单侧置信限.ppt
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
参数估计第三讲分布参数的区间估计 单侧置信区间
第三讲(0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间Ⅰ.授课题目（章节）§7.6 (0-1)分布参数的区间估计§7.7 单侧置信区间Ⅱ.教学目的与要求1. 了解(0-1)分布参数的区间估计；2. 掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅲ.教学重点与难点：重点：单侧置信区间的概念的理解难点：正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅳ.讲授内容：§7.6 (0-1)分布参数的区间估计设有一容量50>n 的大样本，它来自(0-1)分布的总体X ，X 的分布律为x x p p p x f --=1)1();(, 1,0=x ,其中p 为未知参数。
现在来求p 的置信水平为1—α的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为: 2,σμp ==p )1(p -.设1X ,n X X ,,2 是一个样本. 因样本容量n 较大，由中心极限定理，知)1()1(1p np npX n p np np Xn i i --=--∑=近似地服从)1,0(N 分布，于是有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-2/2/)1(ααz p np np X n z P α-≈1 而不等式 2/2/)1(ααz p np np X n z <--<- 等价于 0)2()(222/222/<++-+X n p z X n p z n αα.记 )4(2121ac b b a p ---=, )4(2122ac b b ap -+-=. 其中222/22/),2(),(X n c z X n b z n a =+-=+=αα.于是可得p 的一个近似的置信水平为1—α的置信区间为),(21p p .例 设自一大批产品的100个样品中,得到一级品60个,求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的置信区间.解 一级品率p 是(0-1)分布的的参数,此时100=n ,6.010060==x ,1—α=0.95,025.02/=α,96.12/=αz ,按上面的公式求p 的置信区间,其中36,84.123)2(,84.103)(222/22/==-=+-==+=X n c z X n b z n a αα 于是 50.0)4(2121=---=ac b b a p , 69.0)4(2122=-+-=ac b b ap 故p 的一个近似的置信水平为0.95的置信区间为(0. 50, 0.69).§7.7 单侧置信区间对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥>1}{P ,则称随机区间（θ,∞）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.又若统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥<1}{P则称随机区间（∞-,θ）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信上限.例如对于正态总体X ，若均值μ，方差2σ均为未知，设1X 2X ，……,n X 是一个样本,由n S X /μ- ～ t(n-1)有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-)1(/n t n S X p αμα-=1，即 αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->1)1(n t n S X P . 于是得到μ的一个置信水平为α-1的单侧置信区间(),1(--n t n SX α∞).μ的置信水平为α-1的单侧置信下限为).1(--=n t n SX αμ又由 22)1(σS n -～),1(2-n χ有 ,1)1()1(2122αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->--n S n P 即 αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<-1)1()1(2122n S n P 于是得2σ的一个置信水平为1α-的单侧置信区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)1()1(,0212n S n αχ .2σ的置信水平为1α-的单侧置信上限为 .)1()1(2122--=-n S n αχσ 例 从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解 1,95.0=-α n=5, ,1318.2)4()1(05.0==-t n t α ,1160=x .99502=s 由此可得所求单侧置信下限为1065)1(=--=n t n sx αμⅤ. 小结与提问：小结：首先了解(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法, 其次理解单侧置信区间的概念,且掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.提问：思考题1：(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法是怎样?思考题2：正态总体均值和方差在给定置信水平为α-1条件下的单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求有什么区别? Ⅵ.课外作业：P 22, 23211。
7.7 单侧置信区间
2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1)
因
令
2
( n 1) S 2
P{
2
~ 2 ( n 1) ，
2 ( n 1)} 1 ，
( n 1) S 2
2
故 的置信水平1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 ( 2 , ) ， ( n 1)
( n 1) S 单侧置信下限为 2 。 ( n 1)
2 2
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿 命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡 寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95 的单侧置信下限.
解
X X ~ t (n 1), 有 P t (n 1) 1 , S/ n S / n
于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间 S t ( n 1), , X n
1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950, t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318, s t ( n 1) 1065. 的置信度为0.95的置信下限 x n
2. 正态总体均值的单侧置信区间
X X1, X 2 ,, X n iid N (, ) ，, 未知 取 ~ t (n 1), S/ n
2 2
X 有 P t ( n 1) 1 , S / n
S 即 P X t ( n 1) 1 , n 于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
95%置信区间的计算公式如下图：
95%置信区间的意义：假设上面统计的结果为[ 170-10, 170+10]，怎么说明最低身高为160，最高身高为180。
这个统计结果有95%的可信度。
95%置信区间是用来估计参数的取值范围的方法。
比如：在我们用样本去估计整体均值的实验过程中。
假设我们做了100组统计均值实验后，算出95%的置信区间后，其中有95个置信区间包含整体均值，5个不包含。
置信区间计算公式是什么？
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。
置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α，绝大多数情况会将α设为0.05。
置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。
如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。
置信区间的常用计算方法为Pr(c1<=μ<=c2)=1-α。
第7节 单侧置信区间
解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα
(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
单侧置信区间
μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,
2
( n 1) S 2
2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：
n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.
单侧置信区间
一个，第三步略改即可．
参数估计
单侧置信区间
例 设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X ~ N( ， 2 ) 的样本，且 2 已知， 未知．求 的置信度为 1 (0 1) 的单侧置信下限．
解 根据统计量的定理知 U X ~ N (0，1) ． / n
于是，对给定置信度1 ，存在 u 使
PLeabharlann X / nu
1
，
即
P
X
n
u
1
．
参数估计
单侧置信区间
所以， 的置信度为1 的单侧置信下限为 X
n
u
．将上例所求得的单侧置信下
限X
n
u
与同一置信度的双侧置信区间的置信下限
X
n
u
/2
比较发现，只是
2
与
的差别．此种规则对前面介绍的各种条件下的正态总体都适用，即只需将双侧置信区间的
置信上（或下）限中的 换成 ，就是相应条件下相应参数的同一置信度的单侧置信区 2
参数估计
单侧置信区间
定义 设总体 X 的分布函数是 F(x； ) ，其中 是未知参数；又设 X1 ，X2 ， ，Xn 是
总体的一个样本．对给定的值 (0 1) ，若统计量ˆ1( X1 ，X 2 ， ，X n ) 满足
P{ ˆ1} 1 ，
（6-25）
则称随机区间 (ˆ1 ， ) 为 的置信度为1 的单侧置信区间，并称ˆ1 为置信度为1 的
概率论与数理统计
参数估计
单侧置信区间
在前面的讨论中，我们所求的未知参数
的置信区间 (ˆ1 ，ˆ2 ) 都是双侧的．然而，在解决 某些问题时，我们可能不是同时关心它们的 “上限”和“下限”，即有时“上限”和“下 限”的重要性是不对称的，我们可能只关心某 一个界限．因此，在某些问题中，只需要讨论 单侧置信上限或下限就可以了．由此实际背景， 我们引进单侧置信区间的概念．
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区间 (, ) 为参数 的 单侧置信区间. 为单侧置信上限.
(, ), ( , ) : 随机区间
3、单侧区间估计的主要步骤 (1)根据样本X1, X2 , ..., Xn构造统计量:G G( X1, ..., Xn , ), 要求G中包含待估参数 ,但不能包含其它参数.并且G的
分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.
P( 2
a) 1
因此,
a
2 1
(n
1)
解不等式:
(n 1)S 2
2
2 1
(
n
1)
得 2 的 1 单侧置信区间:
f (t)
(0, (n 1)S 2 )
2 1
(n
1)
单侧置信下限: 2 (n 1)S2 2 (n 1)
O
2 1
t
例3 用某仪器测量温度, 重复 5 次, 得数据1250 oC , 1260 oC , 1265 oC , 1245 oC, 1275 oC . 若测得的数据服从
12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N( , 2 ), , 2均 未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05(10 1) 1.8331
计算可得 x 11.72,
正态分布 , 求总体方差 2 的 0.95 置信区间上限 .
解 : 样本方差观测值
s2
1 51
5 i 1
( xi
1259)2
142.5
=0.05, 查表得
2 1
(n
Байду номын сангаас1)
2 0.95
(4)
0.711
1 单侧置信上限:
2
(n 1)s2
2 1
(n
1)
4 * 142.5 0.711
801.68
重点总结 (参考P166表6.1)
X1,
X2 , ...,
X
能确定统计量
n
(X1, X2,
...,
X n ), 使得
P( ) 1 则称随机区间 ( , ) 为参数 的 置信
水平为1 的单侧置信区间.称为单侧置信区间下限.
根据样本X
1
,
X
2
,
...,
X
构造统计量
n
( X1 , X 2 , ..., X n )
对给定的 0 1 , 使得 P( ) 1 则称随机
/ n
从而 X ~ N (0 , 1) / n
使 P( X b) 1 / n
b z
(t)
O z
x
解不等式 :
X / n z
得:
X z
n
(单侧置信区间下限)
同理
令 P( X / n
z ) 1
解不等式 :
X
/
n
z
得:
X z
=
n
(单侧置信区间上限)
例1 设有一正态总体 , 其标准差 3, 总体均值 未知 ,
单侧置信区间.
备注：b的取值是唯一的.
二、一个正态总体参数的单侧置信区间(重点)
设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X2 , ..., Xn为总体X的样本, X , S2分别为样本均值,样本方差,置信水平为1-
1. 已知方差 2 , 均值 的单侧置信区间
X ~ N( , 2 )
n 令 G X
第6节 单侧置信限 主要内容（1学时）
一、单侧置信区间 二、单个正态总体参数的单侧置信区间（重点）
一、单侧置信限
1、问题的提出
双侧置信区间( , ) : 满足 P( ) 1 .
但在许多实际问题中，更关心未知参数的单侧置信区间：
(1)灯泡寿命X e( ) (2)测量误差 N (0, 2 )
单个正态总体参数的单侧置信区间.
本章重点总结
一、矩估计、最大似然估计。 二、估计量的评选标准。 三、单个正态总体均值、方差的双侧区间估计。 四、一个正态总体参数的单侧置信区间.
s2
1 10 1
10 i 1
( xi
11.72)2
0.692
置信水平0.95的单侧置信上限 :
X t (n 1)
S n
11.72 0.69 *1.8331 12.12 10
3.方差 2 的单侧置信区间
由于
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
令
G
(n 1)S2
2
由
(n 1)S 2
更关心寿命的"下限".
更关心误差的"上限".
(3)投资组合收益率R N (, 2 )
更关心收益率的"下限"或风险的"上限".
(4)石油,黄金矿产的开采 更关心矿物含量的"下限".
2、单侧置信区间的概念
设总体X的分布 F ( x; )中含有一未知参数 . X1, X 2 , ..., Xn 是总体X的一个 样本. 对于给定的 0 1 , 若由样本
(2)对于给定的置信水平1 ,根据G的分布定出常数a, b, 使得 P(G( ) a) 1 或 P(G( ) b) 1
取a G1 , b G .
(3)若能从G( ) b 或 G( ) a得出等价的不等式 , (或 ),则( , )或(-, )即为的置信水平为1 的
0.75 n
单侧置信上限 :
x z0.01
2.7 2.33*1.5 6.195
n
2. 方差 2未知, 均值 的单侧置信区间
X ~ t(n 1)
S/ n
令 G X
S/ n
令 P( X b) 1
S/ n
b t (n 1)
解不等式 :
X S/
n
t
(n 1)
置信水平1-的单侧置信区间 :
现抽得容量为 4 的一组样本值 : 1.2 , 3.4 , 0.6 , 5.6 , 试求
的 0.99 的单侧置信区间限 .
解: 样本均值 x 1 (1.2 3.4 0.6 5.6) 2.7 4
3, n4,
0.01, z0.01 2.33
置信水平0.99的单侧置信下限 :
x z0.01
X t (n 1)
S
n
由
P( X
S/ n
t (n 1)) 1
置信水平1-的单侧置信区间 :
X t (n 1)
S
n
例2(P165 例1) 下面列出了自密歇根湖中捕获的10条鱼 的聚氯联苯的含量(有毒物) : 11.5 12.0 11.6 11.8 10.4 10.8