2015学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一下学期期末数学试卷及参考答案

2014-2015学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）225与135的最大公约数是（）A．5 B．9 C．15 D．452．（5分）已知向量=（1，2），=（x，1），且+2与2﹣平行，则x等于（）A．1 B．﹣2 C．D．3．（5分）在某次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定，用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号，有可能的是（）A．3，9，15，11 B．3，12，21，40 C．8，20，32，40 D．2，12，22，32 4．（5分）函数y=sinxcosx，x∈R的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数5．（5分）函数f（x）=sin2x+sin（2x+）+sin（2x﹣）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π6．（5分）某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+ B． C． D．8．（5分）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．，s 1＜s2 B．，s1＜s2C．，s 1=s2D．，s1＞s29．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．10．（5分）如图，函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（﹣，0）、，且该函数的最大值为2，最小值为﹣2，则该函数的解析式为（）A．y=2sin（+）B． C．D．11．（5分）若A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量=（1+sinA，1+cosA），=（1+sinB，﹣1﹣cosB），则与的夹角是（）A．锐角B．钝角C．直角D．不确定12．（5分）函数，则集合{x|f（f（x））=0}元素的个数有（）A．、2个B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本小题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）||=5，=（3，﹣4）且⊥，则=．14．（5分）函数y=的定义域为．15．（5分）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=．16．（5分）下列四个命题：①α∈（0，）时，sinα+cosα＞1；②α∈（，π）时，若sinα+cosα＜0，则|cosα|＞|sinα|；③对任意的向量，必有|+|≤||+||；④若≠，•=•，则=，正确的序号为．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明及解题步骤）17．（10分）若，，且，tan（α﹣β）=﹣3，求下列各值．（1）（2）tanβ18．（12分）已知，，（1）求与的夹角θ；（2）若，且∥，试求．19．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求使f（x）≥2成立的x的取值集合．20．（12分）某外语学校英语班有A1、A2两位同学，日语班有B1、B2、B3、B4四位同学，俄语班有C1、C2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．（1）写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B4被选中的概率；（2）求A1和C1不全被选中的概率．21．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．22．（12分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．2014-2015学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）225与135的最大公约数是（）A．5 B．9 C．15 D．45【解答】解：∵225÷135=1…90，135÷90=1…45，90÷45=2，∴225与135的最大公约数是45，故选：D．2．（5分）已知向量=（1，2），=（x，1），且+2与2﹣平行，则x等于（）A．1 B．﹣2 C．D．【解答】解：由题意可得+2=（1+2x，4），2﹣=（2﹣x，3），因为+2与2﹣平行，所以3（1+2x）﹣4（2﹣x）=0，解此方程可得x=故选：D．3．（5分）在某次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定，用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号，有可能的是（）A．3，9，15，11 B．3，12，21，40 C．8，20，32，40 D．2，12，22，32【解答】解：系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号的间隔相等，且平均分布在1～10，11～20，21～30，31～40中，故A、B、C均不正确，D正确．故选：D ．4．（5分）函数y=sinxcosx ，x ∈R 的奇偶性（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数【解答】解：令f （x ）=sinxcosx ，∵f （x ）=sin2x ，f （﹣x ）=﹣=﹣f （x ）∴f （x ）=sinxcosx 为奇函数． 故选：A ．5．（5分）函数f （x ）=sin2x +sin （2x +）+sin （2x ﹣）的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．πD ．2π【解答】解：∵f （x ）=sin2x +sin （2x +）+sin （2x ﹣）=sin2x +sin2xcos +cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin=2sin2x ．∴最小正周期T=．故选：C ．6．（5分）某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．【解答】解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15， 由几何概型公式得到P=；故选：C ．7．（5分）在△ABC 中，=，=．若点D 满足=（ ）A ．+B ．C ．D ．【解答】解：由题意可得=====故选：A．8．（5分）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．，s 1＜s2 B．，s1＜s2C．，s 1=s2D．，s1＞s2【解答】解：x1===15，x2===15，∴x1=x2∵．∴s1==s2==，∴s1＜s2故选：B．9．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．【解答】解：A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；B选项，=，不正确；C选项，=，正确；D选项，≠，不正确．综上知C选项正确故选：C．10．（5分）如图，函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（﹣，0）、，且该函数的最大值为2，最小值为﹣2，则该函数的解析式为（）A．y=2sin（+）B． C．D．【解答】解：由题意可知A=2，T=，所以ω=，图象经过点（﹣，0），所以0=2sin[]解得φ=该函数的解析式为：y=2sin（+）故选：A．11．（5分）若A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量=（1+sinA，1+cosA），=（1+sinB，﹣1﹣cosB），则与的夹角是（）A．锐角B．钝角C．直角D．不确定【解答】解：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0，故有•=（1+sinA）（1+sinB）﹣（1+cosA）（1+cosB）＞0，同时易知与方向不相同，故与的夹角是锐角．故选：A．12．（5分）函数，则集合{x|f（f（x））=0}元素的个数有（）A．、2个B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：当x≤0时，f（x）=0可得x=0当0＜x≤π时，若f（x）=4sinx=0，则sinx=0，则x=π当x≤0时，若f（x）=x2=π，则x=﹣，当0＜x≤π时，若f（x）=4sinx=π，则sinx=，则x=，又∵f[f （x）]=0∴f （x）=0，或f （x）=π∴x=﹣，或x=0，或x=，或，或x=π故选：D．二、填空题（本小题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）||=5，=（3，﹣4）且⊥，则=（4，3）或（﹣4，﹣3）．【解答】解：设=（x，y），因为||=5，=（3，﹣4）且⊥，则，解得或，所以=（4，3）或（﹣4，﹣3）；故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．14．（5分）函数y=的定义域为（kπ，kπ+）（k∈Z）．【解答】解：由sin2x＞0，得2kπ＜2x＜π+2kπ，即．∴函数y=的定义域为（kπ，kπ+）（k∈Z）．故答案为：（kπ，kπ+）（k∈Z）．15．（5分）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．【解答】解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：516．（5分）下列四个命题：①α∈（0，）时，sinα+cosα＞1；②α∈（，π）时，若sinα+cosα＜0，则|cosα|＞|sinα|；③对任意的向量，必有|+|≤||+||；④若≠，•=•，则=，正确的序号为①②③．【解答】解：①α∈（0，）时，sinα+cosα=sin（α），α∈（，），∴sin（α）＞1，故正确；②α∈（，π）时，sinα＞0，cosα＜0，∵0＜sinα＜﹣cosα，∴|﹣cosα|＞|sinα|，故正确；③对任意的向量，当其中有零向量时或同向时，等号成立，当反向或不共线时，根据三角形两边之和大于第三边可知必有|+|＜||+||，故正确；④若≠，•=•，根据数量积的定义可知错误．故答案为①②③．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明及解题步骤）17．（10分）若，，且，tan（α﹣β）=﹣3，求下列各值．（1）（2）tanβ【解答】解：（1）且，∴∴（2）由（1）知∴18．（12分）已知，，（1）求与的夹角θ；（2）若，且∥，试求．【解答】解：（1）设与的夹角为θ，则0≤θ≤π=2×4﹣3×2×1×cosθ+1=6∴cosθ=，∴θ=60°．（2）设，由||=2及∥则，解得或.所以，）或.）19．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求使f（x）≥2成立的x的取值集合．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，…（3分）由2k≤2x+≤2k，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间为：[kπ，k]，k∈Z．…（6分）（2）∵由f（x）≥2得sin（2x+），…（9分）∴2kπ+≤2x+≤2kπ，可得kπ≤x≤k，…（11分）∴x的取值集合为：[kπ，k]，k∈Z．…（12分）20．（12分）某外语学校英语班有A1、A2两位同学，日语班有B1、B2、B3、B4四位同学，俄语班有C1、C2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．（1）写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B4被选中的概率；（2）求A1和C1不全被选中的概率．【解答】解：（1）一切可能的结果组成的基本事件空间有：{A1，B1，C1}，{A1，B1，C2}，{A1，B2，C1}，{A1，B3，C1}，{A1，B4，C1}，{A1，B2，C2}，{A1，B3，C2}，{A1，B4，C2}，{A2，B1，C1}，{A2，B1，C2}，{A2，B2，C1}，{A2，B3，C1}，{A2，B4，C1}，{A2，B2，C2}，{A2，B3，C2}，{A2，B4，C2}，共16个基本事件．B4被选中的基本事件有}{A1，B4，C1}，{A1，B4，C2}，{A2，B4，C1}，{A2，B4，C2}，共4个基本事件．∴B4被选中的概率P1=．（2）∵A1和C1全被选中的基本事件有{A1，B1，C1}，{A1，B2，C1}，{A1，B3，C1}，{A1，B4，C1}，共4个基本事件．∴A1和C1不全被选中的概率p2=1﹣=．21．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．22．（12分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．所以AB=OB﹣OA=cosαsinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin2α=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣=sin（2α+）．=﹣=．由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。