44-；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23221（t 为参数），若以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为θρcos 4=，设M 是圆C 上任一点，连结OM 并延长到Q ，使MQ OM =． （Ⅰ）求点Q 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于B A ,两点，点P 的直角坐标为(0,2)，求PB PA +的值．（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数2214(),0,9sin 9cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且()f x t ≥恒成立.（Ⅰ）求实数t 的最大值；（Ⅱ）当t 取最大值时，求不等式25x t x ++-≥的解集.一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分）13． 2 14． 94 15． 32 16． 21e- 三、解答题17．（本小题满分12分）(1) 由题意知()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=-=32cos 212sin 32cos 12sin 3cos 22πx x x x x x f .x y cos =Θ在[]()Z k k k ∈+πππ2,2上单调递减，∴令ππππ+≤+≤k x k 2322，得36ππππ+≤≤-k x k()x f ∴的单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππ -----6分(2)()132cos 21-=⎪⎭⎫⎝⎛++=πA A f Θ，132cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πA ,又37323πππ<+<A ， ,32ππ=+∴A 即3π=A7a =Q ，由余弦定理得()bc c b A bc c b a 3cos 22222-+=-+==7.因为向量(3,sin )m B =u r 与(2,sin )n C =r共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得23b c =.3,2b c ∴==. ------12分18．（本小题满分12分）解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，∴甲获第一的概率为211346⨯= ……………2分 丙获第二，则丙胜乙，其概率为54511=-…………4分 ∴甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯……………6分 （2）ξ可能取的值为O 、3、6 …………………………7分 甲两场比赛皆输的概率为41)411)(321()0(=--==⋅ξP………………8分甲两场只胜一场的概率为127)321(41)411(32)3(=-⨯+-⨯==ξP …………9分 甲两场皆胜的概率为614132)6(=⨯==ξP ……………10分 ∴ξ的分布列为 ξ 036P41 127 1646612340=⨯+⨯+⨯=∴ξE (2)19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABEP ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABEP ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC u u u v u u u vu u u u v分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………1分 则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ,所以1=(1,0,)2EM -u u u u v，易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =v，………3分所以1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=u u u u v v ,所以EM n ⊥u u u u v v ， ··········································································································· 4分又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． ·························································································· 5分 （方法二）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ,EM ． ··············································· 1分 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =．………………………2分 又因为AE ∥PB ，且12AE PB =， 所以AE ∥OM , 且AE =OM ． 所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO ………………………………………4分因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD所以EM ∥平面ABCD ． ·························································································· 5分 （Ⅱ）解：当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． ····· 6分 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=u u u v u u u v，设平面PCD 的法向量为1111(,,)n x y z =u v ，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩ ········································································ 7分 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =u v． ·················································· 8分假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤u u u v u u u v， 则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-u u u v ，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-u u u v u u u v u u u v． ······················ 9分所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅u u u v u vu u u v u v u u u v u v ································································ 10分 2222255(2)(22)()5984λλλλλ===⋅+-+⋅-+． ······························· 11分 所以29810λλ--=， 解得1λ=或19λ=-(舍去)．因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25． ··································································································································· 12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）33=e Θ，2c=2，即33=a c∴3=a 则222=-=c a b∴椭圆的方程为12322=+y x ， 2分将1y x =-+代入消去y 得：03652=--x x设),(),,(2211y x B y x A∴AB =4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A0=⋅∴⊥Θ，即02121=+y y x x 6分y 得：0)1(2)(222222=-+-+b a x a x b a 由0)1)((4)2(222222>-+--=∆b b a a a ，整理得：122>+b a又222212b a a x x +=+，222221)1(b a b a x x +-=1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y 8分由02121=+y y x x ，得：01)(22121=++-x x x x 012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a ，整理得：022222=-+b a b a222222b a c a a e =-=-Q 代入上式得：221112ea -+=，)111(2122e a -+=∴ 10分 43121,2141,222122≤-≤∴≤≤∴≤≤e e e Θ2367,311137,21134222≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴a ee ，条件适合122>+b a ，由此得：62342,26642≤≤∴≤≤a a ，故长轴长的最大值为6． 12分21.（本题满分12分） 解：（1）)0()1()('>-=x xx a x f , 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，单调减区间为[)1,+∞；……………………3分 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，单调减区间为(]0,1；……………………4分 （2）令e x x a e x ax ax x a x F -++=-+++--=1ln 43ln )(0)('=+=x ax x FFEDCBA若e a ≤-,e a -≥,)(x F []2,ee x ∈ 是增函数,21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解. ……………………5分若2e a e ≤-<,e a e -<≤-2，)(x F ,[]a e x -∈,是减函数;[]2,e a x -∈, 是增函数 ,1,01)(-≤≤+=a a e F . 21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+= 2122e e a e --≤≤-∴……………………6分 若2e a >-，2e a -<，)(x F[]2,ee x ∈ 是减函数,1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，2e a -<∴……………7分 综上所述212e e a --≤……………………8分 （3）令1a =-（或1a =）此时3ln )(-+-=x x xf ，所以2)1(-=f ，由（Ⅰ）知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，……………………9分∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， ……………………10分要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈L 只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,)234n n N n*++++++++<≥∈L ……………………11分22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)23411111111(1)()()()11223341n n n n ++++++++<-+-+-+-=-<-L L所以原不等式成立……………………12 22. （本小题满分10分）证明：（Ⅰ） ΘD C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠， 又ΘAEB CED ∠=∠，∴CED ∆∽AEB ∆，ABDCEB ED EA EC ==∴， Θ21,31==EA ED EB EC ，∴66=AB DC ．……………5分 （Ⅱ）ΘCD EF //∴EDC FEA ∠=∠， 又ΘD C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EBF FEA ∠=∠，又ΘBFE EFA ∠=∠，∴FAE ∆∽FEB ∆，∴FEFBFA EF =∴FB FA EF ⋅=2……………10分 23. （本小题满分10分）（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，设(,)Q x y ，则(,)22x y M ，∴22(2)()422x y -+=∴22(4)16x y -+=这就是所求的直角坐标方程. ……………5分（Ⅱ）把122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(4)16x y -+=，即代入2280x y x +-=得2211()(2)8()022t t -++--=，即2(440t t +++= 令,A B 对应参数分别为12,t t ，则0)324(21<+-=+t t ，1240t t ⋅=> 所以3242121+=+=+=+t t t t PB PA . …………………10分24. （本小题满分10分）（1）()22222222221411414sin cos ()sin cos (5)9sin 9cos 9sin cos 9cos sin 1(519x x f x x x x x x x x x⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭≥+=当且仅当tan x =时等号成立，所以t 的最大值为1. （2）由题12,1123,1221,2x x x x x x x -<-⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪->⎩，--------5分则由125x x ++-≥得，2,3x x ≤-≥或， 不等式的解集为{}2,3x x x ≤-≥或------10分高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集{}(){}2,|60,|lg 1U R A x x x B x y x ==--<==+，则图中阴影部分表示的集合为A. {}|31x x -<<-B. {}|30x x -<<C. {}|13x x -<<D. {}|1x x >- 2.计算201720171111i i i i +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭A. 2i -B. 0C. 2iD.23.已知()()1,2,4,5BA CA ==u u u r u u u r ，若()0CB BA CA λ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值为 A. 3 B. 92- C. -3 D. 53- 4.已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面.命题:p 若,m m n αβ=⊥I ，则n α⊥；命题:q 若//,,m m n αβαβ⊂=I ，则//m n .那么下列命题中的真命题是A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝5.在利用最小二乘法求回归方程ˆ0.6754.9yx =+时，用到了下表中的5组数据，则表格a 中的值为A. 68B. 70C. 75D. 726.某几何体的三视图如图所示，图中四边形都是边长为2的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的表面积是A. ()2421π+ B. )2421π+- C. )2421π-+ D. )2421π- 7.在ABC ∆中，D为BC 边上的一点，5,4AD BD DC ===，BAD DAC ∠=∠则AC =A. 9B. 8C.7D. 68.抛物线()220y px p =>的焦点为圆2260x y x +-=的圆心，过圆心且斜率为2的直线l 与抛物线相交于M,N 两点，则MN =A. 30B. 25C. 20D. 159.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有A. 60种B. 120种C. 144种D.300种10.已知函数()()sin 10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤≤ ⎪⎝⎭的图象的相邻两对称轴之间的距离为π，且在6x π=时取得最大值2，若()95f α=，且263ππα<<，则2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 A. 1225 B. 1225- C. 2425 D.2425- 11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作x 轴的垂线交双曲线于A,B 两点，若23AF B π∠<，则双曲线离心率的取值范围是 A. (3 B. (6 C. (1,23 D.3,33 12.已知函数()()()log 2,10,1252,37a x x f x a a x x -≤⎧⎪=>≠⎨--≤≤⎪⎩的图象上关于直线1x =对称的点有且仅有一对，则实数a 的取值范围是 A. {}75375⎣⎦U B. 73,57⎨⎪⎪⎩⎭U C. {}75575⎢⎣⎦U D.53,75⎨⎪⎪⎩⎭U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若12nx x ⎫-⎪⎭展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 . 14.运行下面的程序框图，若输出的S 的值为99212-，则判断框内的整数a 为 . 15.若实数,x y 满足不等式组21220x y x y ≤⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，则21x y z x ++=+的取值范围是为 . 16.设()f x '是函数()f x 在定义域R 上的导函数，若()01f =且()()22f x f x '-=，则不等式()()2ln 7f x x -<的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足515S =，且2682,,1a a a +成公比大于1的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）（1）如果从参加比赛的学生人数在25人以上（含25人）的班级中随机选取2个指导老师颁发“参与组织奖”，那么至少有一位来自“参与学生人数在[)25,30内的班级”的指导老师获奖的概率是多少？（2）如果从参加比赛的学生人数在25人以上（含25人）的班级中随机选取3个指导老师颁发“参与组织奖”，设“参与学生人数在[)25,30内的班级”的指导老师获奖人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望().E X19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为梯形，//,AB CD PD ⊥平面ABCD ，90,BAD ADC ∠=∠=o22, 3.DC AB DA ===（1）线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出BE CE 的值，并进行证明；若不存在，请说明理由.（2）若3PD =，线段PC 上有一点F ，且3PC PF =，求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点B ，且12220F F F B +=u u u u r u u u u r r .（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()4,0Q 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，使得23635QP QM QN =⋅？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）设函数()2ln .f x a x bx =- （1）当1b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1,0a b ==时，函数()(),g x f x kx k =-为常数，若函数()g x 有两个相异零点12,x x ，证明：212x x e ⋅>.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。