福建省龙岩市2015届高三教学质量检查数学(文)试题及答案

福建省龙岩市2015届高三教学质量检查数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．如图，设全集U R =，{}|2M x x =>，{}0,1,2,3N =， 则图中阴影部分所表示的集合是A ．{}3B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,32．若命题p ：00,sin 1x R x ∃∈=；命题q ：2,10x R x ∀∈+<，则下列结论正确的是 A ．p ⌝为假命题B ．q ⌝为假命题C ．p q ∨为假命题D ．p q ∧为真命题3．已知函数2log 1(0)()(2)(0)x x f x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则(0)f =A ．1-B ．0C ．1D ．34．某工厂对一批新产品的长度（单位：m m ）进行检测，如图是（第1题图）0.080.04 0.03频率 组距检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为 A ．20 B ．25 C ．22.5 D ．22.755．函数cos x y e =()x ππ-≤≤的大致图象为6．已知,A B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且2AB =，则OB AB ⋅= A ．1-B ．1C．2-D．27．如图所示的程序框图输出的结果是14S =，则判断框内应填的条件是A ．7?i ≥B ．15?i >C ．15?i ≥D ．31?i >8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的表面积是A．B．CD 19．已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且目标函数2z x y =+的最小值为则实数a 的值是 A ．1 B ．13C ．14D ．1810．已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为A ．43B ．2C 11．已知函数()sin()4f x A x πω=-(0,0)A ω>>的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2 的等边三角形，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象A ．向左平移12个长度单位侧视图 x y ππ-O x y ππ-O x y ππ-O x y ππ-O A B C DyB ．向右平移12个长度单位 C ．向左平移4π个长度单位 D ．向右平移4π个长度单位12．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内 一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是 A ．5 B ．4 C．．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.）13．已知i 是虚数单位，复数21i i-的模为________ . 14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，若在平行四边形ABCD 内部随机取一个点Q ， 则点Q 取自ABE ∆内部的概率是 _________ . 15．在ABC ∆中，已知sin 2sin CA=，2b a =，那么cos B 的值是 ___________. 16．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数. 我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和. 例如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……依此方法可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++，其中*,m n ∈N ，则m n += .三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，24S =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，记该数列的前n 项和为n T ，求n T 的表达式． 18．（本小题满分12分）如图，平面11ABB A 为圆柱1OO 的轴截面，点C 为底面圆周上 异于,A B 的任意一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：1//A D 平面1O BC ．19．（本小题满分12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试. 甲、乙两人参加了 （第14题图）A B CDE （第12题图）C1A（第18题图）5理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”. 由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率． 20．（本小题满分12分）若函数2()sin cos 0)f x x x x ωωωω=>的图象与直线m m y (=为常数)相切，并且切点的横坐标依次构成公差为π的等差数列．（Ⅰ）求ω及m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在]0,2x π⎡∈⎣上所有零点的和．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：2221(1)y x a a+=>与抛物线2C ：24x y =有相同焦点1F ．（Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l 过椭圆1C 的另一焦点2F ，且与抛物线2C 相切于第一象限的点A ，设平行1l 的直线l 交椭圆1C 于,B C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-5 CABCC 6-10 BCDBD 11-12 AD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）132．12 15．1416．3318．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力． 证明：（Ⅰ）AB 为O 的直径，点C 为O 上的任意一点BC AC ∴⊥ ……………………………………………………………2分 又圆柱1OO 中，1AA ⊥底面O1AA BC ∴⊥,即1BC AA ⊥ ………………………………………………4分 而1AA AC A =∴BC ⊥平面1A AC ………………………………………………6分 （Ⅱ）（法一）取BC 中点E ，连结DE 、1O E ,D 为AC 的中点ABC ∴∆中，//DE AB ,且12DE AB = ……………………………8分又圆柱1OO 中，11//AO AB ,且1112A O AB =11//DE AO ∴,11DE AO =11A DEO ∴为平行四边形 ………………………………………………10分 11//A D EO ∴ ……………………………………………………11分 而1A D ⊄平面1O BC ，1EO ⊂平面1O BC1//A D ∴平面1O BC ……………………………………………12分（Ⅱ）证明：（法二）连结DO 、1AO ,D 为AC 的中点，O 为AB 的中点ABC ∴∆中，//DO BC而DO ⊄平面1O BC ，BC ⊂平面1O BC//DO ∴平面1O BC ………………………………………………………8分又圆柱1OO 中，11//AO OB ,且11AO OB =11AOBO ∴为平行四边形 11//AO BO ∴ 而1AO ⊄平面1O BC ，1BO ⊂平面1O BC 1//AO ∴平面1O BC ……………………………………………………10分 1DO AO O = ∴平面1//A DO 平面1O BC 1A D ⊂平面1A DO1//A D ∴平面1O BC …………………………………………………12分19．【命题意图】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想. 解：（Ⅰ）解法一：依题意有8287868090855x ++++==甲7590917495855x ++++==乙 ……………………………………………2分22222216482-8587-8586-8580-8590-8555s ⎡⎤=++++=⎣⎦甲（）（）（）（）（）……3分 222222138275-8590-8591-8574-8595-8555s ⎡⎤=++++=⎣⎦乙（）（）（）（）（） …4分 答案一：2285x x s s ==<乙乙甲甲， ∴从稳定性角度选甲合适. …………6分（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适. …………6分）答案二：2285x x s s ==<乙乙甲甲，乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适.…6分解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为15； ………………………………………………………………………………2分 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为35． ………………………………………………………………………………5分 所以选乙合适． …………………………………………………6分 （Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为,,A B C .“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为,a b .从这5次摸底考试中任意选取2次有,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C 共10种情况． ……………………………9分恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共,,,,,aA aB aC bA bB bC 共6种情况． ……………………………10分∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率63()105P A ==． ……………12分 20．【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想．解：（Ⅰ）2()sin cos f x x x x ωωω=-=1sin 2cos 2)222x x ωω+--=1sin 2222x x ωω- =sin(2)3x πω- …………………………………… 3分依题意得函数()f x 的周期为π且0ω>，∴222πωπ== ∴1ω=，1m =± ……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin(2)03x π-=2()3x k k Z ππ∴-=∈ ∴26k x ππ=+…………8分 又]0,2x π⎡∈⎣ x ∴=275,,,6363ππππ………………………10分 ](),0,2y f x x π⎡=∈⎣所有零点的和为2751163633πππππ+++= …………12分 21．【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想． 解：（Ⅰ） 抛物线y x 42=的焦点为)1,0(1F ，1=∴c，又21,b a =∴=∴椭圆方程为1222=+x y ． ………………………………………………………4分 （Ⅱ）（法一）设),(00y x A ，00>x ，00y >,412x y = 1',2y x ∴= ,2101x k l =∴∴直线1l 的方程为)(21410020x x x x y -=-即，2004121x x x y -=且过点2(0,1)F - 2001124x x ∴-=-∴=，，,12101==∴x k l∴切线1l 方程为1-=x y …………………………6分 因为1//l l ，所以设直线l 的方程为m x y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222x y m x y ，消y 整理得,022322=-++m mx x …………………………7分 22412(2)0m m ∆=-->，解得203m ≤< ① 设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则2121222,,33m m x x x x -+=-=∴||BC ==222263229)2(1242m m m -=--⋅= …………………………8分直线l 的方程为0=+-m y x ，∴点O 到直线l的距离为d =………………………………………9分11||22OBC S BC d ∆∴=⋅⋅===， ………………………………10分由①203m ≤<， 230m ∴->223924m m -+≤=（当且仅当232m =即m =时，取等号）OBC S ∴最大= 所以，所求直线l的方程为：y x =±． ……………………………………12分（法二）2(0,1)F -，由已知可知直线1l 的斜率必存在，设直线1:1l y kx =-由214y kx x y=-⎧⎨=⎩ 消去y 并化简得2440x kx -+= ∵直线1l 与抛物线2C 相切于点A .∴2(4)440k ∆=--⨯=，得1k =±. ………………………………5分 ∵切点A 在第一象限.∴1k = ………………………………6分 ∵l ∥1l∴设直线l 的方程为y x m =+由2212y x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得223220x mx m ++-=， …………………7分 22(2)12(2)0m m ∆=-->，解得m <<设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则1223m x x +=-，21223m x x -=12||43xx -===……8分又直线l 交y 轴于(0,)D m1211||||||223OBC S OD x x m ∆∴=⋅⋅-=⋅⋅=10分3=当232m =，即(m =时，max ()OBC S ∆=. …………11分 所以，所求直线l 的方程为y x =. ………………………………12分22．【命题意图】本题为导数、与不等式的综合,主要考查导数的应用.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．解：（Ⅰ）2()f x x a '=+，7(1)3f a =+，(1)1f a '=+ …………………………3分 切线方程为7()(1)(1)3y a a x -+=+-， …………………………4分令0x =，得43y =为定值 …………………………………………5分 （Ⅱ）由2+[()]x xe m f x a m x '-≥对0x ≥时恒成立，得22+0x xe mx m x -≥对0x ≥时恒成立，即2+0x e mx m -≥对0x ≥时恒成立，2min (+)0x e mx m ∴-≥ ………………………7分记2()x g x e mx m =+-，()x g x e m '=+，0,1x x e ≥∴≥若1m ≥-， '()g x ≥0，()g x 在[0,)+∞上为增函数，2min ()(0)10g x g m ∴==-≥11m ∴-≤≤ …………………………………………10分 若1m <-，则当()0,ln(-x m ∈）时，'()g x <0，()g x 为减函数，则当(ln(,)x m ∈-+∞)时，'()g x >0，()g x 为增函数，2min ()(ln )+ln (1ln +)0g x g m m m m m m m m ∴=-=---=---≥（）（）（） 1ln +0m m ∴--≥（）， ………………………12分 令m t -=，则ln 10t t +-≤(1)t >， ()ln 1t t t φ=+-显然是增函数，1,()(1)0t t φφ>∴>=，1t ∴>即1m <-不合题意. ……………13分 综上，实数m 的取值范围是11m -≤≤． ………………………14分。