单侧置信区间
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《数理统计》第7章§7单侧置信区间
§7
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
应用统计学置信区间估计
15
t 分布旳右侧 分位点 t(n)
t(n)为 t 分布中满足下式旳右侧 分位点：
P{ t > t ( n ) }=
由给定旳概率 ，可查表得到 t(n)。
由 t 分布旳对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。
f (x)
t1-(n) = - t(n) 0
x t(n)
16
用 Excel 求 t /2(n) 可用 Excel 旳统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
（
，
）
求xμ旳9置0.0信01度为9S5%2 旳0置.01信85区32间；
21
【例4】某厂为了解产品旳质量情况，随机抽取了300件产品 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率旳置信度为 95%旳置信区间。
解：产品次品率为百分比， =1-0.95=0.05， /2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，
18
§6.2 总体百分比旳区间估计
设总体百分比为 P，则当 nP 和 n (1-P) 都不小于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P，方差为 P (1-P)/n 旳正态 分布。从而
pP
P(1 P) / n 近似服从 N (0, 1)
对给定旳置信度1-，由
P{Z / 2
pP P(1 P) / n
(x d , x d ) , d Z /2 / n
其中 d 称为估计旳允许误差。
12
用 Excel 求 Zα
可用 Excel 旳统计函数 NORMSINV 返回 Z 。 语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
功能： 返回 Z 旳值。
阐明： NORMSINV() 返回旳是 Z1- 旳值。
t 分布旳右侧 分位点 t(n)
t(n)为 t 分布中满足下式旳右侧 分位点：
P{ t > t ( n ) }=
由给定旳概率 ，可查表得到 t(n)。
由 t 分布旳对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。
f (x)
t1-(n) = - t(n) 0
x t(n)
16
用 Excel 求 t /2(n) 可用 Excel 旳统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
（
，
）
求xμ旳9置0.0信01度为9S5%2 旳0置.01信85区32间；
21
【例4】某厂为了解产品旳质量情况，随机抽取了300件产品 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率旳置信度为 95%旳置信区间。
解：产品次品率为百分比， =1-0.95=0.05， /2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，
18
§6.2 总体百分比旳区间估计
设总体百分比为 P，则当 nP 和 n (1-P) 都不小于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P，方差为 P (1-P)/n 旳正态 分布。从而
pP
P(1 P) / n 近似服从 N (0, 1)
对给定旳置信度1-，由
P{Z / 2
pP P(1 P) / n
(x d , x d ) , d Z /2 / n
其中 d 称为估计旳允许误差。
12
用 Excel 求 Zα
可用 Excel 旳统计函数 NORMSINV 返回 Z 。 语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
功能： 返回 Z 旳值。
阐明： NORMSINV() 返回旳是 Z1- 旳值。
置信度(置信区间计算方法)
S S , X t (n 1) (2) X t (n 1) 2 2 n n
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
单侧置信区间计算公式
单侧置信区间计算公式一、什么是单侧置信区间计算公式？单侧置信区间计算公式是一种统计学方法，用于估计总体参数的范围。
在统计推断中，我们通常使用置信区间来估计总体参数的真值。
而单侧置信区间是指我们只关心参数的一个方向，即上限或下限。
二、单侧置信区间的计算公式在单侧置信区间的计算中，需要确定置信水平、样本均值、样本标准差和样本大小。
根据这些信息，可以使用以下公式计算单侧置信区间的上限或下限：上限 = 样本均值 + Z值× （样本标准差/ √样本大小）下限 = 样本均值 - Z值× （样本标准差/ √样本大小）其中，Z值表示标准正态分布的分位数，可以根据所需的置信水平确定。
常见的置信水平有90%、95%和99%。
三、如何应用单侧置信区间计算公式？单侧置信区间计算公式的应用可以帮助我们估计总体参数的范围，并对统计结果进行解释和推断。
以下是一个具体的例子，以帮助读者更好地理解如何使用单侧置信区间计算公式。
假设某家公司想要估计其产品的平均寿命。
他们从生产线上随机抽取了30个样本进行测试，得到了样本平均寿命为1000小时，样本标准差为50小时。
现在，他们想要计算产品平均寿命的上限，以便在市场宣传中能够给出一个保守的估计。
我们需要确定置信水平。
假设我们选择了95%的置信水平。
根据标准正态分布的分位数表，对应的Z值为1.96。
接下来，将样本均值、样本标准差和样本大小代入单侧置信区间计算公式中，可以得到上限的计算结果：上限= 1000 + 1.96 × （50 / √30）≈ 1000 + 1.96 × 9.132≈ 1000 + 17.88≈ 1017.88因此，我们可以得到95%的置信水平下，产品平均寿命的上限为1017.88小时。
这意味着，我们可以有95%的置信度认为，产品的平均寿命不会超过1017.88小时。
四、单侧置信区间的解释和推断通过单侧置信区间的计算，我们可以对统计结果进行解释和推断。
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
95%置信区间的计算公式如下图：
95%置信区间的意义：假设上面统计的结果为[ 170-10, 170+10]，怎么说明最低身高为160，最高身高为180。
这个统计结果有95%的可信度。
95%置信区间是用来估计参数的取值范围的方法。
比如：在我们用样本去估计整体均值的实验过程中。
假设我们做了100组统计均值实验后，算出95%的置信区间后，其中有95个置信区间包含整体均值，5个不包含。
置信区间计算公式是什么？
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。
置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α，绝大多数情况会将α设为0.05。
置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。
如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。
置信区间的常用计算方法为Pr(c1<=μ<=c2)=1-α。
单侧置信限.ppt
区间 (, ) 为参数 的 单侧置信区间. 为单侧置信上限.
(, ), ( , ) : 随机区间
3、单侧区间估计的主要步骤 (1)根据样本X1, X2 , ..., Xn构造统计量:G G( X1, ..., Xn , ), 要求G中包含待估参数 ,但不能包含其它参数.并且G的
分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.
P( 2
a) 1
因此,
a
2 1
(n
1)
解不等式:
(n 1)S 2
2
2 1
(
n
1)
得 2 的 1 单侧置信区间:
f (t)
(0, (n 1)S 2 )
2 1
(n
1)
单侧置信下限: 2 (n 1)S2 2 (n 1)
O
2 1
t
例3 用某仪器测量温度, 重复 5 次, 得数据1250 oC , 1260 oC , 1265 oC , 1245 oC, 1275 oC . 若测得的数据服从
12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N( , 2 ), , 2均 未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05(10 1) 1.8331
计算可得 x 11.72,
正态分布 , 求总体方差 2 的 0.95 置信区间上限 .
解 : 样本方差观测值
s2
1 51
5 i 1
( xi
1259)2
142.5
=0.05, 查表得
2 1
(n
Байду номын сангаас1)
2 0.95
(4)
第7节 单侧置信区间
解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα
(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
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二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1 ) , 若由样本 X 1 , X 2 ,, X n 确定的统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) , 对于任意
满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置 信下限.
似然函数
求置信区间 的步骤 置信区间和上下限
X ~ t (n 1) S/ n
对于给定的置信水平 怎样直接写出置信下限 1 ,可查表求得 t (n 1) 使得 S S 1~ t ( n 1) ~ X t (n t1)(n 1) X X P n n S/ n 故 的单侧置信下限为 等价地有 t (n 1) S t ( n 1) X S P{ X t (n 1) n } 1 n 的置信上限是什么 故 的单侧置信下限为 S t (n 1) X X S n t (n 1) n 第六章 参数估计
又如果统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间 , 称为 的置信水平为1 的单侧 置信上限.
6.5 单侧置信区间
设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本, , 2 均未知.试求 的置信水平为 1 的单侧置信下限. , 2 的无偏估计分别是 X , S 2 ,且
6.5 单侧置信区间 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本, , 2均未知. 试求 2的置信水平为 1 的单侧置信上限. , 2 的无偏估计分别为 X , S 2,且 (n 1) S 2 2 形式运算 ~ (n 1) 2 (n 1) S 2 2 ~ 2 2 (n 1) 故 的置信度为 1 的单侧置信上限为
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318,
的置信水平为0.95 的置信下限 s x t ( n 1) 1065. n
参数估计主要内容
点 估 计 矩估计
极大似然 估计
估 计 量 的 评 选
无偏性
有效性 相合性
正态总 体均值 方差的 置信区 间与上 下限
6.5 单侧置信区间
一、问题的引入
二、基本概念 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
在以上各节的讨论中 , 对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们 关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在 考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
2 n ( 1)S 2 2 1 (n 1)
, 1 ?
（注意 较小）
12 (n 1)
2 (n 1)
第六章
参数估计
三、典型例题
例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950,
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1 ) , 若由样本 X 1 , X 2 ,, X n 确定的统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) , 对于任意
满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置 信下限.
似然函数
求置信区间 的步骤 置信区间和上下限
X ~ t (n 1) S/ n
对于给定的置信水平 怎样直接写出置信下限 1 ,可查表求得 t (n 1) 使得 S S 1~ t ( n 1) ~ X t (n t1)(n 1) X X P n n S/ n 故 的单侧置信下限为 等价地有 t (n 1) S t ( n 1) X S P{ X t (n 1) n } 1 n 的置信上限是什么 故 的单侧置信下限为 S t (n 1) X X S n t (n 1) n 第六章 参数估计
又如果统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间 , 称为 的置信水平为1 的单侧 置信上限.
6.5 单侧置信区间
设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本, , 2 均未知.试求 的置信水平为 1 的单侧置信下限. , 2 的无偏估计分别是 X , S 2 ,且
6.5 单侧置信区间 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本, , 2均未知. 试求 2的置信水平为 1 的单侧置信上限. , 2 的无偏估计分别为 X , S 2,且 (n 1) S 2 2 形式运算 ~ (n 1) 2 (n 1) S 2 2 ~ 2 2 (n 1) 故 的置信度为 1 的单侧置信上限为
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318,
的置信水平为0.95 的置信下限 s x t ( n 1) 1065. n
参数估计主要内容
点 估 计 矩估计
极大似然 估计
估 计 量 的 评 选
无偏性
有效性 相合性
正态总 体均值 方差的 置信区 间与上 下限
6.5 单侧置信区间
一、问题的引入
二、基本概念 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
在以上各节的讨论中 , 对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们 关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在 考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
2 n ( 1)S 2 2 1 (n 1)
, 1 ?
（注意 较小）
12 (n 1)
2 (n 1)
第六章
参数估计
三、典型例题
例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950,