理论力学 非惯性参考系
非惯性参考系
r0 (t )
O
K系
x
y
D r0 d r ω r v v 0 ω r Dt dt
x
即：
v v v0 v f
2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利力
a Dv D ( v v 0 ω r) Dt Dt
P
z
r(t )
O
K 系
a0 0
z
y
r(t )
在 K 系看，P点受到真实力 F 作用：
F ma 2mω v mω (ω r)
x
r0 (t )
O
K系
x
y
在 K/ 系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点P点所受的表 现力必须为零，故质点 P 除了受惯性离心力 fc 作用外，还受到另 一力 fcor 作用：
第3 章
非惯性参考系
§3.1 非惯性参考系、虚拟力
相对运动
静（定）参考系K—相 对观察者静止的参考系 动参考系K’－相对观察 者运动的参考系
三种运动：质点相对于静参考系作绝对运动，相对于 动参考系作相对运动；动参考系相对静参考系作牵连 运动
§3.1 非惯性参考系、虚拟力
平动参考系
设静参考系 K 为惯性系，在 任何时刻，动参考系 K/ 相对于 静参考系作平动，即动参考系的 坐标基矢相对于静参考系是常量。 为了在形式上用牛顿定律 解释物体在系中的运动，必须 认为物体除了受真实力F的作用 外，还受一虚拟力的作用。在 真实力和虚拟力共同作用下， 物体的运动仍满足牛顿定律。
2 2 P P f cos mg m R cos C
Pθ与P的夹角Φ ：
动力学2：非惯性系
Fc v(qv) ω(B) v(qv)
上
Fc
上
ɺ a = a'+ω ×r +ω ×(ω ×r ) + 2ω ×v'.
关键：掌握“绝对、牵连 质点作一般的“相对” 运动 a’≠0 和相对”加速度之间的关 v = v'+ω ×r. 系，从而正确计入惯性力。
aρ = lim aϕ = lim ∆vρ ∆t ∆vϕ ∆t
∆t →0
2’
= −ω2r, = 2ωv'.
径 加 度 ω(r+v’∆t) 向 速 科 加 度 氏 速
∆t →0
ac = 2ω ×v'.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度ωv’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’∆t)，故又产生了横向加速度 ωv’，因而科氏加速度为2ωv’.
位置
ds =v dt
R + µt(v0 +ωR) s = ln −ωRt. µ R R
练习：p516(9.6) 质量为m的质点在光滑的水平桌面上运动， 练习 桌子绕通过原点的竖直轴以匀角速转动。求质点的运动方程。 解1：以地面为参考系（惯性系），质点在桌面内受力 为零，所以 d2x d2 y
dt
2
由于ω=7.29x10-5弧度/秒，很小： 简化 ω
2 2
GMm mω Rcos φ P≈ [1− ] 2 R2 GMm/ R GMm = − mω2Rcos2 φ, R2 2 θ ≈ ω Rsin 2φ / 2g.
• 重量是引力与惯性离心力的合力； • 重量大小小于真正的引力大小； • 重量指向偏离引力指向。
惯性参考系与非惯性参考系
惯性参考系与非惯性参考系(一)教学目的1.正确理解惯性参考系的定义2.正确识别惯性参考系与非惯性参考系3.正确理解惯性力的概念4.知道惯性力不是物体间的相互作用5.会正确运用惯性力计算有关问题(二)教学过程●引入新课前面我们已经学习了经典力学的基础：牛顿运动定律。
请同学们回顾、思考下面几个问题。
问题1：牛顿第一定律的内容是什么？（答：一切物体总保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
）说明：这条定律正确地说明了力与运动的关系：物体的运动不需要力去维持：力是改变物体运动状态（产生加速度）的原因。
问题2：当你和同伴同时从平台跳下，如各自以自身为参考系，对方做什么运动？（答：对方是静止的。
）问题3：在平直轨道上运动的火车中有一张水平的桌子，桌上有一个小球，如果火车向前加速运动，以火车为参考系，小球做什么运动？（答：小球加速向后运动。
）疑问：问题2中，既然对方是静止的，按照牛顿第一定律，他不应受到力的作用，然而每个人都的确受到重力的作用。
这怎么解释呢？问题3中，小球加速向后运动，按照牛顿第一定律，小球应受到力的作用，然而小球并没有受到向后的力。
这又怎么解释呢？对这个问题暂时还不能解释，但我们至少能说明一点：并非对一切参考系，牛顿第一定律都成立。
本节课我们就学习关于参考系的知识，板书：§ 3.5惯性参考系与非惯性参考系●进行新课我们以牛顿运动定律能否成立来将参考系划分为两类：惯性参考系和非惯性参考系。
板书：一、两种参考系1．惯性参考系：牛顿运动定律成立的参考系，简称惯性系。
中间空出两行。
供后面（1）、（2）两点板书用。
2．非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系。
要判断一个参考系是否为惯性参考系，最根本的方法是根据观察和实验；判断牛顿运动定律在参考系中是否成立。
分析问题2：当你和同伴同时从平台跳下，以地面为参考系，做匀加速运动。
由于人受重力作用，所以人做匀加速运动，这是符合牛顿运动定律的。
非惯性系
径向加速度 科氏加速度
(r+v’t)
t 0
ac 2 v '.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度v’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’t)，故又产生了横向加速度 v’，因而科氏加速度为2v’.
相对于转动参考系作匀速直线运动的质点：
惯性参考系
“静止”参考系 运动
“绝对”
惯性参考系：物体惯性定律成立的参考系。 惯性力 牛顿运动定律 （自由质点相对它静止或作匀速直线运动的参考系。） 非惯性参考系 “运动”参考系 “相对” 运动
主要研究相对于“运动”参考系的运动定 律。
关键：掌握“绝对、牵连和相对”加速 度之间的关系，从而正确计入惯性力。
引力的均匀部分：
可以通过“加速度”被“创造出来” 和 被“消灭掉”;
引力的非均匀部分(即引潮力)：
是时空弯曲的反映， 具有更为本质的意义
定量的计算表明：
海水两端凸起，引潮力反比于 r 3 ！
大潮和小潮
= 2.20
讨论相对于“转动” 转动参考系（一） 参考系相对静止的情 mv2 2 况。 f ma mR . 惯性离心力 惯 R 惯性离心力 v=r f=m2r T
a v ( r ) r ( r ) at r , an v ( r ).
法向加速度
切向加速度
“静止”参考系中，牛顿运动定 律：
F ma m r m ( r ). F m r m ( r ) 0 ma '.
惯性离心力
第三章 非惯性参考系
O'
a
O
fin
图1
at
O系： F 0 , a 0 .
O'系： F 0 , a 0 .
若设想小球受一力
牛顿定律成立。 牛顿定律不成立。
fin mat
于是 F fin ma .
这样，在平动非惯性系中牛顿第二定律也成立 。
如图2所示：当火车加 速前进时，小球在弹力的作 用下，相对于地面加速前进， 而相对于火车静止。即
dvt d dv ' ( r ') dt dt dt d dr ' dv ' at r ' dt dt dt
dA dA d*A 考虑到 eA A A dt dt dt
d dr ' dv ' 于是 a at r ' dt dt dt
比较 ma '
F ' 知:
d F ' F (mat ) (m dt r ') [m ( r ')] (2m v ')
d 从量纲上看 mat ， m r ' ， m ( r ') ， 2m v ' dt
N
a0
fin
mgsin mat cos ma
N mgcos mat sin 0 a gsin at cos 由方程（1）解得 由方程（2）解得 N mgcos +mat sin
滑快对斜面的压力的大小与 N 相等。
1 2
mg
a
x
滑快相对于地面的绝对加速度矢量为
eA '
理论力学简明教程第三章非惯性参考系课后答案
第三章 非惯性参考系不识庐山真面目，只缘身在此山中。
地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。
春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。
【要点分析与总结】1 相对运动t r r r '=+t t dr dr dr dr dr r dt dt dt dt dtυω'''==+=++⨯ t r υυω''=++⨯()t dv dv d v r a dt dt dtω''+⨯==+222**22()t d r d r d dr r v r dt dt dt dtωωωω'''''=++⨯+⨯+⨯+⨯()2t a a r r v ωωωω''''=++⨯+⨯⨯+⨯t c a a a '=++〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。
（1） 平动非惯性系 (0ω=)t a a a '=+ 即：()t ma F ma '=+-（2） 旋转非惯性系 (0t t a υ==)()2a a r r ωωωωυ''''=+⨯+⨯⨯+⨯2 地球自转的效应（以地心为参考点）2mr F mg m r ω=--⨯写成分量形式为：2sin 2(sin cos )2cos x y z mx F m y my F m x z mz F mg m y ωλωλλωλ⎧=+⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点O 为坐标原点，x 轴指向南方，y 轴指向东方，铅直方向为 z 轴方向。
2mr F mg m r ω=--⨯ 为旋转非惯性系 ()2F mg mr m r m r m r ωωωω-=+⨯+⨯⨯+⨯在 ,rR ωω条件下忽略 m r ω⨯与 ()m r ωω⨯⨯所得。
正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 2m r ω-⨯的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。
非惯性参照系非惯性参考系例子
非惯性参照系非惯性参考系例子基本概念编辑非惯性参照系就是能够对同一个单元观测的被施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。
非惯性参照系的一般来说无穷多。
在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”出现异常的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。
比如，一个加速转动的参照系；一个加速振动的参照系；……；一个随机任意加速运动的物理现象等等。
即任何一个成立牛顿第一定律和牛顿第二定律不再使得的参照系。
在经典电磁学中，任何一个使得“爱因斯坦相对性原理”出现异常的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。
比如，任何一个使得洛仑兹电磁电磁场定律F=qE+qvXB,或者麦克斯韦泊松方程组不再成立的参照系。
惯性力编辑经典力学对力定义相当简单明了——力是物体对物体的积极作用，不错，相当简单明了！于是，人们认为只有具备资格证书两个或两个以上的物体才有资格谈力，凡是谈到力则一定有施力物体，也有受力物体，这似乎保持一致与人们的沃苏什卡相一致。
可是，当人们坐在车上，并以车为参照系时，我们发现车上的物体居然可以无缘无故这回地加速运动起来，似乎有一个似乎内力作用在物体之上，这是一个什么灵气呢？它具有什么性质呢？施力物体是什么？无论我们怎样努力寻找，始终无法把这个力的手部物体找出来。
为了弄清楚原因，我们下了车，在地面上以地面为斜坡参照系索性来观察一番，这时，我们恍然大悟，原来当车一旦发生加速运动时，车上的物体就会在车上相对于车厢圆周运动起来，物体并没有运动而是保持静止状态，物体并没有受到力的作用，当然我们找不到施力物体了。
可见，在不同参照系上观察物体的基本概念运动，观察的结果时会截然不同！于是，人们把参照系或进行了分类，凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为惯性力非惯性参照系。
牛顿第二牛顿所谓是否适用，我们考虑的因素是力的产生条件，如果具备力的诱发条件，则必然符合牛顿第二定律。
通过总结，人们发现，凡是相对地面静止运动做匀速直线或者的参照系都是惯性参照系，而相对于地面做变速运动的参照系地面是非惯性力参照系；在许多的惯性参照系中，相对地面静止的惯性参照系具有特殊的优点，把它叫做毕竟惯性参照系。
哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第2章 非惯性系中的质点动力学
y′
非惯性系中的质点动力学基本方程，或质点相对运动动力 学基本方程
m a r F F Ie F IC
非惯性系中的质点动力学基本方程，其中 F Ie m a e --- 牵连惯性力 F IC m a C --- 科氏惯性力
在非惯性系中，牵连惯性力和科氏惯性力是真实存在的
2 2 2 2 2 2
1 2
m R (1 cos max ) 0
2
R cos max 2 g cos max 2 g R 0
解出
cos max g ( R g )
2
R
2
cos max
g ( R g )
2
R
2
1 2
mv
2 r
1 2
mv
2 r0
W F W Ie
质点相对运动动能定理的积分形式：质点在非惯性系中相 对动能的变化，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相 对路径上所作的功之和。
例 半径为R的环形管，绕铅垂轴z以匀角速度转动，管内有 一质量为m的小球，原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会 沿圆管上升。忽略管壁摩擦，求小球能达到的最大偏角max。
（4）台风、龙卷风的形成。台风基本发生在大约离赤道5个
纬度以上的洋面上。
（5）证明地球自转的傅科摆(1851年Foucault J L发明）。
北半球
在北半球，摆运动的平面缓慢顺时针转动，平面旋转一周的周期为
T 2
sin
为地球自转角速度， 为傅科摆所在地的纬度。
某人水平抛出一个球，如果考虑科氏惯性力，在下述情况下，由抛球的人
a 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力 惯性系中: 惯性系中: m d2rI /dt2 = F 非惯性系: 非惯性系: mδ2r/δt2 =F -m[d2R /dt2+β×r +ω×(ω×r) +2ω×v'] β ω ω ω v' δ δ F = Feff 1,平移力 , - md2R /dt2 ← 动系平动加速 2,方位力 , - mβ × r β ← 动系转动加速 3,惯性离心力 , - m[ω × (ω × r ) ← 动系相对固定系转动 ω ω 4,科里奥利力 , - 2mω × v' ω ← 质点相对动系运动
= ω t t = 1 ln 2 + 3 ω
(
)
可证明,引入非惯性力 ,质点动量定理,角动 质点动量定理, 可证明, 量定理和动能定理的形式都保持不变. 量定理和动能定理的形式都保持不变. 例:角动量定理 : r' v') δ L' / δt = δ(r' × mv' / δt = δ(r' δt × mv' + r' × mδv'/ δt r')/δ v' δv' = r' × ( F + F惯性) 动能定理: v' 动能定理 ∵ m δv'/ δ t = F + F惯性 → m δv' δr / δt = (F + F惯性 ) δr F → m v' δv' = (F + F惯性 ) δr F F → δ(mv'2/2) = (F + F惯性 ) δr F 即: δT = (F + F惯性 ) δr
d L 2 L 2 d L 1 L 1 d df df = + & & & dt q dt q q q dt q dt q dt df f f df 2 f 2f & & Q q+ q+ = ∴ = 2 dt q t q dt q qt d df d f 2 f 2f & = q = q 2 q + qt & dt q dt dt d L 1 L 1 d L 2 L 2 因此, 因此,当 = 0时, =0 & & dt q dt q q q
& & & & & & ξ = x ω y , η = y + ω x, ζ = z 1 & 2 + η 2 + ζ 2 ) = 1 m[( x ω y ) 2 + ( y + ω x ) 2 + z 2 ] & & & & & T = m(ξ 2 2 1 1 2 2 2 & & & & & = m ( x + y + z ) + m ω( xy y x ) + m ω 2 ( x 2 + y 2 ) 2 2 取 x,y,z 为广义坐标 , 上式代入拉格朗日方程 , 有 m&& 2m ω y m ω 2 x = Fx & x & m&& + 2m ω x m ω 2 y = Fy y m&& = Fz z r r r r r r r & m&& + 2m ω × r + m ω × ( ω × r ) = F r
(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度;
m && = m ω 2 x x (1) 动力学方程: y (2) 动力学方程: m && = N y mg m&& = 2m ω x N ( 3 ) & z z & & d x dx d x & x x = ω 2x 由(1)得 : && = = dx dt dx & & xd x = ω 2 xdx (4)
2,非惯性系中的拉格朗日函数
∫
& x
0
& & xd x = & x= =
∫
2a
a
& ω 2 xdx x 2 = 3 ω 2 a 2
3a ω
2 2 v相 + v牵 =
绝对速度: 绝对速度: v =
3ω 2a 2 + 4ω 2a 2
7aω
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间
m && = m ω 2 x x (1) 动力学方程: y (2) 动力学方程: m && = N y mg m&& = 2m ω x N ( 3 ) & z z
dA /dt = δA /δt +ω×A A A ω 运算公式:A × B ×C = B (A C ) – (A B) C A 运算公式: ω×(ω×r ) = ω(ωr ) - ω2 r ω ωr = ω2 (OB - OP) = -ω2 R OB OP 对于角速度ω,角加速度为β 对于角速度ω 角加速度为β β = dω/dt = δω/δt +ω×ω ω ω ω = δω/δt ω 说明角加速度与坐标系无关. 说明角加速度与坐标系无关. B ω R P r
(2) 平动 + 转动 之间关系: 固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系 rI = R + r d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2 = d2R /dt2 + δ2r /δt2 + (δω/δt ) ×r ω +ω×(ω×r ) +2ω×(δr /δt) ω ω ω r β ω 或 a = a平 + a相 +β×r -ω2 R + 2ω×v相 若等角加速度转动β , 若等角加速度转动β= 0,无平动加速度 a平 = 0, , ω 则:a = a' -ω2 R + 2ω×v'
y 例:在光滑水平直管中 Ny ω vz v 的小球. 有一质量为 m 的小球. Nz 此管以匀角速ω 此管以匀角速ω绕通过其 一端的竖直轴转动. 一端的竖直轴转动.开 o x vx 2x 始时, 始时,球距转动轴的距 mω Fc 离为 a , 球相对管的速率 z mg 为零, 为零,而的总长为 2a . 求:(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间. 球从开始运动到离开管口时所需时间. r r r r r r r r r r & 解 :r = x i ,v 相 = x i , ω = ω j , v 牵 = ω × r = ω x k . r 受力: 反约束力: 受力: 重力 - mg j ,反约束力:N y,N z r r r r 2r 2 惯性离心力 - m[ω(ω r ) ω r ] = mω x i r r r r r r & & 科氏力 FC = 2mω × v相 = 2mω j × x i = 2mωx k
拉格朗日方程导出惯性力
绕竖直轴转动的坐标系
r r 的作用下, 质点 P 在力 F 的作用下,对于以恒定 角速度 ω O xyz 运动着,现在要求 运动着,
的动力学方程. 此质点相对于坐标系 O xyz 的动力学方程. 为静止坐标系, 选取 O ξηζ 为静止坐标系, O xyz 为转动坐 r 标系, 轴旋转, 轴重合. 标系, ω 绕 ζ 轴旋转,并令 z 轴与 ζ 轴重合. ξ = x cos ω t y sin ω t 坐标变换方程: 坐标变换方程: η = x sin ω t + y cos ω t ζ = z & & ξ = x ωy r r r r r r r r r & ' = r + ω × r = r + ω k × ( x i + y j + zk ) η = y + ω x & r & & & ζ = z & &
∫
& x
0
& & xd x =
∫
x
a
& ω 2 xdx x 2 = ω 2 ( x 2 a 2 )
& x = ω (x 2 a 2 ) dx (x a )
2 2
= ω dt
∫
2a
dx (x a )
2 2
a
=
∫
t
0
ω dt
2a + ( 2a ) 2 a 2 ln a + (a ) 2 a 2
§5.3 拉格朗日函数的不确定性 非惯性系中的拉格朗日函数
1,若两个拉格朗日函数 L1 和 L2 只相差一函数 , 只相差一函数f(q,t)的全 的全 微商df/dt,则L1 和 L2 是等价的. 是等价的. 微商 , 证明: 证明:设 L2 = L1 + df(q,t) /dt,只要证明由 1 和 L2 所得 ,只要证明由L 出的运动方程相同即可.考虑体系只有一个广义坐标. 出的运动方程相同即可.考虑体系只有一个广义坐标.
A
P B x
r r r r r 解:rA = b i + b j ,ω = ω k, r bω r r r δrA v A相对 = j ,a A相对 = 0. = 2π δt r r r r r r rω × v A相对 + ω(ω rA ) ω rA r r r r r bω r r r 2 j + ω k[ω k (b i + b j )] ω (b i + b j ) = 2ω k × 2π r r r 2 bω2 r bω2 r 2 ω b + i ω 2b j i ω (b i + b j ) = = π π