【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 第3部分 专题一 第2讲 “2道”拉分题专练卷(一
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题五 第一讲 直 线
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题五 第一讲 直 线 与 圆(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2013·长春模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175C ．8D ．2 解析：选D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点，又直线过点P (0,1)，所以直线方程为x ＋y －1＝0.4．(2013·广东高考)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1.设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故l 的方程为x ＋y －2＝0.5．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 6．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y ＝0或x －y ＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选B 当直线的斜率k 不存在时，过原点的直线方程为x ＝0，因为圆心(2,0)到此直线的距离2>2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率k 存在时，设过原点的直线方程为kx －y ＝0，要使该直线与圆相切，则有|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1.所以，切线方程为x ＋y＝0或x －y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x －y －1＝0对称，设圆C 2的圆心为(a ，b )，则b －1a ＋1＝－1⇒a ＋b ＝0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12在直线x －y －1＝0上，解得a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．(2013·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2 B . 3 C ．1 D ．3解析：选A 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋－2－2＝ 2.9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83 D.43解析：选D 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－－x 43－4，求得x ＝43，即AP ＝43.10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0“相切”，则a 应满足( )A ．a ＞7或a ＜－3B ．a ＞6或a ＜－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3解析：选C 依题意知：当两平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －＋a |5＜5，－＋a 2＋1|5＜5，得－6＜a ＜6； 两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧－＋a |5＞5，－＋a 2＋1|5＞5，得a ＜－3或a ＞7，所以两条直线和圆“相切”时a 应满足－3≤a ≤－6或6≤a ≤7.二、填空题11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝－2＋－2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 212．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线．圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案：413．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：1314．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析：由题易知直线l 过定点P (1,2)，圆心C (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ×2－11－2＝－1，得k ＝1.答案：115．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋2＋m ＋2＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切． 答案：－5或216．已知圆C 1的方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，则直线l 的方程为______________．解析：圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r ＝2.由题知l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|7k ＋1|k 2＋12＝4，解得k ＝0或k ＝－724. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)．答案：y ＝0或y ＝－724(x －4)。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题六 第3讲 概
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题六 第3讲 概率与统计选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析：选D 由于被抽取的个体具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．2．(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：选D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910. 3．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为( )A ．120B ．80C ．15D ．150解析：选D根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a <b 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 取出的两个数用数对表示，则数对(a ，b )的不同选法共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中a <b 的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.5．(2013·重庆高考)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选 B 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4.6．(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 如图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( ) A.65B.65C. 2D ．2解析：选D 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 5＝110，由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P AB P A ＝110×52＝14.9．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 设第一组中抽取的号码是x (1≤x ≤8)． 由题意可得分段间隔是8，又∵第16组应抽出的号码是126， ∴x ＋15×8＝126，∴x ＝6.∴第一组中用抽签法确定的号码是6.10．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. 二、填空题11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310，由分层抽样得应从高二年级抽取50×310＝15名学生．答案：1512．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是________．解析：分两种情况来考虑：(1)甲在第二次射击时命中，结束射击；(2)甲在第二次射击时未命中，乙命中结束射击．所以概率为14×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14×45＝19400.答案：1940013．(2013·武汉模拟)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34 (2)6214．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．解析：由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14.故还有一个同学的学号应为6＋14＝20.答案：2015．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：2063。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第一讲 集合、
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a －a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y＝(2a －1)x在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23.二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1， 所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c的取值范围为________．解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题三 第二讲 高考中的
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题三 第二讲 高考中的数列(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1－2n－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n . 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，①S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，②由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1，n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14.b n ＋1＝(b 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝42－n ， 即b n ＝42－n－1.(2)由(1)可知c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n ·log 242－n ＝3n ·log 224－2n ＝3n (4－2n )． T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋－3n －11－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.4．(2013·合肥模拟)各项为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5,3＋a n )垂直？请说明理由．解： (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1，当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)由a 2n ＝4S n －2a n －1， ① 得a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1，②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )， ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n －1. (3)∵a n ＝2n －1，∴a ＝(2a n ＋2，m )＝(2(2n ＋3)，m )≠0，b ＝(－a n ＋5,3＋a n )＝(－(2n ＋9)，2(n ＋1))≠0.∴a ·b ＝0⇔m (n ＋1)＝(2n ＋3)(2n ＋9)＝[2(n ＋1)＋1]·[2(n ＋1)＋7]⇔m (n ＋1)＝4(n ＋1)2＋16(n ＋1)＋7⇔m ＝4(n ＋1)＋16＋7n ＋1. ∵m ，n ∈N *，∴n ＋1＝7，m ＝4×7＋16＋1，即n ＝6，m ＝45. 当且仅当n ＝6，m ＝45时，a ⊥b .5．甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 mL ，同时从甲、乙两个容器中各取出100 mL 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n －1(n ≥2，n ∈N *)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a n 、b n .记a 1＝10%，b 1＝20%.(1)试用a n －1，b n －1表示a n ，b n ；(2)求证：数列{a n －b n }是等比数列，数列{a n ＋b n }是常数数列； (3)求数列{a n }，{b n }的通项公式． 解：(1)由题意知，a n ＝400a n －1＋100b n －1500＝45a n －1＋15b n －1，b n ＝400b n －1＋100a n －1500＝45b n －1＋15a n －1.(2)证明：由(1)知，a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)，又因为a 1－b 1≠0，所以数列{a n －b n }是等比数列；a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＝…＝a 1＋b 1＝30%，所以数列{a n ＋b n }是常数数列．(3)因为a 1－b 1＝－10%，数列{a n －b n }是公比为35的等比数列，所以a n －b n ＝－10%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n－1.又因为a n ＋b n ＝30%，所以a n ＝－5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%，b n ＝5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%.6．已知函数f (x )＝2x ＋33x .数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ， n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .解：(1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴{a n }是以23为公差，首项为a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －2 0042，即92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<m －2 0042对一切n ∈N *成立， 又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 的增大而增大，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －2 0042. ∴m ≥2 013，即m min ＝2 013.。
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题五 第3
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题五 第3讲 第一课时 圆锥曲线中的X 围、存在性和证明问题（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．(2013·某某高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．解：(1)如图1，设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，图1∴动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2.将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，图2 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2， ① x 1x 2＝243＋4k2. ② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1， ③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线m 的斜率为－32或32.2．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M ，N 分别为其左、右顶点，过F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足|2MF |＝2|AB |＋|2F N |.(1)求此椭圆的方程；(2)当直线l 绕着焦点F 2旋转但不与x 轴重合时，求AM ·AN ＋BM ·BN 的取值X 围．解：(1)当直线l 与x 轴垂直时， 由S 四边形AMBN ＝12·2a ·2b2a ＝2，得b ＝1.又|2MF |＝2|AB |＋|2F N |， 所以a ＋c ＝2·2b2a＋a －c ，即ac ＝2，又a 2＝c 2＋1，解得a ＝ 2. 因此该椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而M (－2，0)，N (2，0)，所以AM ＝(－2－x 1，－y 1)，AN ＝(2－x 1，－y 1)，BM ＝(－2－x 2，－y 2)，BN ＝(2－x 2，－y 2)．从而有AM ·AN ＋BM ·BN ＝(－2－x 1)(2－x 1)＋y 21＋(－2－x 2)(2－x 2)＋y 22＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－4＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－4.因为直线l 过椭圆的焦点F 2(1,0)，所以可以设直线l 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1消去x 并整理，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0(Δ＞0恒成立)， 所以y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2. 从而x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2＝4t 2＋2， x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＝2－2t2t 2＋2，可得AM ·AN ＋BM ·BN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2＋22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2t 2t 2＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t 2＋2－4＝8t 2＋22－6t 2＋2. 令t 2＋2＝m ，则m ≥2.从而有AM ·AN ＋BM ·BN ＝8m 2－6m ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －382－98，而0＜1m ≤12，所以可以求得AM ·AN ＋BM ·BN 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，0.3．设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p >0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2)由题意知直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1，则点M ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1，y ＝x 2，消去y ，得x 2－kx ＋k －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝k －1，则Q (k －1，(k －1)2)． 所以直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k(x －k ＋1)，代入曲线y ＝x 2中，得x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0，解得x 3＝k －1，x 4＝1－1k－k ，则N ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k－k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2.所以直线MN 的斜率k MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k .又易知过点N 的切线的斜率k ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .由题意有－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52满足题意．4．(2013·海淀模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA ·QB ＝－716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知c ＝1. 根据椭圆的定义得2a ＝ －1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫222＋22， 即a ＝ 2.所以b 2＝2－1＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设在x 轴上存在点Q (m,0)，使得QA ·QB ＝－716恒成立．当直线l 的斜率为0时，A (2，0)，B (－2，0)， 则(2－m,0)·(－2－m,0)＝－716， 解得m ＝±54.当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，－22≠－716，所以m ≠－54.下面证明m ＝54时，QA ·QB ＝－716恒成立．显然直线l 的斜率为0时，QA ·QB ＝－716.当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1可得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0.显然Δ＞0，y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2. 因为x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2－14＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2－14t (y 1＋y 2)＋116＝－(t 2＋1)1t 2＋2＋14t 2t t 2＋2＋116＝－2t 2－2＋t 22t 2＋2＋116＝－716. 综上所述，在x 轴上存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得QA ·QB ＝－716恒成立．。
《创新方案》2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件(浙江专版)第3部分专题一第2讲保分题——
[解题流程]
四 棱 锥 S-ABCD ， 且 SD ⊥ 平 面 ABCD，ABCD 为矩形，E 为中点
⇒
1平面 BED⊥平面 2求二面角
SAB；
⇒ 可建立空间直角坐标系，利用向量求解
[规范解答]
(1)f(x)＝－ 2sin2x＋π4＋6sin xcos x－2cos 2x＋1，
＝－ 2sin 2xcos π4－ 2cos 2xsinπ4＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x
＝2 2sin2x－π4，
4分
所以f(x)的最小正周期T＝22π＝π.
y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式如本例中f(x)化简为f(x)＝ 2 2sin2x－π4； 第2步：由T＝|2ωπ|求最小正周期； 第3步：确定f(x)的单调性；
第4步：确定各单调区间端点处的函数值；
第5步：明确规范地写出答案．
[反思领悟] 查看关键点、易错点及答题规范，如本题中 f(x)的解析式化简是否正确；f(x)在区间0，38π，38π，π2上的 单调性判断是否准确．
式相减得 4an＝a2n＋1－a2n－4，
4分
整理得 a2n＋1＝(an＋2)2，即 an＋1＝an＋2.
所以{an}从第 2 项起，是公差为 2 的等差数列．
6分
所以 a5＝a2＋3×2＝a2＋6，a14＝a2＋12×2＝a2＋24，又 a2，a5，a14 构
成等比数列，有 a25＝a2·a14，则(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得 a2＝
第二讲 保分题——模板解，每分都要保
如同前面所讲，高考是选拔性的考试，送分题不会太多，保分题才是我们 得分的主阵地．此类问题主要是指解答题，它们的特点是：对基础知识考查较 多，计算相对复杂，使用的数学思想方法相对深入等．它们主要分六块：三角 函数(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几 何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)．从历年高考看这些 题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全 分”的大有人在，针对以上情况，我们总结出一套体现解数学解答题的一般思 维过程、解题程序和答题格式的“答题模板”．这样，在解决高考解答题时， 就可以按照一定的解题程序和答题格式，在最短的时间内拟定解决问题的最佳 方案，实现答题效率的最优化．
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题五 第二讲 圆锥曲
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题五 第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .2．(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C 过点M 作MM ′垂直于抛物线C 的准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知|MM ′|＝|FM |，所以|FM ||MN |＝|MM ′||MN |＝sin ∠MNM ′，而∠MNM ′为直线FA 的倾斜角α的补角．因为直线FA 过点A (2,0)，F (0,1)，所以k FA ＝－12＝tan α，所以sin α＝15，所以sin ∠MNM ′＝15.故|FM |∶|MN |＝1∶ 5.3．(2013·福建高考)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C ．1D. 2解析：选B 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 4．(2013·四川高考)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22D.32解析：选C 由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.5．已知双曲线y 22－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，则满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 29＝1(x ≠0)D.x 29＋y 24＝1(x ≠0) 解析：选C 依题意得，|F 1F 2|＝22＋3＝25，|PF 1|＋|PF 2|＝6>|F 1F 2|，因此满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹是以点F 1，F 2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P 的轨迹方程是x 24＋y 29＝1(x ≠0)．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 7．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y得y 2－14y ＋1＝0，所以y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线C ：y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 解析：选B 抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，所以双曲线的焦距2c ＝12.根据双曲线的渐近线方程得b ＝3a ，代入c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝9，所以b 2＝27，所以所求双曲线方程为x 29－y 227＝1.9．(2013·郑州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2.10．(2013·辽宁五校联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由已知|PF 1|＝43|PF 2|，代入到|PF 1|－|PF 2|＝2中得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8.又双曲线的焦距|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所求的面积为12×8×6＝24.二、填空题11．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F ( 5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 212．(2013·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0.在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－113．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：4414．(2013·辽宁五校联考)设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1，A 2的点P ，使得PO ⊥PA 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA 2＝90°，设P (x ，y )(x ＞0)，以OA 2为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a 24，与椭圆方程联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2·x 2－ax ＋b 2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，a )上还有一实根，由此得0＜b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2＜a ，化简得0＜a 2－c 2c 2＜1，即0＜1－e 2e 2＜1，得12<e 2<1，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1 15．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________． 解析：由1PF ·2PF ＝0得1PF ⊥2PF ，设|1PF |＝m ，|2PF |＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，又c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，a ＋b ＝7.答案：716．(2013·湖北八校联考)已知点A ，D 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且1PF ·2PF 的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．解析：设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF ＝(c －x ，－y )，所以1PF ·2PF ＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 到点P 的距离的平方，易知当点P与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝1，a 2b 2a 2＋b2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 第3部分 专题一 第3讲 “4道”保分题专练卷(
“4道”保分题专练卷(三)1．(2013·陕西五校联考)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n ，若函数g (x )的图像与f (x )的图像关于坐标原点对称．(1)求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．解：(1)由题意得f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以g (x )＝－12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6. 所以当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时， 函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值为12. (2)由f (A )－g (A )＝32，得 1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝32， 化简得cos 2A ＝－12， 又因为0<A <π2， 所以A ＝π3. 由题意知S △ABC ＝12bc sin A ＝23， 解得bc ＝8，又b ＋c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝49－2×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝25.故所求边a 的长为5.2.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，AD ＝2，AM ＝377. (1)求证：AC ⊥BN ；(2)求证：AN ∥平面MEC ；(3)求二面角M EC D 的大小．解：(1)证明：连接BD ，则AC ⊥BD .由已知得DN ⊥平面ABCD ，所以DN ⊥AC .因为DN ∩DB ＝D ，所以AC ⊥平面NDB .又BN ⊂平面NDB ，所以AC ⊥BN .(2)证明：设CM 与BN 交于F ，连接EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF .又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN ∥平面MEC .(3)由四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，E 是AB 的中点，连接DE ，可得DE ⊥AB . 如图，建立空间直角坐标系D xyz ，则D (0,0,0)，E (3，0,0)，C (0,2,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－1，377. CE ＝(3，－2,0)，EM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，377. 设平面MEC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧CE ·n ＝0，EM ·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝0，y －377z ＝0. 令x ＝2，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，213. 又平面ADE 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.所以二面角M EC D 的大小是60°.3．(2013·山东高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋n －d ＝2a 1＋n －d ＋1，解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *， 当n ＝1时，b 1a 1＝12； 当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n . 所以b n a n ＝12n ，n ∈N *. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n ∈N *. 又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n . 4．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1、L 2两条巷道通往作业区(如图)，L 1巷道有A 1、A 2、A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1、B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34、35.(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )，并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920.所以随机变量X 的分布列为E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝20.设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )＜E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线较好．。
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“2道”拉分题专练卷(一)
1．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)设a >0，证明：当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －x ； (3)若函数y ＝f (x )的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.
解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－2x ＋1ax －1x .
①若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x >1a
时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明：设函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －x ，则 g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ，
g ′(x )＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0<x <1a
时，g ′(x )>0，而g (0)＝0，所以g (x )>0， 故当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －x . (3)证明：由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图像与x 轴至多有一个交点，故a >0，
从而f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a >0. 不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，
则0<x 1<1a
<x 2. 由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1a －x 1>f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a
. 由(1)知，f ′(x 0)<0.
2．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别
为A 、B ，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交于R 、S 两点，若线段RS 的长为103
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设Q (9，m )是直线x ＝9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．
解：(1)依题意，椭圆过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，53， 故⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2＋259b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，b 2＝5. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. (2)由题意知，直线QA 的方程为y ＝m
12(x ＋3)，代入椭圆方程， 得(80＋m 2)x 2＋6m 2x ＋9m 2－720＝0，
设M (x 1，y 1)，则－3x 1＝9m 2－720m 2＋80⇒x 1＝240－3m 2m 2＋80， 所以y 1＝m 12(x 1＋3)＝m 12⎝ ⎛⎭⎪⎫240－3m 2
m 2＋80＋3＝40m m 2＋80， 故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫240－3m 2m 2＋80，40m m 2＋80. 同理，直线QB 的方程为y ＝m 6
(x －3)，代入椭圆方程，得(20＋m 2)x 2－6m 2x ＋9m 2
－180＝0，
设N (x 2，y 2)，则3x 2＝9m 2－180m 2＋20⇒x 2＝3m 2－60m 2＋20， 所以y 2＝m 6(x 2－3)＝m 6⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2
－60m 2＋20－3＝－20m m 2＋20， 故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m 2
－60m 2＋20，－20m m 2＋20. ①若240－3m 2m 2＋80＝3m 2－60m 2＋20
⇒m 2＝40，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交于点(1,0)； ②若m 2≠40，直线MN 的方程为y ＋20m m 2＋20＝10m 40－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3m 2－60m 2＋20， 令y ＝0，解得x ＝1.
综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1,0)．。