2018-2019学年2-23.1.1实数系3.1.2复数的概念作业1
3.1.1实数系-3.1.2复数的概念 (1)
六、课堂总结
普 通 高 中 课 程 标 准 1、虚数单位i的引入，数系的扩充； 2. 复数有关概念： 复数的代数形式:
z a bi (a R, b R)
复数的实部 、虚部
复数的分类
复数相等
a bi
a c c di b d
七、布置作业
普 通 高 中 课 程 标 准 课本第86页，练习B，1，2，3
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
概念2.数系中的运算
在复数系内，我们解一元二次方程ax2+bx+c=0总有两个根
b x b
b 2 4ac 2 , b 4ac 0 2a 4ac b 2 i 2 , b 4ac 0 2a
例子：在复数系内，解方程 x 3 1 0 解： x 3 1 ( x 1)( x 2 x 1) 0
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准 例1:当m为何实数时，复数
z m m 2 (m 1)i
2 2
是 (1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数
练习
m2 m 2 复数 z (m2 1)i 当实数m= m 1
时z为纯虚数；当实数m=
-2
;
1
时z为零。
四、应用举例
概念1.复数的基本概念
2.复数z=a+bi
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
3.复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系
RC
虚数集
复数集
实数集
纯虚数集
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
课时作业9：3.1.1 实数系～3.1.2 复数的概念
3.1.1 实数系~3.1.2 复数的概念1．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋i D.5＋5i 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．8．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．9．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 的值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？10．如果，求自然数m ，n 的值？参考答案1．【答案】B【解析】因为a ，b ∈R .“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．2．【答案】D【解析】对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A 中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故A 错误；在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误；在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确．3．【答案】A【解析】设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为 －2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．【答案】D【解析】由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 5．【答案】－1【解析】由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1. 6．【答案】－2【解析】⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2. 7．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2. 8．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 9．解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．10．解 因为>－1， 所以是实数， 从而有由①得m ＝0或m ＝3， 当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。
课时作业17：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，若|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >02．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题7．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．8．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是_________．9．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.10．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是_______________________．11．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________.三、解答题12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．13.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，若1≤|z |≤2，判断复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．14.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．参考答案1．【答案】A 【解析】依题意有a 2＋22<(－2)2＋12，解得－1<a <1.2．【答案】D【解析】∵0<m <1，∴m ＋1>0，－1<m －1<0，故对应的点在第四象限内．3．【答案】C【解析】A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.4．【答案】A【解析】由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆．5．【答案】A【解析】因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．【答案】B 【解析】∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0. ∴选B.7．【答案】25【解析】z 1＝1－i 对应的点(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点(3，－5)，由两点间距离公式得(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.8．【答案】2<k <6或－6<k <－2【解析】∵点Z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－6<0，4－k 2<0， ∴2<k <6或－6<k <－2.9．【答案】2【解析】∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1， ∴z ＝2i.∴|z |＝2.10．【答案】以(－1,2)为圆心，半径长为3的圆【解析】|z |＝(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝9.点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，半径长为3的圆．11．【答案】25【解析】由纯虚数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，解得m ＝4，所以z ＝4＋n i.因为z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，所以4＋n －2＝0，所以n ＝－2.所以z ＝4－2i ，所以|z |＝42＋(－2)2＝2 5.12．解 (1)若点位于第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4，∴－7<m <3. (2)若点位于x 轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4， ∴m ＝4.(3)若点位于上半平面(含实轴)，则m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解 |w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2(x 2＋y 2)＝2|z |，而1≤|z |≤2，故2≤|w |≤2.所以w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.14．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.。
数学选修2-2课堂探究：3.1.1实数系3.1.2复数的概念 含解析
课堂探究探究一 对复数相关概念的理解首先要正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等等相关概念，注意复数集和实数集中有关性质的不同，其次要注意通过列举一些反例明确某些命题的真假．【典型例题1】 判断以下命题是否正确？(1)复数由实数、虚数、纯虚数构成；(2)两个复数一定不能比较大小；(3)复数m ＋n i 中，实部和虚部分别是m 和n ；(4)在复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，若a ≠0，则a ＋b i 一定不是纯虚数；(5)满足x 2＝－1的数x 只能是i ；(6)若a ∈R ，则复数(a ＋2)i 是纯虚数．解：(1)不正确．复数是由实数和虚数构成的，虚数中包含纯虚数；(2)不正确．复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，它们就可以比较大小；(3)不正确．对于复数m ＋n i ，由于没有条件“m ，n ∈R ”，所以其实部和虚部不一定等于m 和n ；(4)正确．在复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，只要a ≠0，不论b ＝0还是b ≠0，它一定不是纯虚数；(5)不正确．满足x 2＝－1的数x ＝±i ；(6)不正确．当a ＝－2时，复数(a ＋2)i 就是实数0，不是纯虚数，只有当a ∈R 且a ≠－2时，(a ＋2)i 才是纯虚数．探究二 复数的分类1．解决复数的分类问题时，主要依据复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围，但若已知的复数z 不是a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．2．应特别注意z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数的条件是a ＝0且b ≠0，不能忘记b ≠0这一限制条件．【典型例题2】 已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋3)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝0.思路分析：根据下列条件，建立不等式组求解：a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧ 当且仅当b ＝0时为实数，当且仅当b ≠0时为虚数，当且仅当a ＝0，b ≠0时为纯虚数，当且仅当a ＝0，b ＝0时为零.解：(1)若z ∈R ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0， 解得m ＝－3.(2)若z 是虚数，则m 须满足m 2＋2m －3≠0且m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)若z 是纯虚数，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋3)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.(4)若z ＝0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋3)m －1＝0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3.探究三 复数相等的充要条件及应用两个复数相等的充要条件是它们的实部相等且虚部相等，当已知两个复数相等求参数值时，可据此建立两个实数等式的方程组，通过解方程组求得参数值．【典型例题3】 求解下列各题：(1)若(3x －2y )i ＝2－x ，求实数x ，y 的值；(2)已知(a 2－b )＋4i ＝6＋(a －b )i ，求实数a ，b 的值．思路分析：根据两个复数相等的充要条件，由实部、虚部分别相等，建立关于实数x ，y 或a ，b 的方程组进行求解．解：(1)因为(3x －2y )i ＝2－x ，且x ，y 是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3.即x ，y 的值分别是2和3.(2)因为(a 2－b )＋4i ＝6＋(a －b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b ＝6，a －b ＝4，两式相减得a 2－a ＝2， 所以a ＝2或－1，从而b ＝－2或－5，即a ＝2，b ＝－2或a ＝－1，b ＝－5.探究四 易错辨析易错点 对纯虚数概念理解不清而出错【典型例题4】 若m ∈R ，且(2m 2－5m －3)＋(2m 2－m －1)i 是纯虚数，则m ＝________.错解：由已知得2m 2－5m －3＝0，解得m ＝3或m ＝－12. 错因分析：对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，其为纯虚数的条件是a ＝0且b ≠0，即仅有a ＝0是不够的，还应满足b ≠0，若忽视这一点，就会出错．正解：要使复数为纯虚数，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－5m －3＝0，2m 2－m －1≠0， 解得m ＝3.。
课时作业13：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义1．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( )．A ．a ＝0或a ＝2B ．a ＝0C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠22．在复平面内，复数z ＝sin 3＋icos 3对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )．A ．(1)B ．(1C ．(1,3)D ．(1,5)4．若z 1、z 2、z 3是复数，则这三个复数相等是(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．复平面内向量OA 表示的复数为1＋i ，将OA 向右平移一个单位后得到向量''O A ，则向量''O A 与点A ′对应的复数分别为( )．A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i6．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若(,),=+∈OC xOA yOB x y R ，则x ＋y 的值是__________．7．已知i x a =(a ∈R )，若z ＝x －|x |＋(1－i)对应的点在第二象限，求a 的取值范围．8．已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1＝3和z 2＝－5＋5i ，求向量a 与b 的夹角．9.已知a ∈R ，复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？参考答案1.【答案】B【解析】∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴2220,20,a a a a ⎧-=⎨--≠⎩∴a ＝0.故选B. 2.【答案】D【解析】∵π<3<π2，∴sin 3＞0，cos 3＜0，∴复数z ＝sin 3＋icos 3对应的点位于第四象限，故选D.3.【答案】B【解析】|z ，∵0＜a ＜2，∴0＜a 2＜4.∴<1<|z ，故选B. 4.【答案】A【解析】∵z 1＝z 2＝z 3，∴(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0.反之，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，不一定能推出z 1＝z 2＝z 3，如z 1＝1，z 2＝2，z 3＝2＋i 时，有(1－2)2＋(－i)2＝0，但三个复数z 1、z 2、z 3不相等，故选A.5. 【答案】C【解析】将OA 向右平移一个单位后得到的向量''O A 与OA 是同一个向量，其对应的复数仍为1＋i ，而由于A (1,1)点向右平移一个单位后，得到A ′(2,1)，∴A ′对应的复数为2＋i.6. 【答案】5【解析】由题知OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)，OC ＝(3，－2)，∴x OA ＋y OB ＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y ，2x －y )，∴由,OC xOA yOB =+可得3,22,x y x y -+=⎧⎨-=-⎩解得1,4.x y =⎧⎨=⎩∴x ＋y ＝5.7.解：|+(1)+(1)i z x |x a a =---，由题意，得0,10,a a <->⎪⎩解得a8.解：a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，所以a·b ＝－15，|a |＝3，|b 设a 与b 的夹角为θ，所以cos =||||2a b a b θ⋅==-.因为0≤θ≤π，所以3=4πθ.9.解：a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，由实部大于0虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．设z＝x＋y i，则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)，消去a得y＝－x＋2(x≥3)．所以，复数z的对应点在第四象限；复数z的对应点的轨迹是以点(3，－1)为端点的一条射线y＝－x＋2(x≥3)．。
复数概念例题和知识点总结
复数概念例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）都是实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
在复数\（a ＋ bi\）中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就变成了实数\（a\）；当\（a ＝0\）且\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。
例如，＼（3 ＋ 2i\）是一个复数，其中实部是\（3\），虚部是\（2\）；＼（5\）是一个实数，因为它可以表示为\（5 ＋ 0i\）；＼（2i\）是一个纯虚数。
二、复数的相等两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
即若\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\），则\（z_1 ＝ z_2\）的充要条件是\（a_1 ＝ a_2\）且\（b_1 ＝ b_2\）。
例如，若\（2 ＋ 3i ＝ x ＋ yi\），则\（x ＝ 2\），＼（y ＝ 3\）。
三、复数的四则运算1、加法：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）例如：＼（（3 ＋ 2i) ＋（1 ＋ 4i) ＝（3 ＋ 1) ＋（2 ＋ 4)i ＝ 4 ＋6i\）2、减法：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）例如：＼（（5 ＋ 3i) （2 i) ＝（5 2) ＋（3 （－1)）i ＝ 3 ＋ 4i\）3、乘法：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）例如：＼（（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝ 2×1 3×2 ＋（2×2 ＋ 3×1)i ＝－4 ＋ 7i\）4、除法：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）例如：＼（＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{（1 ＋ 2i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＝＼frac{1 ＋ 3i ＋ 2i^2}｛2} ＝＼frac{－1 ＋ 3i}｛2} ＝＼frac{1}｛2} ＋＼frac{3}｛2}i\）四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
复数的概念及运算-知识点+例题-全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z 为复数，i z 2+为实数，且z i )21(-为纯虚数，其中i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1=-z w ，求w 的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为_______. （2）若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 1 (2) 充分不必要条件解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1， 所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为__________. （2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的____________条件. （填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案 一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案 －1解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案 －3－4i解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念自我小测 新人教B 版选修2-21．有下列四个命题：(1)方程2x －5＝0在自然数集N 中无解；(2)方程2x 2＋9x －5＝0在整数集Z 中有一解，在有理数集Q 中有两解；(3)x ＝i 是方程x 2＋1＝0在复数集C 中的一个解；(4)x 4＝1在R 中有两解，在复数集C 中也有两解．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．复数i －i 2的实部等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．i3．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( )A ．x ＝0且y ＝3B ．x ＝0且y ＝－3C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0 4．若复数z ＝(a ＋|a |)i(a ∈R )是纯虚数，则必有( )A ．a ＝0B ．a ≠0C ．a ≥0 D．a ＞0 5．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则k 的取值范围是( )A ．2或3B ．3C ．2D ．06．以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是________．7．已知(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，则实数m ＝________.8．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值是__________． 9．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)－2－15i ？(5)0?10．若不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．参考答案1．解析：(1)中方程的解为52N ，故(1)正确；(2)中方程的两个解为x 1＝－5，x 2＝12在Z 中有一解，在Q 中有两解，故(2)正确；(3)显然正确；(4)x 4＝1在R 中有两解±1，在C中应有4个解：±1，±i，故(4)错误．答案：C2．解析：由于i －i 2＝i ＋1＝1＋i ，故实部等于1.答案：B3．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3. 答案：A4．解析：由题意知a ＋|a |≠0，从而必有a ＞0.答案：D5．解析：∵z ＜0，∴z ∈R ，故k 2－5k ＋6＝0，∴k ＝2或3，但当k ＝3时，z ＝0，不合题意，舍去，故k ＝2.答案：C6．解析：3i －2的虚部是3，－3＋2i 的实部是－3，故所求复数是3－3i.答案：3－3i7．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，解得m ＝－2.答案：－28．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案：－29．解：(1)要使z 是实数，则x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≠0，x 2－2x －15＝0，解得x ＝5.(2)要使z 为虚数，则x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≠0，x 2－2x －15≠0，解得x ≠－3且x ≠5.(3)要使z 为纯虚数，则x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，解得x ＝3或x ＝－2.(4)要使z ＝－2－15i ，则x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝－2，x 2－2x －15＝－15，解得x ＝0. (5)要使z ＝0，则x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15＝0，解得x 无解． 10．解：∵m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2＜10，解得⎩⎨⎧ m ＝0或3，m ＝1或3，|m |＜10， 故有m ＝3，即实数m 的值为3.。
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自我小测
1．有下列四个命题：
(1)方程2x －5＝0在自然数集N 中无解；
(2)方程2x 2＋9x －5＝0在整数集Z 中有一解，在有理数集Q 中有两解；
(3)x ＝i 是方程x 2＋1＝0在复数集C 中的一个解；
(4)x 4＝1在R 中有两解，在复数集C 中也有两解．
其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．复数i －i 2的实部等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．i
3．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( )
A ．x ＝0且y ＝3
B ．x ＝0且y ＝－3
C ．x ＝5且y ＝3
D ．x ＝3且y ＝0
4．若复数z ＝(a ＋|a |)i(a ∈R )是纯虚数，则必有( )
A ．a ＝0
B ．a ≠0
C ．a ≥0
D ．a ＞0
5．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则k 的取值范围是( )
A ．2或3
B ．3
C ．2
D ．0
6．以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是________．
7．已知(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，则实数m ＝________.
8．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值是__________．
9．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3
＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)－2－15i ？(5)0?
10．若不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．
参考答案
1．解析：(1)中方程的解为52N ，故(1)正确；(2)中方程的两个解为x 1＝－5，x 2＝12
在Z 中有一解，在Q 中有两解，故(2)正确；(3)显然正确；(4)x 4＝1在R 中有两解±1，在C 中应有4个解：±1，±i ，故(4)错误．
答案：C
2．解析：由于i －i 2＝i ＋1＝1＋i ，故实部等于1.
答案：B
3．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，
y ＝3.
答案：A
4．解析：由题意知a ＋|a |≠0，从而必有a ＞0.
答案：D
5．解析：∵z ＜0，∴z ∈R ，
故k 2－5k ＋6＝0，
∴k ＝2或3，
但当k ＝3时，z ＝0，不合题意，舍去，故k ＝2.
答案：C
6．解析：3i －2的虚部是3，－3＋2i 的实部是－3，故所求复数是3－3i. 答案：3－3i
7．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，解得m ＝－2. 答案：－2
8．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0， ∴x ＝－2.
答案：－2
9．解：(1)要使z 是实数，则x 应满足 ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3≠0，x 2－2x －15＝0，解得x ＝5. (2)要使z 为虚数，则x 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≠0，
x 2－2x －15≠0，
解得x ≠－3且x ≠5.
(3)要使z 为纯虚数，则x 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，
解得x ＝3或x ＝－2.
(4)要使z ＝－2－15i ，则x 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝－2，x 2－2x －15＝－15，解得x ＝0.
(5)要使z ＝0，则x 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15＝0，解得x 无解．
10．解：∵m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，
m 2＜10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或3，m ＝1或3，|m |＜10， 故有m ＝3，
即实数m 的值为3.。