南华大学2010年数学竞赛试题
2010年全国大学生高等数学竞赛总决赛(答案)
2010年全国大学生数学竞赛决赛答 tian27546这是献给博士论坛一个礼物 转载时请勿注明是博士论坛一、（20分）计算下列各题：1．求极限 211sin )1(lim n k n k n k n π∑-=→∞+解法1因211sin )1(n k n k n k π∑-=+211222sin sin 21(2sin 21n n k n k nn k πππ∑-=+=） )22cos 22(cos 1(2sin 2122112n k n k n k nn k πππππ+--+=∑-=） )22cos 22(cos 1(22112nk n k n k n n k πππππ+--+≈∑-=） 2112211222cos 1(22cos 1(n k nk n n k n k n n k n k ππππππ++--+=∑∑-=-=）） 222211222cos 11(22cos 1(n k n k n n k n k n nk n k ππππππ--+--+=∑∑=-=））2122222222cos 12)12(cos 11(2cos )11(n k n n n n n n n n n n n k πππππππ-+--+-+=∑-=） 21222222)12(cos 2)12(cos 12(2cos )11(nk n n n n n n n n n k ππππππ-+---+=∑-=）（*） 而2122)12(cos n k n k π-∑-=212222sin 2)12(cos22sin 21n n k nn k πππ∑-=-=])1(sin [sin2sin2121222n k n k nn k πππ--=∑-= 2222sin 2sin )1(sinn n n n πππ--=222sin2)2(sin 2cos n n n n πππ-=（**） 将（**）代入（*），然后取极限，得原式]2sin2)2(sin2cos2)12(cos 12(2cos )11([lim 222222n n n nn n n n n n n n n ππππππππ-+---+=→∞）]2)2(sin 2cos 2)8)12(1(12()11([lim 22342222n n n n n n n n n n n ππππππ-+----+=∞→） ]2)2(sin 2cos 2)21(12()11([lim 2232222n n n n n n n n n n ππππππ-+---+=∞→） )]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222nn n n n n n n n n n n πππππππ----+---+=∞→）)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222n n n n n n n n n n n ππππππππ---+---+=∞→） 65π=上式中含2n 的项的系数为0121=+-πππ，含n 的项的系数为0)2(111=-++πππ，常数项系数为656824ππππππ=-=--解法2 Step 1因∑-=112sin n k n k π211222sinsin 22sin 21n nk nn k πππ∑-==)22cos 22(cos2sin2122112n k n k nn k πππππ+--=∑-=)2)12(cos2(cos2sin21222n n n n πππ--=故)2)12(cos 2(cos 2sin 21lim sinlim 222112n n n nn k n n k n ππππ--=→∞-=→∞∑)2)12(cos2(cos1lim222n n n n n πππ--=→∞nn n n n 2sin 2)1(sin2lim22πππ-=→∞n n n n n 22)1(2lim22πππ-=∞→2π= Step 2因222)12(cosn k nk π-∑=22222sin 2)12(cos22sin21n n k nnk πππ∑=-=])1(sin [sin2sin212222nk n k nnk πππ--=∑= 2222sin 2sinsin n n n n πππ-=2222sin 2)1(sin 2)1(cos nn n n n πππ-+=因此∑-=112sin n k n k nk π211222sin sin 22sin 21n n k n k n n k πππ∑-== ]2)12(cos 2)12(cos [2sin 212112112n k n k n k n k nn k n k πππ+--=∑∑-=-= ]2)12(cos 12)12(cos [2sin 21222112n k n k n k n k nnk n k πππ----=∑∑=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∑-=2122222)12(cos 12)12(cos 12cos 12sin 21n k n n n n n n n nn k ππππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∑=222222)12(cos 12)12(cos 2cos 12sin 21n k n n n n nnnk ππππ(*) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21nn n n n n n n n n n ππππππ 于是∑-=→∞112sin lim n k n n k nk π⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=→∞2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21lim nn n n n n n n n n n n ππππππ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（ ）（222222282411211lim n n n n n n n ππππ---++-=→∞ ）（22222228242lim n n n n n ππππ--=∞→62ππ-=3π=原式6532πππ=+=2．计算⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz ，其中 ∑为下半球面222y x a z ---= 的上侧, 0>a .解 记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面 222y x a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则422222211)(adxdy a dxdy a dxdy a z axdydz ay x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则⎰⎰∑+∑++212)(dxdy a z axdydz ⎰⎰⎰Ω+++=dxdydz a z a )220(⎰⎰⎰Ω+=dxdydz a z )32(⎰⎰⎰≤+---+=2222220)32(a y x y x a dz a z dxdy⎰⎰≤+---+=22222202]3[a y x y x a dxdy az z⎰⎰≤+--+++-=222)3(222222a y x dxdy y x a a y x a ⎰⎰≤≤≤≤-++-=πθθ2002222d d )3(ar r r r a a r a⎰-++-=a r r r a a r a 02222d )3(2π ⎰-++-=ar r a a r a 022222)d()3(π⎰-++-=22122d ))(3(a u u a a u a π223222)(42a u a a uu a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=π274a π=⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+++++-=12122)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a 227333a a a πππ-=+-=3．现 设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？解 设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2rVh π=总造价为222r a rh b P ππ+=222r a rbVπ+=， 则2322242r r a bV r a r bV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得312⎪⎭⎫⎝⎛=πa bV r ，312⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππa bV V h ， 因为是惟一的驻点，所以当3122323131222222:2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Vab a bV V a bV a bV V h r ππππππ 时，所需费用最少.4．已知 x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，求)(x f 解 因x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin 1)(33⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin 122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin 1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ 令)4(21π+=x t ，则⎰+=t tt x f d 2sin )4cos 211(2)(⎰+=t tt t d cos sin )4cos 2(2⎰-+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 2(222⎰+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 3(222 ⎰+-=t tt t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos 3(222222⎰-++=t t t t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 22244222 ⎰-+++=t t t t t t t tt t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 222442244⎰-+++=t t t t tt tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424 令t u tan =，2u v =，则⎰-+++=u u u u u u x f d )233(212)(2424⎰-+++=224224d )233(2122u u u u u u ⎰-+++=v v v v v v d )233(212222⎰+-++=v v v v v v d )323(122222 令)()323(1222v R vAv v v v v +=+-++，则31=A ，)323(332336331)323(12)(22222+--+-++=-+-++=v v v v v v v v v v v v v v R )323(382+-=v v 因此⎰⎰+-+=323d 324d 62)(2v v vv v x f ⎰+-+=323d 324ln 622v v vv ⎰+-+=98)31(d 924ln 622v v v C v v +-+=32231arctan 3221924ln 62C v v +-+=2213arctan 32ln 62 C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C x x +-+++=221)82(tan 3arctan 32)82(tan ln 6222ππ 二、（10分）求下列极限1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→e n n n n )11(lim解 设xx x f 1)1()(+=, 则))1ln()1(1()1()(21xx x x x x f x+-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-= 原式=)(lim )1(lim010x f x e x x xx '=-+→→)()(lim )(lim 00x f x f x f x x '=→→)1()1ln()1(lim)(lim 20x x x x x x f x x +++-=→→20)1ln()1(limx x x x e x ++-=→22)1ln(lim 0e x x e x -=+-=→2．nnn n n c b a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→3lim 111，其中0>a ，0>b ，0>c 解 因300ln 3ln ln ln 3ln ln ln lim 33lim abc c b a c c b b a a x c b a x x x x x x x x =++=++=-++→→ 故 原式=333lim)13(1lim 10003lim abc ee c b a x c b a c b axxxx x x x x x x xx xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++→→→三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求xx x x x f x tan )cos (sin lim 220++→ 解 设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则xx x f x x f x x x x x f x x tan )1()cos (sin lim tan )cos (sin lim 220220+-+=++→→ 1cos sin )1()cos (sin lim 1cos sin lim tan lim 220220220-+-+-++=→→→x x f x x f x x x x x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim cos 111lim220020-+-+-+=→→→x x f x x f x x x x xx x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim 212200-+-+-=→→x x f x x f x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 21cos 2lim sin lim 2122000-+-+-=→→→x x f x x f x x x x x x1cos sin )1()cos (sin lim 41220-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim 411--=→t f t f t )1(41f '=21= 四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，⎰+∞0d )(x x f 收敛，求⎰+∞→yy x x xf y 0d )(1lim.解 令⎰=xt t f x G 0d )()(，则因⎰+∞0d )(x x f 收敛，故)(lim y G y +∞→，不妨设R A y G y ∈=+∞→)(lim ，则[]}d )()(1{lim )(d 1lim d )(1lim0000⎰⎰⎰-==+∞→+∞→+∞→y yy y y y y x x G x xG yx G x y x x xf y)d )(1)((lim 0⎰-=+∞→yy x x G yy G ⎰+∞→-=yy x x G y A 0d )(1lim 0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，证明：（1）存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .证 （1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21[上连续，且1)1(-=F ，21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((⎰+-'--x e x xe x x f e x x f e x x x x d d d )(d )(⎰⎰⎰⎰----+-'-= x e e x x f e x x f e x x x x d d )(d d )(⎰⎰⎰⎰----++-=x x xe x f e --+-=)(故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，0)0(=F ,0)(=ξF ,x x e x x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .六、设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某邻域内有一阶连续导数，且0)(lim 0>=→a x x f x ，证明级数∑∞=-1)1()1(n n n f 条件收敛. 证 因 0)(lim>=→a xx f x ，故存在一个正数δ，使得当δ<-<00x 时，有 2)(aa x x f <-因此x x f a )(2<（δ<-<00x ），于是，当δ1>n 时， δ<-<010n ，nn f a 1)1(2<，n a n f 2)1(>，这表明级数∑∞=1)1(n n f 发散，即级数∑∞=-1)1()1(n n n f 发散.下证原级数收敛：由0)(lim0>=→a xx f x 知，0)(lim lim )(lim )0(000====→→→a x x f x x f f x x x ，0)(lim )0()(lim )0(00>==-='→→a xx f x f x f f x x由)(x f 在0=x 的某邻域内有一阶连续导数知，)(lim )0(0x f f a x '='=→，因此存在一个正数η，使得当η<-0x 时，有2)(aa x f <-' 因此)(20x f a '<<（),(ηη-∈x ）. 特别地，)(x f 在),0(η上单调增，于是当η1>n 时，)1()11(n f n f <+，且0)0()1(lim ==∞→f nf .最后由Leibniz 判别法知，原级数收敛.综上可知，原级数条件收敛.六、（14分）设1>n 为整数，⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内至少有一个根. 证 记!!2!11)(2n t t t t p nn ++++= ,)!!2!11()(2n t t t e t r ntn ++++-= ,则)()(t r e t p n t n -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t .记2)()(n x F x -=ψ，则⎰--=n n t t t r e nx 0d )(2)(ψ,因⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，故函数)(x ψ在],2[n n 上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内可微，且2)2()2(n n F n -=ψ⎰⎰<-=--=--20200d )(2d ))(1(nn t n n tt t r e n t t r e ,2d )()(0nt t p e n nn t -=⎰-ψ⎰⎰⎰⎰----+-=+--=202220d )(d )(d )(2d ))(1(n nn n t n t n n n t n n t tt p e t t r e tt p e nt t r e⎰⎰++-=---20202d )2(d )(n n n n t n tt n t p et t r e⎰⎰+++-=---20202d )2(d )!1(1nnn nt t t n t p e t e e n ξ ⎰⎰+-++-=+---202022d ))2((d )!1(1nnn nt nt t t n t r e e t e e n ξ ⎰⎰+---+-+-=202022d )!1(1d )!1(121nnnnt t t e e n t e e n n ξξ ⎰⎰--+-+-=2020d )!1(1d )!1(121n nt t t e e n t e e n n ξξ ⎰-+->202d )!1(22n nt t e e n n []202)!1(22nt ne e n n -++= )1()!1(222-+-=ne n n )!1(2)!1(222+++-=n n e n n )!1(22)!1(2222+-=+->n en n e n n n012>->n（若2>n ，则左边的两个不等式都成立） ()()⎰⎰-+-=-+=-=--101021d 121d 121)1()1(t te t t t e F ψ()[]⎰-++-=--101021d 1t e e t t t 032321)1(2111>-=--+-=--ee e 031)2(>->eψ01223!4223)3(1223144144314923232333>-=->⇒>⇒>>>e e e e ψ 01232452!522)4(2>->->->e e e ψ,0122212e e 12)(>->++->n n n n n e n n ψ 故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2)(nF =ξ.七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.解 不存在假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（， 若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（f f f f 矛盾。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题
同上的解法求得方案一最佳。
问题一的解答：
2、当共用管线和非共用管线费用不相同时要考
虑方案二中的各部分管线的总费用并与方案一
中的费用对比，得出最优方案。经过查阅资料
得知某非共用管道5万元/千米；共用管道8万 元/千米；方案一的费用为
C1 5 l 2 (a b 方案二的费用为：) 2
；
2010高教社杯全国大学生数学建模 竞赛 C题 输油管线设计的数学模型
阐述的主要问题
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同 时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。 由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院 希望建立管线建设费用最省的模型。
针对这个问题，通过三个小问题 进行解答：
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形， 提出设计方案。若有共用管线，考虑其共用管线费用与非共用管 线费用相同或不同的情形。 B 2. 两炼油厂的具体位置其中A厂位于郊区（Ⅰ）， 厂位于城区 Ⅱ （Ⅱ），两个区域有明显的分界线。若所有管线的铺设费用均相 同， 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用， 根据三家工程咨询公司对此项附加费用的估计，为设计院给出管 线布置方案及相应的费用。 3. 为进一步节省费用，炼油厂根据生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用就各不相同，拆迁等附加费用同上。给出管 线最佳布置方案及相应的费用。
，
2 3 l ，解得 C1 C2 3
问题一的解答：
2）同理：当 a b
当 a b 时，解得C1 C 2。当 a
3 10 3 3a 3b l 时， 2 C l 3 3 3
3l
8
b时，解得
C1 C 2。即方案一最佳。
问题二的解答：
大学生数学知识竞赛试题与答案
趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、〔苏步青〕是国际公认的几何学权威,我国微分几何派的创始人。
2、〔华罗庚〕是一个传奇式的人物,是一个自学成才的数学家。
3、编有《三角学》,被称为"李蕃三角"且自称为"三书子"的是〔李锐夫〕。
4、世界上攻克"哥德巴赫猜想"的第一个人是〔陈景润〕。
5、〔姜立夫〕是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人",这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。
6.设有n个实数,满足|xi|<1<I=1,2,3,…,n>, |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值207.三角形的一个顶点引出的角平分线,高线与中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90° ___8.某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间<假定每间分出的钥匙数与每人分到的钥匙数都不限>,最少得发出_16024______把钥匙.9.在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104_____.10.若实数x满足x4+36<13x2,则f<x>=x3-3x的最大值为______18_____11 ."我买鸡蛋时,付给杂货店老板12美分,"一位厨师说道,"但是由于嫌它们太小,我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。
这样一来,每打<12只>鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。
"厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f<x>∈[0,1],则y=f<x>+1的取值X围为___[7/9,7/8]____13.已知函数ｆ〔ｘ〕与ｇ〔ｘ〕的定义域均为非负实数集,对任意的ｘ≥0,规定ｆ〔ｘ〕＊ｇ〔ｘ〕＝ｍｉｎ｛ｆ〔ｘ〕,ｇ〔ｘ〕｝．若ｆ〔ｘ〕＝3－ｘ,ｇ〔ｘ〕＝,则ｆ〔ｘ〕＊ｇ〔ｘ〕的最大值为____〔2√3－1〕_____14．已知a,b,cd∈N,且满足342<abcd+ab+ad+cd+1>=379<bcd+b+d>,设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______1949___.15.用E<n>表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k,则E<150>=__2975_________16.从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则可有_2500________种不同的取法．17.从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保留,划完后剩下的数依次构成一个新的序列:A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,则A2003的值为____3338_____.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段<包括边在内>,现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是＿419.已知x0=2003,xn=xn-1+<n>1,n∈N>,则x2003的整数部分为_______2003___21.已知ak≥0,k=1,2,…,2003,且a1+a2+…+a2003=1,则S=max{a1+a2+a3, a2+a3+a4,…, a2001+a2002+a2003}的最小值为________3/2007_.22.对于每一对实数x,y,函数f满足f<x>+f<y>=f<x+y>-xy-1,若f<1>=1,那么使f<n>=n<n≠1>的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是____.<√3-3/2>a___24.已知a,b,c都不为0,并且有sinx=asin<y-z>,siny=bsin<z-x>,sinz=csin<x-y>.则有ab+bc+ca=__-1_____.二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是〔1、C 〕。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛官方题目（含ABCD）
\A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口地平线 2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口水平线(b) 小椭圆油罐截面示意图α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm 0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线β地平线垂直线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线油3m油B题2010年上海世博会影响力的定量评估2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。
2010数学竞赛答案
2010年数学竞赛试题评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1. 16-；2. 21y x x =-++； 3. 41π-； 4.()212,xxdx f x y dy ⎰⎰；5. 2222sin cos(sin );x x ⋅ 6. ()222xy x x y ee ----+； 7. ()0,12dzdx dy =--；8.13； 9. 23-； 10. 0.二、选择题（每小题3分，共30分）1. D;2. B;3. C;4. C;5. C;6. A;7. A;8. B;9. C; 10. C.三、解答题（每小题10分，共70分） 1. 解(2limsin n →∞=()2limsin n n π→∞3分=2lim sin n n π→∞⎛ ⎪⎪⎝⎭3分 =2sin2π3分=1 1分 2. 解 令ln x t =，则()()ln 1t te f t e +=, 2分()f x dx ⎰=()ln 1x xe dx e+⎰=()ln 1xxe de--+⎰2分=()ln 11x xxxxe e e e dx e--⋅-+++⎰ 2分 =()1ln 11x xxxxe e e e dx e -+--+++⎰2分 =()()ln 1ln 1xx x ee x e C --++-++. 2分第一页3. 解 令u t x =-，则()212x xx f u du e --=-+-⎰, 2分()()()1,,x x f x x e f x x e ---⋅-=--=- 1分 ()100x f x e x '=-=⇒=, 1分又 0(0)0,f e ''=-< 1分 ∴0x =为()f x 的极大值点，极大值为()01f =-. 2分又 ()lim lim 11,x x x f x e x x →-∞→-∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ()l i m l i m 0x xx x x e x e →-∞→-∞--=-=，∴y x =为其斜渐近线，无水平和垂直渐近线. 3分4. 解 利用微分形式不变性, 在()u u ϕ=+()xyp t dt ⎰两边求微分，得()()()du u du p x dx p y dy ϕ'=+-, 2分故 ()()()()11p x p y du dx dy u u ϕϕ=-''--, 1分从而 ()dz f u du '==()()()()()()11f u p x f u p y dx dy u u ϕϕ''-''--, 2分于是 ()()()1f u p x z x u ϕ'∂='∂-, 2分z y∂∂()()()1f u p y u ϕ'-='-. 2分故 ()()0.z zp y p x x y∂∂+=∂∂ 1分 5. 解13,xuf f xϕ∂'''=+⋅∂ 4分22ux ∂∂()2111331333x x xx x f f f ff ϕϕϕϕ'''''''''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ 3分()211133332x x x x f f f f ϕϕϕ''''''''''''=+⋅+⋅+⋅ 3分6. 解 ()2221,y yDyM x y d dx x yρσ==+⎰⎰⎰3分 第二页21x yx dy y=3分=1arctan 4y dy π⎫-⎪⎝⎭ 2分1ln 2122=- 2分 7. 解 添加直线段AO =0y ：, 2分原式OA AOAO+=-⎰⎰1分()D0x e y dxdy =---⎰⎰ 3分=sin 0xx dx e ydy π⎰⎰2分()115e π=- 2分 四、证明题（每小题10分，共20分）1. 证明 ()f x 在0x =的某个邻域(0)U 内具有二阶连续导数，且()0lim0x f x x→=，∴ ()00f =，从而()00f '=. 3分当n 充分大时，使得1n在0x =的这个邻域(0)U 内，故由Taylor 公式有 ()()()()2211111100,0,2!2f f f f f n n n n n ξξξ⎛⎫⎛⎫'''''=++⋅=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3分又 ()f x 在邻域(0)U 内具有二阶连续导数，∴∃常数0M >，使得()f M ξ''≤, 2分∴ 212Mf n n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 2分2. 证明 用先二后一法计算左边的三重积分，得()Df z dv ⎰⎰⎰()11zD dz f z dxdy -=⎰⎰⎰ 4分()()1211f z z dz π-=-⎰ 4分 ()()1211f u u du π-=-⎰. 2分第三页。
首届2010(数学类)考题及答案(决赛试题)
首届数学类赛题（精简版）首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、填空题（共8分，每空2分.）(1) 设0βα>>，则222xx dxe e x βα--+∞-⎰=_____________.(2) 若关于x 的方程211(0)kx k x+=>在区间(0,)+∞内有惟一实数解，则常数k =_____________. (3) 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续.由积分中值公式有()()()xa f t dt x a f ξ=-⎰()a x b ξ≤≤<.若导数()f a +'存在且非零，则lim x a ax aξ+→--的值等于_____________.(4) 设()6a b c ⨯=，则()()()()a b b c a c +⨯++ =_____________.二、（10分）设()f x 在(1,1)-内有定义，在0x =处可导，且(0)0f =. 证明: 21(0)lim2nn k k f f n →∞='⎛⎫=⎪⎝⎭∑.三、（12分） 设()f x 在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x ∈∞。
当自然数n →∞时()0f x n +→。
证明: 函数序列{()1,2,}f x n n += ：在[0,1]上一致收敛于0.四、（12分） 设22{(,):1}D x y x y =+<，(,)f x y 在D 内连续，(,)g x y 在D 内连续有界，且满足条件： (1) 当221x y +→时，(,)f x y →+∞；(2) 在D 中f 与g 有二阶偏导数， 2222fff ex y∂∂+=∂∂,2222ggg exy∂∂+≥∂∂。
证明： (,)(,)f x y g x y ≥ 在D 内处处成立.五、（10分）设{(,):01;0R x y x y =≤≤≤≤，{(,):01;01}R x y x y εεε=≤≤-≤≤-.考虑积分1RdxdyI xy=-⎰⎰，1R dxdyI xyεε=-⎰⎰，定义lim I I εε+→=。
2010年数学建模试题(全部)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2010年数学建模C、D题解析
4 − k2 l a+b k 1 P =( (b − a) + , − l ) ，此时 f min = [k (a + b) + l 4 − k 2 ] ； 2k 2 2 2 2 4 − k2
*
ab 4 − k2 （3）当 l ≥ (b + a ) 时， P* = ( , 0) ，此时 f min = (a + b) 2 + l 2 . a+b k 对共用管道与非共用管道相同的情况，只需令 k = 1 即可. 此问的优化模型实际上有两个约束条件 x ≥ 0, y ≥ 0 . 上面得到（1）（2）（3） 、 、 ，
关于学生论文中的几种情形
1．讨论不全面，很多队没有给出什么条件下不用公 用管道；有些虽有讨论，但不清晰，一定要用已知参数的 关系来讨论. 2．有些同学用镜面反射，Ferma定理，这些只适用于 各种管道费用相同的情形，即只适用第1问中的特殊情形 ，后面仍然要建立优化模型，对整个论文并没有增添什么 色彩. 之所以采用这两种方法，主要是参考了《两城镇取 水管线的最短铺设》和《泵站选址与水管铺设》两篇论文 . 不少学生根本就没有弄清Ferma定理，叙述Ferma定理就 不正确. 另外，用了文章就应引用为参考文献. 3．不少论文叙述混乱，符号混淆，图形不合理.
2012-4-28 费浦生 feipusheng@
关于C题《输油管的布置》的第3问
3．设输送 A 厂的管线为 k1 = 5.6 万元／km，输送 B 厂的管线为 k2 = 6.0 万 元／km，共用管线费用为 k3 = 7.2 万元／km，拆迁等附加费用同上. 请给出管 线最佳布置方案及相关费用. 总费用表达式为
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南华大学2010年数学竞赛试题
学院 专业 学号 姓名
1.（4分）求极限]sin )(cos 112)cos 14arctan sin )cos 1ln([lim 222
3
3
sin 0
2x
e x x x x x x e x x x -+-++---+→.
2. （6分）设)(x f 是定义在),(∞+-∞上的函数，1)0(',0)(=≠f x f .
且.)()()(,),(,y f x f y x f y x =+∞+-∞∈∀ 证明：)(x f 在),(∞+-∞上可导，且)()('x f x f =.
3. （8分）已知A 、B 为三阶方阵，且E B B A 421
-=-，其中E 为三阶单位矩阵。
(1) 证明：矩阵E A 2-可逆；
(2) 若⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=200021021B ，试求矩阵A.
4. （6分） 设函数)(x f 在x=0附近有界,且满足方程)(x f 2)2
(21x x
f =-
,求)(x f .
5.（4分）计算行列式
1
11112
2
21211111cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +++-+--=
n n n n n n n n n n n n n D αααααααααααα
.
6．（6分）已知一个母鸡生k 个蛋的概率为
λλ-e k k
!
（λ>0），而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为
p ，求一个母鸡恰有r 个下一代（即小鸡）的概率。
7. （5分）设0,1:222≥≤++Ωz z y x , 求⎰⎰⎰++=dv z y x I )532(222.
8. （4分）设三次函数.33)(23c bx ax x x f +++=有极值点βα==x x ,，试用.,,c b a 表
示)()(βαf f +
9.（8分）设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧
=+++++=+++=+++.
14)4()2(3,022,04321
43214321x x x x x x x x x x x x μλμλ
已知T )1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求：
（1） 方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解； （2） 该方程组满足32x x =的解。
10．（7分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞
=+-01
2)1(n n
n 的和.
11. （6分） 设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且3
10)(1 lim e x x f x x
x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.
12．（6分）已知ξ
1
，
ξ2 ……ξn 是取自均匀分布(0 ,θ)上的母体的一个子样,试证∧
θ=max{ξ1 ，
ξ2 , ……, ξn }是θ的一致估计量.
13. （8分）设函数f(u)在),0(+∞内具有二阶导数,且)(22y x f z +=满足等式
0y
z
x z 2
222=∂∂+∂∂, (1)验证: 0)()(='+''u u f u f ; (2)若0)1(=f ,1)1(='f ,求函数)(u f 的表达式.
14. （6分）设函数)(x f 在[a,b]上连续,在(a,b)可导,又)(x f 在[a,b]上是凸的(即
)(x f '在(a,b)上是减函数)
(1)求证: 2121x x ],b ,a [x ,x <∈∀,必有 )(x f ),(),
()
()()(2111
2121x x x x x x x x f x f x f ∈---+
>
(2)若设0)(=a f , 0)(≥b f 求证: ),b ,a (x ∈∀ 0)(>x f .
15．（8分）设二维连续型随机变量()Y X ,的联合概率密度为：
()1,1,1,4
xy
x y f x y +⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其他
（1） 求随机变量X 和Y 的边缘概率密度； （2） 求EY EX ,和DY DX ,；
（3） X 和Y 是否独立？求X 和Y 的相关系数()Y X R ,，并说明X 和Y 是否相关？ （4） 求()1<+Y X P 。
6. （8分）设f y
x yf x y xf z ),(2)(+=二阶可导,且
22
|by y x z a x -=∂∂∂=,求)(x f .。