17届高二理科数学上期半期考试试卷答案
17届高二理数上期末考试题及答题卷
2015—2016学年上期末考 17届 高二理科数学试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟．2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意R x ∈，使得20x < B ．存在0R x ∈，使得200x < C ．存在0R x ∈，都有200x ≥ D ．不存在R x ∈，使得20x <2．抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．12x =-B ．12x =C ．18y =-D ．18y =3．以棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,,AB AD AA 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形11AA B B 的对角线交点的坐标为（ ）A ．11(,0,)22 B ．11(0,,)22 C ．11(,,0)22 D ．111(,,)2224．在等差数列{}n a 中，已知4816a a ＋＝，则2610a a a ＋+＝（ ） A ．20 B ．24 C ．28 D ．325．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．7330b c C ＝，＝，＝ B ．203030a b C ＝，＝，＝ C ．42360b c C ＝，＝，＝ D ．5445b c C ＝，＝，＝ 6．下列命题正确的是（ ）①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,OA OBOC ，不构成空间的一组基底，那么点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一组基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一组基底． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③7．已知F 是双曲线C ：223(0)y mx m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．3B ．2C ．22 D ．338．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，则2212a a ++223n a a ++=（ ）A ．()221n- B ．()1213n - C ． ()1413n -D ．()41n- 9．已知ABC ∆，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin ac A <BA BC ⋅, 则( ) A ．ABC ∆是钝角三角形 B ．ABC ∆是锐角三角C ．ABC ∆是直角三角形 D ．无法判断10．设y x ,满足223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若224x y a +≥ 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．12 B ．34 C ．45D ．5611．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C ．73 D ．25612．设1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以1F ，2F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．193 B ． 213 C ．73 D ．733第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知O 是空间中任意一点，,,,A B C D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++，则234x y z ++=________．14．已知F 是抛物线2y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF ＋＝，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．15．若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C ︒＝，则a b +的最小值为________．16．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015,n a =则n = ．123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536124579101214161719212325262830323436图甲 图乙三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数2()f x ax c =-，且4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤，求(3)f 的取值范围 18．（本小题满分12分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >．命题:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知4A π=，sin()sin().44b Cc B a ππ+-+=（Ⅰ）求证：2B C π-=；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和414S =，3a 是17a a ，的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若11n n T a λ+≤对一切*N n ∈恒成立，求实数λ的最大值．21．（本小题满分12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且21AD AB ==，，PA ABCD E F ⊥平面，、分别是线段AB BC 、的中点．（Ⅰ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的平面角的余弦值．22． （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2(2)2Q , 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点(1,1)M ，求ABM S ∆的最大值．2015—2016学年上期末考17届高二数学答案卷题号一二三总分17 18 19 20 21 22一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．_________________．14．___________________．15．__________________．16．___________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：解：19．（本小题满分12分）解：座号解：21．（本小题满分12分）解：解：2015—2016学年上期末考 17届 高二理科数学答案一、单项选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCABDCACACAB二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．_____-1_________________． 14．_______54____________． 15．____433______________． 16．______1030_____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） 解：120x -≤≤18.（本小题满分12分） . (1)23x <<(2)12a <≤ 19. （本小题满分12分）解： (1)证明 由b si n ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c si n ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ， 应用正弦定理，得si n B si n ⎝⎛⎭⎫π4＋C －si n C si n ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝si n A ， si n B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －si n C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 sin B ＋22cos B ＝22， 整理得si n B cos C －cos B si n C ＝1，即si n (B －C )＝1，由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2si n 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2si n π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc si n A ＝2si n 5π8si n π8＝2cos π8·si n π8＝12. 20. （本小题满分12分）解：解 (1)设公差为d ，由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)∵1a n a n ＋1＝111(1)(2)12n n n n =-++++， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝2(2)n n +，∵T n ≤1λa n ＋1，∴2(2)nn +≤1λ(n ＋2)，即λ≤2（n ＋4n ＋4），又2（n ＋4n ＋4）≥2×(4＋4)＝16，∴λ的最大值为16. 21. （本小题满分12分）解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0). 不妨令P(0，0，t)，存在.设平面PFD 的一个法向量为n =(x,y,z),结合(1),由n PF 0n DF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，得x y tz 0x y 0+-=⎧⎨-=⎩,令z=1,解得：x=y=t 2.∴t tn (,,1)22=.设G 点坐标为(0,0,m),E(12,0,0),则EG =(12-，0，m)，要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n =0，即1t t t()01m m 02224-⨯+⨯+⨯=-=,得1m t 4=，从而满足1AG AP 4=的点G 即为所求.(2)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得AB =(1，0，0)， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，得∠PBA=45°,PA=1，结合(2)得平面PFD 的法向量为n =(11122，，)， ∴1AB n 62cos<AB n>6|AB ||n |11144===++，，由题意知二面角A-PD-F 为锐二面角. 故所求二面角A-PD-F 的平面角的余弦值为66. 22. （本小题满分12分）解：（1）设椭圆方程为22221x y a b+=，由题意知222112a b += ① 又2232c a b e a a -=== ② 联立①②解得，224,1a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=。
2017-2018高二(上学期)期中考试数学(理科)试题附详细答案
2017-2018高二（上学期）期中考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ）A.1⎤⎥⎣⎦B.1,⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.1,⎤⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________. 14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。
(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣63．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣3，3+2m），∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．故选：D．3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1， +=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，由半径是，可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：P==，故选：C．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=2|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）∴B（﹣2c，﹣b2），代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=，∴x2+=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案为：4．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为①②④．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题那么命题（¬p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．=，求得c=4，再利用余弦定理求（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC得a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，=bc•sinA=•1•c•=，∴A=，又b=1，S△ABC∴c=4，∴a===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．2017年2月24日。
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷(含答案)
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有．．一个．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1．下列语句中，是命题的个数是①|x＋2|=0；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．设P是椭圆22+=12516x y上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4 B．5 C．8 D．103．现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30， 则输入的n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则 点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 A .π4 B . 14 C . 1－π4D .π37．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为A . 15B . 25C . 35D . 458．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 A . 29 B . 9100 C . 350 D . 31009．椭圆22+=14x y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为 A . 4 B . 72 C . 3 D . 3210．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为A.63B .53C.32D.2211．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2＋y2＝2(x≠±2)12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知椭圆22+=120x yk的焦距为4，则k的值为．14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，则 p为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按A、B、C50辆，其中A类小汽车抽取10辆.(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；19．(满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．20．(满分12分)已知椭圆C 的两条对称轴分别为x 轴和y 轴,左焦点为F 1(－1,0)，右焦点为F 2，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⋅F 1Q → 0=，求直线l 的方程．21．(满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)p q ∧是真命题；(2)p q ∨为真命题且p q ∧为假命题．22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两点1F (0，、2F (0)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C . (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA ⊥OB ？此时|AB |的值是多少？高二半期考试理科数学参考答案二、选择题13、16或24 14、2000,10x R x x ∃∈++≤15、9 16、13三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n ,由题意可知：1112n n=++，解得n ＝2,不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以()P A ＝412＝13.18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n 辆，由题意得5010100300n =+， 解得n ＝2000.则x ＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型小汽车，由题意得40010005a=，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.用A 1，A 2表示2辆豪华型小汽车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型小汽车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3).事件E 包含的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)， (A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共9个.故9()10P E =，即所求概率为910.19、解：设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴1F A ·2F A ＝0，而1F A ＝(－4＋c ，3)，2F A ＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y+=.20、解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22421k k +，x 1x 2＝222(1)21k k -+，1F P ＝(x 1＋1，y 1)，1F Q ＝(x 2＋1，y 2)因为1F P ·1F Q ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋12271021k k -==+，解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.21、解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜12- .(1) ∵p q ∧是真命题，∴p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上面两个范围的交集， ∴a 的取值范围是{a |a ＜－1或a ＞1}．(2) p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，有两种情况：p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜12-，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．22、解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，(0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b1，故曲线C 的方程为2214y x +=.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝224k k -+，x 1x 2＝234k -+.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2234k =-+2234k k -+22214k k -+=+22414k k -++. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |而 (x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。
理科高二年级数学上册期中考试卷
理科高二年级数学上册期中考试卷想要学习好就一定不可以偷懒哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，希望大家多多参考一下哦高二数学上期中理科联考试题第I卷共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若设，则一定有( )A. B. C. D.2、命题“对任意，都有”的否定为 ( ).对任意，都有 .不存在，使得.存在，使得 .存在，使得3、已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的( )A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、等差数列的前项和为，且，，则公差等于 ( ).-2 . -1 . 1 . 25、原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026、钝角三角形的面积是，，，则 ( ). 1 . 2 . . 57、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9、已知满足线性约束条件则的最大值为( )A、 B、 C、 D、10、若是等差数列，首项则使前n项和成立的最大自然数是( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 01511、已知函数f(x)=4x2﹣1，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为( )A. B. C. D.12、若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式x+A. B. C. D.第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13、在中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若1. 则c=14、中，角A,B,C成等差数列，则。
2017-2018学年(上)高二年段期中考理科数学试卷(含答案)
（上）高二年段期中考试卷理数试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一．选择题（每小题5分共60分）1．如图，为了测量隧道两口之间AB 的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是 （ ）. ,,. ,,. ,,. ,,A a b B a b C a b D aγαβαβ 2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,都有20x <B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b -<-4．若数列{}n a 是公比为4的等比数列,且12a =,则数列2{log }n a 是（ ）A ．公差为2的等差数列B ．公差为lg 2的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．公比为lg 2的等比数列 5．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6．等差数列{}n a 中,83,a a 是方程0532=--x x 的两个根,则此数列的前10项和=10S （ ）15A 30B 50C291215+D7．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（ ）A ．11{|}32x x -<<B ．11{|}32x x x <->或C ．{|32}x x -<<D ．{|32}x x x <->或8．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．4(0)y x xx=+<B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<9．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于 （ ）A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m10．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得202=S ， 65,3643==S S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S 11.下列结论中正确的个数是( )①在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为等腰三角形②若等差数列的通项公式为421n a n =-，则5S 为最小值; ③当02x <<时，函数()(42)f x x x =-的最大值为2 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行A . 1B 2 C. 3 D 412．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设正项．．数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（ ）A ．4BC ．8D ．62二．填空题（每小题4分共20分）13．命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 __________ 14.已知不等式2-2-30x x <的整数解构成递增．．等差．．数列{}n a 前三项，则数列{}n a 的第四项为_______15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222c a b ab =++，则∠C=____________16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.17．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图的幻方记为315N =，那么12N 的值为__________三．解答题18.（本题8分）已知命题p : 关于x 的方程10ax -=在[1,1]-上有解;命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围19.（本题12分）（1）已知两正数x,y 满足21x y +=，求xy 的最大值 （2）当(1,)x ∈+∞，不等式11x a x +≥-恒成立，求a 的取值范围20.（本题12分） △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若A ，B ，C 成等差数列，且2,AB AC ==，求△ABC 的面积；(2) 若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值21.（本题12分）已知递增．．的等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．22.（本题12分）现在“汽车”是很“给力”的名词，汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n 和n 年累计．．维修费n S （万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点在2(0)y ax bx a =+≠的图象上（如图所示），其中(5,1.05)A 、(10,4.1)B（1）求出累计．．维修费n S 关于年数n 的表达式，并求出第10年的维修费 （2）汽车开始使用后，每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担，若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值 （年平均耗资费=+车价车主承担的维修费使用年数）23.（本题14分）（实验班）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .晋江二中2014-2015学年（上）高二年段期中考试卷理数试卷答题卡一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13._______________________________________________14.______________________ 15.____________________16.______________________ 17.______________________三.解答题（共70分）第18题第20题第22题一．选择题（每小题5分共60分 ） 二．填空题（每小题4分共20分）13 200x x m m +-=>若有实数根则 14. 3 15. 23π16. -2 17. 870 三、解答题 第18题.第20题解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 第22题第23题【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= (2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦。
2017-2018学年高二上学期第一次阶段考试数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年高二上学期第一次阶段考试 数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.设全集{}{}{}4,,0,1,2,2,3,U x x x N A B =<∈==则()U B C A 等于（） A.∅B.{}3 C.{}2,3 D.{}0,1,2,32．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.123.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）（A ）588 （B ）480 （C ）450 （D ）120 4.在等比数列{}n a 中，前3项之和S 3＝168，2542,a a -=则公比q 的值为（）A ．1B ．－12C ．1或－12D ．125.已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3y a b x π=+-的最小正周期是（）A. 6πB. 5πC.4πD.2π6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且b =sin sin a bA B +=+（）A ．2B ．12C D8．如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从D C ,两点测得A 点仰角分别是()βαβ<a ,，则A 点离地面的高度AB 等于（）A ．()αββα-⋅sin sin sin aB ．()βαβα-⋅cos sin sin aC ．()αββα-⋅sin cos sin aD ．()βαβα-⋅cos sin cos a9.已知是等比数列，，则=（）A.B.C.D.10.若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围（）．A ．[)∞+,1B ．43,1[-- C ．]1,43( D ．]1,(--∞ 11.已知向量,a b 满足：13,1,512a b a b ==-|||||| ≤，则b 在a上的投影长度的取值范围是（） A ．1[0.13B 5[0.]13C ．1[,1]13D ．5[,1]1312．已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足12201620181,(),,n n a a f a a a +===若则1114a a +的值是（）A ．BCD 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候后到者20分钟，过时就可离开，这两人能会面的概率为_____________________14.设为等差数列，公差为其前项和．若则__．15. 如图，在中，已知，是边上的一点，，，，则______________.16.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________．2,nd S =-1011S S =1a =三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）设*n N ∈，数列{}n a 满足238a a +=，12n n a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b A a C c A =+. （I ）求角A 的大小； （II ）若ABC ∆的面积ABC S ∆=，且5a =，求sin sin B C +的值.19.（本题满分12分）如图，在四面体P ABC -中，PA ABC ⊥平面，3,4,5AB AC BC ===，且,,D E F 分别为,,BC PC AB 的中点 （1）求证：AC PB ⊥；（2）在棱PA 上确定一点G ，使得FG ∥平面ADE ，并说明理由．D20．（本题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cosC ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21.（本题满分12分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （1）求圆M 的标准方程；（2）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；（3）已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程.22.（本题满分12分）已知函数.1,0),)(2(log 2)(),1(log )(≠>∈+=+=a a R t t x x g x x f a a 且 （1）若1是关于x 的方程0)()(=-x g x f 的一个解，求t 的值； （2）当110-=<<t a 且时，解不等式)()(x g x f ≤； （3）若函数12)(2)(+-+=t tx a x F x f 在区间(]2,1-上有零点，求t 的取值范围.2017-2018学年高二上学期第一次阶段考试数学（理）试题答案1、C2、A3、B4、Ｄ5、A6、A7、D8、A9、C 10、B 11、D 12、D13、59 14、20 15、2 16、5017、（1）因为12n n a a +=+，则12n n a a +-= 1分所以数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列 2分 设等差数列{}n a 的公差为d由已知得12382a d d +=⎧⎨=⎩3分 解得112a d =⎧⎨=⎩ 4分所以()1121n a a n d n =+-=-．5分（2）由（1）可得1111()(21)(23)42123n b n n n n ==--+-+． 7分所以1231111111114537592123n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8分11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 9分1111342123n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭10分 18、解：（I ）由2cos cos cos b A a C c A =+及正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+……………………………………………………1分即()2sin cos sin B A A C =+ ………………………………………………………………2分()()sin sin sin A C B B π+=-= ………………………………………………………3分2sin cos sin B A B ∴=即()sin 2cos 10B A ∴-=……………………………………4分 0B π<< sin 0B ∴≠ …………………………………………………………………5分1cos 2A ∴=，0A π<< ，3A π= ……………………………………………………6分（II）1sin 2ABC S bc A ===25bc ∴=①……………………8分 22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⋅ ，2250b c += ……………………9分()250225100b c ∴+=+⋅=即10b c +=② ……………………………………10分（法一）由①②可知,b c 可看成方程210250x x -+=的两根，解得5b c == ………11分 所以ABC为等边三角形，故sin sin 22B C +=+=分 （法二：()sin sin sin 2sin sin 105A A AB C b c b c a a a ∴+=⋅+=+=⋅=……12分）19、（1）证明：在ABC ∆中，AB=3,AC=4,BC=5222,AB AC BC AC AB ∴+=∴⊥．……………………2分又,,PA ABC AC ABC PA AC ⊥⊂∴⊥平面平面 ………3分又PA AB A =I ………4分AC ∴⊥平面PAB ．………5分,PB PAB AC PB ⊂∴⊥而平面．……………6分(2)解： G 是棱PA 的中点，G 为所求…………………… 7分（无论顺序，有所反映就给分） 证明如下:在三角形PAB 中，F 、G 分别是AB 、PA 的中点,//FG PB ∴．…………………8分 同理可证：//,DE PB ……………………………………………9分//.FG DE ∴……………………………………………10分又,,//.FG ADE DE ADE FG ADE ⊄⊂∴平面平面平面………………………12分20、解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.………………2分从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365 (4)分 由正弦定理ABsin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．………………6分 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，……7分所以由余弦定理得d 2＝ (100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213……8分（即列式正确1分）＝200(37t 2－70t ＋50)，……10分（即化简成功2分）因0≤t ≤1 040130，……11分即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．……12分22.（本题满分12分）解：（1）∵1是方程f(x)-g(x)=0的解，∴log a 2=log a (2+t)2,∴(2+t)2=2又∵t+2>0∴t+2=2∴t=22-. ………………… 3分（2）∵t=-1时，log a (x+1)≤log a (2x-1)2又∵0<a<1∴ x+1≥(2x-1)2∴ 4x 2-5x ≤0 ∴ 0≤x ≤452x-1>0 x>21 x>21∴解集为：{x|4521≤<x }. …………………6分 (3) 解：若t=0,则F(x)=x+2在]2,1(-上没有零点. …………………7分 下面就t ≠0时分三种情况讨论：① 方程F(x)=0在]2,1(-上有重根x 1=x 2，则Δ=0，解得：t=422±又x 1=x 2=t 21-∈]2,1(-，∴t=422+. …………………8分 ② F(x)在]2,1(-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有F(-1)F(2)<0 解得：t<-2或 t>1 又经检验：t=-2或t=1时，F(x)在]2,1(-上都有零点； ∴t ≤-2或 t ≥1. …………………9分③ 方程F(x)=0在]2,1(-上有两个相异实根，则有：t>0 t<0Δ>0 Δ>0-1<221<-t 或 -1<221<-t 解得：1422<<+tF(-1)>0 F(-1)<0 F(2)>0 F(2)<0 …………………11分综合①②③可知：t 的取值范围为4222+≥-≤t t 或. …………………12分21、补充：过原点且倾斜角为60°的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为 ( )A.3 B ．2 C.6 D ．23。
16-17学年度上期半期考试数学试卷(附答案)
初2017级16—17学年度上期半期考试数 学 试 卷抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卷中相应的位置上.1.在0，5-，1，4这四数中，最小的数是A.5-B. 0C. 1D. 42.计算32)a （-，结果正确的是 A.6a B. 6a - C.5a D.5a -3.如图，直线l1∥l2， ∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于 A. 55° B. 60°C. 65°D. 70° 4.抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是A.（－2，－3）B.（2，－3）C.（2，3 ）D.（－2，3）____________________________________________________________________________________________________________________________5.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是6.已知在Rt ABC ∆中，∠C=90°，AC=2，BC=4，则下列结论正确的是A.1sin 2A =B. 1tan 2A =C.cos A =D .sin B =132l1 l2 第3题图 A B C D第7题图……第1个 第2个 第3个7.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的位置如图 所示，则下列结论中，正确的是 A.0a < B. 0b >C.0a b c ++=D.420a b c -+>8.小可骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小可上坡、平路、下坡的速度分别为：123v v v 、、且123v v v <<，则小可骑车上学时，离家的距离s 与所用时间t的函数关系图像大致是9.观察下列图形，则第7个图形中三角形的个数是A. 10B. 28C. 24D. 3210.如图，在正方形ABCD 中，AB=1，E ，F 分别是边BC ，CD 上 的点，连接EF 、AE 、AF ，过A 作AH ⊥EF 于点H. 若EF=BE+DF ， 那么下列结论：①AE 平分∠BEF ；②FH=FD ；③∠EAF=45°； ④EAF ABE ADF S S S ∆∆∆=+； ⑤△CEF 的周长为2.其中正确结论的个数是A.2B.3C.4D.5二、填空题 （本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案填在答题卷相应位置的横线上．11.据重庆时报2011年9月22日报道，目前重庆煤炭生产量约4820万吨，将4820万用科学记数法表示为 ________________万. ADCBEFH第10题图ABCE F第12题图A B C D12.如图，已知EF//BC ，且AE ∶BE=1∶2，若△AEF 的面积为4， 则△ABC 的面积为________________.13.调查了初三某班6位同学数学小练习的成绩（单位：分） 分别如下：88、92、96、95、82、86，则这6个数据的 中位数是________________.14.已知二次函数20)y ax bx c a =++≠（中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下 表所示，则x =2-时，y 的值为________________．15.有4张正面分别标有数字111,0,,23--的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为x ，另有一个被均匀分成4份的转盘，上面分别标有数字1,0,4,5---，转动转盘，指针所指的数字记为y （若指针指在分割线上则重新转一次），则点(,)P x y 落在抛物线2224y x x =--与x 轴所围成的区域内（不含边界）的概率是__________．16.某商店购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%销售了部分商品．节日期间按 原定售价降低10%的价格销售了至多100件商品，而在销售淡季按原定售价的60%的价 格大甩卖，为使全部商品售完后不亏损，则按原定售价销售出至少__________件商品．三、解答题 （本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．17. 计算：2051()(3)(1)3π---+-+-+第19题图32O18. 解不等式3322x x ++<，并将解集在数轴上表示出来．[来源:学科网] 19. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，过点C 、B 分别作AD 及其延长线的垂线CF 、BE ，垂足分别为点F 、E ．求证：BE=CF ．20. 如果将抛物线22y x bx c=++沿直角坐标平面先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线2243 y x x=-+．（1）试确定b，c的值；（2）求出抛物线22y x bx c=++的对称轴和顶点坐标.四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21. 先化简，再求值：221242()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足方程121=--xxx.22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与反比例函数x k y =(k ≠0)相交于A 、D 两点，其中(1) 分别求出反比例函数和直线AB 的解析式；(2) 连接OD ，求△COD 的面积.23. 元旦晚会即将来临，小涵作为晚会主持人为本次晚会准备了A 等，B 等，C 等，D 等共 4类奖品，它们的价格可由下表表示 ，小涵绘制了如下两幅不完整的统计图：元（1）小涵总共准备了__________个奖品，这些奖品平均每个的价格为__________元． （2）补全条形统计图．（3）在晚会的摸奖环节中，所有奖品均已发出，其中获得A 等奖的有1位女同学，B 等奖有4位女同学．现从获得A 等和B 等的同学中分别抽出一位做获奖感言，那么请你用画树状图或列表格的方法求出恰好有一位男同学和一位女同学做获奖感言的概率．24. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为CD 上一点，且DE=EC=BC ． (1)若∠B=90°，求证：3AEC DAE ∠=∠；(2)若4tan 3DAE ∠=，AD=2，AE=5，求梯形ABCD 的面积．ADECB25.某精品水果超市销售一种进口水果A ，从去年1至7月，这种水果的进价一路攀升，每千克A 的进价1y 与月份x （17x ≤≤，且x 为整数），之间的函数关系式如下表 ：随着我国对一些国家进出口关税的调整，该水果的进价涨势趋缓，在8至12月份每千克水果A 的进价2y 与月份x （812x ≤≤，且x 为整数）之间存在如下图所示的变化趋势.（1）请观察表格和图像，用所学过的一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识分别写出1y 与x 和2y 与x 的函数关系式.（2）若去年该水果的售价为每千克180元，且销售该水果每月必须支出（除进价外）的固定支出为300元，已知该水果在1月至7月的销量1p（千克）与月份x 满足：11080p x =+；8月至12月的销量2p （千克）与月份x 满足：210250p x =-+；则该水果在第几月销售时，可使该月所获得的利润最大？并求出此时的最大利润.（3）今年1月到6月，该进口水果的进价进行调整，每月进价均比去年12月的进价上涨15元，且每月的固定支出（除进价外）增加了15%，已知该进口水果的售价在去年的基础上提高了%a （a <100），与此同时每月的销量均在去年12月的基础上减少了0.2%a ，这样销售下去要使今年1至6月的总利润为68130元，试求出a 的值.（保留两个有效数字）（参考数据：223529,=224576=， 225625=，226676=）ACB （D ） E F26题图26．已知等边△ABC 和Rt △DEF 按如图所示的位置放置，点B ，D 重合，且点Ｅ、B(D)、C 在同一条直线上．其中∠E=90°, 30EDF ∠=,AB DE ==DEF沿直线BCE 点与C 点重合时停止运动，设运动时间为t 秒．(1) 试求出在平移过程中，点F 落在△ABC 的边上时的t 值；(2) 试求出在平移过程中△ABC 和Rt △DEF 重叠部分的面积s 与t 的函数关系式；(3) 当D 与C 重合时，点H 为直线DF 上一动点，现将△DBH 绕点D 顺时针旋转60°得到 △ACK ，则是否存在点H 使得△BHK的面积为若存在，试求出CH 的值；若不存在，请说明理由．A CB D E F 26题备用图 ACB DEF26题备用图A CB （D ） （E ）F26题备用图初2017级16—17学年度上期半期考试数 学 答 案1317.2051()(3)(1)3π---+-+-+解：原式=9114-+………………………………………………………… 5分 =13．…………………………………………………………………… 6分18.3322x x ++<解：2433x x +<+ ． …………………………………………………………… 2分 解这个不等式得 1x >． ………………………………………………………… 4分6分19.证明： ∵AD 是中线， ∴BD ＝CD ．……………………………………………………1分∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ． ∴∠E ＝∠CFD ＝900 ． …………………………………………………………3分 又CDF BDE ∠=∠， …………………………………………………………4分 ∴△CFD ≌△BED. ………………………………………………………………5分∴BE ＝CF ．…………………………………………………………………………6分20.（1）∵222432(211)3y x x x x =-+=-+-+22(1)1x =-+．…………………………………………………………………1分∴现将其向上平移2个单位，向右平移3个单位可得原函数，即22(4)3y x =-+ ．……………………………………………………………2分 ∴221635y x x =-+． ………………………………………………………3分∴b=-16，c=35．……………………………………………………………………4分 （2）由y 22(4)3x =-+有顶点坐标（4，3）．…………………………………………………………………5分对称轴x =4．…………………………………………………………………………6分21.解：原式x x x x x x x x ----=⋅-+22212(1)(1)2(21)…………………………………………4分 x x x x x x ---=⋅-+212(1)(1)2(21)x xx x --=-=221122．……………………………………6分∵x x x -=-211，∴x x x x -+=-2222．解这个方程得 x =2． …………………………………………………………7分 经检验x =2是原方程的根．…………………………………………………8分将x =2代入得x x--==-2112188222.（1）过D 点作DH ⊥y 轴于H ，垂足为H ．在Rt △BDH 中，DH ＝BD ⋅∠=⨯=3sin DBH 535．……1分∴BH ＝4，OH ＝6． ……………………………2分∴点D 的坐标为（3，-6）．……………………3分 将D 的坐标代入中，解得 k =-18．∴y x =-18．…………………………………4分∵将D （3，-6），B （0，-2）代入b ax y +=中，得⎩⎨⎧-=-=+.2,63b b a 解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,34b a …………………………6分∴y x =--423．………………………………………………………………7分 （2）在y x =--423中，令y =0，有x --=4203．解这个方程得x =-32． ∴OC=32．……………………………………………………………………8分∴∆=⋅=⨯⨯=COD D 1139S OC y 62222．………………………………10分23.（1）4020………………………………………………………………………4分（2）……………………………………5分（3）设获得A 等奖的男同学为B1,B2,女同学为G1 获得B 等奖的男同学为B3,B4,B5 女同学为：G2,G3,G4,G5 ………………………………………………………………………………………………8分 ∴总共有21种情况，且每种情况出现的可能性一样大，抽到一位男同学和一位女同学的有11种．∴11P (一男一女)＝21.即：抽到一位男同学和一位女同学的概率为1121．………10分24.延长AE 交BC 的延长线于F ，连接BE ． （1）证明：∵AD//BC ， ∴∠1＝∠2． ∴在△ADE 和△FCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.,43,21CE DE∴△ADE ≌△FCE ．……………………3分 ∴AE ＝EF ．又△ABF 为Rt △， ∴BE=EF ． ∴∠5=∠2=∠1．∴∠7=2∠1， 又ＣＥ＝ＢＣ，∴∠5＝∠6＝∠1．∴∠ＡＥＣ＝∠6+∠7＝3∠1．即∠AEC ＝3∠DAE ．………………………………………5分 （2）解：由（1）ABCD ABF BEF S S 2S ∆∆==.∵在Rt △ADE 中，44tan ,sin 35DAE DAE ∠=∴∠=． ∆=⋅=⨯⨯⨯∠=ADE 11S AE DH 52sin DAE 422．∴∆=ECF S 4．∵在Rt △ADE 中，82sin ,5DH DAE =⋅∠=62cos ,5AH DAE =⋅∠= ∴195HE =,∴BC ＝DECF ＝AD ＝2∆∆∆∆∴==BCE BCE ECFECF S =S S S ．∴∆=EBF S．∴∆∆==ABF EBF S 2S ．∴=梯形ABCD S ．………………………………………………………………10分25.由表格可知，1y 是x 的一次函数．设1111(y k x b k =+≠0）．ADE C BF 1 3 7 6 42 5H将（1，50），（2，60）分别代入得k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩111150,260.解这个方程组得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1110,40.∴1y =10x +40．…………………………………………………………………………1分 经验证其余各组值也均满足此函数关系式． ∴1y =10x +40．…………………………………………………………………………2分 设2222(y k x b k =+≠0）．将坐标（8，15）（12，135）分别代入得k b k k b b ⎧⎧+==⎪⎪∴⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩2222228115,5,12135.75.∴2y =5x +75．…………………………………………………………………………3分设：利润为W 元． 当1≤x ≤7时，W1x x =--⋅+-(1801040)(1080)300x x x x =-+⋅+-=-++2(10140)(1080)30010060010900b a -=-=-60032200．∴当x =3时，W1有最大值，大1W ＝11800．…………………………………………5分当8≤x ≤12时，W2x x =---+-(180575)(10250)300 =(-5x +105)(-10x +250)-300 =50x 2-2300x +25950．∵b a --=-=2300232100，又23x <，∴W2随x 增大而减小，∴x =8时，W2有最大值， W2大=10750． ∵W1大>W2大∴在第3月时，可获最大利润11800．…………………………………………………7分 （3）a a ⨯+-⨯++⋅-⨯+--⨯+6[180(1%)(5127515)](1012250)(10.2%)6300(115%)＝68130 ．……………………………………………………………………………………8分令a %=t ，原方程化为t t +---=1[6(1)5](1)305．整理得 6t-29t +=2100．∴t ±±=≈2929251212．t t ==≈==12415433.3%,450%12312．∴1a ≈33， 2a =450(舍)．∴a =33．即：a 的值为33．……………………………………………………………………10分26.（1）000DF DE /cos 30FM cos 30cos 30(2====．∴t ==18．…………………………………2分又FN ＝FM+MN ∵BM ＝FM ·sin300=∴AM==MN ．∴FN=+=∴t ==210.………………………………4分∴当t 1=8,t 2=10时，点F 落在△ABC 的边上． （2）当06t ≤≤，2s ==． ………5分当68t <≤，ACB（D ）EF26题图 MNAC BDEF26题备用图M N K AFK2.318.324,318.2118)42EMNKC ABC ANK BEM S S S S BE BM ME t MF t MN tAN NK S t =--=-=-=-=-+=∴=+=-+∴=---13(18)22t -+-+2=+-……………………………6分当8t <≤10，.39.211369)222EFKC DEF DCK S S S CD CK CD KH t S t =-=-==-=-=-∴=---2=+-……………………7分当10t <≤12，1.2,).CEK S S CE EK CE EK ==⋅==2)S ∴=．…………………………………………………………………8分（3）①当点H 在EC 的上方，且在BK 左侧时2222111222.426160.CBH CKH BCKS S S S x x x x x x x x =+-=⋅+-⋅=-=--= 令ACBE F 26题备用图KDC （B ）（D ） EF26题备用图图AHK226160.35,0, 2.x x x x x x =+-===-±>∴= 128,2(x x ==-∴舍).CH=8.……………………………………………………10分②当点H 在EC 的上方，且在BK 右侧时22222111222.6160.40,BHK BCK BCH HCK S S S S x x x x x x x b ac =--=⋅-⋅⋅-=+--+=-< 令：∴无解，所以，此时不存在点H ．………………11分 ③点H 在EC 下方时22111222.BHK CKH BCK BCH S S S S x x x x x =+-=+⋅-⋅=∴ 2.CH =…………………………………………………………………………………12分 综上所述：=82CH CH =或．C （B ）（D ） E F26题备用图图AHKC（B ）（D ） EF26题备用图图AH。
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成都七中2015-2016学年上期
2017届半期考试数学试卷(参考答案)（理科） 考试时间：120分钟总分：150分
一．选择题
1-5 DCABC
6-10 BADDB11-12 CA
二、填空题
14. 1.514l G =+15.16
3
16. ②④
三、解答题
17.解：1212124
m
l l k k k k ==-
设直线、的斜率分别为、，则-2、.2 分 1212(1)122m
l l k k m ⊥=
=-∴=-若，则，.6 分 12(2)84
m
l l m -=-∴= 若，则2，,
2204
n
l x y ∴
++
=可以化简为,12l l ∴=与2812n ∴=-或.
12 分
18.解：（1）由图2，可知,
2x OF EO ==()1101033ABCD V S EO x x ∴=⋅⋅=<<.4 分
（2）①取AD 中点G ，联结GO ，GE.
EGF ∴∆主视图为.
6,4GF EO == ,
11
641222
EGF S GF EO ∆∴=
⋅=⨯⨯=.8 分 ②取AB 中点H ，联结EH ，则3EH AB HB ⊥=，.
ABCD 为正方形,AB CD ∴ .
EB CD EBH ∴∠与所成角为, 5
tan =.3
EH EBH HB ∴∠=12 分
19.解：（1）()22
,4P x y x y +=设，则,
()22
2222
22=(1)(1)(2)(6)22214422750
PA PB x y x y x x y y x y +-+-+++-=++-+=-+则
2cos ,2sin x y θθ==令,
(
)22
=4cos 7sin 50)50PA PB θθθϕ+-+=++则
, 2
2
PA PB ∴+的最大值为.6 分
（2）()1110l y k
x kx y k -=--+-=设直线方程为，即,
(
)0,0O l d =
则点到直线的距离
.
21O d == 又弦长为半径为，则,解得:k=0,
:1l y ∴=直线方程为10 分
1x =又直线:也满足,
1 1.l y x ∴==直线的方程为：和1
2 分
20.解：（1）,,O PA BC ααα⊥⊂ 证明：设所在平面为，又已知条件有
.PA BC ∴⊥
,90,.
,,
O AB O C A B BCA BC AC PA AC PAC BC PAC BC PBC ∴∠=⊥∆∴⊥⊂ 为的直径，是圆周上不同于的任意一点,即又因为与是所在平面内的两条相交直线,平面又平面
.PAC PBC ∴⊥平面平面4 分
（2）①A AD BC O D BD 过作交于，连结.
AB O 为直径AC BD PBD AC PB ∴∠ ，或其补角为与所成角. ABCD ∴四边形为平行四边形.
63090AB ABC ACB ︒︒=∠=∠= ，
，3,BD AC BC AD ∴====
PD ∴=BD PAD ⊥同（1），易证平面. PD BD ∴⊥
,
tan 3
PD PBD BD ∴∠=
=8 分
D
B
②.A PCB h 设点到平面的距离为.
A PC
B P ACB V V --=由11
33
PCB ACB S h S PA ∆∆⋅=⋅得,
5PCB PC BC ∆==中，，,,
.BC PCA BC PC ⊥⊥
由（1）知，平面则
152PCB S ∆∴=⨯⨯=125h ∴=, 4sin 5
θ=.
3
cos .5
θ∴=12 分
21.解：（1）,.BE O AO 由图可知侧视图为三角形，设中点为连结. 1,,.AB AE O BE AO BE ==∴⊥ 为中点. ,ABE BCDE AO ABE ⊥⊂ 平面平面，且平面,
AO BCDE AO ∴⊥平面，则
的长度即为侧视图的高的长度..
.CD BC
CD ⊥∴ 的长度为侧视图的底边长.
11224
S ∆∴=⨯⨯=侧4 分
（2）,,CD H OH AH OH CD ⊥取中点，连结则.
AO BCDE ⊥由（1）知，平面,AH CD ∴⊥.
AHO A CD B ∴∠--为二面角的平面角,()1322
2
OH ED BC AO ∴=
+==，. tan 3
AO AHO OH ∴∠=
=.8 分 （3）,,BD CE P PM 连结交于连结12,.BCDE ED BC DE BC == 在梯形中，，
:2:1BP PD ∴=,,:2:1,AM Q QM MD BQ =在上取使连结.
:2:1:QM MD BP PD ∴==, BQ PM ∴ . :5:2:1:4AM MD AQ QM ==由知，,
:1:4AC N AN NC BN =在上取使，连结,QN MC 则. ,,
BQ PM QN MC ,,.BQ MEC PM MEC NQ MEC MC MEC ⊄⊂⊄⊂又平面，平面平面平面
,,BQN MEC BN BQN ∴⊂ 平面平面又平面 BN BQN ∴ 平面.
155
AN AC ∴==12 分
22..解（1）由题意可知，圆C 的圆心在y 轴上，设圆心()0,C b ，半径为r.
()2
22C x y b r ∴+-=圆的方程为.
,A B 在圆C 上,
()222213,23b b r r b r
⎧=-=⎧⎪∴⎨⎨
=⎩+=⎪⎩解得 , ∴圆
C 的方程为2
2(1)4x
y +-=.4 分
(2)①将直线EF 的方程1y k x =代入圆C 的方程，整理得2
211(1)230k x k x +--=，
则112
1222
1123
,11
k x x x x k k +=
=-++， 所以
112112133,22
k x x k x x k -==-+ 将直线GH 的方程2y k x =代入圆C 的方程，同理可得234
3422
2223
,11
k x x x x k k +=
=-++，所以
234234233
,22
k x x k x x k -==-+ 所以
234
1121234
k x x k x x x x x x =++. 8 分
②（蝴蝶定理）方法一：设点(,0),(,0),Q q R r ，由E 、Q 、H 三点共线，得
141124
x q x q
k x k x --=， 解得1214
1124()k k x x q k x k x -=
-。
同理可得12231223
()k k x x r k x k x -=-，
由①
2341121234k x x k x x x x x x =++变形得2314
12231124x x x x k x k x k x k x -=--即
12231223()k k x x k x k x --12141124
()0k k x x k x k x -+=-，从而0,q r +=所以
q r =，即OQ OR =.14 分
方法二：直线EF,GH 的方程可以表示为12()()0,k x y k x y --= 则过圆C
和上述方程交点
E,F,G,H
的二次曲线系为：
2212()()0)1)4,((k x y k x y x y λ--=--+*+
令0,y =得2
12(1)30,k k x λ+-=其两根即为曲线系()*与x 轴交点Q,R 的横坐标，
由韦达定理得0,Q R x x +=即OQ OR
=.14 分。