《数理统计》第7章§7单侧置信区间
《数理统计》第7章§7单侧置信区间
单侧置信区间
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对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
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的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
概率论与数理统计 第7章.ppt
即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的 样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是 的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时 间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则 的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是 的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验
概率论与数理统计第7章
x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为 总 体 X
的 一 个 样 本 ,则 未 知 参 数 的 矩 估 计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法 的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样 本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体 的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
参数估计第三讲分布参数的区间估计 单侧置信区间
第三讲(0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间Ⅰ.授课题目（章节）§7.6 (0-1)分布参数的区间估计§7.7 单侧置信区间Ⅱ.教学目的与要求1. 了解(0-1)分布参数的区间估计；2. 掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅲ.教学重点与难点：重点：单侧置信区间的概念的理解难点：正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅳ.讲授内容：§7.6 (0-1)分布参数的区间估计设有一容量50>n 的大样本，它来自(0-1)分布的总体X ，X 的分布律为x x p p p x f --=1)1();(, 1,0=x ,其中p 为未知参数。
现在来求p 的置信水平为1—α的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为: 2,σμp ==p )1(p -.设1X ,n X X ,,2 是一个样本. 因样本容量n 较大，由中心极限定理，知)1()1(1p np npX n p np np Xn i i --=--∑=近似地服从)1,0(N 分布，于是有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-2/2/)1(ααz p np np X n z P α-≈1 而不等式 2/2/)1(ααz p np np X n z <--<- 等价于 0)2()(222/222/<++-+X n p z X n p z n αα.记 )4(2121ac b b a p ---=, )4(2122ac b b ap -+-=. 其中222/22/),2(),(X n c z X n b z n a =+-=+=αα.于是可得p 的一个近似的置信水平为1—α的置信区间为),(21p p .例 设自一大批产品的100个样品中,得到一级品60个,求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的置信区间.解 一级品率p 是(0-1)分布的的参数,此时100=n ,6.010060==x ,1—α=0.95,025.02/=α,96.12/=αz ,按上面的公式求p 的置信区间,其中36,84.123)2(,84.103)(222/22/==-=+-==+=X n c z X n b z n a αα 于是 50.0)4(2121=---=ac b b a p , 69.0)4(2122=-+-=ac b b ap 故p 的一个近似的置信水平为0.95的置信区间为(0. 50, 0.69).§7.7 单侧置信区间对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥>1}{P ,则称随机区间（θ,∞）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.又若统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥<1}{P则称随机区间（∞-,θ）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信上限.例如对于正态总体X ，若均值μ，方差2σ均为未知，设1X 2X ，……,n X 是一个样本,由n S X /μ- ～ t(n-1)有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-)1(/n t n S X p αμα-=1，即 αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->1)1(n t n S X P . 于是得到μ的一个置信水平为α-1的单侧置信区间(),1(--n t n SX α∞).μ的置信水平为α-1的单侧置信下限为).1(--=n t n SX αμ又由 22)1(σS n -～),1(2-n χ有 ,1)1()1(2122αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->--n S n P 即 αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<-1)1()1(2122n S n P 于是得2σ的一个置信水平为1α-的单侧置信区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)1()1(,0212n S n αχ .2σ的置信水平为1α-的单侧置信上限为 .)1()1(2122--=-n S n αχσ 例 从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解 1,95.0=-α n=5, ,1318.2)4()1(05.0==-t n t α ,1160=x .99502=s 由此可得所求单侧置信下限为1065)1(=--=n t n sx αμⅤ. 小结与提问：小结：首先了解(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法, 其次理解单侧置信区间的概念,且掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.提问：思考题1：(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法是怎样?思考题2：正态总体均值和方差在给定置信水平为α-1条件下的单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求有什么区别? Ⅵ.课外作业：P 22, 23211。
数理统计7
则对给定的α， 令
P{ X
S/ n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－α的置信区间为
S [ X n t 2 (n 1)]
由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么
分布，都近似有 Z X ~ N (0,1) / n
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16,
12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11,
12.08, 12.01, 12.03, 12.06,
在置信度为95%时,试求总体方差 的置信区间。
解 已知
查
得
查
得
由此得置信区间:
所求标准差σ的置信度为0.95的 置信区间由 得
大的样本,才能使 的置信水平为0.95 的置信区间
的长度不大于 0.49 ?
解 设需要抽取容量为 的样本, 其样本均值为
查表得
于是
的置信水平为0.95的置信区间为
该区间长度
要使
只要
即
取
2) 未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差 S 2 代替σ2
已知 T X ~ t(n 1)
设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量
满足
则称区间
是 的置信水平为 的
单侧置信区间. 称为单侧置信下限.
又若统计量
满足
概率论与数理统计浙大四版 第七章 第七章3讲
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
第四节
区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{ˆ||}1
称 为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ：
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
概率论课件单侧置信区间
由右图
za
P
X
/
n
z
1
即
P
X
n
z
1
于是得到μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间为
( X n z , )
μ的一个置信水平为1-α的单侧置信下限为：
X
n
z .
注意：在置信区间中的α /2都被α取代，这是由于 区间估计为双侧时，共为α的概率由两边均分，各占α /2.而置信上、下限则是单侧的.
6.5 单侧置信区间
定义6.7 对于给定值α(0<α<1)，由样本X1, X2
,…,Xn确定的统计量 与 ，若对θ的一切可取的值有
P{ } 1 则称随机区间( , )是θ 的置信水平为1- α的单侧
置信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信下
限. 若对θ的一切可取的值有
由书上的第149页表6-1，我们可以得到参数置信 上、下限的结果.
P{ } 1 则称随机区间(, )是θ 的置信水平为1- α的单侧置
信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置知 2，求的单侧置信区间.
若X1, X 2, , X n是来自总体X的一个样本，由
X N (0,1) / n
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第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
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设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , σ 2 ) 的样本, 为来自总体 的样本, , σ 2均未知. 试求σ 2的置信水平为 1 α 的单侧置信上限. 均未知. 的单侧置信上限. , σ 2 的无偏估计分别为 X , S 2,且 (n 1) S 2 χ 2 形式运算 ~ (n 1) 2 σ (n 1) S 2 2 σ ~ 2 2 的置信度为 χ (n 1) 故σ 1 α 的单侧置信上限为 (n 1) S 2 σ2 = 2 χ 1α (n 1) α, 1α ?
§7
单侧置信区间
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对这类" 对这类"好"指 对这类"坏 < 指 对这类"< α"1, 若存在统计量 θ = θ ( X , X ,, X ) 0 1 n 标2 标 满足 θ ∈ Θ 有 关心下限 关心上限 P{ θ < θ } = 1 α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1 α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 满足 θ ∈ Θ 有
α α
(注意 α 较小) 较小)
2 χα ( n 1)
χ12α (n 1)
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间4/4Fra bibliotek15,16,19,20, 15,16,19,20,22
ΕΝ
第七章 参数估计
�
P{ θ < θ } = 1 α 则称 (∞, θ ) 为 θ 的置信水平为 1 α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
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的样本, 为来自总体 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , σ 2 ) 的样本, , σ 2 均未知.试求 的置信水平为 1 α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. , σ 2 的无偏估计分别是 X , S 2 且 , X ~ t (n 1) S/ n 对于给定的置信水平 1 α ,可查表求得 t α (n 1) 使得 怎样直接写出置信下限 ~ X S t (n 1) ~ t X XS (n 1) P n < t α (n 1) = 1 α n α S / n 故 的单侧置信下限为 等价地有 t (n 1) = X S t α (n 1) n P{ X S t α (n 1) < } = 1 α n 的置信上限是什么 故 的单侧置信下限为 = X SS tt α((n 1) = + 1) X n α n n