第三章非惯性参考系
03第三章_非惯性系质点动力学
以铁盒为参考系（加速直线运动的非惯性系），设向下为正方向，分别以m1，m2为研究对象，分别加上-mi，-m?a的惯性力，mi、m?相对于铁盒 具有等值的加速度a相，应用牛顿第二定律：
对
对
联立解得：a=(m」mXmH如%。
m
3-4.女口习题3-4图所示，质量为m2=2kg和m3=1kg的两个物体分别系 在一根跨过滑轮B的细绳的两端，而滑轮B又与质量为mj=3kg的物体
解：以车为参考系（加速直线运动的非惯性系） ，以圆木为研究对象。设圆 木与地面间夹角为 二，加上惯性力-ma后，圆木处于平衡状态，圆木脱离
第一篇：质点基本运动规律第三章非惯性系下质点动力学49
地面条件是
水平方向：
圆木与地面相互作用力为零。
T cosv-ma
竖直方向：
T sin v-mg
由习题3-2图所示的几何关系得：sin-
第三章非惯性系质点动力学
课后作业题
3-1.如习题3-1图所示，一小车沿倾角为二的光滑斜面滑下。小车上悬挂
一摆锤。当摆锤相对小车静止时，摆线与铅垂线的夹角为多大？ 解：以斜面为参考系（惯性系），以小车与摆锥整体为研究对象，应用牛顿
第二定律有
以小车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以水平向右和向上为x,y的
正方向，如习题3-1图所示，以摆球为研究对象， 加上沿斜面向上的惯性力ma后，对摆球应用牛顿第二定律：
x
y
两式联立得：tg〉=tgv，即:-
3-2.在卡车的尾部通过一根绳子拖着一根粗细均匀的圆木。绳长为d，圆
木长为I,绳与卡车的连接点距地高h。问卡车必须以多大的加速度a行驶, 才能使圆木与地面脱离？
为x,y的正方向，以m为研究对象，加上水平向左的惯性力ma后，对m应
运动的相对性惯性与非惯性参考系
运动的相对性惯性与非惯性参考系本文将从相对性、惯性参考系和非惯性参考系三个方面来探讨运动的相对性以及运动参考系的特点和应用。
1. 相对性理论相对性理论是爱因斯坦的理论物理学中的一个重要概念。
它认为运动的描述是相对的，即不存在一个绝对静止的参考系，所有的运动都必须以某个其他物体或系统为基准。
这就是说，同一个物体在不同的参考系中有可能呈现不同的运动状态。
2. 惯性参考系惯性参考系是指一个相对于外界没有受到力的参考系。
在惯性参考系中，物体的运动状态完全符合牛顿第一定律即惯性定律，物体将保持匀速直线运动或保持静止状态，直到受到外力的作用。
在这个参考系中，物体的运动是简单、直观、易于描述的。
3. 非惯性参考系非惯性参考系是指一个相对于外界有受力的参考系。
在非惯性参考系中，物体受到了惯性力或伪力的作用。
惯性力是为了保持牛顿定律在非惯性参考系中成立而引入的一种力，它的大小和方向与物体的质量和加速度有关。
在非惯性参考系中，物体的运动状态会受到影响，加速度和力的关系需要通过惯性力来描述。
4. 运动的相对性运动的相对性是指同一个物体或系统在不同的参考系中可能呈现不同的运动状态。
这意味着观察者的选择会对运动的描述产生影响。
一个物体在相对静止的参考系中可能是静止的，但在相对于另一个物体运动的参考系中可能是运动的。
相对性的出现使运动的描述更加复杂，需要考虑多个参考系的因素。
5. 相对性的应用相对性理论在现实生活中有着广泛的应用。
其中最著名的就是狭义相对论和广义相对论。
狭义相对论揭示了高速运动物体的运动规律，包括时间的相对性和空间的收缩等现象。
广义相对论进一步研究了引力和时空的弯曲等问题，改变了我们对宇宙结构和黑洞等的认识。
总结起来，运动的相对性理论认为运动的描述是相对的，不存在绝对静止的参考系。
惯性参考系是指没有受到力的参考系，物体在其中运动符合牛顿第一定律。
非惯性参考系是指有受力的参考系，物体在其中受到惯性力的作用。
运动的相对性的应用使得我们对时间、空间和引力等方面的认识得到了深化。
非惯性参照系
非惯性参照系
非惯性参照系是一种特殊的参照系，它不遵循惯性定律，而是根据特定的条件来定义。
它
可以用来描述物体在特定的环境中的运动，也可以用来描述物体在特定的空间中的运动。
非惯性参照系的定义是：它是一种参照系，它的坐标系不遵循惯性定律，而是根据特定的
条件来定义。
它可以用来描述物体在特定的环境中的运动，也可以用来描述物体在特定的
空间中的运动。
非惯性参照系的应用非常广泛，它可以用来描述物体在地球表面上的运动，也可以用来描
述物体在太空中的运动。
它还可以用来描述物体在某种特殊的环境中的运动，比如在液体
中的运动，在磁场中的运动，在重力场中的运动等。
非惯性参照系的另一个重要应用是在航天飞行中，它可以用来描述飞行器在太空中的运动，以及飞行器在地球表面上的运动。
它可以帮助飞行员更好地控制飞行器，以及更好地掌握飞行器的位置和运动状态。
总之，非惯性参照系是一种重要的参照系，它可以用来描述物体在特定的环境中的运动，也可以用来描述物体在太空中的运动，以及飞行器在地球表面上的运动。
它的应用非常广泛，可以帮助人们更好地掌握物体的运动状态，从而更好地控制物体的运动。
非惯性参考系
x′
x′
o′ y′
3
笫三章 非惯性参考系
r K′ 系相对 K 系平动速度为 v0 ′
K系 系 z
z′ ′ r
K′系 ′ P r′ y′ ′ y K′系 Q ′ z′∆r ′ ∆r ′ P P' ∆r0 o′ ′ y′ ′
r r r r (t ) = r′(t ) + r0 (t )
∆t 时间后，质点位于 点 时间后，质点位于Q点 o x K系 系 z x′ ′
将上式对时间求导， 将上式对时间求导，加速度关系为
r r r a(t ) = a′(t ) + a0 (t ) r r dv (t ) dv′(t ) r r 其中： 其中： (t ) = a , a′(t ) = , dt dt
绝对加速度 相对加速度
r dv0 (t ) r a0 (t ) = dt
msin2 θ + M
10
要求：把参考系建在地面上处理本题，比较其结果。 要求：把参考系建在地面上处理本题，比较其结果。
笫三章 非惯性参考系
潮汐现象
r FC r FAA NhomakorabeaC
r fiC r FB r fiD
B
r r fiA a0 r FD
D
r fiB
Earth
Sun
r a0
K′系 ′ Earth
Earth
牵连加速度
5
笫三章 非惯性参考系
例3-1 一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大 一货车在行驶过程中，遇到 竖直下落的大 车上紧靠挡板水平放有长为l=1m的木板。 如果 的木板。 雨 ， 车上紧靠挡板水平放有长为 的木板 木板上表面距挡板最高端的距离h=1m，问货车应以 木板上表面距挡板最高端的距离 ， 多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？ 多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？
3章相对运动和非惯性系
v0
竖 直 上 抛 运 动
斜 抛 运 动
匀速运动车上的人观察
地面上的人观察
由此 可见
运动是相对的，如果我们选择的两个参考 系有相对运动，那么我们在这两个参考系中观 测同一物体的运动情况是不一样的。在两个作 相对运动的参考系中，研究同一物体的运动之 间的关系，就是相对运动问题。本章首先讨论 相对运动的运动学问题，然后讨论非惯性系中 的动力学问题。
经典力学认为空间和时间是相互独立的、互不相关的， 并且独立于运动之外。所以：在经典力学中，长度、时
r r0 r v0t r t t
伽利略变换式
间的测量与运动无关，是一个不变量。
绝对时空观
3.2.2 速度和加速度的变换关系
速度：
对 r v0t r 两边求导数得
特例： 如图1所示，在静止 的火车箱内的光滑台面上， 放一小球，当火车加速前进 时，因小球水平方向不受力， 它应相对于地面静止，故相 对于火车加速后退。即
K
K
fin
a
a0
图1 牛顿定律成立。 牛顿定律不成立。
K系： F 0 , K 系： F 0 ,
a 0. a 0 .
在远离地球以加速度 g 而加速上升的升降机观察物体 的运动。小球受到的惯性力为 f mg
in
由此可见：
根据实验现象，观察者无法区分引力场和惯 性力场。1911年爱因斯坦曾指出，至少在一个有 限的区域内，一个引力场的惯性系中和一个加速 运动的非惯性系中所发生的物理现象相同。即引 力场与惯性力场等效。它是广义相对论的基础。
33.1 相对运动 . 3.1.1伽利略变换 取相对于观察者静止的参考系（如地面） 为 静系；相 1 对于 静系匀速平动的参考系（如车厢）为 动系。如图所示 。 K t 时刻质点 P 的位置 v0 y′ K K K y 位矢 r 位矢 r
第三章-非惯性参考系
由于初始时刻，A端与O点相距为d，所以c o s 0
d l
从而求出时间为： t d l cos
y y'
c
为化同一坐标系，由图中几何关系有： c
A
l
u
i'sini co sj
M
B
x
j'cosisinj
O
x'
13
理论力学
vt
d*r dt
'
r
'
6
理论力学
第三章 非惯性参考系
式中
dr' d*r' r' ，
dt dt
d*r'dx'i'dy' j'dz'k' dt dt dt dt
d r ' 称为 r ' 的绝对微商 dt
d *r dt
'
称为 r
' 的相对微商
r 称为 r ' 的牵连微商，
对于任意旋转矢量 A ，总有其绝对微商=相对微商+牵连微商
y y'
A
l
u
只需求出牵连速度，包括动系的平
M
B
O
动速度和转动速度。
x
x'
11
理论力学
第三章 非惯性参考系
解：建立如图所示的静直角系O-xyz
y y'
和固着在棒上的动直角系A-x’y’z’ A
由动系和静系速度变换关系： c l u
M
B
x
vv'vtr'
O
x'
据题意： v' ui '， vt vAcj， r'k' u ti'u tj'
惯性力非惯性参考系下的运动情况
惯性力非惯性参考系下的运动情况惯性力是指在非惯性参考系中观察到的力，其产生的原因是非惯性参考系的加速度导致物体产生假惯性力。
在本文中，我们将讨论惯性力在非惯性参考系下的运动情况，以便更好地理解物体在非惯性参考系中的运动规律。
一、惯性力的定义与原理在惯性参考系中观察到的物体运动是简单而直观的，而在非惯性参考系中观察到的物体运动则会产生额外的力。
这种额外的力即为惯性力，它的大小和方向与物体的加速度、质量和距离相关。
按照惯性力的定义，我们可以推导出其数学表达式：F惯性= -ma，其中F惯性为惯性力，m为物体的质量，a为非惯性观察系的加速度。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于其质量乘以加速度，因此在非惯性参考系中，物体所受的合力为质量乘以非惯性观察系的加速度减去惯性力。
二、非惯性参考系下的匀速直线运动在非惯性参考系下，观察到的物体的运动状态可能与惯性参考系中存在一定的差异。
特别是在匀速直线运动中，惯性力的作用会使物体产生额外的加速度，从而导致物体的运动轨迹发生变化。
以一个简单的例子来描述非惯性参考系下的匀速直线运动。
假设一个小球在一个以加速度a观察的非惯性参考系中做匀速直线运动，而在惯性参考系中，小球的运动状态是静止的。
根据公式F惯性 = -ma，可知在非惯性参考系中，惯性力与质量成反比。
因此，在一个给定的非惯性参考系中，小球的惯性力大小与其质量越小，加速度越大；相反，质量越大，加速度越小。
这是因为较小的质量对惯性力的抵抗能力较弱。
三、非惯性参考系下的曲线运动除了匀速直线运动，非惯性参考系下的曲线运动也是需要考虑的情况。
在惯性参考系中，物体在曲线运动中会受到一个向心力的作用，该向心力是使物体维持其曲线轨迹的力。
然而，在非惯性参考系中，由于惯性力的存在，物体受到的合力并不等于向心力。
以一个小车在非惯性参考系中作匀速圆周运动为例。
在惯性参考系中，小车顺时针或逆时针匀速行驶，由于受到向心力的作用，小车能够维持在圆周轨迹上。
第三章非惯性参考系
笫三章非惯性参考系目录（一）相对运动（二）平动参考系---平移惯性力（三）转动参考系---惯性离心力、科里奥利力12定参考系: 相对观察者静止的参考系, 或静参考系绝对运动: 物体相对定参考系的运动动参考系: 相对观察者运动的参考系相对运动: 物体相对于动参考系的运动（一）相对运动一、动参考系作任意方式的平动在任意时刻，两个相对平动参考系的直角坐标轴的相对取向保持不变。
注意：平动不一定是直线运动！y 'o 'K '系z 'x 'yo zK 系xy 'o 'K '系z 'x 'y 'o 'K '系z 'x 'y 'o 'K '系z 'x '（二）平动参考系---平移惯性力3K '系相对K 系平动速度为0v0()()()r t r t r t '=+ x yo zK 系P ry 'o 'K '系z 'x 'r 'r 0Δt 时间后，质点位于Q 点()()()r t r t t r t ∴∆=+∆- 0()()()r t r t r t ∆'∆∆其中：---质点在K 系中的位移---质点在K '系中的位移---K '系相对K 系的位移0()()()r t t r t t r t t '+∆=+∆++∆0()()r t r t '=∆+∆ Q P xyo zK 系ΔrΔr 'Δr 0K '系y 'o 'z 'x 'P'40()()()v t v t v t '=+ －称为质点P 相对K 系的速度（绝对速度）－称为质点P 相对K '系的速度（相对速度）－称为K '系相对于K 系的速度（牵连速度）()v t()v t '0()v t其中：将上式对时间求导，加速度关系为0()()()a t a t a t '=+ 00()()()(),(),()dv t dv t dv t a t a t a t dt dtdt''===其中：绝对加速度牵连加速度相对加速度上式两边除以，并取的极限，可得0t t ∆∆→例3.1设湖岸MN为一直线，有一小船由岸边A点沿与湖岸成α=15°角匀速向湖中行驶，另一个人同时由A出发，他先沿湖岸奔跑一段距离后再入水中游泳去追船，已知人在岸上奔跑的速度v1=4m/s，在水中游泳的速度v2=2m/s，问为了能追上船，船的最大速度值不能超过多少？解：设人在岸上的B点下水，在P点追上船。
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a (t ) a(t ) a0 (t )
dv (t ) 其中： a (t ) , dt
绝对加速度
相对加速度
dv(t ) a( t ) , dt
dv0 ( t ) a0 ( t ) dt
牵连加速度
4
笫三章 非惯性参考系
例3-1 一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大 雨，车上紧靠挡板水平放有长为l =1m的木板。如果 木板上表面距挡板最高端的距离h=1m，问货车应以 多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？ 解：为使木板不致淋湿，雨滴对
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笫三章 非惯性参考系
将以上结果代入 v v v f ，两边除 以 t ，并取 t 0时的极限，可得
a a w v w v f w v a w (w r ) 2w v
相对加速度
牵连加速度
科里奥利加速度
2
g
9
要求：把参考系建在地面上处理本题，比较其结果。
笫三章 非惯性参考系
潮汐现象
FC FA
A
C
f iC FB f iD
B
f iA a0 FD
D
f iB
Earth K系 Earth
Sun
a0
Earth
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笫三章 非惯性参考系
＊思考：惯性力是真是假？
在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中，不时冠以 虚拟力或假想力之定语于惯性力，以与真实作用力相区别，那 是为了免除初学时概念上的混淆。其实，惯性力所产生的物理 后果是真实的，惯性力也可以由测力器测出。过分强调惯性力 的假想性，这在物理思想上是要被质疑的. 爱因斯坦于1915年创立了广义相对论的理论基础，其基本 原理之一 等效原理，最初表述是，引力与惯性力实际上是 等效的，即惯性力与引力对一切物理现象的影响都应该是不可 区分的 .
科里奥利加速度（ acor ）来源： （1）一半来自动参考系的转动造成相对速度的方向 变化而引起的； （2）另一半来自质点在动参考系中位置的变化造成 牵连速度的变化而引起的，实际也是由相对运动 引起的。
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笫三章 非惯性参考系
二、转动参考系---惯性离心力，科里奥利力
1. 相对于K 系静止的点，惯性离心力 静止在 K 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内，
得 令
F ma
显然这里的 K 系为惯性系
F ma ma0 ma
即
f i ma0
F ma0 ma
则在非惯性系里有：
其中 f i 为虚拟力（惯性力） F fi ma
通过引入虚拟力（这里称“平移惯性力”）可将牛顿第二定 律推广到了非惯性参考系。 7
解：
劈的运动以地面为参考系来考察， 在水平方向上
m M
N sin Ma0
（1）
a0
8
笫三章 非惯性参考系
如图，坐标系 ox y取在劈上木块除受真实力 N 和 mg 外，还受惯性力 f i ma0 。 木块的运动方程为
y
（2）
ma0 cos mg sin mx
所以 O
v v ( t t ) v ( t t )
v( t t ) v ( t ) v f ( t t ) v f (t ) v v f
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笫三章 非惯性参考系
而 v v1 v2 （如图（b））
w
v ( t t )
笫三章 非惯性参考系
（2） 地球同步卫星定位于赤道上空
哪一个是平动参考系，哪一个是静参考系？反过来考虑如何？
5
笫三章 非惯性参考系
二、平动加速参考系－平移惯性力
牛顿运动定律只在惯性系中成立。为在非惯性系中用牛顿 定律求解物体的运动，需要引进适当的“虚拟力”。
6
笫三章 非惯性参考系
在K系中物体的运动满足牛顿定律：
但因 a ，在 a 系看来物体的运动不满足牛顿定，即 K F ma （ a为牵连加速度） 由 a a0 a 0
由⑴、⑶式消去N，即得
N
f i ma0
N ma0 sin mg cos 0 （3） 0
x
mg
mg sin cos a0 m sin2 M
代入⑵式，即得
x a0 cos g sin
M m sin
m sin M
注意:这里选取的两参考
Q r f
r r r f
系原点始终重合
r ( t ) ---质点在K系中的位移 r f ( t )---由K系（图中转盘）转动所引起的位移，且
rf OQ
(t 0)
12
笫三章 非惯性参考系
质点的绝对速度为 相对速度 牵连速度
1 2 P P 1 cos 191
在两极处
1 在赤道处 0 , cos 1， P P 1 191
2 , cos 0， P P
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笫三章 非惯性参考系
而 p 与 p 的夹角 ，由图知为
r r f r v lim lim v v f t 0 t t 0 t t
其中
v f lim
r f t
t 0
w r
注意：这里牵连速度与质点的位置有关！ 所以
v v w r
思考题：若考虑动参考系的平动，牵连速度又如何表达？
o y
2
笫三章 非惯性参考系
K 系相对 K 系平动速度为 v0
K系 z
z r
K系 P r y
r (t ) r (t ) r0 (t )
Δt 时间后，质点位于Q点 o
r0 o x
y
r (t ) r (t ) r0 (t )
其中：
x
K系 z
r ( t ) ---质点在K 系中的位移 r ( t )---质点在K系中的位移 r0 ( t ) --- K系相对K系的位移
货车的速度 v R-T 的方向与木 板的夹角必须满足下式： l h
由图知：
h 0 arctg 45 l
v G-T v R-G ctg 5m/s
vG-T 和 vT-G 大小相等而方向相反, 所以货车如 以5m/s的速度行驶, 木板就不致淋雨了.
其中 vG-T和 vR-G分别为地 对车和雨滴对地的速度
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笫三章 非惯性参考系
f c mR0w cos 6.4 10 2 24 60 60 cos cos P mg 9.81 289
2 6 2
由于 P fc， 故
p 较准确的结果是 实际上由于自转效应，地球稍呈扁平，
fc P 1 1 cos 2 P P 1 cos 289 P
13
笫三章 非惯性参考系
2. 加速度变换 设质点沿圆盘的径向方向运动 t时刻，质点处在P点
w
v ( t t )
v f (t ) v ( t ) P
v ( t ) v ( t ) v f ( t )
Δt时刻，质点处在Q点
v f ( t t ) Q
v ( t t ) v ( t t ) v f ( t t )
讨论：（1）重力与纬度的关系
w
由于地球的自转，在地球上测得物体 的重力并非是物体的真实重力，而是表 观重力 p .如图，p是物体所受引力P和 离心力 f i 的矢量和
fc
p
p
P P f c
P P 2 fc2 2 Pfc cos
f c mw 2 r mR 0w 2 cos
笫三章 非惯性参考系 目 录
（一）相对运动 （二）平动参考系---平移惯性力 （三）转动参考系 ---惯性离心力、科里奥利力
1
笫三章 非惯性参考系
（一）相对运动
定参考系: 相对观察者静止的参考系, 或静参考系 绝对运动: 物体相对定参考系的运动
动参考系: 相对观察者运动的参考系 相对运动: 物体相对于动参考系的运动
v f (t ) v ( t ) P
（a）
是由 v相对于K'的变化引起的； v2 是由K'转动造成 v的方向变化引 v1 v ， 起的，大小为 v1 其矢量形式为 w vt v1
v f ( t t ) Q
O
v ( t t ) v f v f 1 v f 2（如图（c）） v 2 v1 v f 1 是由K'转动造成 v f的方向变化引起的； v ( t ) （b） v f 2 是由质点在K'系中的位置变化造成 v的 f 变化引起的； v f 1 v ( t ) v ( t t ) f v f 1 w v f t f （c） v f 2 v f 2 w r w v t
w
fc
p
f c sin mw 2 R cos sin w 2 R sin 2 P mg 2g
在上面讨论中未区分引力质量 m G 和惯性 质量m I ，若要区分，则 m I
2g mG
如果惯性质量与引力质量不成正比，此 角将因物体的质 料不同而异。因而，若用细线将不同质料的物体悬挂起来，悬 线将取不同的方向。匈牙利物理学厄缶利用此原理，在1908年 完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实 验。 20
在K系中看来，物体受力
F ma ma0 mw w r mw w r 其中 a0 0，即 K 系原点相对K系静止
w
wr