第三章非惯性参考系
故 & c l sin
因 & c ，所以有 dt l sind
l sin
c
积分可得：t 0 td tc l0sin d c l(c o s0 c o s)
由于初始时刻，A端与O点相距为d，所以c o s 0
d l
从而求出时间为： t d l cos
y y'
c
为化同一坐标系，由图中几何关系有：
本章重点：
绝对运动、 牵连运动和相对运动的概念以及非惯性 系(平动、旋转或它们的组合)与惯性系之间位移 、 速度和加速度的关系。 Inertia force的概念和Coriolis force产生的原因。 非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法。
本章难点：
Coriolis force产生的原因；非惯性系(平动、旋转或 它们的组合)与惯性系之间位移 、速度和加速度的关 系；非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法
z
rr
z
'
P
rr
'
S' y'
O'
rr t x ' S
xO
y
据速度定义有：v r d d r r t d d r r t t d d r r t' v r t d d t( x 'i r' y 'r j' z 'k r')
由于在活动坐标系中，方向矢量
r i
',
r j
r ', k
'
，随着时间而变化
所以速度可以写作： v r v r t ( d d x t 'i r ' d d y t 'r j' d d z t 'k r ') ( x 'd d i r t ' y 'd d r j t ' z 'd d k r t ')
故 x x ' 3A
丙 ur C
三人最终在正三角形中心相聚，此时x’=0，t=0时，x=l
所以 tl/(3 u/2)2l/3 u
sut2l/3
采用相对运动知识求解则甚为简捷。
运动中三人始终形成正三角形。若以乙为参照物，则甲
相对乙运动的速度为： vr甲 乙vr甲vr乙故 v甲乙 3u
第三章 非惯性参考系
教学基本要求：
掌握 绝对运动、 牵连运动和相对运动的概念以及 非惯性系(平动、旋转或它们的组合)与惯性系 之间位移 、速度和加速度的关系
掌握 Inertia force和Coriolis acceleration 的概念 以及Coriolis force产生的原因
掌握非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法 了解地球自转效应。
(一)绝对速度、相对速度和牵连速度
如图，设有两个参考系，分别用固定坐标系O-xyz (S系，静系)
和运动坐标系O’-x’y’z’ (S’系，动系)
质点P在空间中运动，则：rr rrt rr '
式中 rrxiryrjzkr (绝对位矢) rrt xtirytrjztk r (牵连位矢) r r'x'ir'y'rj'z'k r' (相对位矢)
分析： 取十字槽为静系，棒为动系 要求动系中质点的速度，需求相对 速度和牵连速度。相对速度已知， c
y y'
A
l
u
只需求出牵连速度，包括动系的平
M
B
x
O
动速度和转动速度。
x'
解：建立如图所示的静直角系O-xyz
y y'
和固着在棒上的动直角系A-x’y’z’ A
由动系和静系速度变换关系： c l u
r v甲
乙
沿甲乙方向的分量为
v甲 乙cos3003u/2
所以用时为：tl/(3 u/2)2l/3 u，跑的路程为：sut2l/3
［例3.1］ 一长为l的棒，两端点A和B分别沿十字槽滑动，A端的 速率为常数c，棒上有一质点M沿棒以恒定的相对速率 u向B端移动，如图所示。已知初始时，A端与O点相距 为d，M点位于A端处。求M点的速度(以θ角为参数)。
三人相聚？每个演员跑了多少路程？
乙
解： 如图，设t时刻，三角形边长为x x ut
x'
则经历极短时间 t后边长为x’ u t
如图，据余弦定理得：
甲
C' 丙
x'2(ut)2(xut)22ut(xut)cos600 x23xut3u2t2 x23xut
即 x' x(13ut)1/2 x
乙
B
ur
作泰勒展开有： x' x(13ut)
M
B
x
v rv r'v rt rr r'
据题意：
vr '
r ui
'，
vrt
vrAcrj ，
O
r r r' & k r' u ti r' x& u ' tr j'
又 仅需v rA 求 出d d r r O &tA , t 以d d 及t( 把lc o 结s 果r j化) 为 l 同& s 一in 坐标r j 系 c r j
d*rr'dx'ir'dy'rj'dz'kr' dt dt dt dt
d rr ' 称为 rr ' 的绝对微商 dt
d
* rr dt
'
称为
rr
'
的相对微商
r rr 称为 rr ' 的牵连微商，
对于任意旋转矢量
r A
，总有其绝对微商=相对微商+牵连微商
如果旋转矢量
A rA xirA yrjA zk r，那么有：
v r t ( d d x t 'i r ' d d y t 'r j ' d d z t 'k r ') [ x '( r i r ') y '( r r j ') z '( r k r ') ]
vrt
d*rr dt
'
r rr
'
式中
drr' d*rr' rrr' ，
dt dt
绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度 (质点的速度合成原理) 原则上，质点与动系不在同一物体上。
静系和动系具有相对性。动系看静系时，静系成为动系
［例3.0］甲、乙、丙三个芭蕾演员同时从边长l的正三角形顶点
A、B、C出发，以相同的速率u运动，运动中始终保持
甲朝着乙、乙朝着丙、丙朝着甲，试问经过多少时间
dAr d*Ar rAr
dt dt
于是我们得到了非惯性系和静系中速度的变换关系：
或写成
drr
r drt
d*rr'
rrr'
dt dt dt
v r v r' v r e v r' ( v r t r r r')
式中 vr 是在静系中观察者看到P的速度，称为绝对速度
vr ' 是在静系中观察者认为相对动系P的速度，称为相对速度 vr e 是在静系中观察者看到动系的平动速度与转动速度矢量和，称为牵连速度
r rr
c
A
l
u
i'sini co sj
M
B
x
rj'cosirsinrj
O
x'
于是求出了M点在静系中的速度为：
03第三章_非惯性系质点动力学
以铁盒为参考系（加速直线运动的非惯性系），设向下为正方向，分别以m1，m2为研究对象，分别加上-mi，-m?a的惯性力，mi、m?相对于铁盒 具有等值的加速度a相，应用牛顿第二定律：
对
对
联立解得：a=(m」mXmH如%。
m
3-4.女口习题3-4图所示，质量为m2=2kg和m3=1kg的两个物体分别系 在一根跨过滑轮B的细绳的两端，而滑轮B又与质量为mj=3kg的物体
解：以车为参考系（加速直线运动的非惯性系） ，以圆木为研究对象。设圆 木与地面间夹角为 二，加上惯性力-ma后，圆木处于平衡状态，圆木脱离
第一篇：质点基本运动规律第三章非惯性系下质点动力学49
地面条件是
水平方向：
圆木与地面相互作用力为零。
T cosv-ma
竖直方向：
T sin v-mg
由习题3-2图所示的几何关系得：sin-
第三章非惯性系质点动力学
课后作业题
3-1.如习题3-1图所示，一小车沿倾角为二的光滑斜面滑下。小车上悬挂
一摆锤。当摆锤相对小车静止时，摆线与铅垂线的夹角为多大？ 解：以斜面为参考系（惯性系），以小车与摆锥整体为研究对象，应用牛顿
第二定律有
以小车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以水平向右和向上为x,y的
正方向，如习题3-1图所示，以摆球为研究对象， 加上沿斜面向上的惯性力ma后，对摆球应用牛顿第二定律：
x
y
两式联立得：tg〉=tgv，即:-
3-2.在卡车的尾部通过一根绳子拖着一根粗细均匀的圆木。绳长为d，圆
木长为I,绳与卡车的连接点距地高h。问卡车必须以多大的加速度a行驶, 才能使圆木与地面脱离？
为x,y的正方向，以m为研究对象，加上水平向左的惯性力ma后，对m应
3章相对运动和非惯性系
v0
竖 直 上 抛 运 动
斜 抛 运 动
匀速运动车上的人观察
地面上的人观察
由此 可见
运动是相对的，如果我们选择的两个参考 系有相对运动，那么我们在这两个参考系中观 测同一物体的运动情况是不一样的。在两个作 相对运动的参考系中，研究同一物体的运动之 间的关系，就是相对运动问题。本章首先讨论 相对运动的运动学问题，然后讨论非惯性系中 的动力学问题。
经典力学认为空间和时间是相互独立的、互不相关的， 并且独立于运动之外。所以：在经典力学中，长度、时
r r0 r v0t r t t
伽利略变换式
间的测量与运动无关，是一个不变量。
绝对时空观
3.2.2 速度和加速度的变换关系
速度：
对 r v0t r 两边求导数得
特例： 如图1所示，在静止 的火车箱内的光滑台面上， 放一小球，当火车加速前进 时，因小球水平方向不受力， 它应相对于地面静止，故相 对于火车加速后退。即
K
K
fin
a
a0
图1 牛顿定律成立。 牛顿定律不成立。
K系： F 0 , K 系： F 0 ,
a 0. a 0 .
在远离地球以加速度 g 而加速上升的升降机观察物体 的运动。小球受到的惯性力为 f mg
in
由此可见：
根据实验现象，观察者无法区分引力场和惯 性力场。1911年爱因斯坦曾指出，至少在一个有 限的区域内，一个引力场的惯性系中和一个加速 运动的非惯性系中所发生的物理现象相同。即引 力场与惯性力场等效。它是广义相对论的基础。
33.1 相对运动 . 3.1.1伽利略变换 取相对于观察者静止的参考系（如地面） 为 静系；相 1 对于 静系匀速平动的参考系（如车厢）为 动系。如图所示 。 K t 时刻质点 P 的位置 v0 y′ K K K y 位矢 r 位矢 r
力学习题-第3章非惯性系(含答案)
相对转盘不动，转动角速度的最小值为
rad/s（结果保留一位小数）。
答案：3.2 解：取转盘参为参考系（匀角速转动的非惯性系），以木块为研究对象，受力分 析：重力 mg 、静摩擦力 f 、斜面的支持力 N 、惯性离心力 F m2r （方向沿 径向向外， r 为木块离盘心的水平距离）。木块处于静止状态，受力平衡有： 沿斜面方向： mg sin m 2r cos f 0
h 1 gt 2 ， l vt 2
其中，v R 为物体刚好离开圆盘时相对地面的速度（此时，物体相对圆盘的速 度近似为零）。 设小物体质量为 m，与圆盘的摩擦力为 f，以圆盘为参考系（因为圆盘绕其轴的 角速度逐渐增大，所以可将其在短时间内视为匀角速转动的非惯性系）。小物体 恰好滑出圆盘时受最大静摩擦力 f mg ，加上沿圆盘径向方向的惯性离心力
2. 在以加速度 a 相对惯性系作加速平动的非惯性系中，质点 m 受到的惯性力的 大小等于 ma. 答案：对 解释：请参考本章视频。
3. 由于惯性力是人为引入的虚拟力，所以它的作用效果与真实力不同。 答案：错 解释：虽然惯性力不是真实的力，找不到施力物体，但其作用效果与真实力相同。 比如，地面上静止的汽车突然加速，站在车上的人突然向后倾倒的现象可以理解 为惯性力的作用，其效果与站在静止的车上人突然有力向后拉他是相同的。
A. v =
gh tan 1 ;B. v =
gh tan 2 ;C. v =
gh tan 1 tan 1 + tan 2
;
D.
v=
gh tan 1 cot 1 + cot 2
答案：D 解：以小球为参考系（匀角速转动的非惯性），小球上、下两侧绳中的张力分别
为
FT1、FT 2
第三章-非惯性参考系
由于初始时刻，A端与O点相距为d，所以c o s 0
d l
从而求出时间为： t d l cos
y y'
c
为化同一坐标系，由图中几何关系有： c
A
l
u
i'sini co sj
M
B
x
j'cosisinj
O
x'
13
理论力学
vt
d*r dt
'
r
'
6
理论力学
第三章 非惯性参考系
式中
dr' d*r' r' ，
dt dt
d*r'dx'i'dy' j'dz'k' dt dt dt dt
d r ' 称为 r ' 的绝对微商 dt
d *r dt
'
称为 r
' 的相对微商
r 称为 r ' 的牵连微商，
对于任意旋转矢量 A ，总有其绝对微商=相对微商+牵连微商
y y'
A
l
u
只需求出牵连速度，包括动系的平
M
B
O
动速度和转动速度。
x
x'
11
理论力学
第三章 非惯性参考系
解：建立如图所示的静直角系O-xyz
y y'
和固着在棒上的动直角系A-x’y’z’ A
由动系和静系速度变换关系： c l u
M
B
x
vv'vtr'
O
x'
据题意： v' ui '， vt vAcj， r'k' u ti'u tj'
理论力学第三章-
– c) 作用在质点上的惯性力只是在非惯性系中 才存在，在惯性系中根本不存在这样的力
• 惯性力的处理
– 在非惯性系里面，可以认为惯性力就是作用 于物体上的一种外力，则可以用非惯性系的 “牛顿第二定律题 1，5
第一部分为活动参考系中的观察者测量到的 质点加速度，称为相对加速度
第二部分为牵连加速度，只与活动参考系的 运动有关，其中第一项为平动牵连加速度， 其余两项由活动坐标系的转动运动引起，为 转动牵连加速度
第三部分不单单与活动坐标系的转动角速度 有关，而且与相对速度有关，为科里奥利加 速度
§3.2 平动的非惯性系
第二项惯性力的方向沿着离开转轴的方 向离心力，称为惯性离心力
第三项惯性力为科里奥利力，既与非惯 性系的转动轴垂直，又与相对速度垂直
设想一质点在光滑的圆盘 上沿着一直线运动，惯性 系中的观察者看来虽然圆 盘在转动，但质点并没有 受到合外力的作用，始终 保持着直线运动，但在转 动着的非惯性系中的观察
者看来，圆盘是不动的，质点的运动路径 却向转动相反的方向弯曲，存在加速度， 因而会认为质点必在速度的垂直方向受到 力的作用，这便是科里奥利惯性力！
第三章：非惯性参考系
惯性参照系 非惯性参照系
非惯性参照系 惯性参照系
§3.1 相对运动
• （一）绝对速度、相对速度和牵连速度
rrt r r tx tiy tj ztk r x i y j zk
• 速度是位置矢量的时间变化率，质点相对于固 定参考系的速度称为绝对速度
行求解 F fm a
– 当把惯性力当作一种外 “力”看待时，我 们同样可以像在惯性系中一样得到非惯性系 下面的一些定理（动量、动量矩、动能定 理），此时，惯性力必须要考虑进去
惯性力非惯性参考系下的运动情况
惯性力非惯性参考系下的运动情况惯性力是指在非惯性参考系中观察到的力，其产生的原因是非惯性参考系的加速度导致物体产生假惯性力。
在本文中，我们将讨论惯性力在非惯性参考系下的运动情况，以便更好地理解物体在非惯性参考系中的运动规律。
一、惯性力的定义与原理在惯性参考系中观察到的物体运动是简单而直观的，而在非惯性参考系中观察到的物体运动则会产生额外的力。
这种额外的力即为惯性力，它的大小和方向与物体的加速度、质量和距离相关。
按照惯性力的定义，我们可以推导出其数学表达式：F惯性= -ma，其中F惯性为惯性力，m为物体的质量，a为非惯性观察系的加速度。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于其质量乘以加速度，因此在非惯性参考系中，物体所受的合力为质量乘以非惯性观察系的加速度减去惯性力。
二、非惯性参考系下的匀速直线运动在非惯性参考系下，观察到的物体的运动状态可能与惯性参考系中存在一定的差异。
特别是在匀速直线运动中，惯性力的作用会使物体产生额外的加速度，从而导致物体的运动轨迹发生变化。
以一个简单的例子来描述非惯性参考系下的匀速直线运动。
假设一个小球在一个以加速度a观察的非惯性参考系中做匀速直线运动，而在惯性参考系中，小球的运动状态是静止的。
根据公式F惯性 = -ma，可知在非惯性参考系中，惯性力与质量成反比。
因此，在一个给定的非惯性参考系中，小球的惯性力大小与其质量越小，加速度越大；相反，质量越大，加速度越小。
这是因为较小的质量对惯性力的抵抗能力较弱。
三、非惯性参考系下的曲线运动除了匀速直线运动，非惯性参考系下的曲线运动也是需要考虑的情况。
在惯性参考系中，物体在曲线运动中会受到一个向心力的作用，该向心力是使物体维持其曲线轨迹的力。
然而，在非惯性参考系中，由于惯性力的存在，物体受到的合力并不等于向心力。
以一个小车在非惯性参考系中作匀速圆周运动为例。
在惯性参考系中，小车顺时针或逆时针匀速行驶，由于受到向心力的作用，小车能够维持在圆周轨迹上。
非惯性系
径向加速度 科氏加速度
(r+v’t)
t 0
ac 2 v '.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度v’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’t)，故又产生了横向加速度 v’，因而科氏加速度为2v’.
相对于转动参考系作匀速直线运动的质点：
惯性参考系
“静止”参考系 运动
“绝对”
惯性参考系：物体惯性定律成立的参考系。 惯性力 牛顿运动定律 （自由质点相对它静止或作匀速直线运动的参考系。） 非惯性参考系 “运动”参考系 “相对” 运动
主要研究相对于“运动”参考系的运动定 律。
关键：掌握“绝对、牵连和相对”加速 度之间的关系，从而正确计入惯性力。
引力的均匀部分：
可以通过“加速度”被“创造出来” 和 被“消灭掉”;
引力的非均匀部分(即引潮力)：
是时空弯曲的反映， 具有更为本质的意义
定量的计算表明：
海水两端凸起，引潮力反比于 r 3 ！
大潮和小潮
= 2.20
讨论相对于“转动” 转动参考系（一） 参考系相对静止的情 mv2 2 况。 f ma mR . 惯性离心力 惯 R 惯性离心力 v=r f=m2r T
a v ( r ) r ( r ) at r , an v ( r ).
法向加速度
切向加速度
“静止”参考系中，牛顿运动定 律：
F ma m r m ( r ). F m r m ( r ) 0 ma '.
惯性离心力
第三章非惯性参考系
笫三章非惯性参考系目录（一）相对运动（二）平动参考系---平移惯性力（三）转动参考系---惯性离心力、科里奥利力12定参考系: 相对观察者静止的参考系, 或静参考系绝对运动: 物体相对定参考系的运动动参考系: 相对观察者运动的参考系相对运动: 物体相对于动参考系的运动（一）相对运动一、动参考系作任意方式的平动在任意时刻，两个相对平动参考系的直角坐标轴的相对取向保持不变。
注意：平动不一定是直线运动！y 'o 'K '系z 'x 'yo zK 系xy 'o 'K '系z 'x 'y 'o 'K '系z 'x 'y 'o 'K '系z 'x '（二）平动参考系---平移惯性力3K '系相对K 系平动速度为0v0()()()r t r t r t '=+ x yo zK 系P ry 'o 'K '系z 'x 'r 'r 0Δt 时间后，质点位于Q 点()()()r t r t t r t ∴∆=+∆- 0()()()r t r t r t ∆'∆∆其中：---质点在K 系中的位移---质点在K '系中的位移---K '系相对K 系的位移0()()()r t t r t t r t t '+∆=+∆++∆0()()r t r t '=∆+∆ Q P xyo zK 系ΔrΔr 'Δr 0K '系y 'o 'z 'x 'P'40()()()v t v t v t '=+ －称为质点P 相对K 系的速度（绝对速度）－称为质点P 相对K '系的速度（相对速度）－称为K '系相对于K 系的速度（牵连速度）()v t()v t '0()v t其中：将上式对时间求导，加速度关系为0()()()a t a t a t '=+ 00()()()(),(),()dv t dv t dv t a t a t a t dt dtdt''===其中：绝对加速度牵连加速度相对加速度上式两边除以，并取的极限，可得0t t ∆∆→例3.1设湖岸MN为一直线，有一小船由岸边A点沿与湖岸成α=15°角匀速向湖中行驶，另一个人同时由A出发，他先沿湖岸奔跑一段距离后再入水中游泳去追船，已知人在岸上奔跑的速度v1=4m/s，在水中游泳的速度v2=2m/s，问为了能追上船，船的最大速度值不能超过多少？解：设人在岸上的B点下水，在P点追上船。
惯性参考系与非惯性参考系运动观察的不同视角
惯性参考系与非惯性参考系运动观察的不同视角惯性参考系和非惯性参考系是物理学中两个重要的概念，它们在研究物体运动时提供了不同的视角和分析方法。
本文将从多个角度分析和比较惯性参考系和非惯性参考系的相关特点和运动观察的不同视角。
一、惯性参考系惯性参考系是指一个处于匀速直线运动或未受外力作用的运动系统。
在惯性参考系中，物体的运动状态可以用牛顿运动定律来描述。
在这个参考系中，物体的速度、加速度和运动轨迹等参数可以通过简单的数学计算得到，并且不会受到外力的干扰。
在惯性参考系中观察物体运动时，我们可以认为物体所受的力等于物体自身的质量乘以加速度，即F=ma。
这种观察方式简化了物体运动的分析和计算，使得物理学研究更加方便和普适。
二、非惯性参考系非惯性参考系是指一个处于加速或旋转状态的运动系统。
在非惯性参考系中，由于惯性力（虚拟力）的存在，物体受到的合外力与其自身质量和真实加速度之间的关系不再简单。
在非惯性参考系中观察物体运动时，我们必须考虑惯性力的影响。
这些惯性力的大小和方向与运动系统的加速度和旋转有关。
这种观察方式较为复杂，需要引入额外的虚拟力来保持牛顿运动定律成立，以更准确地描述物体的运动。
三、不同视角下的运动观察1. 惯性参考系下的视角在惯性参考系下观察物体运动，我们可以得出物体所处的运动状态和参数，并直接使用数学计算来分析和计算其运动轨迹、速度和加速度等。
在这个视角下，物体的运动往往相对简单且易于理解。
2. 非惯性参考系下的视角在非惯性参考系下观察物体运动，我们必须考虑到惯性力的影响。
由于惯性力的存在，物体所受的合外力与其自身质量和真实加速度之间的关系变得复杂。
在这个视角下，我们需要引入虚拟力来计算物体的运动参数，以更准确地描述物体的运动。
总结：惯性参考系和非惯性参考系是物理学研究中常用的两种参考系。
惯性参考系适用于匀速直线运动或未受外力作用的运动系统，简化了物体运动的分析和计算。
非惯性参考系适用于加速或旋转状态的运动系统，需考虑惯性力的影响，并引入虚拟力来保持牛顿运动定律成立。
非惯性系力学
第三章 非惯性系力学引言：到目前为止，我们对质点的力学现象只是限制在惯性参考系中进行讨论的。
但是在某些实际问题中往往要求我们在非惯性系中研究力学问题。
而牛顿定律a m F =只适用于惯性系，在非惯性系中，它是不能适用的，那么相对于非惯性系中的运动定律要解决的是，质点在怎样的力作用下作怎样的运动，换句话来说，运动定律要解决的问题是，质点的受力情况与运动情况之间的联系。
1、对惯性系来说这种联系已经有了，就是牛顿第二定律a m F =。
提到了质点的受力情况，必须要明确力是物体之间的相互作用，既然力是物体间的互相作用，它与参照系的选择有没有关系？没有关系。
2、对非惯性系质点所受的力仍然为F 。
至于运动情况与参照系的选取却是有关的，对不同的参照系会给出不同的描述。
因此，质点相对惯性系和非惯性系的加速度当然是不同的，为了加以区分，就用a ' 表示质点相对非惯性系的加速度。
此时F 就不等于a m F '= ，F 虽然不等于a m F '= ，那么能不能找出F 与a ' 的关系呢？如果找到了它们之间的关系，也就等于找到了非惯性系中的运动定律，那么我们也就可以在非惯性系中讨论力学问题了。
F 与a '之间的关系总能够找到的。
3、只要能找到a 与a ' 的关系：)(a f a '=，根据运动描述的相对性，这个关系总是可以找到的。
那么根据)(a mf a m F '== 也就可以找到F 与a ' 的关系。
因此根据这条解决问题的途径，在这一章里我们准备要讲的4、内容：是①相对运动；②非惯性系动力学；③然后再做一个大题目——解决地球自转所产生的影响。
下面先讲质点相对运动的描述。
也就是讨论质点相对于两个不同参照系运动之间的关系。
§1． 作平动的参照系一、伽利略变换如右图所示，为叙述方便起见简称OX 坐标系为O 系，假定O 系为惯性系，并认为它是一个固定不动的参照系，就称它为固定坐标系。